Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья. Некоторые способы отбора корней тригонометрических уравнений.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Статья. Некоторые способы отбора корней тригонометрических уравнений.

библиотека
материалов

Некоторые приемы и способы отбора корней тригонометрических уравнений

Маначина Надежда Васильевна

Учитель математики МКОУ Нежинской СОШ Ольховского района Волгоградской области (89044358564)

nadezhda.manachina@yandex.ru





































В школьном курсе математики значительное место занимает раздел по тригонометрии. Одной из тем является «Решение тригонометрических уравнений». Изучение ее вызывает значительные затруднения у обучающихся и учителей. Особую трудность представляет поиск решения уравнения, удовлетворяющим заданным условиям. В связи с тем, что уравнения такого типа все чаще включаются в тесты ЕГЭ, необходимо больше внимания уделять обучению приемам отбора корней тригонометрических уравнений.

Для успешного выполнения задания такого типа на ЕГЭ предлагаются некоторые способы отбора корней тригонометрического уравнения. Важно еще и то, чтобы у обучающихся были хорошо отработаны первичные знания и умения по основам тригонометрии. А также, могли хорошо владеть навыками решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств, умели применять тригонометрические тождества, решать двойные неравенства, оценивать значение иррационального числа.

1. Прием перевода в градусную меру:

Найти корни уравнения Sin x =1/2, удовлетворяющих условию х € (-3/2π ;5/2π)

Решение. Корни уравнения имеют вид: х = π /6+2n π (nZ), х=5/6 π+2n π

Условие х € (-3/2π ;5/2π) в градусах выглядит в виде х € [ -270°; 450°]. Легко видеть, что указанному промежутку принадлежат следующие значения: 30° и 150° при n = 0 и -210° и 390° при n =1.

Этот способ полезен для обучающихся, которые плохо оперируют с радианами.

2. Прием двойных неравенств (способ оценки):

Найти решение уравнения \[ \cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \] принадлежащие промежутку [-\pi;\pi).

\[ 4x+\frac{\pi}{4}=\pm\operatorname{arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}+2\pi k. \]

 \[ 4x+\frac{\pi}{4} = \pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, \\ x = -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.\end{array}\right. \] Из полученных серий выбираем только те ответы, которые принадлежат промежутку [-\pi;\pi). 

Воспользуемся для этого методом двойных неравенств ( k  и n — целые числа).

1) -\pi\leqslant\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}<\pi \Leftrightarrow -1\leqslant \frac{1}{8}+\frac{k}{2}<1\Leftrightarrow -\frac{9}{4}\leqslant k<\frac{7}{4}\Leftrightarrow k = -2,\,-1,\,0,\,1\Leftrightarrow x=-\frac{7\pi}{8},\,-\frac{3\pi}{8},\,\frac{\pi}{8},\,\frac{5\pi}{8}.

2) -\pi\leqslant -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}<\pi \Leftrightarrow -1\leqslant -\frac{1}{4}+\frac{k}{2}<1\Leftrightarrow-\frac{3}{4}\leqslant k<\frac{5}{4}\Leftrightarrowk = -1,\,0,\,1\Leftrightarrow x=-\frac{3\pi}{4},\,-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4}.

3. Способ движения по единичной окружности:


Решить уравнение \operatorname{tg}^2 x+\operatorname{tg} x+6=0.

Укажите корни, принадлежащие отрезке \left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right].

Решение. Ограничения на переменную x в этом уравнении: x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n. 

Используем замену переменной: t=\operatorname{tg} x.  Тогда уравнение принимает вид:

  \[ t^2+5t+6=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=-3, \\t=-2.\end{array}\right. \]

Переходим к обратной замене:

  \[ \left[\begin{array}{l}\operatorname{tg}x = -3,\\ \operatorname{tg}x = -2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\operatorname{arctg} 3+\pi k, \\ x=-\operatorname{arctg} 2+\pi n.\end{array}\right. \]

Осуществляем отбор решений с использованием единичной окружности.

Решение тригонометрического уравнения, содержащего тангенсы, с помощью единичной окружности

Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из этих серий: -\operatorname{arctg} 2-\pi, -\operatorname{arctg} 3-\pi.

Ответ: -\operatorname{arctg} 2-\pi, -\operatorname{arctg} 3-\pi.

Способ оценки двойного неравенства, способ движения по окружности, прием перевода в градусную меру - описанные выше, могут помочь при решении тригонометрических уравнений с выбором корней. В процессе обучения решению задач, в которых требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, с учениками следует обсудить разные способы выполнения этого действия, а также выяснить случаи, когда тот или иной способ может оказаться наиболее удобным или, наоборот, непригодным.


















Краткое описание документа:

В статье о приемах отбора корней тригономенрических уравнений описаны различные подходы отбора корней при решении тригонометрических уравнений на промежутке. 

Статья предназначена для учителей и обучающихся при подготовке к единому государственному экзамену по математике на профильном уровне.

В статье описаны приемы отбора корней тригонометрических уравнений, доступные как сильных обучающихся так и для обучающихся среднего уровня.

Рассматриваются: способ подбора в градусах и радианах, способ оценки двойного неравенства, прием движения по тригонометрической окружности.

 

Автор
Дата добавления 12.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров693
Номер материала 291883
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх