Обратный ход

Один из приёмов решения текстовых задач арифметическим способом.

Экспериментально доказано, что наличие упражнений обратной структуры содействует улучшению качества знаний учащихся по математике. Так как:

1. Обратная задача помогает учащемуся извлекать дополнительную информацию, заключающуюся в новых связях между величинами исходной задачи.

2. Решая обратную задачу, учащиеся перестраивают суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи. При этом они овладевают новыми, более сложными, формами рассуждений.

3. Обратная задача является средством формирования у учащихся способности к переключению на обратный ход мысли – определяющим, исходным элементом математических способностей.

Дидактическая эффективность приема составления новых задач, обратных данным, определяется:

· возможностью его использования при изучении любых разделов математики;

· вскрытием структурных особенностей (взаимосвязей понятий, тем) изучаемого материала;

· сокращением времени изучения материала;

· осознанным пониманием учащимися изучаемого материала;

· субъектной позицией учащегося. Метод обратных задач приводит ученика к постановке новых проблем, к получению иных разновидностей задач.

В 5 классе учащиеся должны освоить решение задач обратным ходом, то есть с конца. Этот приём позволяет закрепить взаимосвязь операций, его часто используют при решении составных задач, для решения которых надо использовать и другие способы. Начнём с подготовительной задачи.

Задача 1. В автобусе едут 25 пассажиров. На первой остановке вышли два, вошли пять пассажиров. Сколько пассажиров едет в автобусе после первой остановки?

Решение. Выполним схематический рисунок, подсказывающий порядок вычислений.

Ответ. 28 пассажиров.

Теперь решим задачу, в которой нужно применить обратный ход, то есть провести вычисления в обратном порядке, применив обратные операции.

Задача 2. В автобусе едут несколько пассажиров. На первой остановке вышли два, вошли пять пассажиров. Сколько пассажиров ехало в автобусе до первой остановки?

Решение. Выполним схематический рисунок. После того, как вошли 5 пассажиров, их стало 25, значит, до этого их было 25 — 5 = 20. Дальше заполняем пустые клетки.

Ответ. 22 пассажира.

Задача 3. На двух полках стояло 30 книг. Когда с первой полки на вторую переставили 4 книги, то книг стало поровну. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?

Решение. Начнём с конца.

1) 30: 2 = 15 (книг) — стало на каждой полке после перестановки 4-х книг.

Вернём 4 книги на первую полку.

2) 15 + 4 = 19 (книг) — было на первой полке первоначально,

3) 15 — 4 = 11 (книг) — было на второй полке первоначально.

Ответ. 19 и 11 книг.

Замечание. Чтобы уравнять количество книг, с первой полки на вторую переставили половину разности, т. е. (19 — 11): 2 = 4 книги.

Задача 4. На двух полках стояли книги — на первой полке в два раза больше, чем на второй. Когда с первой полки на вторую переставили две книги, то книг на полках стало поровну. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?

Решение. Пусть число книг на второй полке составляет 1 часть, а на первой — 2 части (рис. слева). Чтобы уравнять число книг, надо половину одной части переставить на вторую полку (рис. справа), т. е. две переставленные книги составляют половину одной части.

1) 2 * 2 = 4 (книги) — приходится на 1 часть, стояло книг на второй полке первоначально,

2) 4 * 2 = 8 (книг) — стояло на первой полке первоначально.

Ответ. 8 книг и 4 книги.

Задача 5. В двух карманах было 150 монет. Затем семнадцать монет были перемещены из одного кармана в другой. В результате количество монет во втором кармане стало в 2 раза больше, чем в первом. Сколько монет было в первом кармане первоначально?

Решение. Определим, сколько монет стало в первом кармане после их перекладывания, для этого решим «задачу на части». Пусть новое число монет в первом кармане составляет 1 часть, тогда во втором кармане — 2 части.

1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на 150 монет;

2) 150: 3 = 50 (монет) — стало в первом кармане;

3) 50 + 17 = 67 (монет) — было в первом кармане первоначально.

В чём же неполнота решения? Дело в том, что условие задачи «из одного кармана в другой» может означать как «из первого кармана во второй», так и «из второго кармана в первый». Второй случай приводит к ответу: 33 монеты.

Ответ. 67 монет или 33 монеты.

ЗАДАЧИ НА «ОБРАТНЫЙ ХОД»

Задача 1. Вася задумал число, умножил его на 2, прибавил 3 и получил 17. Какое число он задумал?

Решение. Будем действовать "с конца": чтобы узнать, какое число получил Вася перед тем, как получить 17, отнимем от 17 число 3, а затем разделим результат на 2, чтобы узнать исходное число.(17-3):2=7.

Задача 2. Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?

Решение. Решение аналогично решению задачи 1. ((2х7+6):4)х3-5=10

Задача 3. В стакане находится одна бактерия. Через секунду она делится пополам. Каждая из получившихся бактерий через секунду также делится пополам и так далее. Через минуту стакан заполнился.

а) Через какое время стакан был заполнен наполовину?

б) через какое время заполнится стакан, если изначально в нем находилось 4 бактерии?

Решение. 

а) По условию задачи, каждую секунду количество бактерий в стакане удваивается. Значит, половина стакана заполнится ровно на секунду раньше, чем полный стакан, то есть за 59 секунд.

б) Заметим, что если поместить в стакан 1 бактерию, то через 2 секунды их станет ровно 4, а стакан заполнится через ещё 58 секунд. Значит, если мы сразу поместим в стакан не 1, а 4 бактерии, он заполнится за 58 секунд.

Задача 4. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго - 33. Сколько монет было у первого пирата до начала игры?

Решение. 

Будем рассуждать обратным путём. Перед последним ходом у первого должно оставаться 30 монет, а у второго – 18, в этом и только в этом случае первый, проиграв половину своих монет, сам останется с 15-ю, а капитал второго при этом повысится с 18 до 33 монет. Далее, перед вторым ходом у второго должно было быть 18х2=36 монет (проиграет половину - останется у него 18), а у первого - 30-18=12 монет. Перед самым первым ходом у первого тогда было 12х2=24 монеты, а у второго, аналогично, 36-12=24 монеты.

Задача5. Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все гуси сели на семи озерах. Сколько было гусей?

Решение. 

Посмотрим, сколько гусей село на последнем озере. Так как дальше никто не полетел, то все гуси, пролетающие над седьмым озером, сели на нём. А это означает, что половина всех этих гусей, да ещё полгуся - это и есть все эти гуси. То есть половина этих гусей - это ровно полгуся. То есть на последнем озере сел ровно 1 гусь.
Далее, на шестом озере село 2 гуся - если дальше полетел 1 гусь, а села половина гусей и еще полгуся, то всего летело 3 гуся. Несложно убедиться, что на пятом озере село 4 гуся, на четвёртом - 8, на третьем - 16, на втором - 32, а на первом - 64.
Таким образом, всего на озёра село 1+2+4+8+16+32+64=127 гусей. А так как все гуси сели на семи озёрах, то и изначально летело 127 гусей.

Задача 6. Один Бездельник захотел получить денег и заключил сделку с Чёртом. Теперь каждый раз, когда Бездельник переходит мост через речку, количество имеющихся у него денег удваивается. Но за это он отдаёт Чёрту каждый раз по 24 копейки. Сколько денег было у Бездельника, если он прошёл по мосту 3 раза и деньги у него закончились?

Решение. 

После того, как Бездельник в третий раз прошёл по мосту, он заплатил 24 копейки Чёрту и остался без денег. Значит, после того, как он в третий раз прошел по мосту у него было ровно 24 копейки, а до этого - 24:2=12 копеек. Эти деньги оказались у Бездельника после того, как он во второй раз прошёл по мосту и заплатил Чёрту. Значит, до этого у него было (12+24):2=36:2=18 копеек. А до первого прохода по мосту, то есть в самом начале, у него была (18+24):2=42:2=21 копейка.

Задача 7. В классной комнате было несколько учеников. После того, как 7 учеников вошли и 9 вышли, в комнате их стало 31. Сколько учеников было в классной комнате первоначально?

Решение.

Нашу задачу можно решать обратным ходом: 31 + 9 – 7 = 33

Итак, 33 ученика было первоначально в комнате.

Задача8. Задумали число, к нему прибавили 1, сумму умножили на 2, произведение разделили на 3 и от результата отняли 4, получили 6. Какое число задумали?

Решение.

 (6 + 4) × 3: 2 – 1 = 14

14 – искомое число.

Задача 9. В двух комнатах было 76 человек. Когда из одной комнаты вышли 30 человек, а из второй – 40 человек, то в комнатах осталось поровну.

Сколько человек было в каждой комнате?

Решение.

30+40=70 (ч.) всего вышло

76-70=6 (ч.) всего осталось

6:2=3 (ч.) осталось в каждой комнате

30+3=33 (ч.) было в 1-й комнате

40+3=43 (ч.) было во 2-й комнате

Ответ: 33 человека, 43 человека.

Задача 10. Женщина собрала в саду персики. Чтобы выйти из сада, ей пришлось пройти через четыре двери, каждую из которых охранял свирепый стражник, отбиравший половину персиков. Домой она принесла 10 персиков. Сколько персиков досталось стражникам?

Решение.

10х2=20 (персиков) было перед четвёртыми воротами,

20х2=40 (персиков) было перед третьими воротами,

40х2=80 (персиков) было перед вторыми воротами,

80х2=160 (персиков) было всего,

160-10=150 (персиков) досталось стражникам

Ответ: 150 персиков.

Задача 11. Над озёрами летели гуси. На каждом озере садилось половина гусей и ещё один гусь, остальные летели дальше. Все гуси сели на пяти озёрах. Сколько было гусей?

Решение.

1 + 1 = 2(гуся) сели на пятое озеро,

(2 + 1) × 2 = 6 (гусей) сели на четвёртое озеро,

(6 + 1) × 2 = 14 (гусей) сели на третье озеро,

(14 + 1) × 2 = 30 (гусей) сели на второе озеро,

(30 + 1) ×2 = 62 (гуся) было всего.

Ответ: 62 гуся было всего.

Задача 12. Я задумала число, умножила его на 7, прибавила 15 и получила 50. Какое число я задумала?

Решение.

Начнем решение задачи с "конца". В результате всех действий мы получили число 50. Далее от 50 отнимаем 15 и получаем число 35, до прибавления 15. Затем число, полученное, в первом действии 35 делим на 7, тем самым получаем искомое число 5.

Задача 13. Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, во второй - 1/3 остатка, в третий - 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32км. Сколько километров был маршрут туристов?

Решение.

Так как осталось 32км, а в третий день туристы прошли остаток, то 32км будут составлять последнего 2/3 остатка, тогда сам последний остаток будет равен 32 : 2/3 = 48 (км). Эти 48км будут составлять 2/3 длины маршрута, оставшегося пройти после первого дня. Тогда весь маршрут, который осталось пройти, будет равен 48: 2/3 = 72 (км). Эти 72км составляют вновь 2/3, но уже всего маршрута туристов, а значит, весь маршрут будет равен 72: 2/3 = 108 (км). Задача решена.

Проверка: 108:3·1=36 км - прошли в первый день; 108-36=72, 72:3·1=24 км - во второй день; 72-24=48, 48:3·1=16 км - в третий день; 48-16=32 км - осталось пройти.

Задача14. Средний из трех братьев старше младшего на 2 года, а возраст старшего брата превышает сумму лет двух остальных братьев четырьмя годами. Найдите возраст каждого брата, если вместе им 96 лет.

Решение.

Удвоенные возраст старшего брата на 4 года больше от суммы лет всех троих братьев и равен поэтому 96+4=100 годам. Значит, возраст старшего брата равен 100:2=50 годам. Удвоенный возраст среднего брата на 2 года больше от суммы его лет и лет младшего брата и равен поэтому (96-50)+2=48. Значит, возраст среднего брата равен 48:2=24 годам. Теперь осталось найти возраст младшего брата: 96-50-24=22 года. Получаем ответ: младшему - 22, среднему - 24, старшему – 50

Задача15. Однажды купец предложил бездельнику заработать. «Как только ты перейдешь через этот мост, - сказал он, - твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 рубля». Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без денег. Сколько денег у него было сначала?

Решение.

Так как после третьего перехода у бездельника денег не осталось, то после перехода моста в третий раз у него было 24 рубля, а до перехода третьего моста - 12 рублей. Тогда после перехода второго моста у бездельника было 12 + 24 = 36 (рублей), а до перехода второго моста - 36  2 = 18 (рублей). Рассуждая аналогично, получим, что после перехода первого моста у бездельника стало 18 + 24 = 42 (рубля), а перед переходом первого моста - 42: 2 = 21 (рубль). Таким образом, у бездельника сначала был 21 рубль.

Задача16. Катя нарвала в саду яблоки. По дороге домой она встретила одну за другой трех подруг. Каждой она отдавала половину имеющихся у нее яблок. Домой она принесла два яблока. Сколько яблок нарвала Катя?

Решение.

Встречая каждую подругу, Катя делила яблоки поровну. В результате у нее осталось два яблока. Первоначальное число яблок найдем "обратным ходом".

(((2 * 2) * 2) * 2) * 2 = 16 (яблок) - У Кати было 16 яблок.   Ответ: 16 яблок.