Статья "Тезисы к авторскому спецкурсу о Золотом Сечении"

Математика Золотого Сечения

1 Золотое сечение отрезка Золотое сечение отрезка – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.	АВ = 1, тогда МВ = φ и АМ = 1 - φ. Имеем:  φ2 + φ – 1 = 0, 0,6180339887…
2 Золотое уравнение Уравнение   φ2 + φ – 1 = 0  называется золотым.*					Следствия золотого уравнения
					φ2 =1 – φ 1 - φ2 = φ φ + φ2 = 1
3 Шкала золотых отрезков Отрезок называется золотым, если он, как часть другого отрезка, составляет φ от него.*					Убывающая шкала золотых отрезков (вправо) Возрастающая шкала золотых отрезков (влево)
4 Золотая прогрессия Бесконечная вправо и влево геометрическая прогрессия   называется золотой.				Свойства золотой прогрессии 1. Каждый член золотой прогрессии равен разности двух предыдущих и одновременно равен сумме двух последующих: 2. Любую целую степень числа φ всегда можно представить линейным двучленом относительно φ. 3. Сущность золотой прогрессии  не меняется от умножения (или деления) ее членов на любое число (за исключением нуля).
5 Ряд Фибоначчи и золотое отношение		Прогрессии  и   можно переписать так: φ; 1 - φ; 2φ - 1; 2 - 3φ; 5φ – 3; 5 - 8φ; 13φ - 8; … φ + 1; φ + 2; 2φ + 3; 3φ + 5; 5φ + 8; 8φ + 13; 13φ + 21; … Коэффициенты (или их модули) при φ в каждом двучлене полученных последовательностей составляют ряд 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; …, каждый член которого, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.
Таблица чисел Фибоначчи Пары смежных чисел ряда Фибоначчи 1; 1 1; 2 2; 3 3; 5 5; 8 8; 13 13; 21 21; 34 α 1 0,5 ≈ 0,667 0,600 0,625 ≈ 0,615 ≈ 0, 619 ≈ 0,617
График приближения подходящих добей к числу φ
6 Золотое деление площади. Золотое деление объема Золотое сечение – это такое деление целого на две неравные части, при котором меньшая часть относится к большей так, как бóльшая к целому. Обратим внимание, что в этом определении речь идет о делении чего-то ЦЕЛОГО, коим вполне может быть и отрезок, и угол, и треугольник, и пирамида, а также не только геометрическая фигура,  но и метрическая величина - площадь, объем.
7 Золотые фигуры Прямоугольник, у которого отношение смежных сторон равно φ, называется золотым. Равнобедренный треугольник, в котором основание и боковая сторона находятся в золотом отношении, называется золотым. Равнобедренный треугольник, в котором отношение боковой стороны к основанию равно φ, называется золотым.* Прямоугольный треугольник, в котором высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу в золотом отношении, называется золотым.* Определение золотой фигуры Фигура называется золотой, если:  1) некоторые элементы этой фигуры находятся в золотом отношении; 2) существует такое ее деление на две части, которое «рождает» фигуру, подобную данной. Назовем этот способ деления фигуры золотым делителем.* Иными словами, золотое сечение золотой фигуры приводит к появлению новой золотой фигуры, подобной данной.*			В золотом прямоугольнике ABCD золотым делителем является отрезок MN, равный меньшей стороне прямоугольника. В остроугольном золотом треугольнике роль золотого делителя выполняет биссектриса угла при основании, в тупоугольном золотом – трисектрисы угла при вершине. В прямоугольном треугольнике золотой делитель - это высота, проведенная к гипотенузе.* Заметим, что в каждом случае делитель действительно «золотой», так как делит сторону, к которой проведен, в золотом отношении. Очевидно, класс золотых фигур этим набором не исчерпывается.
8 Пирамида в пропорциях Золотого Сечения Пирамида в пропорциях Золотого Сечения (так называемая Пирамида Александра Голода) - это правильная четырехугольная пирамида, в которую вписаны стоящие друг на друге шары, диаметры которых находятся в золотом отношении.							Размеры пирамиды в пропорциях Золотого Сечения: а – сторона основания пирамиды, высота Н ≈ 2,058а, длина бокового ребра L ≈ 2,176а.
9 Исследования современных ученых Пирамиды, в которых есть золотые пропорции, обладают удивительными свойствами. Научные работы, проводимые в России под руководством Александра Голода, изучающие свойства пирамид, не имеют аналогов в мировой практике и открывают новые возможности в различных областях нашей жизни. Возможности пирамид в пропорциях Золотого сечения, как и всех золотых фигур вообще, не только не изучены, но представляют собой почти не тронутую целину для исследователя.						По мере развития математики растет и ее проникновение в самые различные области жизни человека. Значит, растет и важность ее изучения в школе, в вузе и особенно важность самостоятельной работы над нею. Правда, легче она не становится – легкой математики вообще не бывает. И чем больше ее изучаешь, тем больше остается неизученного, чем больше работаешь над страницами учебников, тем больше остается за ее страницами. Наука неисчерпаема, этим она и интересна. Познание ее приносит человеку настоящую, ни с чем не сравнимую радость. Именно такой радости я и желаю своим ученикам. Мясникова Т.Ф.

_____________________________________________________________________________

Примечания

* - определения и понятия, принадлежащие автору.