Технологическая карта урока "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия" 9 класс

Предмет: Математика

Класс: 9

Тема:  «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели:

Образовательная: формирование представлений о бесконечно убывающей геометрической прогрессии, о сумме  бесконечно убывающей геометрической прогрессии, умений решать задачи на нахождение  суммы  бесконечно убывающей геометрической прогрессии.   

Воспитательная: воспитание потребности к самообразованию, привитие интереса к предмету.

Развивающая: развитие познавательной активности учащихся, связной речи; критического мышления; умения работать и взаимодействовать в группе одноклассников.

Приемы ТРКМ: «Корзина идей», «РАФТ».

Продолжительность: 45 мин

Учебник: Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. Теляковского. - М. «Просвещение», 2012.

Оборудование: ПК, документ-камера, мультимедийный проектор, экран.

Этапы урока	Информационно-методическое обеспечение, ЦОРы	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
I.Организационный момент		Учитель приветствует детей.
II.Актуализация знаний.	Слайд 1, 2 Компьютерное тестирование	- Мы продолжаем изучение геометрической прогрессии. Вспомним, какая последовательность называется геометрической прогрессией? Выполните тест. Отметки по желанию учащихся выставляются в журнал.	Ученики на компьютерах выполняют тест. Анализ ответов. Ответы к тесту выводятся на экран.
III.Стадия вызова Прием «Корзина идей» Постановка цели урока	Слайд 3 Макет корзины. Слайд 4 Слайд 5 Слайд 6	- Зная формулы геометрической прогрессии, мы умеем решать интересные задачи литературного, исторического и практического содержания на прогрессию. Решите еще одну задачу про героя троянской войны Ахиллеса: «Ахиллес бежит со скоростью в 10 раз быстрее, чем черепаха и изначально находится на расстоянии 1000 шагов от нее. Какое общее расстояние, пройденное Ахиллесом до встречи с черепахой?»      - Обсудите в парах и составьте план решения задачи. Все идеи «сбрасываем в корзину»  Все мнения, выражения  записываются учителем или учениками  в «корзине» идей на доске (без комментариев), даже если они ошибочны.  Основное условие – не повторять то, что уже было сказано другими. - Попробуем систематизировать полученную информацию. - Таким образом, получаем последовательность 1000, 100, 10, 1, 0,1, 0,01… - Что можете сказать о данной последовательности?  - Конечной или бесконечной? Убывающей или возрастающей? Какой знаменатель прогрессии? - Как вычислить общее расстояние, пройденное Ахиллесом до встречи с черепахой? - Вычислите сумму по известным формулам геометрической прогрессии. - На какие вопросы хотели бы получить ответы? - Как назовем тему сегодняшнего урока?  - Открываем тетради, пишем тему урока. Учитель конкретизирует цели урока, обращает внимание на «идеи в корзине» и вместе с учащимися обсуждают, какие идеи ошибочны, какие ближе к ответу, какие необходимо еще уточнить. Исправляются ошибки.	Учащиеся обсуждают решение в парах. Выражения  записываются учениками на доске. - Когда Ахиллес пробежит 1000 шагов, черепаха проползет в 10 раз меньше, то есть 100 шагов. Расстояние между Ахиллесом и черепахой будет 100 шагов. Тогда Ахиллес пробежит 100 шагов, а черепаха проползет 10 шагов. После этого между Ахиллесом и черепахой будет расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес пройдет 10 шагов, черепаха проползет 1 шаг. Когда Ахиллес пройдет 1 шаг, черепаха проползет еще 0, 1 шага и все равно будет дальше него. Так можно продолжать до бесконечности. - Последовательность является геометрической прогрессией. - Бесконечно убывающая. Знаменатель   . - Сложить числа 1000+100+10+1+  +  +  +… - Невозможно. Членов прогрессии бесконечно. - Как определить, является  геометрическая прогрессия убывающей? - Как вычислить сумму, если геометрическая прогрессия убывающая и бесконечная? - Сумма бесконечно убывающей прогрессии. Дети записывают тему.
IV.Стадия осмысления Первичное закрепление	Каждая группа работает с учебником и дополнительным материалом на компьютере. Слайд 7 Слайд 8 Слайд 9	- Найдем сумму разными способами. Первая группа вычисляет сумму первым способом, вторая – вторым, третья – третьим способом. IV группа выводит формулу суммы, используя материал учебника. Для этого в группе разбираете указанный выше способ  нахождения суммы и применяете для нашей последовательности.   - Командиры с помощью членов группы представляют свое решение. - Какое общее расстояние, пройденное Ахиллесом до встречи с черепахой?  - Какой вывод можно сделать из этих решений? - Какое условие должно выполняться, чтобы геометрическая прогрессия была бесконечно убывающей? - Что для этого необходимо знать? - Решите задачу: «Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1метр, второй -1/2 м., третий 1/4  м и т. д. так, что длина следующего шага в 2 раза меньше длины предыдущего. Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 метра?» - Вернемся к задаче про Ахиллеса и черепаху. Расстояние, которое потребуется преодолеть Ахиллесу, чтобы догнать черепаху, равно - Все согласны с таким ответом: быстрый Ахиллес догонит медлительную черепаху. - Всем известно, что такое софизмы. Очень интересны математические софизмы древнегреческих философов-математиков. Разгадать один из самых известных софизмов древнегреческого философа Зенона — парадокс Ахиллеса и черепахи, будет вашим домашним заданием.	Класс делится на 4 группы. Находят сумму различными способами. Каждая группа свое решение оформляет в тетради. Для презентации работы используют документ-камеру, доску. Последней выступает группа, вычисляющая сумму по формуле суммы геометрической прогрессии. - S=1000+100+10+1+0,1+…= 1111. Расстояние, которое потребуется преодолеть Ахиллесу, чтобы догнать черепаху, равно   1111 и одна девятая шага (0,111…=. - Мы нашли сумму бесконечной прогрессии. - Даже бесконечное количество слагаемых в сумме может давать конечную величину, если пренебречь малой величиной   - Первый член прогрессии и знаменатель. S=   Дети формулу записывают в тетрадях. Индивидуальная работа. Решение. 1,  1/2, 1/4, 1/8, … S=   S= =2 Ответ: нет. - 1111 и одна девятая шага (0,111…=  1/9). - Да. Ахиллес догонит черепаху и обгонит ее.
V.Стадия рефлексии. Прием «РАФТ» Заключительный этап		- Предлагаю каждому составить рассказ (не более 5 предложений) по теме: «Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии». Работа по вариантам. Учитель просит озвучить несколько рассказов и обсудить: если мама с папой прочитают такой рассказ, все ли им будет понятно? - Подведем итоги. - Что нового узнали на уроке? - Цели урока выполнены? - Что интересного было на уроке? - Что вызвало затруднение? Какие вопросы вы бы задали по этому поводу? - Не осталось ли в корзине идей? - Оценки.	Учащиеся 1 варианта пишут от своего имени своим родителям; учащиеся 2 варианта пишут от своего имени одноклассникам. Пример рассказа: «Мама и папа! Сегодня на уроке по теме "Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии " я узнал, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии конечное число. Узнал, что в математике бесконечно малой величиной можно пренебречь. Чтобы вычислить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии я должен знать формулу, первый член прогрессии и знаменатель. Меня заинтересовали софизмы».
VI. Домашнее задание	Слайд 10	- Разгадать парадокс Ахиллеса и черепахи. - Почему данная задача древним представлялась неразрешимою?    - Какую роль играют математические софизмы?

Тест

Выберите верный ответ

1. Геометрическая прогрессия - это

а) числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d;

б) числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число g;

в) числовая последовательность, все члены которой  отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число g.

2. Какая из последовательностей является геометрической прогрессией

а) 13, 25, 37, 49,…

б) -10, 20, -40, 80,…

в) -7, -2, 3, 0,…?

3. Какая геометрическая прогрессия  является убывающей

а) -6, -3, -1,5,…

б) ,  ,  ,  ,…

в) -,  - ,  - ,  - ,…?

4. В геометрической прогрессии    0,1, 0,001, 0,00001,…

найдите знаменатель

а)

б) 

в) 0, 0001

5. Формула для нахождения суммы n-первых членов геометрической прогрессии

а) S_n=

б) S_n=

в) S_n=·n.

Нахождение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Способ 1.

Обозначим сумму через S:

S= 1000+100+10+1+  +  +  +…

Тогда 10S=10000+1000+100+10+1+…

10S=10000+S,

9S=10000,

S=10000/9,

S=1111.

Способ 2.

Ахиллес догонит черепаху, пробежав некоторое расстояние S. За это время черепаха, скорость которого в 10 раз меньше, проползет расстояние , и расстояние между ними уменьшится на S-. =. Если в начале оно равнялось 1000 шагам, а в момент встречи стало нулевым, то =1000 иS=10000/9.

Способ 3.

По формуле суммы геометрической прогрессии S_n=, где g=, а с ростом n   бесконечно мало, и им можно пренебречь. Тогда S_n=,  S_n=.

S==

Литература:

1. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. Теляковского. - М. «Просвещение», 2012.

2. Гельфанд И. М., Шень А.Х. АЛГЕБРА. – М.: ФАЗИС, 1998.