Статья "Топология и её значение в школьном курсе математики"

Топология и её значение в школьном курсе математики

Ответить на вопрос о том, что такое топология, весьма непросто. Для того, чтобы в полной мере охватить задачи, которые решаются этой научной дисциплиной, необходимо серьезное изучение многих довольно сложных вопросов математики.

Топология - раздел математики, изучающий идеи непрерывности. В топологии впервые даются строгие определения таких фундаментальных понятий геометрии, как линия и поверхность. Предметом топологии являются свойства фигур, сохраняющиеся при гомеоморфизмах, то есть взаимно однозначных и непрерывных в обе стороны отображениях. Топология, как наука возникла из потребностей связанных с математическим анализом. Эта наука, хотя и считается молодой, на самом деле известна уже давно, именно благодаря тесным связям с математическим анализом. Идеи топологии идут от работ таких крупных математиков 19 в. как Риммман, Пуанкаре, Кантор, Эйлер. Развитие топологии идёт бурными темпами и в большом числе направлений, этот процесс не окончен в настоящее время, хотя ряд крупных проблем, стоящих перед топологией, успешно решен. Топологические методы стали мощным инструментом математического исследования. Топологический подход позволяет упростить многие доказательства фундаментальных теорем классической математики и обобщить эти теоремы на более широкие классы пространств.

Геометрия школьного курса имеет дело в основном со свойствами фигур, связанными с понятиями длины, площади, объема-то есть метрическими свойствами фигур. Лишь очень немногие теоремы и задачи школьного курса геометрии рассматривают свойства иного характера. Топология как раз и является разделом геометрии, изучающим свойства фигур, которые могут быть установлены без измерения и сравнения величин, но при этом имеющие геометрический смысл.

Многие понятия теории метрических пространств (предел, предельная точка, точка прикосновения, замыкание множества, граница множества, непрерывность и т.д.) вводятся, опираясь на понятие окрестности или, что тоже самое, на понятие открытого множества. Понятие окрестность и открытое множество определяются с помощью метрики.

Свойства открытых множеств метрического пространства принимаются в качестве аксиом. Этот путь приводит нас к топологическим пространствам, по отношению к которым метрические пространства представляют собой частный случай.

Примерами двумерных многообразий в пространстве являются такие фигуры: как тор, крендель (все это замкнутые многообразия), однополосный и двуполосный гиперболоиды (это откры­тые многообразия) и т. п. (рис. 1).

                                             Рис.1

Особо стоит отметить выпуклые многогранные по­верхности, такие как куб, призма, пирамида и т. д. Все они гомеоморфны сфере и тем самым являются замкнутыми двумерными многообразиями (рис. 2).

Примерами двумерных многообразий с краем служат: а) замыкания различных плоских областей: кроме круга это кольцо, круг с дырами и т. п. (рис. 3); б) замыкания различных открытых мно­жеств в двумерных многообразиях без края: «сфера с дырами», «тор с дырами», «крендель с дырой» и т. п. (рис. 4).

Рис.2

 

Рис.3

 

Рис.4

Интересным примером двумерного многообра­зия с краем в пространстве является так называемый лист Мё­биуса. Он выглядит как результат склеивания концов перекрученной полоски бумаги (рис. 5).

                                             Рис.5

 Лист Мё­биуса — простейшая односторонняя поверхность. Что это значит? Обычно у поверхности две стороны: вы можете покрасить одну сторону, скажем, в синий цвет, а другую — в красный, так, что цвета нигде не будут граничить друг с другом. Начав же красить с лю­бого места лист Мёбиуса, вы непременно закрасите его целиком — «со всех сторон»! Две стороны исход­ной полоски бумаги отождествились при склеивании.

 С понятиями топологии обучающимся постоянно приходится иметь дело в курсе геометрии. В основе восприятия любой двумерной или трехмерной фигуры лежат такие фундаментальные топологические понятия как "внутренняя область", "внешняя область", "граница».  В разделе «Многоранники» изучается основная теорема топологии, которая носит название «Теорема Эйлера»: число вершин минус число ребер плюс число граней выпуклого многогранника равно двум: В – Р + Г = 2. Это предложение является частным случаем наиболее общего предложения. В топологии дается понятие клетки, клеточного разложения и эйлеровой характеристики двумерного многообразия. Эйлерова характеристика многообразия – число, равное , где  - число вершин клеточного разложения поверхности,  - число его ребер,  - число клеток. Для многогранника (призмы, пирамиды, правильных многогранников) клеточным  разбиением является совокупность граней, число вершин и число ребер – число граней, вершин и ребер клеточного разбиения соответственно.  Школьные многогранники гомеоморфны сфере без ручек и контуров, то есть это двумерные многообразия нулевого рода.

Топология – наука сложная. Её мы называем вершиной геометрии. В её основе лежат абстрактные понятия, которые школьникам сложно воспринять и понять. Топология выросла из так называемых «занимательных задач», рассматривая которые дети приходят в восторг. Познакомить школьников с занимательными задачами – цель нашей работы, что позволит сделать знания учащихся более основательными, развить их творческие способности и интерес к математике как к предмету.

Многие авторы (Вернер, Кантор, Франгулов ) считают, что изучением топологических свойств геометрических объектов наиболее целесообразно заниматься в старшей школе. Однако наиболее приемлемым для введения топологической линии является среднее звено. Действительно, с одной стороны, необходимо как можно более раннее знакомство с топологией. А с другой стороны, учащиеся уже имеют первичные навыки вычислений, оперирования числовыми и буквенными выражениями, начальные понятия о геометрических фигурах, что представляет возможность для рассмотрения более широких классов топологических задач.