Тайны круговых чисел ( проектная работа)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ-

           СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 13

                                       ШКОЛЬНЫЙ КОНКУРС

ЮНОШЕСКИХ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ «ДЕНЬ НАУКИ»

                                   ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

               ПО НАПРАВЛЕНИЮ «МАТЕМАТИКА»

ТЕМА: «Тайны круговых чисел»

                                                                      Выполнили

                                                                      Назаров Даниил

                                                                      Ким Алексей

                                                                      Раковский Алексей

                                                                       Класс: 8 А

                                                                       Руководитель

                                                                       Бовт Людмила Васильевна

                                                                       Должность:

                                                                       Учитель математики

                                          г. Клин,2016

               Оглавление

Введение…………………………………………………………………………

Глава первая.  Кругообразность…..……………………………………………

Глава вторая.  Период кругового числа………………………………………...

Глава третья.  Принцип круговых чисел………………………………………

Заключение………………………………………………………………………

Библиографический список используемой литературы и электронных ресурсов………………………………………………………………………….

                                                    Введение

     Актуальность работы: эти числа обладают рядом таинственных свойств. Прежде всего их главная особенность состоит в так называемой кругообразности.

    Теперь мы знаем, что круговые числа основаны на очень простых свойствах некоторых чисел и математических действий. Однако и теперь такие тайны чисел являются великолепными развлечениями в товарищеском кругу, они вызывают искреннее изумление и общий интерес.

    Объект работы: нить, которая может привести к разгадке тайны круговых чисел.    

Цель работы: исследовать тайны круговых чисел.

     Задачи:

1.     Изучить особенности кругообразности.

2.     Привести рассуждения основываясь на принципе круговых чисел.

    Гипотеза: на уроках математики и в повседневной жизни, в своём лексиконе мы не используем слова «круговые числа», вот и хочется понять существуют ли такие числа? Какие свойства приведут к разгадке тайны круговых чисел?

Глава 1. Кругообразность.

Эти числа обладают рядом таинственных свойств. Прежде всего их главная особенность состоит в так называемой кругообразности. Заключается она в том, что, например, число 142 857, умноженное на 2, 3, 4, 5, 6 (но не на 7), дает произведение, которое слагается из тех же самых цифр, но поставленных в другом порядке, при сохранении, однако, цикличной очередности их следования. Итак,

2*142 857= 285 714;

3*142 857= 428 571;

4* 142 857= 571 4.

          Нитью, которая может привести к разгадке тайны круговых чисел, является совершенно исключительное произведение 7*142 857, равное 999 999.

          Отсюда легко сделать вывод, что число 142 857 представляет собой период дроби 1/7 при превращении ее в десятичную дробь. Все свойства числа 142 857 мы найдем в каждом числе, составляющем период дроби типа 1/p, если этот период имеет (p – 1) цифр, а p будет простым числом.

           Круговое число дает, например, дробь:

1/17 = 0, (0588235294117647)

           Действительно, если период этой дроби обозначить через x, то получится такая таблица:

1 * ω = 0588235294117647

2 * ω = 1176470588235294

3 * ω = 1764705882352941

……………………………

……………………………

15 * ω = 8823529411764705

16 * ω = 9411764705882352

17 * ω = 9999999999999999

Глава 2. Период кругового числа. 

 Этими же самыми свойствами обладает также в своем развернутом виде период дроби .

1/29 = 0,(0344827586206896551724137931).

Но редкое число десятичных знаков дает знаменатель 1913(это простое число). Период дроби с этим знаменателем будет круговым числом с 1912 цифрами.

1/1913 = 0,(0005227391531…9012023)

………………………………………….

………………………………………….

1912/1913 = 0,(9994772608468…0987976).

Кто не верит, пусть проверит!

Можно доказать, что каждая простая дробь типа 1/p, где p – простое число, дает при превращении ее в десятичную дробь период с числом цифр, которое будет делителем числа (p – 1).

При делении остаток должен быть, конечно, всегда меньше делителя, поэтому при делении для получения десятичной дроби единицы на p разных остатков может быть максимум p – 1, после чего они начнут повторяться.

Так, например, для дроби 1/7 получаем последовательно:

1/7 = 0,1 3/7 =0,14 2/7=0,142 6/7=0,1428 4/7=0,14285 5/7=0,142857 1/7,

И от этого момента числители начнут повторяться.

Отсюда ясно также, что если 142 857 мы будем поочередно умножать 3, 2, 6, 4, 5, то в произведении будут получаться периоды, начинающиеся соответственно после первой, второй, третьей, четвертой и пятой цифрой. Если период, полученный при обращении дроби 1/p в десятичную дробь, насчитывает p–1/2 цифр, то тогда мы будем иметь дело с другим типом круговых чисел. Умножая этот период на числа от 1 до p – 1, получим две группы круговых чисел.

Лучше всего это видно на примере:

1/13 = 0(076923).

Возвратимя теперь к числу 142 857, чтобы отменить еще одного его свойства, ранее не замеченное нами.

Умножая период ω=076923 на числа 1,2,….,12, получим циклические многократные числа:

 1*ω = 076923               2*ω = 153846

 3*ω = 230769               5*ω =384615

 4*ω = 307692               6*ω =461538

 9*ω = 692307               7*ω =538461

10 *ω =769230              8*ω = 615384

12 *ω = 923076             11*ω = 846153

Возвратимся теперь к числу 142 857, чтобы отметить еще одно его свойство, ранее не замеченное нами.

Две половины числа 142 857 дают в сумме 142+857= 999.

То же самое происходит с каждым круговым числом, если его разделить пополам; так что периода 0588235294117647, который получается при преобразовании дроби 1/17 в десятичную, получается:

05882352

+

94117647

_________

99999999

Это же относится и к круговым числам второго типа, но не всегда. Для периода 076923, получаемого при преобразовании дроби 1/13, мы, правда, имеем 076+923=990, но к периоду дроби

1/31=0,(032258064516129) применить это уже нельзя.

Основываясь на вышеприведенных рассуждениях, можно значительно облегчить превращение простой дроби типа 1/p (где р – простое число) в десятичную дробь. А именно, после того как мы нашли какое-то число десятичных знаков и в остатке получилось сравнительно небольшое число, мы можем отыскать дальнейшие цифры, умножая полученное частное на остаток.

Глава 3. Принцип кругового числа.

И здесь пример лучше всего объяснит суть дела.

Предложим, что мы хотим перевести простую дробь 1/97 в десятичную. Деля числитель на знаменатель, мы получим, например, ряд цифр 0,01030927835 и остаток 5, а именно:

1/97 = 0,01030927835 5/97

Последующие десятичные знаки, очевидно, будут такими, какие дала бы дробь 5/97, которая представляет собой 5*1/97. Поэтому вместо дальнейшего деления мы можем полученный уже ряд цифр умножить на 5 или, еще лучше, прибавив с  правой стороны 0, разделить на 2 и таким образом получить 11 после дующих десятичных знаков искомой дроби.

Основываясь на принципе круговых чисел, можно построить диск … почти магический, написав на трех подвижных его кругах одно и тоже число: 0588235294117647.

Складывая и вычитая числа двух кругов, мы каждый раз будем получать то же самое число, только передвинутое на несколько цифр в сторону,

+0588235294117647                            -    2352941176470588           

 2352941176470588                                  0588235294117647

       2941176470588235                        1764705882352941.

Заключение.

Итак, тайны круговых чисел или еще можно назвать «цикличность» числа объясняется тем, что оно является периодом десятичной дроби, полученным при переводе из обыкновенной.

Библиографический список.

1.     Щепан Еленьский, «По словам Пифагора» Изд.М- 1961г.

2.     Алгебра 7 класс, С.М. Никольский, Изд. Просвещение, М- 2015г