- 24.03.2015
- 1013
- 0
Применение наименьшего общего кратного для решения задач.
При решении типовых задач по темам «Средняя скорость» и «Совместная работа» ученикам часто приходится принимать весь пройденный путь или всю выполненную работу за единицу, а потом работать с дробями. При этом возникают трудности как логического, так и вычислительного порядка. Попробуем избавиться от промежуточных дробей при решении задач данных типов.
Вспомним о существовании арифметических приемов решения, и используем понятие общего кратного, не обязательно наименьшего. При решении мы не будем параллельно разбирать традиционный (дробный) способ решения.
Такие задачи мы с учениками успешно решали на факультативе уже в 5 классе, при этом ставился вопрос: «Какое же число делится и на … и на …?». Понятие общего кратного при этом не вводили.
Ещё одна причина освежить в памяти данный способ решения – включение задач данного типа в тестовую часть ОГЭ/ЕГЭ, что позволяет не объяснять ход решения.
Рассмотрим решение нескольких типовых задач.
|
Задача 1 |
Миша вскапывает грядку за 15 минут, Гриша — за 30 минут. За какое время они вдвоем вскопают эту грядку? |
Решение:
Пусть огород содержит любое нужное нам количество одинаковых грядок и Миша и Гриша работают, не прерываясь. Тогда за 30 мин. Миша вскопает 2 грядки, а Гриша одну. Следовательно, вдвоем за 30 мин они вскопают три грядки и остается только определить искомое время – 10 мин. ( Ставим ученикам наводящий вопрос: «В какой момент времени с начала работы мальчики одновременно закончат очередную грядку?»)
Ответ : 10 мин
Ну как же обойтись без бассейнов?
|
Задача 2 |
Широкая труба наполняет бассейн за полчаса (30 мин), узкая — за два с половиной часа(150 мин). За какое время наполнят бассейн обе трубы, работая вместе? |
Решение:
Пусть бассейнов достаточное количество и широкую трубу можно переключать в любой из них без потери воды. Тогда за два с половиной часа (150 мин) широкая труба наполнит пять бассейнов , а узкая - один. Таким образом время заполнения одного бассейна при совместном включении труб составляет t=150:6, т.е. 25 минут.
Ответ : 25 минут.
|
Задача 3 |
Одна труба наполняет бассейн за 5 часов, а другая опорожняет его за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн, если включить обе трубы одновременно? |
Решение:
Пусть бассейнов достаточно много ( и пустых и полных) и в каждом из них смонтированы трубы, удовлетворяющие условию задачи. Будем последовательно подключать «первые трубы» к пустым бассейнам и «вторые»- к полным. Заметим, что НОК(5;6)=30. Тогда за 30 часов первая труба наполнит 6 бассейнов, а вторая опорожнит 5 бассейнов. Разность этих чисел как раз и даёт полный бассейн.
Ответ : 30 часов
|
Задача 4 |
Одна бригада рабочих может построить дом за месяц, другая — за два месяца, третья — за три месяца. Успеют ли эти бригады, объединившись, построить дом за полмесяца? |
Решение:
Пусть бригады работают без устали, тогда за 6 месяцев (НОК(1;2;3)=6) они построят: 1 бригада – 6 домов, 2-я бригада - 3 дома и третья - один. Итого – 10 домов за 6 месяцев, и на один дом требуется 0,6 месяца, т.е. в отведенный срок объединенная бригада не успеет.
Ответ : Не успеет
В разобранных задачах вычислялся результат совместной деятельности, но при аккуратном применении НОК можно определять и вклад одного из «трудящихся».
|
Задача 5 |
Лошадь и овца съедают стог сена за 8 дней. Лошадь в одиночку съедает его за 12 дней. За сколько дней съест стог сена одна овца? |
Решение:
Пусть стог сена не один и животные имеют постоянный аппетит. За 24 дня (НОК(8;12)=24) «одинокая» лошадь съест 2 стога, а упряжка «лошадь и овца» съест 3 стога (из них лошадь съест два). Мысленно разъединим лошадь и овцу. Теперь едоки - две лошади и овца. Так как из пяти съеденных за 24 дня стогов четыре приходятся на лошадей, то на овцу остается один стог сена .
Ответ : за 24 дня.
|
Задача 6 |
В одиночку мастер выполняет задание за 4 часа, а вместе с учеником — за 3 часа. За какое время сможет выполнить это задание один ученик? |
Решение:
Рассуждая аналогично предыдущему случаю , подсчитаем, что за 12 часов мастер и бригада «мастер и ученик» выполнят 7 заданий. Так как формально мастеров два, то их доля составляет 6 заданий (12:4х2). Следовательно, ученик задание выполнит за 12 часов.
Ответ : 12 часов
И наконец , популярная задача из пробных работ ОГЭ и ЕГЭ
|
Задача 7 |
Маша и Настя могут вымыть окно за 20 мин. Настя и Лена могут вымыть это же окно за 15 мин, а Маша и Лена – за 12 мин. За какое время девочки вымоют окно, работая вместе? Ответ дайте в минутах. |
Решение:
Пусть окон достаточно много и энтузиазм девочек не угасает.
Тогда за 60 мин (НОК(12 ;15 и 20)=60) :
Маша и Настя могли бы вымыть 3 окна;
Настя и Лена – 4 окна;
Маша и Лена – 5 окон.
Таким образом, две бригады Маша+Лена+Настя за час вымыли бы 12 окон, т.е. на одно окно у них было бы потрачено 60 : 12 = 5 (мин), и одна бригада вымыла бы его за 10 мин.
Ответ : 10 мин
Разберем задачу на определение средней скорости.
|
Задача 8 |
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью V1 =54 км/час, а вторую – со скоростью V2= 36 км/час. Найти среднюю скорость автомобиля на всем протяжении пути. |
Решение:
Вычисление средней скорости приводит к необходимости введения сокращающейся впоследствии переменной – длины пути (или, что удобнее – половины длины пути) или принятию всего пути за единицу.
Если принять за S длину половины пройденного пути, то вычисление средней скорости сведется к преобразованию выражения:
.
Преобразование подобных «многоэтажек» у учеников не всегда получается, да и не все достаточно хорошо владеют физической идеей будущего сокращения введенной переменной.
Попробуем обеспечить целое число в знаменателе. Понятно, что для этого S должно быть равным НОК (54 ; 36) т.е S = 108 км.
Тогда время прохождения первой половины пути S равно
t 1= 108:54, t 1= 2 ч , а второй половины пути t 2=108:36, t 2=3 ч. Следовательно, t 1+t 2= 5 ч. Таким образом дистанцию 2S=216 км (полный путь) автомобиль проходит за 5 ч и его средняя скорость равна Vcp= 216 : 5;
Vcp= 43,2 км/ч.
Ответ : Vcp= 43,2 км/ч.
Данный вариант решения идейно достаточно прост, конкретен и не требует введения переменой с надеждой её сокращения. Увеличение количества участков пути не слишком усложняет задачу.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В статье актуализируется способ решения задач по темам "Совместная работа" и "Средняя скорость движения". Задачи по этим темам появляются в материалах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. Традиционный способ решения представляет затруднения для средних учеников, приводя к действиям с дробями, введению переменных, которые потом должны сократиться или же к нормированию пути и работы на единицу.
Разобраны решения ряда традиционных задач - грядки, окна, бассейны...
Данные задачи ученики успешно решали на факультативах в 5-6 классах, вспоминали при подготовке к ГИА и ЕГЭ. Основное преимущество - переход к работе с целыми числами вместо дробей.
6 656 307 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Зайко Валерий Алексеевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.