Свойства и графики тригонометрических функций

ГБПОУ ИО «ИРКПО»

Тема: «Свойства и графики тригонометрических функций»

Иркутск

2016

Тема: Свойства и графики тригонометрических функций.

Тип урока: Изучение нового материала.

Цели:

Учебные:

·         Обеспечить усвоение свойств и графиков тригонометрических функций y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx;

·         Формирование  умения учащихся исследовать тригонометрические функции;

·         Формирование  умения учащихся строить графики тригонометрических функций.

Развивающие:

·         Развитие  логического  мышления;

·         Развитие  познавательных  процессов: умения наблюдать и  обобщать, формулировать свойства, правила;

Воспитательные:

·         Воспитание  аккуратности  при построении графиков;

·         Воспитание  отдельные качества личности: настойчивость, трудолюбие.

Оборудование: демонстрационный проектор, мультимедийная презентация, раздаточный материал.

Структура урока

1.      Организационный момент (5 мин)

2.      Изучение нового материала (50 мин)

3.      Первичное закрепление изученного материала (25 мин)

4.      Постановка домашнего задания (5 мин)

5.      Подведение итогов урока (5 мин)

Ход урока

Этап урока	Учитель	Ученик
Организационный момент	Здравствуйте, садитесь. Сегодня на занятии мы начинаем изучение новой темы: «Свойства и графики тригонометрических функций». Целью нашего занятия будет: изучить, какие функции называются тригонометрическими и какими свойствами и графиками они обладают.	Здороваются, садятся. Слушают учителя.
Актуализация опорных знаний
Формирование новых знаний и умений	(Рассказывая теорию, показываю соответствующие слайды из презентации). Откройте свои тетради, запишите число, сегодня 21.03.16, и тему занятия: «Свойства и графики тригонометрических функций». Как вы думаете, какие функции называются тригонометрическими? Не совсем верно. Правильнее будет сказать: тригонометрическими функциями называются функции вида: y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx. Запишите это определение. Рассмотрим основополагающую тригонометрическую функцию y=sinx. Запишите подзаголовок: Свойства функции y=sinx и ее график.  Для построения графика функции y=sinx, составим ее таблицу значений. Для каких углов синус легко определяется? Составьте таблицу значений и напишите ее у себя в тетрадях. У каждого из вас лежат на столах листы, на которых начерчены системы координат (Приложение 1), отметим на первой системе координат полученные точки. Для удобства, возьмем за 3 ед. Соедините их, и получим график функции y=sinx, так называемую синусоиду. С чем у вас ассоциируется график функции y=sinx? Исследуем данный график. Посмотрите внимательно на график и скажите:  Какова область определения данной функции? А область значения…? На каком промежутке функция y=sinx возрастает, а на каком убывает? Вы заметили, что функция снова возрастает и убывает через определенный промежуток? Значит, она обладает чем…? И каков же ее период? При каком значении х, у=0? Также эту функцию можно определить на четность или нечетность. Как вы думаете, какой функцией, четной или нечетной, она является и почему? Правильно, молодцы! Вот мы с вами и сформулировали основные свойства функции y=sinx. Запишите их в тетрадь. Запишите следующий подзаголовок: «Свойства функции у=cosx и ее график». Для построения графика функции у=cosx, воспользуемся формулой приведения cosx=sin( + x). Т. е. строим синусоиду, сдвинутую по оси Ох влево на…? Получим график функции у=cosx. Начертите эту функцию. Т. к. график функции у=cosx, есть преобразованная синусоида, то и свойства функции у=cosx будут схожи со свойствами функции y=sinx. Запишите их, а затем найдите и назовите отличия. Молодцы! Аналогично рассматривают пункты: ü  Свойства функции y=tgx и ее график ü  Свойства функции y=ctgx и ее график (см. Слайды презентации)	Записывают число и тему Отвечают: sinx, cosx, tgx, ctgx Записывают определение под диктовку учителя. Записывают в тетради подзаголовок. Отвечают: Для 0,, , Составляют таблицу значений и пишут ее в тетрадях. Отмечают на системе координат полученные точки, соединяют их и получают график функции y=sinx. Отвечают: с волной на реке. Отвечают: она бесконечна, т. е. х любое действительное число. А область значения от -1 до 1, т.к. у принадлежит от -1 до 1. Убывает на промежутке от  до , а возрастает от - до . Да. Периодом, он равен 2. При х=. Она является нечетной функцией, т. к. sin(-x)=-sinx. Записывают свойства функции в тетрадь. Записывают новый подзаголовок. Отвечают: на . Чертят на листах полученную функцию. Записывают свойства. Называют различия: 1. убывает при х; 2. возрастает при х; 3. четная, т.к. cos(-x)=cosx; 4. у=0, при х=+n.
Применение знаний, формирование умений и навыков	Решим несколько примеров для усвоения и закрепления полученных знаний. (Первый пример решаю у доски, объясняю) Пример 1. Найдите область определения и область значений функции . Решение: а) Найдем область определения функции :  имеет смысл при любом значении , следовательно, областью определения данной функции является множество действительных чисел, т.е. . б) Найдем область значений функции : До множим все части неравенства на 3, получим . Прибавим ко всем частям неравенства число -1: , получим . Значит . Ответ: , На доске записаны задания: Задание 1. Найти множество значений функции:          а) y=2cosx Ответ: Е(у): б) у=2-3sinx Ответ: Е(у): Второе задание направлено на определение четности и нечетности функции. Вспомним правило: Если y(-x) = y (x), то функция четная, а если y(-x) = -y (x), то функция нечетная. Задание 2. Определите,  является ли функция четной или нечетной? а) y=x2 + cosx y(-x)=(-x)2 + cos(-x) = x2 + cosx = = y(x) – четная б) y = x3 – sinx y(-x) = (-x)3 – sin(-x) = -x3 + sin x = = -(x3 - sinx) = -y(x) - нечетная Задание 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке . Решение: По графику функции  определяем, что на отрезке    - наименьшее значение функции;  - наибольшее значение функции. Задание 4. Решить задания маршрутный лист №1 Упр.11.1 (а,б), упр.11.2 (а,в), 11.3 (а,б), 11.4 (а,б)	Слушают учителя. Записывают. Отвечают на вопросы учителя в процессе решения. Студенты решают в тетрадях, один студент  у доски.
Постановка домашнего задания	Запишите домашнее задание. Они аналогичны тем, что мы делали в классе. Практикум. Тумина Т.К. стр.15, упр11.1 (в,г,ж,з), упр.11.2 (б,г), упр.11.3 (в,г), упр.11.4 (в,г)	Записывают домашнее задание.
Итог занятия	Сегодня на занятии вы узнали, какие функции называются тригонометрическими, научились строить их график, и по графику определять свойства данных функций. Отмечает присутствующих, ставит оценки ребятам, кто активно работал у доски и с места. Всем спасибо, все свободны!	Слушают учителя
И напоследок притча: «Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному дверному замку. Кто откроет тот и будет первым помощником. Никто не притронулся даже к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ. Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, но надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку»

 Пример 11

1) Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции  точка с координатами ? Решение: Данная точка принадлежит графику функции , так как .

2) Найти наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке . Решение: По графику функции  определяем, что на отрезке    - наименьшее значение функции;  - наибольшее значение функции.

3) Найти область определения функции . Решение: Областью определения функции является множество  всех действительных чисел, кроме . То есть .

4) Найдите множество значений функции . Решение: Домножим на 3 все части неравенства: Прибавим -1 ко всем частям неравенства: Значит

Упражнение 11 (Упр.11.1 (а,б), упр.11.2 (а,в), 11.3 (а,б), 11.4 (а,б))

1. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции  точка с координатами:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Принадлежит ли графику функции  точка с координатами:

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функций  и :

а) на отрезке ;	б) на луче ;
в) на интервале ;	г) на полуинтервале .

3. Найдите область определения функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Найдите множество значений функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Пример 11

1) Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции  точка с координатами ? Решение: Данная точка принадлежит графику функции , так как .

2) Найти наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке . Решение: По графику функции  определяем, что на отрезке    - наименьшее значение функции;  - наибольшее значение функции.

3) Найти область определения функции . Решение: Областью определения функции является множество  всех действительных чисел, кроме . То есть .

4) Найдите множество значений функции . Решение: Домножим на 3 все части неравенства: Прибавим -1 ко всем частям неравенства: Значит

Упражнение 11 (Упр.11.1 (а,б), упр.11.2 (а,в), 11.3 (а,б), 11.4 (а,б))

1. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции  точка с координатами:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Принадлежит ли графику функции  точка с координатами:

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функций  и :

а) на отрезке ;	б) на луче ;
в) на интервале ;	г) на полуинтервале .

3. Найдите область определения функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Найдите множество значений функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

• 1 слайд

  21.03.2016
  Свойства и графики тригонометрических функций
  

• 2 слайд

  Свойства функции y = sin x и ее график
  Свойства функции y = cos x и ее график
  Свойства функции y = tg x и ее график
  Свойства функции y = ctg x и ее график
  Решение задач
  Домашнее задание
  Содержание
  

• 3 слайд

  Тригонометрическими функциями называются функции вида: y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx.
  Тригонометрические функции
  

• 4 слайд

  Свойства функции y = sin x и ее график
  Составим таблицу значений, для построения графика функции y = sin x
  

• 5 слайд

• 6 слайд

  Синусоида
  
  
  у
  
  1
  -π/2 π 2π 3π х
  -π 0 π/2 3π/2 5π/2
  -1
  
  

• 7 слайд

  1)D(y)=
  2)E(y)=
  3)
  
  4)sin(-x)=-sin x
  
  5)Возрастает на
  Убывает на
  6)Периодичная
  
  
  
  
  
  

• 8 слайд

  Свойства функции y = cos x и ее график
  

• 9 слайд

  y= cos x
  
  
  у
  
  1
  -π/2 π 2π 3π х
  -π 0 π/2 3π/2 5π/2
  -1
  
  

• 10 слайд

  Функция y = cos x, её свойства и график.
  1)D(y)=
  2)E(y)=
  3)
  
  4)cos(-x)=cosx
  
  5)Возрастает на
  Убывает на
  6)Периодична
  
  

• 11 слайд

  Свойства функции y = tgx и ее график
  

• 12 слайд

  Получим график вида:
  

• 13 слайд

  Функция y = tg x, её свойства
  1.D(y)=
  2.E(y)=
  
  3.tg(-x)=-tgx
  
  4.Возрастает на
  
  5.Периодичная
  
  1
  -1
  

• 14 слайд

  Тангенсоида
  1
  -1
  

• 15 слайд

  y = tg x
  y=tg(x-π/2)
  1
  -1
  

• 16 слайд

  Свойства функции y = ctg x и ее график