Структура профильного экзамена по математике в 2016 году с вариантом задач и подробным решением

Структура и образцы заданий ЕГЭ-2016 (профиль) по математике

Окончательная версия ЕГЭ по математике 2016 состоит из 19 задач, разделенных на две части:

Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня (задания 1–8). Часть 2 содержит 9 заданий повышенного уровня (задания 9–17) и 2 задания высокого уровня сложности (задания 18, 19).

Распределение заданий по уровню сложности

Уровень сложности заданий	Количество заданий	Максимальный первичный балл	Процент максимального первичного балла за выполнение заданий данного уровня сложности от максимального первичного балла за всю работу, равного 32
Базовый	8	8	25
Повышенный	9	16	50
Высокий	2	8	25

1-12 простые задачи, в которых требуется указать ответ. Заметим, что последние задачи не такие уж и простые. Например,10 - это задача на умение работать с формулами, где как показывает опыт, учащиеся допускают много ошибок, 11 — это текстовая задача, которая традиционно считается «продвинутой». Дальше идет 12 — задача на производную, виды которой очень разнообразны, и для каждой требуется собственный алгоритм решения;

13-19 сложные задачи, причем с каждым номером сложность нарастает. Простого ответа здесь уже недостаточно — нужно полное решение. Эти задачи рассчитаны на сильных учеников, хотя, к примеру, 13 вполне по зубам любому человеку.

Из первой части исключены два задания: задание практико-ориентированной направленности базового уровня сложности и задание по стереометрии повышенного уровня сложности. Максимальный первичный балл уменьшился с 34 до 32 баллов.

Правильное решение каждого из заданий 1–12 оценивается 1 баллом. Задание считается выполненным верно, если экзаменуемый дал правильный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Решения заданий с развернутым ответом оцениваются от 0 до 4 баллов. Полное правильное решение каждого из заданий 13–15 оценивается 2 баллами; каждого из заданий 16 и 17 – 3 баллами; каждого из заданий 18 и 19 – 4 баллами. Проверка выполнения заданий 13–19 проводится экспертами на основе разработанной системы критериев оценивания.

Часть 1

Итак, часть 1 состоит из 8 относительно легких задач по всему школьному курсу математики. За каждую задачу дают по одному баллу.

Несколько советов для тех, кто планирует решать только часть1:

1. Задачи расположены по возрастанию сложности, поэтому решайте все подряд. Задачи 1—8 всегда очень легкие. Это тот минимум, за который точно выдают аттестат. Но не стоит расслабляться, иначе можно допустить глупые ошибки. И не надо торопиться: экзамен длится почти целых 4 часа, и времени на решение этих задач хватит;
2. Если позволяет время, дважды решите всю часть 1, а затем сравните ответы. Это избавит вас от множества ошибок. Эту рекомендацию я повторяю из года в год, и те ученики, которые ей следуют, стабильно получают более высокие баллы.

А теперь кратко разберем каждую задачу.

Задача 1

Обычные задачи из реальной жизни — «задачи с практическим содержанием». Все задачи 1 делятся на 3 класса:

Время — кто быстрее доедет, сколько часов работает магазин и т.п. Самые легкие задачи, которые, к сожалению, встречаются довольно редко (Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут (время московское) и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути? -демоверсия )

Округление с избытком и недостатком. (Сколько билетов (шоколадок, кирпичей— чего угодно) можно купить на 100 рублей? И какая будет сдача? ) Чтобы решить такую задачу, важно знать всего один факт — назовем его законом умножения. Если известна стоимость одного литра бензина p и количество покупаемых литров n, то суммарные расходы составят p · n. Например, если 1 литр стоит 28 рублей, а мы хотим купить 15 литров, то придется заплатить 28 · 15 = 420 рублей.

Кроме того, следует раз и навсегда усвоить, что такое сдача. Задумайтесь: когда вы идете в ларек и покупаете коробку конфет за 350 рублей, но в кармане есть лишь купюра в 1000 рублей, то кассир вернет вам 1000 − 350 = 650 рублей. Это и есть сдача — разность между фактической стоимостью покупки и той суммой, которую вы заплатили. Сдача всегда выражается положительным числом

Проценты — скидки, надбавки и т.д. (В школе немецкий язык изучают 94 учащихся, что составляет 25% всех учащихся  школы. Сколько учащихся в школе?)

Согласно спецификациям ЕГЭ по математике, 1 — это задача с практическим содержанием..

Для решения задачи 1 никаких специальных знаний не надо. Достаточно научиться читать условие и правильно считать.

Задача 2

Классическая задача с графиками, которая предлагается на ЕГЭ по математике из года в год. Она очень простая, решается почти всегда устно — достаточно вооружиться ручкой и линейкой.

Сами графики бывают двух видов:

1.                  Непрерывные — значение функции можно искать в каждой точке, и этих точек на графике бесконечно много. Чаще всего на оси абсцисс отмечают время — секунды, минуты, часы — это самая «непрерывная» величина;

На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 г. По горизонтали указаны номера месяцев; по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

2.                  Дискретные — значение функции существует лишь для конечного числа точек. Например, в году всего 12 месяцев, в мире порядка 200 стран.

По идее, дискретные графики содержат меньше информации, и такие задачи должны решаться легче. Но статистика говорит обратное: непрерывные графики решаются хорошо, а ошибки возникают именно в дискретных.

Задача 3

Здесь требуется найти площадь закрашенной фигуры . Часто прямо на чертеже дается координатная сетка, что значительно упрощает решение задачи. А если сетки нет, придется  посчитать, но все равно решение будет очень легким.

Все задачи 3 разделяются на 3 класса:

1.                  Площадь фигуры на координатной сетке — классический вариант задачи на площади. Он же — самый распространенный и самый легкий. Эти задачи решает 80—90% учеников;

2.                  Площадь фигуры без координатной сетки — усложненная версия предыдущей задачи, как показывает опыт,  многие ученики с ними не справляются;

3.       Площадь круга или его части . Требует специальных методов решения, поскольку стандартные приемы здесь бесполезны.

Задача 4

Вот она — задача по теории вероятностей. В большинстве случаев для ее решения достаточно знать классическое определение вероятности. Напомню, что вероятность — это отношение количества интересующих нас вариантов к общему количеству вариантов.

Главное — внимательно читайте условие. Например, есть 100 компьютеров, 5 из которых — бракованные. Если нас интересует вероятность нарваться на бракованный компьютер, ответ будет 5 : 100 = 0,05. Но если нам нужны нормальные компьютеры, ответ будет совсем другим: (100 − 5) : 100 = 95 : 100 = 0,95.

Определение  Пусть у нас имеется набор из n различных объектов. Пусть из всего этого набора нас устраивает лишь k объектов.

Тогда вероятность P, что мы выберем устраивающий объект из всего набора, рассчитывается по формуле:

Таким образом, задача 4 ЕГЭ по математике сводится к нахождению чисел k и n, которые затем остается лишь разделить друг на друга. Поэтому внимательно читайте условия задач — эти числа почти всегда присутствуют в них. Главное — понять, что от вас требуется.

Задача 5

Это последняя задача, в которой не требуются специальные знания. Здесь предлагают решить простейшее уравнение, которое может быть логарифмическим, показательным или вообще иррациональным.

Для каждого класса уравнений есть свои методы решения, которые учатся за несколько минут. Задачи составлены так, что можно допустить глупую вычислительную ошибку — но ответ при этом получится вполне вменяемый. Не попадайтесь в эту ловушку!

Многих смущают отрицательные числа в ответе. Такое встречается в задачах 5 постоянно, и удивляться этому не следует. В крайнем случае, можно выполнить проверку: подставьте число-ответ в исходное уравнение и посмотрите, что получится. Если все сходится, значит, ответ правильный.

Задача 6

Это геометрическая задача, и для ее решения надо вспомнить материал 8—9 классов. Решается устно, если знать нужные теоремы, либо не решается вообще, если их не знать. Таких теорем несколько, и вот важнейшие из них:

1.    Сумма углов в треугольнике равна 180°. А сумма углов в четырехугольнике — 360°;

2.    Центральный угол ровно в 2 раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. В частности, вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°;

3.    В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают. Кроме того, углы при основании равнобедренного треугольника тоже равны;

С помощью перечисленных фактов (до полноценных теорем они как-то не дотягивают), решается 80% всех задач B6. Остальные 20% требуют дополнительных знаний 

Задача 7

В задаче 7 предлагается исследовать функцию с помощью:

1.        Графика самой функции. Обычно просят найти точку экстремума или интервал возрастания/убывания;

2.        Графика ее производной. В этом случае могут спрашивать что угодно: от все тех же точек экстремума до касательных с заданным углом наклона.

В зависимости от представленного графика принципиально различаются и методы решения задачи. Но в целом задача 7 относится к математическому анализу

Задача 8

Снова стереометрия, но теперь довольно серьезная. Если в задаче 6 мы работали исключительно с отрезками, то здесь имеем дело с площадями и объемами.

Школьная стереометрия — классические формулы площади и объема. У каждого многогранника они свои, поэтому материала набирается довольно много. Еще есть риск спутать формулы, поскольку многие из них отличаются буквально парой цифр. Пример задачи:

Часть 2

Задача 9

Обычная тригонометрическая задача по материалам 10—11 классов. Дается, например, синус некоторого угла и координатная четверть, в которой этот угол лежит. Просят найти косинус, тангенс или какое-нибудь выражение с их участием.

Все задачи 9 решаются по одному и тому же алгоритму, потребуются следующие факты:

1.        Основное тригонометрическое тождество: sin² x + cos² x = 1. Оно нужно абсолютно во всех задачах 9, и его надо знать наизусть. Это несложно;

2.        Знаки синуса, косинуса и тангенса в зависимости от координатной четверти. Сразу отмечу, что главная проблема здесь — это именно знаки тригонометрических функций.

Пример:

.

Задача 10

 

Еще одна «задача с практическим содержанием». Условия всегда примерно одинаковые: дана формула и несколько коэффициентов, требуется вычислить недостающий коэффициент. Если получается сразу несколько ответов, надо выбрать правильный.

Задачи 10 можно условно разделить на 3 класса:

1.    Формулы. Самые обычные формулы из математики, физики и экономики, в которых известны все величины, кроме одной. Ее-то и требуется найти;

2.    Функции. Те же формулы, но одна из переменных выбрана как главная. Чаще всего это задачи на камни и мячи, брошенные на определенную высоту;

3.    Комбинированные задачи. Включают элементы двух предыдущих. Например, требуется подставить коэффициенты в функцию, а затем выяснить, в какой момент эта функция принимала заданное значение.

Пример

Задача 11

Пожалуй, самая сложная задача части B. Это классическая текстовая задача, причем условия весьма разнообразны: от типовых вопросов на движение и работу до смесей и сплавов.

Научиться решать такие задачи можно только практикой. Причем желательно под руководством учителя, поскольку на первых порах очень важно записывать полное решение. В противном случае рискуем так и не усвоить общие принципы решения текстовых задач.

Можно, конечно, зубрить отдельные варианты. Но еще раз повторюсь: задачи 11 настолько разнообразны, что зубрежка становится бесполезной тратой времени. Куда полезнее немного попрактиковаться и понять общие принципы решения.

Например:

Задача 12

Задача 12 — родом из математического анализа. Здесь требуется найти следующее:

1. Наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке. Иногда отрезок не задан — в этом случае работаем на всей числовой прямой;
2. Точку максимума (минимума) — абсцисса, в которой это наибольшее или наименьшее значение достигается. Чаще всего в таких задачах отрезок вообще не нужен.

Все задачи 12, которые встречаются в ЕГЭ по математике, делятся на два типа:

1. Задачи на поиск максимального или минимального значения функции на отрезке. Иногда отрезок не задан — в этом случае работаем на всей числовой прямой;
2. Задачи на точку максимума/минимума. Решаются чуть проще, зато функции здесь намного разнообразнее.

 Но в любом случае, чтобы решить задачу 12, учитесь считать производную 

Задачи с полным решением

Задача 13

Здесь предлагается решить тригонометрическое уравнение — довольно примитивное, но которое все-таки чуть сложнее «табличных» sin x = a и cos x = a. При этом все задачи 13 состоят из 2 частей:

1. Собственно, решить тригонометрическое уравнение;
2. Указать корни, принадлежащие заданному отрезку.

Для решения требуется знать:

1. Формулы приведения. Вообще-то, их требуется знать в любом случае — даже если вы не собираетесь решать 13. Например, в задаче 9 они будут очень кстати. Но если в 9 вполне можно обойтись и без формул приведения, то здесь без них никуда;
2. Знаки тригонометрических функций. Когда синус положительный? Когда отрицательный? А косинус? Без этих знаний решить 13 можно разве что наугад;
3. Периодичность тригонометрических функций — очень полезная вещь для решения второй части задачи (про корни на отрезке).

Корни на отрезке можно искать двумя способами: графическим и аналитическим. В первом случае строится график функции и отмечается искомый отрезок. Во втором — подставляются конкретные значения параметра в формулу общего корня. Оба решения правильны и вполне допустимы на экзамене.

Задача 14

 

Это сложная задача по стереометрии. По условию, нам дан многогранник, в котором проведены дополнительные отрезки и сечения. Требуется найти угол между ними или, в крайнем случае, длину какого-нибудь отрезка.

Как и в предыдущей задаче, здесь можно действовать двумя способами:

1.    Графический — нарисовать многогранник, отметить точки и рассчитать требуемую величину. Именно так учат решать задачи 14 в большинстве школ (если вообще учат);

2.    Аналитический — добавить систему координат и свести задачу к векторам. Метод весьма нестандартный, но более надежный, поскольку большинство учеников лучше знают алгебру, чем геометрию.

Основное преимущество графического способа — наглядность. Достаточно выяснить расположение отрезков и плоскостей, после чего останется лишь немного посчитать.

Зато аналитический способ не требует никаких дополнительных построений. Но объем вычислений будет намного больше. В школьном курсе стереометрии упор делается на дополнительные построения, которые позволяют выделить искомый угол, а затем рассчитать его величину.

Здесь уместно вспомнить задачи на построение сечений многогранников, которые рассматриваются в 10 классе и у многих вызывают трудности.

Задача 15

Задача 15 — это логарифмическое или показательное неравенство.

В любом случае, исходное неравенство сводится к дробно-рациональному. Главная проблема — правильно пересечь решение этого дробно-рационального неравенства с областью допустимых значений. Составители задач 15 специально подбирают числа так, чтобы в конечном ответе возникали изолированные точки, смешивались «выколотые» и «закрашенные» концы. Поэтому единственный способ научиться решать такие задачи — тренировка. И не просто тренировка, а с предварительным изучением теории.

Задача 16

Еще одна геометрическая задача. На этот раз — планиметрия. В задаче 16 ученики столкнутся как минимум с двумя проблемами:

1.    Придется выполнять довольно сложное геометрическое построение, которое требует хорошего знания теории и грамотной работы с чертежом;

2.    Кроме того, в условии всегда присутствует неопределенность. Как правило, одна формулировка допускает две различные интерпретации. Соответственно, в задаче будет два разных ответа.

С другой стороны, никаких «сверхъестественных» знаний в этой задаче не требуется. Помимо геометрии, здесь надо знать тригонометрию, а в некоторых случаях — метод координат.

Задача 17

Начинаем решать задачи с экономическим содержанием. Естественно, решение таких задач окажет неоценимую помощь тем, кто собирается поступать в экономические вузы. для экономистов и банкиров  решение таких задач  станет смыслом жизни.

       Банковские задачи появились в ЕГЭ совсем недавно. в прошлом году, а в этом  году типы задач стали более разнообразнее и сложнее. Все они решаются по формуле сложных процентов.

SUM=X·(1-p/100)

Пример. 31 де­каб­ря 2014 года Алек­сей взял в банке 6 902 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­плат кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Алек­сей пе­ре­во­дит в банк x руб­лей. Какой долж­на быть сумма x, чтобы Алек­сей вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Решение. Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют a%. Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01a. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит S₁ = Sb − x. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

После четвёртой вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

По усло­вию че­тырь­мя вы­пла­та­ми Алек­сей дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му

 от­ку­да 

При S = 6 902 000 и a = 12,5, по­лу­ча­ем: b = 1,125 и

Ответ: 2 296 350.

Задача 18

Вот и начинается настоящая жесть. 18 — это задача с параметром. Ее можно решать множеством различных способов, но все они требуют хорошей математической подготовки и умения мыслить нестандартно.

Например, многие задачи можно решить графически. Числа в уравнениях специально подобраны так, чтобы графики функций получались красивыми. Но возникает другой вопрос: как интерпретировать полученный результат? И что делать с параметром? Чтобы ответить на такие вопросы, требуется очень высокий уровень математической подготовки.

Можно пойти другим путем и свести задачу к уравнению или системе уравнений. Но тогда придется «прорываться» через большой объем вычислений, в которых очень легко допустить ошибку. Кроме того, интерпретировать результат в исходных терминах задачи все равно придется.

Наиболее правильный метод — понять, как «ведет» себя исходная функция при различных значениях параметра, и на основании этого решить задачу. Тогда в большинстве случаев мы получим быстрое и очень красивое решение. Но «увидеть» это решение — задача сама по себе не из легких. Поэтому задача 18 оценивается сразу в 4 балла.

Задача 19

Это в некотором смысле уникальная задача, и не только для ЕГЭ по математике. По существу, задача 19 всегда решается очень просто — иногда всего в пару строчек. Вот только додуматься до этого решения очень трудно.

Как правило, в задаче 19 все рассуждения строятся вокруг целых чисел. Это классическая арифметика: признаки делимости, четность/нечетность, деление с остатком и прочее. Ничего сложного в этих правилах нет, но увидеть их — значит решить задачу. Или, как минимум, значительно продвинуться к ответу.

Как ни странно, сами задачи 19 бывают очень разными. Многие ученики отмечают, что задачи с факториалами решаются почти всегда. И наоборот, популярные в последнее время условия, начинающиеся с фразы «на доске написаны [...] чисел...», оказываются крайне трудными.

Очевидно, что составители C6 рассчитывают на учеников с очень высоким уровнем математической культуры. На тех, кто способен к весьма изощренным арифметическим выкладкам, кто обладает явной склонностью к изучению математики. Именно поэтому задачу 19 (как, впрочем, и 18) оценивают в 4 балла.

Демонстрационный вариант ЕГЭ

1. За­да­ние 1 

Ма­га­зин за­ку­па­ет цве­точ­ные горш­ки по опто­вой цене 100 руб­лей за штуку и про­да­ет с на­цен­кой 30%. Какое наи­боль­шее число таких горш­ков можно ку­пить в этом ма­га­зи­не на 1200 руб­лей?

2. За­да­ние 2 На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сочи за каж­дый месяц 1920 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли - тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в пе­ри­од с мая по де­кабрь 1920 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

3. За­да­ние 3 Век­тор  с кон­цом в точке (5; 3) имеет ко­ор­ди­на­ты (3; 1). Най­ди­те ор­ди­на­ту точки .

4. За­да­ние 4 . Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 200 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся че­ты­ре сумки со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

5. За­да­ние 5 Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

6. За­да­ние 6 . В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 90°,  – вы­со­та, угол  равен . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

7. За­да­ние 7 

Пря­мая  яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те c.

8. За­да­ние 8. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки  па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

9. За­да­ние 9 

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

10. За­да­ние 10 . Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся квад­рат­ная рамка с на­мо­тан­ным на неe про­во­дом, через ко­то­рый про­пу­щен по­сто­ян­ный ток. Рамка по­ме­ще­на в од­но­род­ное маг­нит­ное поле так, что она может вра­щать­ся. Мо­мент силы Ам­пе­ра, стре­мя­щей­ся по­вер­нуть рамку, (в Нм) опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой , где  – сила тока в рамке,  Тл – зна­че­ние ин­дук­ции маг­нит­но­го поля,  м – раз­мер рамки,  – число вит­ков про­во­да в рамке,  – ост­рый угол между пер­пен­ди­ку­ля­ром к рамке и век­то­ром ин­дук­ции. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла  (в гра­ду­сах) рамка может на­чать вра­щать­ся, если для этого нужно, чтобы рас­кру­чи­ва­ю­щий мо­мент M был не мень­ше 0,75 Нм?

11. За­да­ние 11 Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 12 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 106 км/ч, и через 48 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

12. За­да­ние 12 . Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

13. За­да­ние 13 

а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

14. За­да­ние 14 В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де  с ос­но­ва­ни­ем  из­вест­ны ребра  Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер  и 

15. За­да­ние 15 Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

16. За­да­ние 16 Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

17. За­да­ние 17 . 31 де­каб­ря 2014 года Алек­сей взял в банке 6 902 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­плат кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Алек­сей пе­ре­во­дит в банк x руб­лей. Какой долж­на быть сумма x, чтобы Алек­сей вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

18. За­да­ние 18 . Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет более двух ре­ше­ний.

19. За­да­ние 19 . Можно ли при­ве­сти при­мер пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние ко­то­рых равно 1512 и

а) пять;

б) че­ты­ре;

в) три

из них об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

Решения и Ответы

1. За­да­ние 1 

Ма­га­зин за­ку­па­ет цве­точ­ные горш­ки по опто­вой цене 100 руб­лей за штуку и про­да­ет с на­цен­кой 30%. Какое наи­боль­шее число таких горш­ков можно ку­пить в этом ма­га­зи­не на 1200 руб­лей?

Ре­ше­ние.

С уче­том на­цен­ки гор­шок ста­нет сто­ить 100 + 0,3  100 = 130 руб­лей. Раз­де­лим 1200 на 130:

.

Зна­чит, можно будет ку­пить 9 горш­ков.

Ответ: 9.

2. За­да­ние 2 На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сочи за каж­дый месяц 1920 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли - тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в пе­ри­од с мая по де­кабрь 1920 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в пе­ри­од с пя­то­го по две­на­дца­тый месяц (с мая по де­кабрь) была в но­яб­ре и со­став­ля­ла 6 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: 6

3. За­да­ние 3 Век­тор  с кон­цом в точке (5; 3) имеет ко­ор­ди­на­ты (3; 1). Най­ди­те ор­ди­на­ту точки .

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны раз­но­сти ко­ор­ди­нат конца век­то­ра и его на­ча­ла. Ко­ор­ди­на­ты точки Aвы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: 5 − x = 3, 3 − y = 1. От­ку­да x = 2, y = 2.

Ответ: 2

4. За­да­ние 4 Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 200 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся че­ты­ре сумки со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Ре­ше­ние.

По усло­вию из любых 200 + 4 = 204 сумок в сред­нем 200 ка­че­ствен­ных сумок. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной, равна

Ответ: 0,98

5. За­да­ние 5 Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: -4

6. За­да­ние 6 В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 90°,  – вы­со­та, угол  равен . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

углы  и  равны как углы со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми, зна­чит,

.

Ответ: 34

7. За­да­ние 7 

Пря­мая  яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те c.

Ре­ше­ние.

Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции  и пря­мой  задаётся си­сте­мой тре­бо­ва­ний:

В нашем слу­чае имеем:

.

Ответ: 17

8. За­да­ние 8 Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки  па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

Ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что мно­го­гран­ник яв­ля­ет­ся по­ло­ви­ной дан­но­го пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Сле­до­ва­тель­но, объём ис­ко­мо­го мно­го­гран­ни­ка

Ответ: 120

9. За­да­ние 9 

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: -6

10. За­да­ние 10 . Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся квад­рат­ная рамка с на­мо­тан­ным на неe про­во­дом, через ко­то­рый про­пу­щен по­сто­ян­ный ток. Рамка по­ме­ще­на в од­но­род­ное маг­нит­ное поле так, что она может вра­щать­ся. Мо­мент силы Ам­пе­ра, стре­мя­щей­ся по­вер­нуть рамку, (в Нм) опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой , где  – сила тока в рамке,  Тл – зна­че­ние ин­дук­ции маг­нит­но­го поля,  м – раз­мер рамки,  – число вит­ков про­во­да в рамке,  – ост­рый угол между пер­пен­ди­ку­ля­ром к рамке и век­то­ром ин­дук­ции. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла  (в гра­ду­сах) рамка может на­чать вра­щать­ся, если для этого нужно, чтобы рас­кру­чи­ва­ю­щий мо­мент M был не мень­ше 0,75 Нм?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства  на ин­тер­ва­ле  при за­дан­ных зна­че­ни­ях силы тока в рамке , раз­ме­ра рамки  м, числа вит­ков про­во­да  и ин­дук­ции маг­нит­но­го поля  Тл:

.

Ответ: 30

11. За­да­ние 11 . Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 12 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 106 км/ч, и через 48 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля равна  км/ч. За 4/5 часа пер­вый ав­то­мо­биль про­шел на 12 км боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да имеем

Ответ: 91

12. За­да­ние 12 Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке  за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

.

Ответ: -3

13. За­да­ние 13 

а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

Ре­ше­ние.

а) Из дан­но­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Зна­чит, или  от­ку­да  или  от­ку­да  или 

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  По­лу­чим числа: 

Ответ: а) ; б) 

14. За­да­ние 14 В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де  с ос­но­ва­ни­ем  из­вест­ны ребра  Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер  и 

Ре­ше­ние.

Пусть  и  — се­ре­ди­ны ребер  и  со­от­вет­ствен­но.  — ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка  сле­до­ва­тель­но, на­хо­дит­ся по фор­му­ле  Пря­мая  про­еци­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния и пря­мую  По­это­му про­ек­ция точки  — точка  — лежит на от­рез­ке  Зна­чит, пря­мая  яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой  сле­до­ва­тель­но, угол  — ис­ко­мый.

 где  — центр ос­но­ва­ния, зна­чит,  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка  по­это­му  Тогда  и  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен 

Ответ: 

15. За­да­ние 15 . Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние будем ис­кать при усло­ви­ях:

.

Рас­смот­рим ис­ход­ное не­ра­вен­ство на мно­же­стве  тогда  от­ку­да  то есть .

Рас­смот­рим ис­ход­ное не­ра­вен­ство на мно­же­стве  тогда  от­ку­да  то есть  или 

Ответ: .

16. За­да­ние 16 Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

Ре­ше­ние.

Окруж­но­стей две: каж­дая из них впи­сан­ная в пра­виль­ный тре­уголь­ник. Эти тре­уголь­ни­ки имеют сто­ро­ны рав­ные 5 и 3 − со­от­вет­ствен­но. По­это­му ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны тре­тьей части вы­со­ты пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка.

Для тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 5 ра­ди­ус равен 

Най­дем пло­щадь не­вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка как сумму пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков  и 

Для тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 3 ра­ди­ус равен 

Чтобы найти пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка  вы­чтем из пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков  и 

Ответ:  или 

17. За­да­ние 17 31 де­каб­ря 2014 года Алек­сей взял в банке 6 902 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­плат кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Алек­сей пе­ре­во­дит в банк x руб­лей. Какой долж­на быть сумма x, чтобы Алек­сей вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют a%. Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01a. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит S₁ = Sb − x. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

После четвёртой вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

По усло­вию че­тырь­мя вы­пла­та­ми Алек­сей дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му

 от­ку­да 

При S = 6 902 000 и a = 12,5, по­лу­ча­ем: b = 1,125 и

Ответ: 2 296 350.

18. За­да­ние 18 Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет более двух ре­ше­ний.

Ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют пер­во­му урав­не­нию си­сте­мы.

Рас­смот­рим два слу­чая:

1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то по­лу­ча­ем урав­не­ние

По­лу­чен­ное урав­не­ние задаёт окруж­ность с цен­тром в точке O₁(2; 4) и ра­ди­у­сом 

2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то по­лу­ча­ем урав­не­ние

По­лу­чен­ное урав­не­ние задаёт окруж­ность с цен­тром в точке O₂(0; 0) и ра­ди­у­сом 

По­лу­чен­ные окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в двух точ­ках A(−1; 3) и B(3; 1), ле­жа­щих на пря­мойx + 2y − 5 = 0, по­это­му в пер­вом слу­чае по­лу­ча­ем дугу ω₁ с кон­ца­ми в точ­ках A и B, во вто­ром — дугу ω₂ с кон­ца­ми в тех же точ­ках (см. рис.).

За­ме­тим, что точка  лежит на дуге ω₂ и пря­мая O₂C пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой O₁O₂.

Рас­смот­рим вто­рое урав­не­ние си­сте­мы. Оно задаёт пря­мую m, па­рал­лель­ную пря­мой O₁O₂ или сов­па­да­ю­щую с ней.

При a = −5 пря­мая m пе­ре­се­ка­ет каж­дую из дуг ω₁ и ω₂ в точке A и ещё в одной точке, от­лич­ной от точки A, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет три ре­ше­ния.

Ана­ло­гич­но, при a = 5 пря­мая m про­хо­дит через точку B и ис­ход­ная си­сте­ма имеет три ре­ше­ния.

При  пря­мая m про­хо­дит через точку C, зна­чит, пря­мая m ка­са­ет­ся дуг ω₂ и ω₁, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.

Ана­ло­гич­но, при  пря­мая m ка­са­ет­ся дуг ω₂ и ω₁, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.

При  или  пря­мая m пе­ре­се­ка­ет каж­дую из дуг ω₁ и ω₂ в двух точ­ках, от­лич­ных от точек A и B, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет че­ты­ре ре­ше­ния.

При −5 < a < 5 пря­мая m пе­ре­се­ка­ет каж­дую из дуг ω₁ и ω₂ в точке, от­лич­ной от точек A и B, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.

При  или  пря­мая m не пе­ре­се­ка­ет дуги ω₁ и ω₂, то есть ис­ход­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет более двух ре­ше­ний при  или 

Ответ: 

19. За­да­ние 19 Можно ли при­ве­сти при­мер пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние ко­то­рых равно 1512 и

а) пять;

б) че­ты­ре;

в) три

из них об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

Ре­ше­ние.

Слу­чай а). Пусть числа  где по усло­вию  — на­ту­раль­ное число,  — ис­ко­мые члены про­грес­сии. Их про­из­ве­де­ние равно  но урав­не­ние не имеет на­ту­раль­ных ре­ше­ний. Итак, не­об­хо­ди­мой про­грес­сии из 5 чисел не су­ще­ству­ет.

Слу­чай б). Пусть про­грес­сия со­сто­ит из че­ты­рех чле­нов  а пятое на­ту­раль­ное число равно  По­сколь­ку  имеем:  что не­воз­мож­но для на­ту­раль­ных и  по­сколь­ку раз­ло­же­ние числа 1512 не со­дер­жит чет­вер­тых сте­пе­ней про­стых со­мно­жи­те­лей от­лич­ных от 1. За­ме­тим од­на­ко, что зна­ме­на­тель про­грес­сии  может не быть на­ту­раль­ным чис­лом и ис­сле­ду­ем этот слу­чай. Пусть  — не­со­кра­ти­мая дробь,  Тогда что не­воз­мож­но, так как раз­ло­же­ние числа 1512 не со­дер­жит ше­стых сте­пе­ней про­стых со­мно­жи­те­лей от­лич­ных от 1.

Слу­чай в). Пусть про­грес­сия со­сто­ит из трех чле­нов  а чет­вер­тое и пятое на­ту­раль­ные числа равны  и  Тогда  По­ло­жим в этом ра­вен­стве  Далее, по­ла­гая  по­лу­чим один из тре­бу­е­мых на­бо­ров чисел: 3, 6, 12, 7, 1.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.