Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Статьи / Статья "Тезисы к авторскому спецкурсу о Золотом Сечении"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Статья "Тезисы к авторскому спецкурсу о Золотом Сечении"

библиотека
материалов

Математика Золотого Сечения. Тезисы элективного курса. Мясникова Т.Ф. 2009 г.


Математика Золотого Сечения


1

Золотое сечение отрезка


Золотое сечение отрезка – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.


hello_html_m505aa7c4.png

hello_html_2984e104.gif

АВ = 1, тогда МВ = φ и АМ = 1 - φ.

Имеем: hello_html_m42e2a885.gif φ2 + φ – 1 = 0, hello_html_6a89ecc6.gif

hello_html_m6cc24fd9.gif


hello_html_m6a26183c.gif0,6180339887…

2

Золотое уравнение


Уравнение φ2 + φ – 1 = 0

называется золотым.*



Следствия золотого уравнения


φ2 =1 – φ

1 - φ2 = φ

φ + φ2 = 1


hello_html_2690ea99.gif

hello_html_44b4a9a6.gif

3

Шкала золотых отрезков


Отрезок называется золотым, если он, как часть другого отрезка, составляет φ от него.*


hello_html_1f9b3d2e.png

Убывающая шкала золотых отрезков (вправо)


hello_html_128a1fcf.png

Возрастающая шкала золотых отрезков (влево)


4

Золотая прогрессия


Бесконечная вправо и влево геометрическая прогрессия hello_html_m32cac138.gif называется золотой.


Свойства золотой прогрессии


1. Каждый член золотой прогрессии равен разности двух предыдущих и одновременно равен сумме двух последующих:

hello_html_51c8a7b8.gif

2. Любую целую степень числа φ всегда можно представить линейным двучленом относительно φ.

3. Сущность золотой прогрессии hello_html_6ad8ba50.gif не меняется от умножения (или деления) ее членов на любое число (за исключением нуля).



5

Ряд Фибоначчи и золотое отношение


Прогрессии hello_html_m55887ab2.gif и hello_html_668b9b12.gif можно переписать так:

φ; 1 - φ; 2φ - 1; 2 - 3φ; 5φ – 3; 5 - 8φ; 13φ - 8; …

φ + 1; φ + 2; 2φ + 3; 3φ + 5; 5φ + 8; 8φ + 13; 13φ + 21; …

Коэффициенты (или их модули) при φ в каждом двучлене полученных последовательностей составляют ряд

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; …,

каждый член которого, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13,

8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.



Таблица чисел Фибоначчи



1; 1


1; 2


2; 3


3; 5


5; 8


8; 13


13; 21


21; 34

hello_html_m6cec40e6.gif

hello_html_2cf2f9e7.gif

hello_html_4a941d82.gif

hello_html_m408980a4.gif

hello_html_4d956825.gif

hello_html_7cc95947.gif

hello_html_296683f8.gif

hello_html_157f7173.gif

hello_html_mc1d0c88.gif

αhello_html_459c8e72.gif


1


0,5


≈ 0,667


0,600


0,625


≈ 0,615


≈ 0, 619


≈ 0,617

hello_html_279f0a51.gif



График приближения подходящих добей к числу φ

hello_html_m7651e9f0.gif



6

Золотое деление площади.

Золотое деление объема


Золотое сечение – это такое деление целого на две неравные части, при котором меньшая часть относится к большей так, как бóльшая к целому.


Обратим внимание, что в этом определении речь идет о делении чего-то ЦЕЛОГО, коим вполне может быть и отрезок, и угол, и треугольник, и пирамида, а также не только геометрическая фигура, но и метрическая величина - площадь, объем.




hello_html_m41522968.gifhello_html_56b7a5e0.gifhello_html_1159b8b1.gifhello_html_66621e70.gifhello_html_m11b3c78e.gif


7

Золотые фигуры


Прямоугольник, у которого отношение смежных сторон равно φ, называется золотым.

Равнобедренный треугольник, в котором основание и боковая сторона находятся в золотом отношении, называется золотым.

Равнобедренный треугольник, в котором отношение боковой стороны к основанию равно φ, называется золотым.*

Прямоугольный треугольник, в котором высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу в золотом отношении, называется золотым.*


Определение золотой фигуры


Фигура называется золотой, если:

1) некоторые элементы этой фигуры находятся в золотом отношении;

2) существует такое ее деление на две части, которое «рождает» фигуру, подобную данной.

Назовем этот способ деления фигуры золотым делителем.*


Иными словами, золотое сечение золотой фигуры приводит к появлению новой золотой фигуры, подобной данной.*



hello_html_3b483163.gifhello_html_6d4e81a0.png

hello_html_e063744.gifhello_html_176f8924.png


hello_html_539460e1.pnghello_html_m4ff37383.png



В золотом прямоугольнике ABCD золотым делителем является отрезок MN, равный меньшей стороне прямоугольника.

В остроугольном золотом треугольнике роль золотого делителя выполняет биссектриса угла при основании, в тупоугольном золотом – трисектрисы угла при вершине.

В прямоугольном треугольнике золотой делитель - это высота, проведенная к гипотенузе.*


Заметим, что в каждом случае делитель действительно «золотой», так как делит сторону, к которой проведен, в золотом отношении.


Очевидно, класс золотых фигур этим набором не исчерпывается.


8

Пирамида в пропорциях Золотого Сечения


Пирамида в пропорциях Золотого Сечения (так называемая Пирамида Александра Голода) - это правильная четырехугольная пирамида, в которую вписаны стоящие друг на друге шары, диаметры которых находятся в золотом отношении.



Рhello_html_m16f124bb.gifазмеры пирамиды в пропорциях Золотого Сечения:

а – сторона основания пирамиды,

высота Н ≈ 2,058а,

длина бокового ребра

L ≈ 2,176а.




9

Исследования современных ученых


Пирамиды, в которых есть золотые пропорции, обладают удивительными свойствами. Научные работы, проводимые в России под руководством Александра Голода, изучающие свойства пирамид, не имеют аналогов в мировой практике и открывают новые возможности в различных областях нашей жизни.

Возможности пирамид в пропорциях Золотого сечения, как и всех золотых фигур вообще, не только не изучены, но представляют собой почти не тронутую целину для исследователя.



По мере развития математики растет и ее проникновение в самые различные области жизни человека. Значит, растет и важность ее изучения в школе, в вузе и особенно важность самостоятельной работы над нею. Правда, легче она не становится – легкой математики вообще не бывает. И чем больше ее изучаешь, тем больше остается неизученного, чем больше работаешь над страницами учебников, тем больше остается за ее страницами. Наука неисчерпаема, этим она и интересна. Познание ее приносит человеку настоящую, ни с чем не сравнимую радость. Именно такой радости я и желаю своим ученикам.


Мясникова Т.Ф.


hello_html_m266afdc7.jpg






_____________________________________________________________________________

Примечания


* - определения и понятия, принадлежащие автору.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 19.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров80
Номер материала ДБ-202620
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх