Статья в школьный педагогический журнал "Как учить математике младших школьников"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Школа-гимназия, детский сад № 25" Муниципального образования городской округ Симферополь Республики Крым.

Статья

Подготовила и провела

учитель начальных классов

Гоцуляк Наталья Николаевна

Симферополь

Как в 1 классе преподать математику?

Недавно на страницах электронного журнала Pacific Standard Бетттина Чанг опубликовала статью с описанием одного исследования, посвященного урокам математики. Да-да, несмотря на то, что в мире сейчас идут жаркие споры о MOOC, интенсивно развивается геймификация и другие виды интерактивного обучения, в реальной педагогической среде решаются бытовые вопросы методики.

Доцент Пенсильванского Университета Пол Морган, на чье исследование опирается Беттина,  отмечает, что методика преподавания математики в начальной школе оказывается самой уязвимой, ведь до сих пор не выяснен вопрос, какая педагогическая технология наиболее эффективна для обучения маленьких детей:

Существует не так много исследований, посвященных математическим достижениям в начальных классах. Кроме того, нет серьёзных оценок эффективности педагогических технологий. Ещё меньше исследований рассматривает, как методы обучения могут влиять на отстающих от программы учеников.

Отсутствие научных работ в этой области создает определенные проблемы. Так, во время небольшого исследования 2009 года Морган и его коллеги обнаружили, что ученики, у которых возникали трудности с математикой в детском саду, продолжали демонстрировать плохие результаты и в начальной школе. Другие исследования показали, что в долгосрочной перспективе студенты, у которых были проблемы с математикой, пошли впоследствии на более низкооплачиваемую работу и имели больше шансов оказаться вовсе безработными, несмотря на хорошие оценки по чтению.

Более позднее исследование Моргана, опубликованное недавно в издании Educational Evaluation and Policy Analysis, показывает, что учителя математики, в чьих классах много отстающих, стараются использовать разнообразные методические приемы. К сожалению, эти методы либо не имеют никакого положительного влияния на успехи учеников, либо они помогают лишь тем ребятам, которые и так хорошо разбираются в математике, оставляя далеко позади слабых школьников.

Морган и его коллеги проанализировали данные 1998-1999 гг., чтобы провести одно из самых серьезных на сегодняшний день  исследований в этой области. Национальная репрезентативная выборка включала 13 393 детей, разделенных на  3635 класса в 1338 школах. Учителя заполнили анкеты, в которых рассказали, как часто в своей практике они использовали различные методы для обучения определенным математическим навыкам.

Для более точных результатов при анализе данных  брались во внимание факторы, которые учитывали изменения в успеваемости, прошлые достижения (в данном случае, отметки по математике, которые были в садике), «социально-экономический статус» и уровень образования родителей.

В результате исследования учёные выделили четыре основных метода обучения. Наиболее традиционную технологию, в рамках которой учителя сначала показывали, как решать задачи, а затем просили учеников попрактиковаться самостоятельно, классифицировали как  «управленческую». С другой стороны  исследователи выделили «личностно-ориентированную» модель, которая позволяла ученикам, работающим в группе,  создавать собственные математические гипотезы и применять их к реальной жизни. В «манипулятивно-калькулятивной» технике дети работали с физическими объектами (M&M's, пенни и т.д.), для решения математических задач и/или использовали калькуляторы. Наконец, в категорию «движение / музыка» были включены методы, в которых ученики сами перемещались и использовали музыкальное сопровождение.  

Результаты показали, что под руководством преподавателя занятия проходили более эффективно в плане повышения академической успеваемости учеников. В то же время личностно-ориентированная техника улучшала результаты лишь среди тех студентов, которые и раньше не демонстрировали трудности в изучении математики.

Самые тревожная группа учителей – те, у которых были классы с подавляющим большинством неуспевающих, предпочитали использовать калькулятор и музыкальный метод.  Когда дети пытались решить задание или теряли интерес к обучению, учителя начинали использовать физические объекты, музыку или движение, чтобы попытаться привлечь внимание ребят. Однако эти методы никак не повлияли на академические успехи.

Как предполагает Морган, возможной причиной расхождений является то, что личностно-ориентированное обучение и другие альтернативные методы требуют от учеников большей познавательной активности. Те, у кого уже есть проблемы с математикой, попросту отвлекаются на обработку M&M's или передвижение, упуская при этом математические понятия. По мнению Моргана, эти результаты могли бы иметь большие последствия для образовательной политики США, отстаиваемой администрацией Обамы и принятой в 45 штатах. Ведь общеобразовательные стандарты, которые придают особое значение использованию различных подходов для решения проблем успеваемости, соотносятся с категорией личностно-ориентированного метода, неэффективность которого подтверждена исследованиями Моргана:  

Мы пытаемся помочь детям, насколько можем это сделать. Ни одно исследование не совершенно, каждое имеет свои ограничения. Но мы не хотим, чтобы решения, принимаемые за детей, основывались на небылицах. Мы должны попытаться использовать эмпирические данные и доказательства, прежде чем что-то решать.

Кто-то мог бы поспорить с Полом Морганом. В век игрового обучения не все поддержат идею традиционной формы уроков. Кто-то приведет в пример бестселлер Стивена Строгаца «Как получить удовольствие от Х» или приложение DragonBox Algebra как варианты легкого и приятного изучения математики. На что можно ответить: здесь нет никакого противоречия.

Главная проблема школьной математики в том, что в ней нет задач. Да, я знаю, что выдаётся за задачи на уроках: эти безвкусные, скучные упражнения. «Вот задача. Вот как её решить. Да, такие бывают на экзамене. На дом задачи 1-15». Что за тоскливый способ изучать математику: стать дрессированным шимпанзе.

Пол Локхард

из эссе «Плач математика»

Математика, наверное, — один из самых странных разделов науки. Ни в одном другом предмете не сочетаются так сильно противоположности: от строгости формальных доказательств до умения «видеть» те или иные построения. Математика обладает как внутренней красотой, так и внешней. Нет ничего более увлекательного, нежели решение математических задач. И ни один другой предмет не преподаётся в школе так бездарно.

С чего начинается обычно изучение математики в школе? С выдачи 7-8 летним детям непонятного набора символов и определений и систему алгоритмов для применения этой абракадабры. Отдельные вещи, например, таблица умножения — заучиваются.

В следующих классах на основе этой системы ученикам расскажут и заставят заучить набор шаманских ритуалов, позволяющих решить вымученные задачи. Возникнут новые определения, такие как «правильная дробь» и «неправильная дробь» без малейшего объяснения, откуда это взялось и, главное, зачем. Особое внимание будет уделено решению бесполезных и вымученных текстовых задач, имеющих такое же отношение к реальности, как и сами алгоритмы.

В качестве небольшого теста можно предложить вспомнить: сколько раз в жизни вам потребовались определения правильной или неправильной дроби?

Меня заставляли учить наизусть: квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов, увеличенной на их удвоенное произведение. У меня не было ни малейшего представления о том, что бы это могло значить; когда я не мог запомнить этих слов, учитель треснул меня книгой по голове, что, однако, ни капли не стимулировало мой интеллект.

Бертран Рассел

английский философ, логик и математик

При этом учителя будут беспощадно подавлять любое инакомыслие. Попробуй записать 5/2 вместо 2 1/2 (на что всегда хочется возразить: если у меня есть три яблока, каждое из которых разделено пополам, то я возьму 5 половинок, а не 2 яблока и 1 половину).

Эту тему можно продолжать достаточно долго. Более того, это уже сделано в эссе Пола Локхарда «Плач математика». В нём достаточно неплохо показано «Кто виноват». Но не дан ответ на второй важный вопрос — «Что делать».

Вариант ответа на этот вопрос приводится в замечательной книге, недавно переведённой на русский язык. Книга называется «Удовольствие от х».

Удовольствие от х

Если вы что-то не можете объяснить шестилетнему ребёнку, вы сами этого не понимаете.

Прежде всего, я бы хотел отметить, что эта книга не просто хороша. Она действительно даёт ответ на несколько неглавных вопросов жизни, математики и всего такого.

Это та книга, которая обязана стать настольной для любого преподавателя любого технического предмета, будь то математика или информатика.

Автор этого удовольствия, Стивен Строгац — математик мирового уровня, преподаватель прикладной математики в Корнелльском университете США (один из ведущих технических вузов мира). И, судя по книге, в этом человеке соединились воедино два замечательных качества, которые сделали это произведение бестселлером: Стивен Строгац — сильный математик и преподаватель в одном лице. 

Можно уметь преподавать, но не знать хорошо предмет. Можно хорошо знать предмет, но не уметь преподавать. Можно уметь делать и то, и другое, но посредственно. Стивен Строгац принадлежит другому типу: он знает и умеет преподавать правильно.

  Удивительные применения теоремы Пифагора

О чём же эта книга? На самом деле, обо всём, что хоть как-то связано с математикой. Разделы книги на первый взгляд подобраны хаотично (Числа, Соотношения, Фигуры, Время перемен, Многоликие данные, Границы возможно), но по мере чтения начинаешь понимать то, что хотел донести автор. Книга построена на исследовании. Исследовании, которое ведёт автор совместно с читателем. 

Спектр рассматриваемых задач огромен. Любой человек, даже отлично знающий математику, почерпнёт в ней что-то новое. При этом рассматриваются как практические задачи (например, вычисление процентов, полученных с акций, вкладываемых в фондовый рынок), так и абсолютно абстрактные.

Например, по ходу рассуждения о числах, автор замечает, что сумма последовательных нечётных чисел всегда является точным квадратом другого числа:

1+3         = 2 x 2

1+3+5     = 3 x 3

1+3+5+7 = 4 x 4

Предлагаемое автором доказательство не требует даже пояснений:

Многие задачи даются в историческом контексте. Здесь хотелось бы остановиться отдельно: сейчас практически из всех учебников выброшена история развития математики. А между тем, только понимая исторический контекст, можно пройти весь путь — от простейшей арифметики к современным математическим теориями.

Вспомним, к примеру, квадратные уравнения. Сколько слёз было пролито и учениками, и учителями в попытке запомнить заклинание: икс один-два равно минус бэ плюс-минус корень из бэ в квадрате минус четыре а-цэ и поделить всё на два а.

Кстати, такой способ записи уже не является правильным согласно новым математическим стандартам — прим. редактора

 Как развить математическую интуицию

Люди с хорошей памятью и/или «в теме» могу ещё вспомнить теорему Виета. Но вместо всего этого Стивен Строгац приводит элегантное объяснение, придуманное аль-Хорезми, с помощью которого без всяких формул можно легко и непринуждённо найти решение (хоть и неполное: в те времена отрицательные числа ещё не применялись повсеместно). И, уверяю вас, любой прочитавший это решение, запомнит его навсегда. С первого раза.

От главы к главе сложность задач возрастает. Но понимание не теряется, в чём и состоит особое удовольствие от чтения «Удовольствия от х». Читатель погружается в ту атмосферу, которую для него создал автор, практически, в дивный новый мир.

Я не знаю, с чем можно сравнить эту книгу. Возможно, со знаменитыми Феймановскими лекциями по физике или же с «Вы, наверное, шутите, мистер Фейман». Но одно можно сказать точно: эта книга оставит свой след в душе тех, кто её прочитает.

Кто сказал, что учитель, который ведет свой класс по тёмным коридорам познания, обязательно должен быть пресным сухарём? Все совсем наоборот. Хорошенько поискав в памяти, вы обязательно найдёте образ хотя бы одного школьного учителя, той самой Людмилы Ивановны, суровые дисциплинарные требования которой переплетались с удивительными по своему содержанию уроками. Именно ей в свое время удалось привить вам любовь и уважение к Царице всех наук. Хотя, возможно, она повстречалась вам не в началке и вела не математику, а химию. Но это уже частности, суть от которых не меняется.