Технологическая карта урока "Неравенства, связывающие средние величины"

Технологическая карта урока

Предмет: Алгебра и начала анализа  Класс: 10

Учебник (УМК): М.И.Шабунин. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса.

Тема урока: Неравенства, связывающих средние величины.

Тип урока:

-        по ведущей дидактической цели: изучение нового материала;

-        по способу организации: синтетический;

-        по ведущему методу обучения: проблемный.

Цели урока:

1.      Деятельностная: формирование универсальных учебных действий на примере рассмотрения средних величин.

2.      Предметно-дидактическая: формирование знаний о средних величинах и установление связи между ними.

Планируемые результаты обучения, планируемый уровень достижения целей:

Вид планируемых учебных действий	Учебные действия	Планируемый уровень достижения результатов обучения
Предметные	Определение средних величин, построение доказательства неравенств, содержащих средние величины	Знают определение средних величин, умеют доказывать неравенства, содержащие средние величины и дают графическую интерпретацию средних величин
Регулятивные	Постановка и решение учебной проблемы, выдвижение и доказательство гипотезы решения	Участвуют в постановке и решении учебной проблемы, выдвигают и доказывают гипотезу решения поставленной задачи
Познавательные	Сравнение средних величин между собой	Сравнивают средние величины между собой, выполняют построение доказательства неравенств со средними величинами
Коммуникативные	Умение выражать свои мысли с использованием математических терминов и описывать свои действия	Умеют с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации, аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию невраждебным для оппонентов образом, описывать содержание совершаемых действий в форме речевых значений с использованием математических терминов
Личностные	Воспитание ценностно-смыслового отношения к математике как одному из важнейших инструментов познания и преобразования окружающего мира	Осознают роль математики в познании и преобразовании окружающего мира.

Методы обучения:

-        основной: проблемный;

-        дополнительные: диалог, объяснение.

Основные вопросы:

1.  Определение средних величин.

2.  Сравнение четырёх средних, доказательство неравенств.

3.  Геометрическая интерпретация средних величин

Учебные проблемы урока:

Противоречия в содержании урока.	Система учебных проблем урока
1. Знают понятия среднего арифметического и среднего геометрического, но не знают понятия среднего гармонического и среднего квадратического.	1.      Почему среднее арифметическое равно средней линии трапеции? 2.      Длины каких отрезков трапеции равны среднему геометрическому, среднему гармоническому и среднему квадратическому оснований трапеции?

Средства обучения:

-        М.И.Шабунин. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса.

-        М.И.Шабунин. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: задачник для 10-11 класса.

Ход урока:

Этап урока	Методы, обучения	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Мотивационно-целевой этап	Создание проблемной ситуации	Организационный момент Постановка учебной проблемы: Что такое -среднее арифметическое двух величин -среднее геометрическое двух величин -среднее гармоническое двух величин Опр. Средним гармоническим двух величин называется . -среднее квадратическое двух величин Опр. Средним квадратическим двух величин называется . Связь между ними.    при а>0 и b>0 Надо доказать, что это так.	Варианты ответов и условия существования данных величин ? ? Варианты связи величин между собой. Выдвижение гипотез доказательства
Ориентировочный этап	Актуализация опорных знаний и умений учащихся	Устные упражнения 1. Сравните числа а и b, если: 1) а – b = -5; 2) а – b = 4,5; 3) b – a = 0,5; 4) b – а = -0,1; 5) а – b = 0. 2. Представьте в виде квадрата двучлена выражение: 1) х2 – 2х + 1; 2) m2 + 10m + 25; 3) х2 – 6m + 9; 4) m2 – mn + n2 – mn; 5) х – 2 √ху + у (х > 0; у > 0). 3. Сравните с нулем значение выражения: 1) m2; 2) m2 + 1; 3) (m + 1)2; 4) m2 + 2mn + n2 + 1.	Ответы: Устные 1)      а меньше b 2)      a больше b 3)      b больше а 4)      b меньше а 5)      а равно b Записывают на доске (по одному) 1)      (х-1)2 2)      (m+5)2 3)      (x-3)2 4)      (m-n)2 5)      (√х-√у)2 Устные ответы: 1)      больше или равно 0 2)      больше 0 3)      больше или равно 0 4)      больше 0
Поисково-исследовательский этап	Мозговой штурм, объяснение, демонстрация	Способы доказательства исходного неравенства? Шаги доказательства?	Предлагают последовательность доказательства, далее один ученик у доски доказывает, остальные предлагают алгоритм доказательства. 1.      Докажем, что среднее геометрическое меньше, чем среднее арифметическое. Сравним с нулем разность:  ==≥ 0 => 2.      Докажем, что среднее гармоническое меньше среднего геометрического, используя сравнение разности этих величин с нулем: - √ab =…= - . 3.      Докажем, что среднее арифметическое меньше среднего квадратического: Возведем обе части неравенства в квадрат и сравним разность с нулем, получим
Практический этап	Доказательство геометрических интерпретаций средних величин	Диалог: Рассмотрим произвольную трапецию ABCD 1.      Почему среднее арифметическое равно средней линии трапеции? Оказывается, что и остальные средние имеют для трапеции определенный геометрический смысл. 2.      Среднее гармоническое равно длине отрезка, параллельного основаниям трапеции и проходящего через точку пересечения её диагоналей. (EF) 3.      Среднее геометрическое равно длине отрезка, параллельного основаниям трапеции и разбивающего трапецию на две подобные. (MN) 4.      Среднее квадратическое равно длине отрезка, параллельного основаниям трапеции и разбивающего её на две равновеликие. (PQ)	Один человек у доски доказывает, остальные выстраивают алгоритм доказательства. 1.      По определению средняя линия трапеции равна полусумме оснований, что и есть среднее арифметическое.               B              а                    C                               O         h1        Е        K                                   F       M                                                   N      P                                                       Q                   L                     h2   А                            b                                D 2.      Рассмотрим ΔАЕО и ΔАВС: подобны по 1 признаку, тогда  или , но и  (из подобия ΔОВС и ΔАОD) => EO=, EF= = чтд. 3.      В трапециях AMND и MBCN углы соответственно равны, значит, они подобны. ВС=а, AD=b и MN=, тогда . Докажем, что . Для этого проведем ВК||ML||CD, тогда MК=-a, AL=b-. Треугольники AEL и EBK подобны, поэтому == => стороны пропорциональны. Аналогично доказывается пропорциональность других сторон. Чтд. 4.      Отрезок PQ разбивает трапецию на две равновеликие, пусть площадь верхней трапеции равна S1=(a+PQ)h1:2, а площадь нижней S2=(b+PQ)h2:2, и площадь всей трапеции S=(a+b)(h1+h2):2, тогда из определения равновеликости трапеций получаем S1=S2 и S=2S1. Умножив оба уравнения на 2 и разделив на h1, заменим h2:h1=у, PQ=x, тогда получим систему двух уравнений: Решив систему,  находим PQ= чтд.
Рефлексивно-оценочный этап	Диалог	Организует деятельность по анализу работы на уроке: - Где вы испытывали затруднения? - Понятен ли алгоритм доказательства и геометрическая интерпретация? - Для чего же нужны знания средних величин? Ответ: Среднее арифметическое – статистическая характеристика, показывающая средний доход, возраст, балл и тд. Среднее геометрическое – оценка доходности вклада под сложный процент. Среднее гармоническое – средние затраты времени на производство единицы продукции Среднее квадратическое – оценка риска производства продукции. Чем меньше величина, тем меньше отклонение от плана производства. Домашнее задание: стр. 106 № 6	Отвечают на вопросы, участвуют в обсуждении, анализируют, делают выводы.