Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Суммы конечных числовых последовательностей

Суммы конечных числовых последовательностей

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Суммы конечных числовых последовательностей

Рассмотрим разные способы нахождения суммы конечных числовых последовательностей. Сначала найдем формулы для суммы hello_html_443248c0.gif первых натуральных чисел, суммы их квадратов и суммы их кубов. Далее, зная эти формулы будем вычислять суммы некоторых конечных числовых последовательностей.

        1. Найти формулу суммы hello_html_443248c0.gif первых членов натуральных чисел:

hello_html_mad0d694.gif;

Решение.

Эту сумму можно вычислить по формуле суммы hello_html_443248c0.gif первых членов арифметической прогрессии. hello_html_fce3499.gif;

hello_html_1f0037f7.gif (1)

Ответ: hello_html_m3df763bb.gif.

  1. Найти формулу для суммы

hello_html_7d6e9a54.gif;

Решение.

hello_html_m15abe8d5.gif;

hello_html_330e7543.gif;

hello_html_m231c92c2.gif;

hello_html_337536ee.gif;

Сложим почленно эти равенства и получим:

hello_html_m697d661d.gif;

hello_html_4a8120f0.gif;

Отсюда находим сумму квадратов hello_html_443248c0.gif первых натуральных чисел:

hello_html_m604d5d46.gif

hello_html_m4573f24c.gif;

hello_html_m2accff8b.gif (2)

Ответ: hello_html_m63178a1f.gif.

  1. Найти формулу для суммы

hello_html_m1fa20012.gif;

Решение.

hello_html_m37703330.gif;

hello_html_m161a9b69.gif;

hello_html_4048784.gif;

hello_html_m640f83ec.gif;

Теперь сложим эти равенства почленно. Мы получим:

hello_html_7aae9001.gif;

Отсюда находим сумму кубов hello_html_443248c0.gif первых натуральных чисел:

hello_html_m48c1066e.gif


hello_html_m17ac0554.gif

hello_html_mf073bd6.gif

hello_html_m54db59a8.gif

=hello_html_m3a61f007.gif

hello_html_m591ba695.gif; Итак,

hello_html_mf403af2.gif (3)

Ответ:hello_html_5ea97579.gif.


  1. Найдите сумму: hello_html_m661d639.gif.

Решение: hello_html_m1d6205a.gif;

hello_html_m20fc0735.gif;

hello_html_3d141141.gif;

hello_html_43180b6f.gif;

hello_html_39d9ce1c.gif;

Сложим почленно эти равенства и получим:

hello_html_m7b7d195d.gif;

Обозначим hello_html_m83ba4d3.gif. По формуле (1) и (2) получим:

hello_html_m368620e5.gif.

Ответ: hello_html_76939755.gif

  1. Найдите сумму: hello_html_ma15f8f5.gif.

Решение: hello_html_3ae0a224.gif;

hello_html_m6246649e.gif;

hello_html_1a25ed7c.gif;

hello_html_m66b23249.gif;

hello_html_m6246649e.gif;

Сложим почленнно эти равенства и получим:

hello_html_3b338b2b.gif;

hello_html_mc121880.gif

hello_html_6283ed0a.gif;

Ответ: hello_html_4e53d698.gif.

  1. Найдите сумму всех попарных произведений чисел 1, 2, 3, …,n.

Решение: hello_html_44b74d0c.gif;

hello_html_182dd544.gif

hello_html_46632356.gif;

Ответ: hello_html_7920552.gif.

  1. Найдите сумму: hello_html_24a1aa78.gif.

Решение: hello_html_m400ff104.gif;

hello_html_7fb86a00.gif;

hello_html_m7f26827.gif;

hello_html_4fc15857.gif;

hello_html_m6df62375.gif;

Сложим почленно эти равенства и получим:

hello_html_m225de2ce.gif, где

hello_html_32766550.gif

эти суммы можно вычислить по формуле суммы hello_html_443248c0.gif первых членов геометрической прогрессии.

hello_html_m23b2ecc3.gif;

hello_html_73580869.gif

Ответ: hello_html_m4dc45b2e.gif.

  1. Найдите сумму: hello_html_m18425edb.gif.

Решение:

hello_html_6a081f0d.gif;

hello_html_f03b612.gif;

...

hello_html_f3dbc4a.gif;

Сложим почленно эти равенства и получим:

hello_html_m476547e3.gif;

Ответ: hello_html_58c09b1a.gif.

  1. Найдите сумму: hello_html_m5a4de50b.gif.

Решение:

hello_html_m2b7776e3.gif;

hello_html_4b4aa311.gif;

hello_html_2e242a77.gif;

Сложим почленно эти равенства и получим:

hello_html_m35e3a2e4.gif

hello_html_mbb06d3a.gif


Ответ: hello_html_m3e84429.gif.

  1. Найдите сумму первых hello_html_m417594b3.gif членов последовательности, заданной формулой hello_html_11852162.gif–го члена hello_html_798a4ca0.gif.

Решение:hello_html_56ce2c4f.gif;

hello_html_161398ec.gif;

hello_html_m56158968.gif;

hello_html_b7e40bc.gif;

Сложим почленно эти равенства и получим:

hello_html_1df36627.gif;

Ответ: hello_html_1873fcd2.gif.

Задания для самостоятельного выполнения

Найдите сумму:

  1. hello_html_m5f954c63.gif; Ответ: hello_html_742a6299.gif.

  2. hello_html_4f31fe49.gif; Ответ: hello_html_m1652f5d3.gif.

  3. hello_html_1d8e51bc.gif;

  4. hello_html_1fb38924.gif; Ответ: hello_html_m18a75a5f.gif.

5


Краткое описание документа:

    Описание.

    В школьном курсе математики у учащихся 9-х классов возникают проблемы при изучении темы "Суммы конечных числовых последовательностей". Ниже приводится подборка практических задач и разные способы нахождения суммы  конечных числовых последовательностей, также предлагается задания для самостоятельного выполнения.

    Сначала выводятся формулы для сумм n первых натуральных чисел, суммы их квадратов и суммы их кубов. Далее, с помощью этих формул  вычисляются суммы некоторых конечных числовых последовательностей. Данный материал может быть полезным как для учащихся классов с математической специализацией, так и для учителей. 

 

Общая информация

Номер материала: 345225

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»