СУММА N-ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ». 9 КЛАССК

ТЕМА «СУММА N-ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ

ПРОГРЕССИИ». 9 КЛАСС

 Цель урока - познакомить учащихся с общим способом подсчета суммы нескольких слагаемых, являющихся членами арифметической прогрессии;

Задачи:

-  решение задач с применением полученной формулы для подсчета суммы нескольких слагаемых;

-  нахождение неизвестных элементов полученной формулы;

-  показать важность формулы для формирования статистических данных.

Ход урока I. Мотивационно-ориентированная часть.

Прежде чем начать урок, я хочу рассказать вам одну удивительную историю. Очень давно, еще до нашей эры, в Древней Греции один правитель задал Эвклиду вопрос: «Сколько времени нужно, чтобы изучить математику?» На это ученый ответил, что понадобится не год, не два, а целая жизнь. Правитель воскликнул: «Но я же не обычный смертный, а царь!» И тогда Эвклид произнес одну из своих знаменитых фраз. Он сказал: «Нет царского пути в математику!».

Итак, царского, быстрого пути в математику нет. Но есть другой путь, по которому можно постигать эту науку в течение всей жизни. Вы изучаете математику уже несколько лет. Не кажется ли вам, что вы блуждаете бесцельно? Есть ли у вас цель в рамках сегодняшнего урока?

Ученик формулирует цель: «Найти общий метод подсчета суммы нескольких членов арифметической прогрессии».

Итак, чтобы выполнить поставленные задачи, вы выступите в роли учеников XVIII века, которым похожую задачу поставил неизвестный учитель математики. В том классе три века назад находился Карл Гаусс   (1777-1855 гг.) будучи учеником.

19

Сын садовника, он славился искусством быстро и легко считать. Отец говорил о сыне позднее, что он «умел считать раньше, чем говорить». В 14 лет Гаусс, ученик гимназии, часто развлекал придворных искусством счета во дворце герцога Брауншвейгского. В 1795 году тот помог Гауссу поступить в университет, но первый успех пришел к нему в 9 лет, когда школьный учитель велел найти ученикам сумму всех натуральных чисел от 1 до 40. Учитель рассчитывал надолго занять учеников этой задачей. Но Гаусс мгновенно сообразил, как сгруппировать слагаемые, и выдал ответ. Как ему это удалось?

Ученики высказывают предположения.

Учитель. Запишите эту сумму в тетрадях и попробуйте найти решение.

Решение: 41· 20 = 820.

II. Операционно-исполнительный этап.

Работа в группах.

Задача 1. Рассчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100.

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 97) + …

Каждое слагаемое 101, слагаемых ¹⁰₂⁰ = 50.

S = 101 · 50 = 5050.

Задача 2. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии

3 + 7 + 11 + 15 + 19 + …

а₁ = 3 d = 4 а₂₀ = а₁ + d(n – 1) = 3 + 4 · 19 = 79

3 + 7 + 11 + 15 + … + 71 + 75 + 79

S = (3 + 79) · ² ₂⁰ = 82 · 10 = 820.

Учитель. Нам необходимо записать общую формулу для нахождения суммы любого количества слагаемых для произвольно заданной арифметической прогрессии. Как мы действовали?

1.      Записать слагаемые в виде общих членов арифметической прогрессии.
а₁; а₂; а₃; а₄; …а_n; …

n            al+an п Sn = (a1 + an) ·

2                 2

2.                 Сгруппируем слагаемые «гауссовским» способом. S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n-1) + (a₃ + a_n-2) + … +

3.                 Каждая пара в сумме дает a₁ + a_n. S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + … + (a₁ + a_n)

4.                 Слагаемых получаем ⁿ₂

20

III. Первичное закрепление материала.

Работа по учебнику с проверкой у доски.

IV. Проверка результатов усвоения знаний (тест).

1. Найти сумму первых десяти натуральных чисел.

1.   45 2. 55 3. 550 4. 11.

2.   Найдите сумму двадцати четных положительных чисел, начиная с 10.

Сумма записывается так.

1. S₂o = ((10+20)-20)/2

2.        S₂₀ = ((10+40)-20)/2

3.         S₂₀ = ((10+38)-20)/2

4.        S₂₀ = ((10+48)-20)/2

3. Сумма двенадцати чисел, кратных 5, начиная с 10, записывается так:

1. Si₂ = ((10+70)-12)/2

2.        Si₂ = ((10+65)-12)/2

3.         S₁₂ = ((10-50)-12)/2

4.        Si₂ = ((10-45)-12)/2 V. Домашнее задание.

I группа: номера из учебника.

II группа: Получить формулу для нахождения суммы w-первых членов
арифметической прогрессии через ai и d. Номера: номера из учебника.