Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Другое / Другие методич. материалы / Статья по математике на тему : "Арифметический способ решения задач на совместную работу и вычисление средней скорости"

Статья по математике на тему : "Арифметический способ решения задач на совместную работу и вычисление средней скорости"

  • Другое

Поделитесь материалом с коллегами:

Применение наименьшего общего кратного для решения задач.


При решении типовых задач по темам «Средняя скорость» и «Совместная работа» ученикам часто приходится принимать весь пройденный путь или всю выполненную работу за единицу, а потом работать с дробями. При этом возникают трудности как логического, так и вычислительного порядка. Попробуем избавиться от промежуточных дробей при решении задач данных типов.

Вспомним о существовании арифметических приемов решения, и используем понятие общего кратного, не обязательно наименьшего. При решении мы не будем параллельно разбирать традиционный (дробный) способ решения.

Такие задачи мы с учениками успешно решали на факультативе уже в 5 классе, при этом ставился вопрос: «Какое же число делится и на … и на …?». Понятие общего кратного при этом не вводили.

Ещё одна причина освежить в памяти данный способ решения – включение задач данного типа в тестовую часть ОГЭ/ЕГЭ, что позволяет не объяснять ход решения.


Рассмотрим решение нескольких типовых задач.

Задача 1

Миша вскапывает грядку за 15 минут, Гриша — за 30 минут. За какое время они вдвоем вскопают эту грядку?

Решение:

Пусть огород содержит любое нужное нам количество одинаковых грядок и Миша и Гриша работают, не прерываясь. Тогда за 30 мин. Миша вскопает 2 грядки, а Гриша одну. Следовательно, вдвоем за 30 мин они вскопают три грядки и остается только определить искомое время – 10 мин. ( Ставим ученикам наводящий вопрос: «В какой момент времени с начала работы мальчики одновременно закончат очередную грядку?»)

Ответ : 10 мин


Ну как же обойтись без бассейнов?

Задача 2

Широкая труба наполняет бассейн за полчаса (30 мин), узкая — за два с половиной часа(150 мин). За какое время наполнят бассейн обе трубы, работая вместе?

Решение:

Пусть бассейнов достаточное количество и широкую трубу можно переключать в любой из них без потери воды. Тогда за два с половиной часа (150 мин) широкая труба наполнит пять бассейнов , а узкая - один. Таким образом время заполнения одного бассейна при совместном включении труб составляет t=150:6, т.е. 25 минут.

Ответ : 25 минут.


Задача 3

Одна труба наполняет бассейн за 5 часов, а другая опорожняет его за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн, если включить обе трубы одновременно?


Решение:

Пусть бассейнов достаточно много ( и пустых и полных) и в каждом из них смонтированы трубы, удовлетворяющие условию задачи. Будем последовательно подключать «первые трубы» к пустым бассейнам и «вторые»- к полным. Заметим, что НОК(5;6)=30. Тогда за 30 часов первая труба наполнит 6 бассейнов, а вторая опорожнит 5 бассейнов. Разность этих чисел как раз и даёт полный бассейн.

Ответ : 30 часов


Задача 4

Одна бригада рабочих может построить дом за месяц, другая — за два месяца, третья — за три месяца. Успеют ли эти бригады, объединившись, построить дом за полмесяца?

Решение:

Пусть бригады работают без устали, тогда за 6 месяцев (НОК(1;2;3)=6) они построят: 1 бригада – 6 домов, 2-я бригада - 3 дома и третья - один. Итого – 10 домов за 6 месяцев, и на один дом требуется 0,6 месяца, т.е. в отведенный срок объединенная бригада не успеет.

Ответ : Не успеет

В разобранных задачах вычислялся результат совместной деятельности, но при аккуратном применении НОК можно определять и вклад одного из «трудящихся».


Задача 5

Лошадь и овца съедают стог сена за 8 дней. Лошадь в одиночку съедает его за 12 дней. За сколько дней съест стог сена одна овца?


Решение:

Пусть стог сена не один и животные имеют постоянный аппетит. За 24 дня (НОК(8;12)=24) «одинокая» лошадь съест 2 стога, а упряжка «лошадь и овца» съест 3 стога (из них лошадь съест два). Мысленно разъединим лошадь и овцу. Теперь едоки - две лошади и овца. Так как из пяти съеденных за 24 дня стогов четыре приходятся на лошадей, то на овцу остается один стог сена .

Ответ : за 24 дня.




Задача 6

В одиночку мастер выполняет задание за 4 часа, а вместе с учеником — за 3 часа. За какое время сможет выполнить это задание один ученик?

Решение:

Рассуждая аналогично предыдущему случаю , подсчитаем, что за 12 часов мастер и бригада «мастер и ученик» выполнят 7 заданий. Так как формально мастеров два, то их доля составляет 6 заданий (12:4х2). Следовательно, ученик задание выполнит за 12 часов.

Ответ : 12 часов


И наконец , популярная задача из пробных работ ОГЭ и ЕГЭ

Задача 7

Маша и Настя могут вымыть окно за 20 мин. Настя и Лена могут вымыть это же окно за 15 мин, а Маша и Лена – за 12 мин. За какое время девочки вымоют окно, работая вместе? Ответ дайте в минутах.

Решение:

Пусть окон достаточно много и энтузиазм девочек не угасает.

Тогда за 60 мин (НОК(12 ;15 и 20)=60) :

Маша и Настя могли бы вымыть 3 окна;

Настя и Лена – 4 окна;

Маша и Лена – 5 окон.

Таким образом, две бригады Маша+Лена+Настя за час вымыли бы 12 окон, т.е. на одно окно у них было бы потрачено 60 : 12 = 5 (мин), и одна бригада вымыла бы его за 10 мин.

Ответ : 10 мин




Разберем задачу на определение средней скорости.

Задача 8

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью V1 =54 км/час, а вторую – со скоростью V2= 36 км/час. Найти среднюю скорость автомобиля на всем протяжении пути.

Решение:

Вычисление средней скорости приводит к необходимости введения сокращающейся впоследствии переменной – длины пути (или, что удобнее – половины длины пути) или принятию всего пути за единицу.

Если принять за S длину половины пройденного пути, то вычисление средней скорости сведется к преобразованию выражения:

hello_html_m1192cfa5.gif.

Преобразование подобных «многоэтажек» у учеников не всегда получается, да и не все достаточно хорошо владеют физической идеей будущего сокращения введенной переменной.

Попробуем обеспечить целое число в знаменателе. Понятно, что для этого S должно быть равным НОК (54 ; 36) т.е S = 108 км.

Тогда время прохождения первой половины пути S равно

t 1= 108:54, t 1= 2 ч , а второй половины пути t 2=108:36, t 2=3 ч. Следовательно, t 1+t 2= 5 ч. Таким образом дистанцию 2S=216 км (полный путь) автомобиль проходит за 5 ч и его средняя скорость равна Vcp= 216 : 5;

Vcp= 43,2 км/ч.

Ответ : Vcp= 43,2 км/ч.

Данный вариант решения идейно достаточно прост, конкретен и не требует введения переменой с надеждой её сокращения. Увеличение количества участков пути не слишком усложняет задачу.

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

В статье актуализируется способ решения задач по темам "Совместная работа"  и "Средняя скорость движения". Задачи по этим темам появляются в материалах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. Традиционный способ решения представляет затруднения для средних учеников, приводя к действиям с дробями, введению переменных, которые потом должны сократиться или же к нормированию пути и работы на единицу.

Разобраны решения ряда традиционных задач - грядки, окна, бассейны...

Данные задачи ученики успешно решали на факультативах  в 5-6 классах, вспоминали при  подготовке к ГИА и ЕГЭ. Основное преимущество - переход к работе с целыми числами вместо дробей.

Автор
Дата добавления 24.03.2015
Раздел Другое
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров556
Номер материала 456023
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх