Степенная функция, её свойства и график.

10 класс

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенной называется функция, заданная формулой   где , p – некоторое действительное число.

I. Показатель   - чётное натуральное число. Тогда степенная функция   где n – натуральное число, обладает следующими свойствами: 

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел:  D(y)=(−; +).

2) Область значений функции – множество неотрицательных чисел, если :

                                                       множество неположительных чисел, если :

3) ). Значит, функция  является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.

4) Если , то функция убывает при х  (- ; 0] и возрастает при х  [0; + ).

    Если , то функция возрастает при х  (- ; 0] и убывает при х  [0; + ).

Графиком степенной функции  с чётным натуральным показателем является парабола п-ой степени, симметричная относительно оси ординат, с вершиной в начале координат (в точке ), ветви которой направлены вверх, если ,  и вниз, если . График этой функции получается из графика функции  растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным натуральным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

                                       

II. Показатель   - нечётное натуральное число. Тогда степенная функция   где n – натуральное число, обладает следующими свойствами: 

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел: D(y)=(−; +).

2) Область значений функции – множество всех действительных чисел:     Е(y) = (−; +).

3)  Значит, функция  является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

4) Если , функция возрастает при х  (- ; +).

    Если , функция убывает при х  (- ; +).

Графиком степенной функции  с нечётным натуральным показателем  является парабола п-ой степени с вершиной в начале координат (точке (0;0)), симметричная относительно начала координат, ветви которой расположены в I и III четвертях, если ; и во II и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции  растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным натуральным показателем, а на правом – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
   

III. Показатель   - чётное целое отрицательное число. Тогда степенная функция           где n – натуральное число, обладает следующими свойствами: 

1) Область определения функции: .

2) Область значений функции - множество всех положительных чисел, если : Е(y) =(0; +);          

                                                       множество всех отрицательных чисел, если :  Е(y) =(-; 0).         

3)  Значит, функция  является чётной, её график симметричен относительно оси Оу.

4) Если , функция возрастает при х  (- ; 0), убывает при х  (0; + ).

    Если  функция убывает при х  (- ; 0), возрастает при  х  (0; + ).

Графиком степенной функции  является гипербола п-ой степени, симметричная относительно оси  Оу, не пересекающая оси координат и её ветви расположены в I и II четвертях, если  , и в III и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции   растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На первом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным целым отрицательным показателем, а на втором рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

IV. Показатель   - нечётное целое отрицательное число. Тогда степенная функция           где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:   

1) Область определения функции:

2) Область значений функции:     

3)  Значит, функция  является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

4) Если , функция убывает при х  .

    Если , функция возрастает при  х  .

Графиком степенной функции  является гипербола п-ой степени, симметричная относительно начала координат, не пересекающая оси координат и его ветви расположены в I и III четвертях, если  , и во II и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции    растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным целым отрицательным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.       

V. Показатель  – положительная правильная дробь . Тогда степенная функция  где m – целое положительное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами: 

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:  

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :  

                                                      множество неположительных чисел, если : .

3) Функция  не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

4) Если , функция возрастает при х  ;

    Если , функция убывает при  х .

График степенной функции  расположен в I четверти, если  , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции   растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

VI. Показатель  – положительная неправильная дробь . Тогда степенная функция  где m – целое положительное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами: 

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:  

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :  

                                                      множество неположительных чисел, если : .

3) Функция  не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

4) Если , функция возрастает при х  ;

    Если , функция убывает при  х .

График степенной функции  расположен в I четверти, если  , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции   растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

VII. Показатель  – отрицательная правильная дробь . Тогда степенная функция  где m – целое отрицательное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами: 

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:  

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :  

                                                      множество неположительных чисел, если : .

3) Функция  не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

4) Если , функция убывает при х  ;

    Если  функция возрастает при  х .

График степенной функции  расположен в I четверти, если  , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции   растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

VIII. Показатель  – отрицательная неправильная дробь . Тогда степенная функция  где m – целое отрицательное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами: 

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:  

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :  

                                                      множество неположительных чисел, если : .

3) Функция  не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

4) Если  функция убывает при х  ;

    Если  функция возрастает при  х .

График степенной функции  расположен в I четверти, если  , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции   растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

Краткое описание документа:

Данная разработка предназначена для учащихся 10-11 классов. Материал содержит определения степенной функции с различными вариантами показателя (8 вариантов). Для каждого такого случая определены свойства, вид графика и правила построения графика. Представлены примеры графиков со смещением и сжатием.