Статья. Некоторые способы отбора корней тригонометрических уравнений.

Некоторые приемы и способы отбора корней тригонометрических уравнений

Маначина Надежда Васильевна

Учитель математики МКОУ Нежинской СОШ Ольховского района Волгоградской области (89044358564)

В школьном курсе математики значительное место занимает раздел по тригонометрии. Одной из тем является «Решение тригонометрических уравнений». Изучение ее вызывает значительные затруднения у обучающихся и учителей. Особую трудность представляет поиск решения уравнения, удовлетворяющим заданным условиям. В связи с тем, что уравнения такого типа все чаще включаются в тесты ЕГЭ, необходимо больше внимания уделять обучению приемам отбора корней тригонометрических уравнений.

Для успешного выполнения задания такого типа на ЕГЭ предлагаются некоторые способы отбора корней тригонометрического уравнения. Важно еще и то, чтобы у обучающихся были хорошо отработаны первичные знания и умения по основам тригонометрии. А также, могли хорошо владеть навыками решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств, умели применять тригонометрические тождества, решать двойные неравенства, оценивать значение иррационального числа.

1. Прием перевода в градусную меру:

Найти корни уравнения Sin x =1/2, удовлетворяющих условию х € (-3/2π ;5/2π)

Решение. Корни уравнения имеют вид: х = π /6+2n π (n € Z), х=5/6 π+2n π

Условие х € (-3/2π ;5/2π) в градусах выглядит в виде х € [ -270°; 450°]. Легко видеть, что указанному промежутку принадлежат следующие значения: 30° и 150° при n = 0 и -210° и 390° при n =1.

Этот способ полезен для обучающихся, которые плохо оперируют с радианами.

2. Прием двойных неравенств (способ оценки):

Найти решение уравнения $\cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},$ принадлежащие промежутку $[-\pi;\pi).$

$4x+\frac{\pi}{4}=\pm\operatorname{arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}+2\pi k.$

$4x+\frac{\pi}{4} = \pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, \\ x = -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.\end{array}\right.$ Из полученных серий выбираем только те ответы, которые принадлежат промежутку $[-\pi;\pi).$

Воспользуемся для этого методом двойных неравенств ( и — целые числа).

1) $-\pi\leqslant\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}<\pi \Leftrightarrow$ $-1\leqslant \frac{1}{8}+\frac{k}{2}<1\Leftrightarrow$ $-\frac{9}{4}\leqslant k<\frac{7}{4}\Leftrightarrow$ $k = -2,\,-1,\,0,\,1\Leftrightarrow$ $x=-\frac{7\pi}{8},\,-\frac{3\pi}{8},\,\frac{\pi}{8},\,\frac{5\pi}{8}.$

2) $-\pi\leqslant -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}<\pi \Leftrightarrow$ $-1\leqslant -\frac{1}{4}+\frac{k}{2}<1\Leftrightarrow$ $-\frac{3}{4}\leqslant k<\frac{5}{4}\Leftrightarrow$ $k = -1,\,0,\,1\Leftrightarrow$ $x=-\frac{3\pi}{4},\,-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4}.$

3. Способ движения по единичной окружности:

Решить уравнение $\operatorname{tg}^2 x+\operatorname{tg} x+6=0.$

Укажите корни, принадлежащие отрезке $\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right].$

Решение. Ограничения на переменную в этом уравнении: $x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n.$

Используем замену переменной: $t=\operatorname{tg} x.$ Тогда уравнение принимает вид:

$t^2+5t+6=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=-3, \\t=-2.\end{array}\right.$

Переходим к обратной замене:

$\left[\begin{array}{l}\operatorname{tg}x = -3,\\ \operatorname{tg}x = -2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\operatorname{arctg} 3+\pi k, \\ x=-\operatorname{arctg} 2+\pi n.\end{array}\right.$

Осуществляем отбор решений с использованием единичной окружности.

Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из этих серий: $-\operatorname{arctg} 2-\pi, -\operatorname{arctg} 3-\pi.$

Ответ: $-\operatorname{arctg} 2-\pi, -\operatorname{arctg} 3-\pi.$

Способ оценки двойного неравенства, способ движения по окружности, прием перевода в градусную меру - описанные выше, могут помочь при решении тригонометрических уравнений с выбором корней. В процессе обучения решению задач, в которых требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, с учениками следует обсудить разные способы выполнения этого действия, а также выяснить случаи, когда тот или иной способ может оказаться наиболее удобным или, наоборот, непригодным.

Скачать материал

Скачать материал "Статья. Некоторые способы отбора корней тригонометрических уравнений."

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Краткое описание документа:

В статье о приемах отбора корней тригономенрических уравнений описаны различные подходы отбора корней при решении тригонометрических уравнений на промежутке.

Статья предназначена для учителей и обучающихся при подготовке к единому государственному экзамену по математике на профильном уровне.

В статье описаны приемы отбора корней тригонометрических уравнений, доступные как сильных обучающихся так и для обучающихся среднего уровня.

Рассматриваются: способ подбора в градусах и радианах, способ оценки двойного неравенства, прием движения по тригонометрической окружности.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 661 525 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Доклад на тему "Мотивация учебной деятельности на уроках математики"

12.01.2015
2602
11

docx

Итоговый тест для 11 класса

12.01.2015
622
0

docx

Рабочая программа по геометрии 8 класс

Рейтинг: 3 из 5

12.01.2015
1869
0

rar

Конспект урока по математике "Степень с рациональным показателем"

12.01.2015
822
1

pptx

Презентация " Координаты точек, выбор системы координат"-к первым урокам по теме "Решение задач методом координат"

12.01.2015
562
0

docx

Разработка мероприятия по математике для 8-9 класса

12.01.2015
863
0

zip

Обучающие карточки по теме Производная. Правила дифференцирования

Рейтинг: 5 из 5

12.01.2015
2563
109

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 12.01.2015 1434
- DOCX 73 кбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Маначина Надежда Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Маначина Надежда Васильевна
- На сайте: 9 лет и 3 месяца
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 3687
- Всего материалов: 2