§ 2. Конечные
и бесконечные множества
Цель:
создать
условия для формирования умения оперировать понятиями конечное и бесконечное
множества, количество элементов конечного множества, взаимно однозначное
соответствие, сравнение бесконечных множеств, равномощные множества,
формировать умение обосновывать формулу включения-исключения, применять её для
решения задач.
Задачи:
• образовательные:
знакомство с понятиями конечное и бесконечное
множества, количество элементов конечного множества, взаимно однозначное
соответствие, сравнение бесконечных множеств, равномощные множества, формировать умение обосновывать формулу
включения-исключения, применять её для решения задач.
• развивающие:
развитие познавательного интереса учащихся; развитие
интеллектуальной сферы личности, развитие умений сравнивать и обобщать.
• воспитательные:
воспитывать аккуратность и внимательность при решении
заданий.
Тип
урока: урок общеметодологической
направленности.
Учебник
Алгебра и начала математического анализа. Углубленный
уровень: 10 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций/ А.Г.
Мерзляк. Д.А.Номировский, В.М.Поляков. –М.: Вентана –Граф, 2020.- 480 с. : ил
Оборудование:
Интерактивная доска, ДМ.
Формируемые
результаты
Предметные:
владеть понятиями: конечное и бесконечное множества, количество элементов
конечного множества, взаимно однозначное соответствие, сравнение бесконечных
множеств, равномощные множества, счётные множества; формировать умение
обосновывать формулу включения-исключения, применять её для решения задач.
Личностные:
формировать умение формулировать собственное мнение.
Метапредметные:
формировать умения определять понятия, создавать обобщения, устанавливать
аналогии, классифицировать.
Планируемые
результаты: Учащийся научится оперировать понятиями:
конечное и бесконечное множество, количество элементов конечного множества,
взаимно однозначное соответствие, сравнение бесконечных множеств, равномощные
множества, счётные множества; обосновать формулу включения-исключения,
применять её для решения задач.
Основные
понятия: Конечное множество, количество элементов
конечного множества, бесконечное множество, сравнение бесконечных множеств,
формула включения-исключения, взаимно однозначное соответствие, равномощное
множество, счётное множество.
Ход
урока:
Организационная
структура урока
|
Этапы
проведения урока
|
Форма
организации УД
|
Задания
для учащихся, выполнение которых приведёт к достижению планируемых
результатов
|
|
Учебник
|
Дидактические
материалы
|
|
1. Организационный
этап. Актуализация опорных знаний.
А)Повторение
понятия множества и его обозначения, способов задания.
Понятие
множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических
понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором,
создателем теории множеств.
Множество
— это
совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как
единое целое. Под множеством мы можем понимать: учеников класса, фрукты,
деревянные предметы, числа и т. д.
Множества
принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A,B,C,D и т. д.). Множество
можно задать перечислением всех его элементов, заключенных в фигурные скобки:
|
|
2.
Постановка формируемых результатов урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.
|
|
3.
Ознакомление с новым материалом.
а)введение
понятий конечное и бесконечное множество.
Конечным
множеством называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Множество
называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов.
Таковы, например, множество всех натуральных чисел, множество точек
окружности, множество прямых, проходящих через точку плоскости, и т. д.
Обозначение:
Если А- конечное множество, то количество элементов обозначается так: n(A)=.
Например, А-количество дней недели, n(A)=7. А-множество двузначных чисел,
n(A)=90.
б)Введение взаимно однозначного соответствия множеств
и правил нахождения количества элементов в множествах:
-
Пусть
А и В – такие конечные множества, что А∩В= Ø. Тогда
n(AȖВ)=n(A)+n(B) (1)
-
Если
А и В – конечные множества, что А∩В≠ Ø, то в сумму n(A)+n(B) дважды
входит количество элементов их пересечения. То есть дважды учитывается число n(A∩B).
Поэтому
n(AȖB)=n(A)+n(B)-n(А∩В)
(2)
 
Правила нахождения количества элементов в множествах:
если
множества не пересекаются, то количество элементов в их объединении равно
сумме количеств элементов в каждом из них:
n(А∪
В)=n(А)+n(В)
если
множества пересекаются, то количество элементов в их объединении равно сумме
количеств элементов в каждом из них без количества элементов их пересечения:
n(А∪В)=n(А)+n(В)-
n(А ∩В)
если
множество А является подмножеством В, то количество элементов в дополнении
множества А до множества В равно разности количества элементов множества В и
количества элементов множества А:
n( А / В
)=n(А)–n(В)
Разбор примеров:
Пример 1.
n(A⋃B)= n(A)+n(B)–n(A⋂B)
A={1,2,3,4,5,6}
B={2,4,6,8}
A⋂B={2,4,6}
n(A⋃B)=6+4–3=7
Пример 2.
В
классе 17 пловцов, 8 борцов и 13 футболистов. Известно, что в классе 25
детей, а ребят занимающихся футболом и плаваньем — 10, борьбой и плаваньем —
3, борьбой и футболом — 2 и только один ребенок занимается всеми тремя видами
спорта. Сколько детей в классе не занимаются спортом?
Дано:
n(A)=17, n(B)=8,n(C)=13
n(A⋂B)=3,n(A⋂C)=10,n(B⋂C)=2
n(A⋂B⋂C)=1
по
формуле включения:
n(A⋃B⋃С)=n(A)+n(B)+n(C)–n(A⋂B)–n(A⋂C)–n(B⋂C)+n(A⋂B⋂C)=17+8+13–3–10–2+1=24
Таким
образом, в классе 24 ребенка занимаются хотя бы одним видом спорта. Ответ 1.
|
|
4
Закрепление изученного материала
|
Ф
И
|
№2.1,2.3,2.4,
2,6 ,2.8,2.15
|
ДМ №№
|
|
7.
Рефлексия учебной деятельности
|
|
-
Ответьте на вопросы, стр.18 вопросы 1-5 к §2.
Задания:
1)Среди
перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества: а)
множество чисел, кратных 11; б) множество делителей числа 5; в) множество
океанов; г) множество натуральных чисел; д) множество рек Ростовской области;
е) множество корней уравнения х - 3 = 10; ж) множество решений неравенства х
+ 2 < 3.
При
выполнении каких заданий вы ошиблись ? Почему?
Каковы
причины успехов (неудач) вашей деятельности.
|
|
8.
Информация о
домашнем
задании.
|
|
§2,№2.2,2.5.
|
|
|
|
|
|
|
№ 2.7. Поскольку все элементы первого множества дают разные
остатки при делении на 3, то между данными множествами установлено взаимно
однозначное соответствие.
№
2.8. Если каждую цифру пятизначного числа, все цифры которого чётны, увеличить
на 1, то получим пятизначное число, все цифры которого нечётны. Но, например,
число 11 111 с помощью такой операции получить нельзя.
№
2.9. Если в числе, все цифры которого записаны в порядке возрастания,
поменять порядок следования цифр на противоположный, то получим число второго
вида. Однако с помощью такой операции получить число, последняя цифра которого
равна нулю, нельзя.
№
2.10. Каждому четырёхугольнику поставим в соответствие точку пересечения его
диагоналей. Каждой точке пересечения двух диагоналей данного n-угольника
поставим в соответствие четырёхугольник, вершины которого — концы данных двух
диагоналей.
№
2.15. Пусть А — это множество учащихся, решивших только первую задачу, В —
множество учащихся, решивших только вторую задачу, С — множество учащихся,
решивших только третью задачу.
Запишем
формулу включения-исключения для трёх множеств:
n(A
∪
B ∪
C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩
C) – n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C).
По
условию
n(A ∪
B ∪
C) = 46, n(A ∩ B) = 11, n(B ∩ C) = 8, n(C ∩
A) = 5, n(A ∩ B ∩ C) = 2. Отсюда
n(A) + n(B) + n(C) = 68. Если бы каждую задачу решили
меньше половины всех участников, то левая часть последнего равенства не
превосходила 66. Получили противоречие.
2
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.