Статья на тему "Решение уравнений и неравенств".

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ В СТАРШИХ КЛАССАХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

ИКСАНОВА А. Ш., 2015 (РОССИЯ, ЯНАО, Г. НОВЫЙ УРЕНГОЙ)

SOLUTION OF EQUATIONS AND INEQUALITIES USING PROPERTIES

 OF MATHEMATICS in UPPER SECONDARY SCHOOL

 IKSANOVA A. H., 2015 (YAMAL-NENETS AUTONOMOUS DISTRICT, RUSSIA, NEW URENGOY)

Содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Одним из средств реализации требований программы и решения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов. На старшей ступени общего образования  особая роль при организации профильного обучения отводится элективным курсам, которые связаны с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника.

School of mathematics content does not comply with the requirements arising under modern conditions. One of the means of implementation of program requirements and solutions to existing problems is to move the school to the professional training and the introduction of elective courses. Upper secondary general education on "the special role of the profile of learning is the electic courses that relate to the satisfaction of the individual educational interests, needs and preferences of each student.

В настоящее время программа по математике для средней общеобразовательной школы, работающей по базисному учебному плану, предполагает формирование у школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры, как определенном методе познания мира [6]. Но на данный момент содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Объем знаний, необходимый человеку, резко возрастает, в то время как количество отводимых для занятий часов сокращается. Одним из средств реализации требований программы и решения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов. Согласно «Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования» [3] особая роль при организации профильного обучения отводится элективным курсам, которые связаны с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Их введение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса, при котором существенно расширяются возможности построения учащимися индивидуальных образовательных программ, поскольку элективные курсы в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Мотивами для выбора элективного курса у учеников могут быть следующие:

- подготовка к выпускным и вступительным экзаменам;

- поддержка изучения базового курса математики;

- заинтересованность математикой;

- профессиональная ориентация.

В элективные курсы преподаватель может включить материал, связанный с уравнениями и неравенствами. Он составляет значительную часть школьного курса математики, но временные рамки урока не позволяют рассмотреть все вопросы. Кроме того, обязательным минимумом содержания обучения математике, заданным государственным стандартом для основной школы, определен учебный материал для обязательного рассмотрения, но не для обязательного усвоения (например, нестандартные методы решения уравнений и неравенств, методы решения уравнений и неравенств с параметром и т.д.).

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятиями уравнений и неравенств, их изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию – линию уравнений и неравенств [5]. Существует три основных направления развертывания данной линии в школьном курсе математики.

- Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Уравнения и неравенства являются основной частью математических средств, используемых при решении текстовых задач.

- Теоретико-математическая направленность раскрывается в двух аспектах: в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем, и в изучении обобщенных понятий и методов относящихся к линии в целом.

- Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Линия уравнений и неравенств также тесно связана с функциональной линией. С одной стороны – применение методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции. С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств.

С каждым уравнением, неравенством связаны конструирующие их аналитические выражения. Последние в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких переменных. Поэтому присутствие функций, а точнее, их свойств, не может не влиять на решение задач такого рода. Просто в одних случаях мы как бы негласно используем свойства функций, в других явно ссылаемся на них. Порой «гласное» смещение акцентов в сторону свойств функций может оказать существенную пользу в поиске рациональных идей решения. Изученные свойства функций и методы их исследования должны найти применение в школе при решении уравнений, неравенств. В школьном курсе математики рассмотрение этих вопросов остается в стороне, но в ЕГЭ достаточно часто встречаются задания, решаемые с помощью применения свойств функций. Поэтому целесообразно этот материал вынести на элективные курсы по выбору.

«Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы»  актуальна, так как процесс обучение необходимо продолжить в элективных курсах.

Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его части определены на множестве M, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения или неравенства. Достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства).

Если множество M, на котором определены обе части уравнения (неравенства), окажется пустым множеством, то в этом случае уравнение (неравенство) решений не имеет [2], [31].

Пример 1. Решить уравнение 

ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям . Это значит, что ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, т. к. установлено, то ни одно число не может являться решением, т.е. уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет.

При решении неравенств иногда можно не находить ОДЗ, а решать неравенство переходом к равносильной ему системе неравенств, в которой либо одно из неравенств не имеет решений, либо знание его решения помогает решить систему неравенств.

Пример 2. Решить неравенство 

Нахождение ОДЗ неравенства есть трудная задача, поэтому перейдем к равносильной ему системе неравенств.

Третье неравенство имеет решение . Первое и второе неравенство справедливо лишь для x из промежутка . Поэтому этот промежуток является множеством решений системы.

Ответ: .

Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Это свойство при решении уравнений и неравенств используется чаще всего. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях [4], [7]:

Пусть f( x) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. Тогда уравнение вида f( x)= c , где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке.

Пусть f( x) и φ( x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда если f( x) монотонно возрастает, а φ( x) убывает, то уравнение f( x)=φ( x) имеет не более одного решения на этом промежутке.

Пусть функция f( x) возрастает на своей области определения. Тогда для решения неравенства f( x)> c достаточно решить уравнение f( x)= c . Если x ₀ – корень, то решениями неравенства будут значения , принадлежащие области определения f( x).

Рассмотрим на примерах, как используются эти утверждения.

Пример 3. Решить неравенство . Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии 0). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части - убывает. Из этого следует, что уравнение  имеет не более одного решения, причем если x ₀ – решение этого уравнения, то при будет , а решением данного неравенства будет . Значение  легко подбирается: .

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение 

Данное уравнение имеет очевидное решение . Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим . Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: .

Уравнения вида . При решении уравнений данного вида используются следующие утверждения [1], [2], [7]:

1) пусть область существования функции  есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение  будет равносильно системе ;

2) если множество M совпадает с R , то уравнения  и  равносильны;

В школе чаще пользуются не этой теоремой, а ее следствиями:

3) уравнение  равносильно системе (При условии, что );

4) для любого натурального числа 2 m уравнение  равносильно системе .

Заметим, что в этих двух системах любое из неравенств можно опустить.

Пример 5. Решить уравнение 

Данное уравнение равносильно системе . Уравнение имеет два корня . Неравенству удовлетворяет только первый корень. Следовательно система, а, значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение.

Ответ: .

При изучении уравнений в школе обращается внимание учащихся на нахождении области допустимых значений неизвестного. Однако в стороне остаются такие вопросы: если область допустимых значений неизвестного непустое множество, то всегда ли существует решение, какие необходимые условия его существования? Если существует решение, то нельзя ли сузить границы корней?

Дать ответы на эти вопросы можно, если использовать понятие области изменения функции (или область значений).

Пусть дано уравнение f( x)=  ,где f( x) и  - элементарные функции, определенные на множествах X₁ и X₂ . Тогда областью допустимых значений x для уравнения будет множество, состоящее из тех значений x , которые принадлежат обоим множествам, то есть A= X₁ ∩ X₂ . Если множество A пустое (A= ), то уравнение решений не имеет. Поэтому рассмотрим случай, когда A≠.

Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y₁ и Y₂ . Если x₁ является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x₁ )=  , где f( x₁ ) – значение функции f( x) при x= x₁ , а  значение функции  при x= x_1.

Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функции f( x) и  имеют общие элементы (Y₁ ∩ Y₂ ≠ ). Если же таких общих элементов множества Y₁ и Y₂ не содержат, то уравнение решений не имеет. Из того, что Y₁ ∩ Y₂ ≠ , еще не следует существование решения, ибо это есть только необходимое, а не достаточное условие. Эти рассуждения полезно подкрепить графиками [41].

Пусть дано неравенство f( x)≤  ,где f( x) и  - элементарные функции, определенные на множествах X₁ и X₂ , причем X₁ ∩ X₂ ≠. Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y₁ и Y₂ . Если промежуток  является решением неравенства, то для любого x из этого промежутка будет выполняться числовое неравенство f( a)≤  , где f( a) – значение функции f( x) при x= a , а  значение функции  при x= a_. Значит, если неравенство имеет решение, то области значений функции f( x) и  имеют общие элементы (Y₁ ∩ Y₂ ≠ ). Если же таких общих элементов множества Y₁ и Y₂ не содержат, то уравнение решений не имеет.

Знания учащихся о свойствах четных и нечетных функций, о периодических функциях становятся более глубокими и осознанными, если систематически использовать эти свойства при решении уравнений и неравенств. Кроме того, применение свойств четности или нечетности, периодичности функций способствует рационализации самих решений.

Пусть имеем уравнение или неравенство F (x )=0, F (x )>0 (F (x )<0), где F (x ) – четная или нечетная функция. Область определения такой функции симметрична относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная – равные по абсолютной величине, но противоположного знака значения.

Выводы:

1. Чтобы решить уравнение F (x )=0, где F (x ) – четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записать отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Для нечетной функции корнем будет x =0, если это значение входит в область определения F (x ). Для четной функции значение x =0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.

2. Чтобы решить неравенство F (x )>0 (F (x )<0), где F (x ) – четная функция, достаточно найти решения для x ≥0 (или x≤ 0). Действительно, если решением данного неравенства является промежуток (x₁ , x₂ ), где x₁ , x₂ – числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток ( ‑ x₂ , ‑ x₁ ).

3. Чтобы решить неравенство F (x )>0 (F (x )<0), F (x ) – нечетная функция, достаточно найти его решения для x >0 (или x<0). Действительно, функция F (x ) для любого x ≥0 (x≤ 0) из области ее определения может находиться с нулем в одном из трех отношений: «равно», «больше», «меньше». Следовательно, если нам известно, при каких значениях x F (x )≥0 (F (x )≤0), то нам будет известно, при каких значениях x F (x )>0 (F (x )<0) (оставшиеся значения x из области определения). Но если нам известны промежутки знакопостоянства функции F (x ) для x >0 (или x< 0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x <0 (x> 0).

Если функция F (x ) – периодическая, то решение уравнения F (x )=0 или неравенства F (x )>0 (F (x )<0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего записать общее решение. Если периодическая функция еще и четная или нечетная, то решение достаточно найти на промежутке, равном по длине половине периода [8].

Вывод. Анализ методической и математической литературы показал, что метод решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций используется в школьном курсе математики редко, а в заданиях ЕГЭ и на вступительных экзаменах почти каждый год предлагаются уравнения и неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.

Введение элективных курсов предоставит учащимся возможность, комбинируя их с базовыми и профильными предметами, выстроить индивидуальный маршрут получения полного среднего образования. Это позволит школьникам к окончанию учебного заведения выйти с разным уровнем подготовки как минимальным, так и максимально возможным.

В соответствии с изложенными целями, задачами, типами и требованиями к элективным курсам мною будет разработан элективный курс «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций».

Умение применять необходимые свойства функций при решении уравнений и неравенств позволит учащимся выбирать наиболее рациональный способ решения.

ПРИМЕЧАНИЕ:

1. Алгебра и начала анализа 11 класс [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений / С. М. Никольский [и др.]. ‑ М.: Просвещение.-2003. – 448с.

2.Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Ч. 1: Учебник для общеобразовательных учреждений. [Текст]: учебник / Под. ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2003.

3.Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования [Текст] // Стандарты и мониторинг в образовании. – 2002. – № 5.

4.Лященко, Е. И. Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы [Текст]: книга для учителя / Е. И. Лященко. – Минск.: Народная асвета,1970. – 175 с.

5.Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: учебное пособие / А. Я. Блох, В. А. Гусев [и др.]; сост. В. И. Мишин. – М.:Просвещение,1987. – 416 с.

6.Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика. 5-11 классы [Текст] / Сост. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. - М.: Дрофа.-2004. – 320 c.

    7.Олехник, С. Н. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы [Текст]: учебно-методическое пособие / С. Н. Олехник [и др.]. – М.: Дрофа, 2004. – 192 с.

8.Шунда, Н. Н. Об использовании свойств функции при решении уравнений и неравенств [Текст] / Н. Н. Шунда //Математика в школе. – 1970. ‑ №3. – с. 61-64.