Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья: "Задачи с параметрами"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Статья: "Задачи с параметрами"

библиотека
материалов

hello_html_m16d53dc7.gifhello_html_m16d53dc7.gifhello_html_m16d53dc7.gifЗнакомство с параметром


Ахметова Галия Зейнуллаевна

преподаватель РСФМШИ


Известно, что в программах математики для неспециализированных школ задачам с параметром отводится незначительное место. Поэтому, в первую очередь, рассмотрим задачи, в которых всеобще присутствует сама идея параметра.

С параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Не приводя подробных определений, рассмотрим в качестве примеров следующие:

-функция прямая пропорциональность: hello_html_m40d6248b.gif (hello_html_m1f4bf468.gif переменные,hello_html_m5a5bba44.gifпараметр, hello_html_m1e0d9926.gif);

-линейное уравнение: hello_html_41c4f762.gif (hello_html_351f2f1d.gif переменная,hello_html_m61117fef.gifпараметры);

-квадратное уравнение: hello_html_m34331823.gif (hello_html_351f2f1d.gif переменная,hello_html_fe1829a.gifпараметры, hello_html_mac37352.gif);

К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Но это многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственный характер. Во-первых, предполагаемая неизвестность позволяет обращаться параметром как с числом, во-вторых, степень свободы обращения ограничивается его неизвестностью.

При первом знакомстве с параметром – это необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относится: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.

Рассмотрим следующие примеры:

  1. Сравнить hello_html_m57e01ec4.gif

Решение: Если hello_html_m266c99ef.gif ,то hello_html_498f8722.gif

Если hello_html_2c54cabd.gif ,то hello_html_af801a6.gif

Если hello_html_m25646f4b.gif ,то hello_html_m6d4b69e0.gif

  1. Решить уравнение: hello_html_7aa6380b.gif.

Решение: 1)hello_html_2c3bde27.gif ,уравнение примет видhello_html_6cc3ac6f.gif ,и не имеет решений;

2)hello_html_m7dbb545e.gif ,получаем hello_html_m3fe25d3d.gifx - любое число;

3)hello_html_58503fdd.gif ,имеем hello_html_e1d213a.gif .

Ответ: Еслиhello_html_m7dbb545e.gif ,то x - любое;

hello_html_2c3bde27.gif, то нет решений;

hello_html_58503fdd.gif,то hello_html_e1d213a.gif .

  1. Решить неравенство hello_html_d2796ef.gif.

Решение: Рассмотрим три случая: hello_html_m48211376.gif

Ответ: Если hello_html_m266c99ef.gif ,то hello_html_m98e2290.gif;

hello_html_2c54cabd.gif,то hello_html_m4f3a936b.gif- любое;

hello_html_m25646f4b.gif,то hello_html_m4e758fda.gif.

  1. Решить уравнение: hello_html_m2f6e816d.gif.

Решение: Это уравнение равносильно системе hello_html_5acd4bdb.gif hello_html_m944bc10.gif

При hello_html_mac37352.gifвторое уравнение системы, а значит, и сама система, имеет единственное решение х=1. Если а=0, то из II-го уравнения получим, что х – любое. Система имеет два решения: х=1 или х=-1.

Ответ: Если hello_html_mac37352.gif ,то hello_html_m1c7b9ae5.gif;

Если hello_html_2c54cabd.gif ,то hello_html_m13cfdc8b.gif.

  1. Решить уравнение hello_html_m7aff5cf7.gif.

Решение: hello_html_m2f2eca39.gif – единственный корень;

hello_html_5c14b35.gif, значитhello_html_49000510.gif.

Ответ: Еслиhello_html_49000510.gif ,то x=a;

Если hello_html_2c3bde27.gif , то нет решений.

  1. Решить неравенство: hello_html_7c961e61.gif

Решение: Ответ зависит от знака двучлена a-1. ОДЗ: hello_html_1a08072b.gif.

При hello_html_m77bf8f6e.gif, то hello_html_1a08072b.gif. При a>1, то левая часть неравенства неотрицательна, поэтому в этом случае x=0.

Ответ: Еслиhello_html_m77bf8f6e.gif ,то xhello_html_m30bfbdb1.gif 0,

Если hello_html_7db4e636.gif , то hello_html_6f34565d.gif.

  1. Решить уравнение: hello_html_m46113823.gif

Решение: Данное уравнение равносильно системе

hello_html_m649eedfb.gifx=a, a- любое число; x=1, при ahello_html_m264f3159.gif.

Ответ: Если hello_html_7ebc1092.gif ,то hello_html_m2f2eca39.gif или x=1;

Если hello_html_2c3bde27.gif ,то hello_html_m4f3a936b.gif=1;

Если hello_html_7db4e636.gif ,то hello_html_m2f2eca39.gif.

Из этих примеров можно видеть, что во-первых, искомые значения x выступали как зависимая переменная, а параметр независимый. Поэтому решение зависит от определяемых значений параметра. Во-вторых, не ясно, повлияет ли присутствие параметра на ход решения.

Теперь рассмотрим задачи, где за счет параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то подмножество действительных чисел и др.

Примеры:

1.При каких a неравенство hello_html_m2c11e8c1.gif имеет единственное решение?

Решение: При hello_html_24f51e42.gif получим hello_html_6fe1a41c.gif, имеющее единственное решение. Если hello_html_m74723507.gif, решением неравенства будет отрезок.

Ответ: hello_html_24f51e42.gif.


2.При каких а уравнение hello_html_m55e590db.gif имеет единственное решение?

Решение: В этом случае не обязательно считать данное уравнение уранвение только квадратным.

а) а=0, то х=3.

б) если hello_html_mac37352.gif, то имеем дело с квадратным уравнение. Его дискриминант D=1-12a.

hello_html_7234560e.gifhello_html_mac32ce7.gif, то уравнение имеет единственное решение.

Ответ: hello_html_2c54cabd.gif или hello_html_mac32ce7.gif.


3. При каких hello_html_m8f522f9.gif уравнение hello_html_3f8ade16.gif имеет единственное решение?

Решение: Если hello_html_m49ef0da9.gif hello_html_24f51e42.gif, уравнение не имеет решений;

бhello_html_m7c48e444.gif hello_html_m74723507.gif,то данное уравнение квадратное и искомые значения параметра – корни дискриминант.

D=hello_html_5f54cba.gif

hello_html_aef2bd6.gif;

hello_html_40fb5cd8.gif. Так как hello_html_24f51e42.gif не подходит, то hello_html_m11838716.gif.

Ответ: hello_html_m11838716.gif.

4. При каких hello_html_m8f522f9.gifуравнение hello_html_2b4b7a00.gif имеет более одного корня?

Решение: hello_html_m49ef0da9.gifПри hello_html_2c54cabd.gif уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию;

бhello_html_m7c48e444.gifпри hello_html_mac37352.gif, квадратное уравнение имеет два корня, если его дискриминант hello_html_m35a016e5.gif – положительный. Отсюда получаем hello_html_53a7678c.gif. В этот промежуток входит число 0, которое не удовлетворяет условию.

Ответ: hello_html_2343da1c.gif или hello_html_m6309732.gif.

5. При каких hello_html_m8f522f9.gifуравнение hello_html_md2e3a88.gif имеет более одного корня?

hello_html_m49ef0da9.gifпри hello_html_2c54cabd.gif, уравнение имеет единственное решение , при hello_html_m9f169e4.gif, решением уравнения является действительное число.

бhello_html_m7c48e444.gifпри hello_html_48ff0cc8.gifu разделив обе части на hello_html_m4e431cf5.gif, получим квадратное уравнение hello_html_1e28120a.gif, hello_html_6fcdb1ed.gif при hello_html_m409203.gif. Из промежутка hello_html_5a5a0a7.gif надо исключить точку hello_html_3ebe16e0.gifи включить hello_html_m9f169e4.gif.

Ответ: hello_html_m9f169e4.gif, или hello_html_m7e475238.gif или hello_html_m25646f4b.gif.

6. При каких hello_html_m8f522f9.gifуравнение hello_html_m2e269bab.gif имеет единственное решение?

Решение: Данное уравнение равносильно системе hello_html_b46f0ec.gif

Имеем из 1-го уравнения hello_html_4069ad15.gif, hello_html_3440f268.gif, если hello_html_5e2b22df.gif, hello_html_m39be9756.gif - корень уравнения hello_html_m1dee2304.gif при hello_html_m12926f48.gif, причем при таком значении hello_html_m8f522f9.gif второй корень квадратного уравнения отличен от -3.

Ответ: hello_html_5e2b22df.gif или hello_html_m12926f48.gif.

Для самостоятельного решения предлагаем следующие упражнения:

Решить уравнения:

    1. hello_html_m53b15450.gif


    1. hello_html_3d5fd898.gif


    1. hello_html_m745f5a86.gif


    1. hello_html_m3cd16e2a.gif


    1. hello_html_m77c49ea6.gif

    2. hello_html_6f9c0c4b.gif


    1. hello_html_dc4ea31.gif

    2. hello_html_1a538028.gif

    3. hello_html_3135c894.gif

    4. hello_html_6aa456ad.gif



Решить неравенства:

1.11.hello_html_m524b426a.gif

1.12.hello_html_2f5e6356.gif

    1. hello_html_m12a9c7bc.gif

1.14.hello_html_6c52f686.gif

1.15.hello_html_m52841172.gif

1.16. При каких hello_html_m8f522f9.gif уравнение hello_html_4018822.gif имеет единственное решение?

1.17. При каких hello_html_m8f522f9.gif уравнение hello_html_m8f522f9.gif)hello_html_m7c4f94dd.gif

б) hello_html_m7fb9ce67.gif имеет более одного решения?

1.18. При каких hello_html_m8f522f9.gif уравнение hello_html_3080933f.gif имеет единственное решение?

1.19. При каких hello_html_m8f522f9.gif неравенство hello_html_5829f997.gif имеет единственное решение?

1.20. Найти все значения hello_html_m8f522f9.gif, при которых уравнение hello_html_m2d8f2c02.gif имеет единственное решение?

Ответы:

    1. Если hello_html_2ac4ed7c.gif, то hello_html_m4f3a936b.gif- любое; если hello_html_24f51e42.gif, то решений нет; если hello_html_m778f2453.gif, то hello_html_m31841bb5.gif.

    2. Если hello_html_2c3bde27.gif, то hello_html_m4f3a936b.gif- любое; если hello_html_m11838716.gif, то решений нет; если hello_html_49000510.gif и hello_html_m4f62cd42.gif, то hello_html_m6e091c68.gif.

    3. Если hello_html_2ac4ed7c.gif, то решений нет; если hello_html_19b3fbf5.gif, то hello_html_m14b55a82.gif.

    4. Если hello_html_m9f169e4.gif, то решений нет; если hello_html_61feebdf.gif, то hello_html_m2f2eca39.gif.

    5. Если hello_html_2c54cabd.gif, то решений нет; если hello_html_mac37352.gif, то hello_html_75313291.gif.

    6. Если hello_html_2c3bde27.gif, то hello_html_554b3652.gif; если hello_html_m1946d7eb.gif, то hello_html_mf135353.gifесли hello_html_49000510.gif и hello_html_m1037ba13.gif, то hello_html_m1c7b9ae5.gif или hello_html_554b3652.gif.

    7. Если hello_html_2c54cabd.gif, то hello_html_c8f3c22.gif или hello_html_m4f3a936b.gif>2; если hello_html_24f51e42.gif, то решений нет; hello_html_mac37352.gif и hello_html_m74723507.gif, то hello_html_m2f2eca39.gif.

    8. Если hello_html_m266c99ef.gif, то решений нет ; если hello_html_3d4a421b.gif, то hello_html_6a0343d.gif.

    9. Если hello_html_m77bf8f6e.gif, то hello_html_m1c7b9ae5.gif; если hello_html_7db4e636.gif, то hello_html_m1c7b9ae5.gif или hello_html_m2f2eca39.gif.

    10. Если hello_html_2c54cabd.gif, то hello_html_554b3652.gif; если hello_html_m1037ba13.gif, то нет решений.

    11. Если hello_html_m266c99ef.gif, то hello_html_3544ff8f.gif; если hello_html_2c54cabd.gif, то нет решений, если hello_html_m25646f4b.gif, то hello_html_292adac8.gif.

    12. Если hello_html_m266c99ef.gif, то hello_html_m21f19753.gif; если hello_html_2c54cabd.gif, то нет решений, если hello_html_m25646f4b.gif, то hello_html_m226c1eee.gif.

    13. Если hello_html_2c54cabd.gif, то hello_html_6f34565d.gif; если hello_html_mac37352.gif, то нет решений.

    14. Если hello_html_m1263aa90.gif, hello_html_m381744a4.gif; hello_html_1aec5927.gif, то hello_html_d86a84b.gif или hello_html_7490ae3.gif.

    15. Если hello_html_m25646f4b.gif, то hello_html_6f34565d.gif или hello_html_168de62b.gif; если hello_html_m1c837c9e.gif, то hello_html_168de62b.gif.

    16. hello_html_m50881fd9.gifили hello_html_5c86c416.gif13.

    17. hello_html_m7558d8e3.gifили hello_html_m3a6361bf.gif; б) hello_html_2ac4ed7c.gif, или hello_html_mb6b0ecc.gif, или hello_html_m25646f4b.gif.

    18. hello_html_m50b2cea6.gif.

    19. hello_html_1bf7c542.gif.

    20. hello_html_m455bc06e.gifили hello_html_m266c99ef.gif.






Краткое описание документа:

В статье: "Задачи с параметрами"предлагается подборка задач с параметрами, которые могут быть использованы учителямидля дифференцированной работы с учениками различного уровня подготовки. Представленные решения могут служить основой для решения разнообразного типа других задач. Цель предлагаемой статьи состоит в том, чтобы помочь желающим научиться решать задачи с параметрами. Важно помнить, что при решении задач с параметрами надо производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему задачи.

Думаю, что приведенные задания вызовут интерес у учителей, учащихся 

 

Автор
Дата добавления 09.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров310
Номер материала 376334
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх