Теорема сложения вероятностей
несовместных событий
Суммой конечного числа
событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.
Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий
символом
А1+А2+ … +Аn.
Теорема
сложения вероятностей.
Вероятность
суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей
этих событий.
или
Следствие
1.
Если событие А1, А2, … ,Аn
образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна единице.
.
Следствие
2.
Сумма вероятностей противоположных событий и равна единице.
.
Задача 1. Имеется 100
лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000
руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на
остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет
получен выигрыш не менее 10000 руб.
Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том,
что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и
10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то
.
Задача 2. На заочное
отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А,
В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города А
равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная
контрольная работа поступит из города С.
Решение. События «контрольная работа поступила из
города А», «контрольная работа поступила из города В» и «контрольная
работа поступила из города С» образуют полную систему, поэтому сумма их
вероятностей равна единице:
,
т.е. .
Задача 3. Вероятность
того, что день будет ясным, . Найти вероятность того, что день будет облачным.
Решение. События «день ясный» и «день облачный»
противоположные, поэтому
, т.е
.
Теорема умножения вероятностей
независимых событий
При совместном рассмотрении двух случайных событий А
и В возникает вопрос:
Как связаны события А и В друг с
другом, как наступление одного из них влияет на возможность наступления
другого?
Простейшим примером связи между двумя событиями
служит причинная связь, когда наступление одного из событий обязательно
приводит к наступлению другого, или наоборот, когда наступление одного
исключает возможность наступления другого.
Для характеристики зависимости одних событий от
других вводится понятие условной вероятности.
Определение. Пусть А
и В - два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной
вероятностью события А или вероятностью события А при условии, что
наступило событие В, называется число .
Обозначив
условную вероятность , получим формулу
, .
Задача 1. Вычислить
вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй
мальчик.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что в
семье два мальчика, а событие В - что один мальчик.
Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик;
мальчик и девочка; девочка и мальчик; девочка и девочка.
Тогда
, и
по формуле находим
.
Событие
А называется независимым от события В, если
наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность
наступления события А.
Теорема
умножения вероятностей
Вероятность
одновременного появления двух независимых событий равна произведению
вероятностей этих событий:
.
Вероятность
появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по
формуле
.
Задача 2. В первой урне
находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из
каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара
окажутся белыми.
Решение. Пусть - из
первой урны извлечен белый шар; - из второй урны
извлечен белый шар. Очевидно, что события и независимы.
Так
как , , то
по формуле находим
.
Задача 3. Прибор состоит
из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого
элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3.
Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента
будут работать.
Решение. Пусть событие А- выход из строя
первого элемента, событие В- выход их строя второго элемента. Эти
события независимы (по условию).
а)
Одновременное появление А и В есть событие АВ.
Следовательно,
.
б)
Если работает первый элемент, то имеет место событие (противоположное
событию А- выходу этого элемента из строя); если работает второй
элемент- событие В. Найдем вероятности событий и
:
;
.
Тогда
событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть и, значит,
.
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.