Технологическая карта урока в 10 классе по теме "Логарифмы"

Технологическая карта урока  

Тема: Логарифмы.

Класс: 10

Предмет: алгебра 

УМК (авторы): Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова и др.

Тип урока (занятия): урок  «открытия»  нового знания

Планируемые результаты:

знать определение и основное свойство логарифмов;

уметь применять основное свойство логарифмов в разных ситуациях;

иметь представление о практическом применении логарифмов.

Предметные (знания, умения, представления):

Метапредметные (познавательные, регулятивные, коммуникативные УУД):

Познавательные: формировать умение выделять закономерность

Регулятивные: формировать способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию в преодолении препятствий; уметь обобщать, анализировать,  делать выводы из полученной информации

Коммуникативные: формировать навыки учебного сотрудничества в ходе фронтальной, индивидуальной и групповой работы

Личностные (УУД): независимость и критичность мышления, воля и настойчивость в достижении цели.

Образовательная цель:

познакомиться с понятием логарифма, его обозначением, применением к решению показательных уравнений;

учиться вычислять логарифмы с помощью изученного понятия;

вывести простейшие свойства логарифма и закрепить их при вычислении логарифмов.

 Развивающая цель:

развивать сознательное  восприятие учебного материала, логическое мышление,  внимание и умение делать выводы на основе известных фактов;  формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки.

 Воспитательная цель:

воспитывать познавательную активность,  любовь и уважение к предмету, познакомиться с историей появления термина и ролью логарифма в жизни общества.

 Педагогические технологии (педагогические техники):  проблемного обучения, информационно-коммуникационные технологии, проектная деятельность

Методы обучения: проблемного диалога,  ИКТ-технология, частично - поисковый

 Средства обучения:  учебник, компьютер, мультимедийный проектор, презентация PowerPoint «Понятие  логарифма»,  раздаточный материал для       каждого ученика, рабочая тетрадь ученика.

Этапы урока	Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность учеников. Задания, которые приведут к достижению запланированных результатов	Планируемые результаты обучения (на уровне УУД)	Задания, которые приведут к достижению запланированных результатов
1	Организационный момент (2 мин)	Приветствует учащихся, сообщает структуру урока.	Настраиваются на работу, получают позитивный заряд, концентрируют внимание.	Личностные: самоопределяются, настраиваются на урок. Познавательные:  ставят перед собой цель: «Что я хочу получить сегодня от урока». Коммуникативные: планируют учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками.	Настрой учителя на умение отвечать на вопросы; умение ориентироваться на успех в учебной деятельности
2 2.1 2.2.	Проверка домашнего задания.	Проводит вводный контроль по домашнему заданию	Два ученика  работают у доски, остальные устно. Слушают объяснения отвечающих учащихся у доски.	Познавательные:  анализируя и сравнивая предлагаемые задания, извлекают необходимую информацию для построения математического высказывания. Регулятивные: выполняют тренировочное учебное действие. Коммуникативные: выражают свои мысли с достаточной полнотой и точностью, используют чужие высказывания для обоснования своего суждения.	Оцените выполнение своего домашнего задания, оцените выполненной деятельности результаты в столбике №1; (самодиагностика и коррекция собственных учебных действий)
	Мотивационный момент	Включение в деловой ритм, подготовка класса к работе	Определяют область затруднения. Составляют план урока. Предлагают формы работы.    Делятся на группы (3)
	Проверка домашнего задания	Организует работу по выполнению заданий  № 1-3	Выполняют  работу по выполнению заданий  № 1-3. Самопроверка.		Предлагается выполнить работу в группах на карточках. После выполнения , оцените свою работу в столбике №2
3	Актуализация знаний
3.1	Формирование и совершенствование новых знаний, умений	Активизирует знания, необходимые для изучения новой темы	Ученикам предлагается решить 6 элементарных уравнений:	Регулятивные: умение целенаправленно воспринимать информацию, анализировать ее, делать на ее основе выводы. Анализ полученной информации, обобщение, вывод. Целеполагание. Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами. Личностные: осознание ценности  знаний, как важнейшего компонента научной картины мира	В связи с возникшим затруднением учитель выслушивает возникшие идеи по решению последнего уравнения. Последнее уравнение  ребята решить не могут, им не хватает для этого знаний. (Установление учащимися значения результатов своей деятельности для удовлетворения своих потребностей  )
3.2.	Применение знаний и умений.	Учитель подводит ребят к тому действию, которое позволит как-то решить уравнение.	Выполняют задания  и приходят к затруднению, убеждаются в том, что имеющихся у них знаний недостаточно.		Разбирается уравнение6, графический способ.
4	Постановка проблемы	Выводит учащихся на формулировку темы и целей урока.
4.1.	Формирование проблемы: тема и цель урока Построение проекта выхода из затруднения	Создание и обсуждение незнакомой ситуации, порождающей проблему появления нового понятия. Выводит учащихся на формулировку темы и целей урока. Координирует ход работы учащихся, консультирует при возникновении затруднений. Создает проблемную ситуацию. Создает ситуацию тайны. Создает   условие   для самостоятельного выпол­нения задания	Взаимодействуют с учителем  учащиеся во время опроса во фронтальном режиме, анализируют, доказывают, аргументируют свою точку зрения. Работают группами. Сопоставляют способы     решения. Решают проблему,  находя выход из проблемной ситуации, вводя понятие логарифма.	Познавательные: анализируя и сравнивая выбираемые задания, извлекают необходимую информацию для введения нового понятия. Регулятивные: в ситуации затруднения регулируют ход мыслей. Коммуникативные: выражают свои мысли с достаточной полнотой и точностью, аргументируют свое мнение.	Получаем первый вывод о существовании корня. Рассматривается необходимость новой формы записи этого корня. Систематизация и структурирование учебного материала. Выполнение знаково-символических действий; выбор эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий; построение логической цепи рассуждения
4.2.	Актуализация новых знаний	Сформировать конкретные представления о логарифме, его применении и вычислении	Выполняют самостоятельную работу и разгадывают тайну. Решение ассоциативного ряда, мозговая атака, исторический экскурс	Личностные: самоопределяются, осознают ответственность за работу пары. Познавательные: выделяют необходимую информацию, планируют свою деятельность, прогнозируют результат. Регулятивные: в ситуации затруднения регулируют свою деятельность. Коммуникативные: планируют сотрудничество с одноклассниками и учителем.	Предлагает самостоятельно изучить материал в группах,  затем заслушивает каждую группу.
5	Открытие нового знания. Защита проектов.	Установить правильность и осознанность изученного материала, провести коррекцию выявленных пробелов	Анализируют  и логически обосновывают  на основании изученного понятия	Регулятивные: волевая саморегуляция. Умение целенаправленно воспринимать информацию, анализировать ее, делать на ее основе выводы. Умение составить самостоятельно план  для данной модели задачи, следуя поставленной цели. Умение договариваться, находить общее решение. Личностные: учебно-познавательный интерес, самоопределение, самосознание.	Сформулируйте определение логарифма,
6	Первичное применение нового знания.	Обеспечивает повышение уровня осмысления изученного материала. Организует  работу по выполнению заданий с дальнейшей самопроверкой.	Практическая работа под руководством учителя Мозговая атака при выведении простейших свойств логарифма Выполняют задания на тренажере. Отрабатывают умение применять свойства логарифмов; на творческом уровне проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих логарифмы Задают уточняющие вопросы по выполнению заданий. Работа в ЯКлассе.	Личностные: стараются следовать в поведении моральным нормам. Познавательные: самостоятельно выполняют действия по алгоритму. Регулятивные: проявляют познавательную инициативу, контролирую свои действия Коммуникативные: осознают применяемый алгоритм с достаточной полнотой.	Выполняют задания на тренажере. Работа в ЯКлассе.  https://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/pokazatelnaia-i-logarifmicheskaia-funktcii-9160/poniatie-logarifma-10788
7	Разноуровневая самостоятельная работа по закреплению изученного материала	Обеспечивает закрепление в памяти учащихся знаний и способов действий, необходимых для самостоятельной работы	Самостоятельное выполнение заданий из раздаточного материала с последующей самопроверкой по слайду	Коммуникативные: умение работать в группе, выработка совместных действий, осуществление совместного контроля. Познавательные: восприятие, осознание, первичное обобщение и систематизация новых знаний. Усвоение способов, путей, средств, которые привели к данному обобщению.	Предлагает каждому провести работу по отслеживанию собственного понимания новой информации.
8	Включение в систему знаний и повторение. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.	Обеспечивает формирование у учащихся умений самостоятельно применять знания в различных ситуациях, выявляет  качество усвоения материала	Защита проектов  « Применение логарифмов в быту» (4 группы)	Познавательные: Умение устанавливать причинно-следственные связи. Коммуникативные: Умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса. Регулятивные: Контроль в форме сличения собственного результата с эталоном, коррекция.	Пробуждение интереса к получению новой информации
9	Рефлексия.	Подведение итогов учебного занятия. Организует рефлексию. Выдает листы самооценки. Дает инструктаж по заполнению.	Участвуют в рефлексии, приводят примеры практического применения. Подводят итоги своей деятельности и выставляют себе итоговую оценку за урок Продолжить фразу: Я узнал Я научился Я повторил Я закрепил	Личностные: проводят самооценку, учатся адекватно принимать причины успеха (неуспеха). Познавательные: проводят рефлексию способов и условий своих действий. Коммуникативные: планируют сотрудничество, используют критерии для обоснования своих суждений.	Внесение необходимых корректив в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок;  высказывание своего предположения.
10	Информация о домашнем задании	Обеспечивает понимание учащимися содержания и способов выполнения домашнего задания. Задает дифференцированное  домашнее задание .	Получают рекомендации учителя по домашнему заданию, записывают его в дневник	Регулятивные Волевая саморегуляция. Оценка своих возможностей, выбор посильного уровня задания. Личностные Адекватное восприятие трудностей.	Самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера. Постановка новых целей в учебной деятельности.

Защита проектов  « Применение логарифмов в быту».

1 группа

"А зачем нам нужны логарифмы? Как они пригодятся в жизни?"

У "простых обывателей" часто возникает подобные вопросы. Они совершенно однотипны и могут задаваться относительно логарифмов, матриц, философии Канта, дифференциалов, уравнений хим. реакций и прочее и прочее. Поскольку под "жизнью" обычно подразумеваются повседневные дела по типу протереть пыль, сходить в магазин, зашить свои носки и т.д., то ответ прост: никак.

Логарифмы предназначены для упрощения сложных математических вычислений. Сложить цены покупок -- это не сложные вычисления. Там логарифмы совершенно не нужны.

Логарифм  -  это специфический инструмент с конкретной задачей: решение показательного уравнения a²x=b. Его не используют для иных целей весьма ограничено и, зачастую лишь косвенно. Приведу простую аналогию. Вы можете помадой подкрасить губы, но не будете же вы ей делать записи на листке? Вы, конечно, можете где-то старой жёсткой зубной щёткой счистить с ботинка грязь, но вы же не будете ей подметать весь пол?

Перейдём к применению в быту. Да, оно вполне возможно.

Нет, логарифмы не подойдут ни для составления меню на вечер, ни для расчёта затрат на поездку на море и даже ни для выбора себе тёплой куртки на зиму. Но вот если, к примеру, у вас за окном ходит электричка (согласно расписанию производя шум и заставляя вибрировать вещи) за тонкой стенкой совершает кульбиты соседская стиральная машинка, а в квартире под вами изучает гаммы мальчик со скрипочкой, то вы непременно захотите сделать шумо- и виброизоляцию. Конечно, вы можете сразу отправиться на рынок и выкупить какую-нибудь изоляцию и прибить её к стенам гвоздями (прям в бетон, а что такого?), но с удивлением обнаружите, что звуки никуда не делись, а лишь стали чуть тише: электричка всё также грохочет, а скрипка противно скрипит. Конечно, вы можете нанять рабочую бригаду, вот только если бригадир её недостаточно специально обучен, и тоже не очень хорошо понимает, а зачем ему вся эта математика, то вы раскуете мало того, что потратится, так ещё и остаться с предыдущем результатом. Третьим вариантом будет самостоятельный расчёт уровней шума и вибраций в комнатах и последующий расчёт минимальной толщины звуко- и вибро- изоляции. И для данного случая вам будет необходимо иметь представление о логарифмах. И когда вы рассчитаете толщину (и подберёте материал), то при правильном креплении вы обнаружите, что шум снизился до приемлемого уровня.

2 группа.

Очень интересный вопрос! Ну и загадку же вы загадали, казалось бы, причем тут "страшные" логарифмы и повседневная жизнь? А вдруг мы невольно пользуемся логарифмами в реальной жизни, не подозревая об этом?

Забавно, но это так.

Посмотрим на значения десятичных логарифмов:

Тут мы видим интересное свойство - логарифмы позволяют компактно представить широкий диапазон значений. Там, где исходное значение увеличивалось кратно (геометрическая прогрессия), логарифм этого значения изменялся на единицы (арифметическая прогрессия). Это свойство позволяет использовать логарифмы, и не только десятичные, во всевозможных шкалах, ведь логарифмы позволяют преобразовывать кратные значения в равномерную шкалу, что немаловажно. Так, логарифмическими являются шкала громкости звука, шкала Рихтера, шкала яркости звёзд. Основания логарифмов в этих шкалах разные, например, логарифмы шкалы громкости звука имеют основание 10, а логарифмы шкалы яркости звёзд - корень пятой степени из 100. Да что и говорить, даже клавиши рояля расположены по логарифмической линейке!

Есть место логарифмам и в области психофизиологии. Основной психофизический закон, открытый немецким учёным Фехнером утверждает (в упрощенной формулировке), что

То есть субъективное ощущение пропорционально логарифму интенсивности стимула. Фехнер заметил, что каждый человек имеет собственную чувствительность к раздражителям, которая зависит от физиологических особенностей человека, а так же от того, какое из чувств задействовано. Например, воспринимаемая яркость или громкость пропорциональна логарифму интенсивности их фактической величины, измеренной при помощи приборов.

В качестве примера Фехнер приводил следующее: представим, что мы находимся в комнате, освещённой только одной свечой. Если в неё внести вторую свечу, то прирост яркости освещения будет нам казаться более весомым, чем если бы мы внесли ещё одну свечу в комнату, где находится 10 свечей.

Закону Фехнера подчиняются зрение, обоняние, осязание, слух, вкус, эмоции, память. Объяснение этому можно найти такое. Представьте себе, что зрение человека способно воспринимать сигналы, различающиеся по силе в 1010 раз (приблизительно), это довольно большой диапазон, способный дать огромную нагрузку на рецепторы сетчатки глаза, которая может даже привести к их гибели. Поэтому природа научилась логарифмировать все поступающие раздражители путём биологических ограничений. Интересно, что логарифмические спирали в природе можно увидеть повсюду: в расположении семян в подсолнечнике, в раковинах моллюсков и т.д.

В быту мы тоже используем логарифмические шкалы: делим города на стотысячники и миллионники, богатых людей подразделяем на миллионеров и миллиардеров и т.д. Можно привести пример покупок. Представьте, что вы покупаете небольшой набор продуктов. Если речь идёт об экономии денежных средств, то экономить мы будем каждый рубль. А покупая что-то более крупное, например, холодильник, обращать внимание мы будем уже на сотни рублей.

Очевидно, в быту мы пользуемся логарифмами с основанием 10, скорее всего, это связано с тем, что пользуемся мы десятичной системой счисления.

3 группа

Хочется сделать маленькое дополнение, описывающее механическую реализацию логарифмов: оно очень наглядно и очевидно стоит только взглянуть на предмет, в котором оно реализуется.

Это раструбы звуковых излучателей (динамики аудиоколонок, раструбы саксофонов и т.п.,), отражатели фар и фонариков, форма косы или серпа, лучшие ножи для мясорубки так же имеют режущую кромку в форме логарифмической кривой, динамика изменения прирастающих величин так же зачастую идет по логарифмической кривой: прирост урожая зерна, поголовья стада; так же и нагрузки или усилия в зависимости от угла вектора прилагаемого усилия изменяются по логарифмической кривой; струя воды при выливании жидкости из емкости тоже имеет форму логарифмической кривой, как и полет прыгнувшего человека или брошенного предмета; сила натяжение веревок или давления расширяющейся намокающей древесины(вставленная в углубление в камне оно способно раскалывать каменные глыбы) или ростка под асфальтом - тоже изменяется по логарифмической кривой; форма когтей животных, кончика иглы или острия лезвия бритвы так же имеет логарифмическую зависимость для реализации такой же зависимости выражающей легкость проникания сквозь вещество в зависимости от площади приложения усилия: чем тоньше кончик инструмента(предмета) - тем легче он будет погружаться или протыкать другой предмет, и кривая зависимости при этом - тоже логарифмическая; лопасти  вентилятора так имеют логарифмическую кривую; запекание пирога в духовке так же имеет логарифмическую зависимость от времени:  долго ждать пока прогреется да запечется, но чем ближе к завершению - тем быстрее идет изменение качества пирога и в конечном итоге стоит лишь чуть передержать и пирог может быть испорчен; переход количества в качество так же имеет логарифмическую зависимость; - и на этих распространенных примерах легко обнаружить, что логарифмы мы не только применяем в повседневной жизни, но даже и живем по их законам: содержание соли или сахара в крови, интенсивность прилагаемых усилий, утомляемость, самочувствие, и тысячи и миллионы других процессов, тканей, потоков и напряженностей - все они послушны логарифмичексим законам, как например концентрация ароматизатора  в воздухе и его интенсивность запаха так же будут в логарифмической зависимости.

А помните выражение "на порядок лучше (или выше)" - эта фраза выражает именно логарифм: в десять раз лучше(или в несколько раз, например как в музыке "на порядок выше" может означать на 1 октаву вверх, частота звуков которой в 2 раза выше аналогичных звуков предыдущей октавы). И очень-очень многие ею пользуются, не осознавая её логарифмической природы.

История возникновения логарифмов (сообщение учащегося)

Логарифмы возникли в 16 веке в связи с необходимостью проведения большого объема вычислений в ходе решения практических задач, и в первую очередь задач астрономии, (в частности, при определении положения судов по звездам и по солнцу). Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и швейцарским  математиком Иостом Бюрги (1552-1632).

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов можно смело ставить рядом с другим, более древним великим изобретением индусов – нашей десятеричной системы нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, позволяла быстро получать ответ достаточной точностью в три значащие цифры.

1.      Теперь её вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены, ни первые компьютеры, ни Применение логарифмов (сообщение) (слайды )

Логарифмы широко используются в различных областях наук:

Физика

 Интенсивность звука измеряется в системе единиц СИ в Вт/м2. Интенсивность звука, также оценивается уровнем интенсивности по шкале децибел, где число децибел N=10 lg(I/I₀), где I – интенсивность данного звука, I₀ = 10-12 Вт/м2.

Астрономия

Если известна видимая звёздная величина и расстояние до объекта, то можно вычислить абсолютную звёздную величину по формуле:

M = m – 5lg         

Абсолютная звёздная величина связана со светимостью следующим соотношением

 =0,4(M₀ – M)

Химия

Водородный показатель, «pH», - это мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность, вычисляется как отрицательный десятичный логарифм концентрации водородных ионов, выраженный в молях на литр:

(pH=– lg [H⁺])

Музыка

В основе устройства музыкальной гаммы лежат определенные закономерности. Для построения гаммы гораздо удобнее пользоваться, оказывается логарифмами соответствующих частот:

,

Сейсмология

При вычислении магнитуды. Магнитуда землетрясения – величина, характеризующая энергию, выделившуюся при землетрясении в виде сейсмических волн.

Логарифмическая спираль

Спираль - это плоская кривая, многократно обходящая одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали. Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Точнее, в логарифмической спирали углу поворота пропорционален логарифм этого расстояния.

Особенности логарифмической спирали не только математиков. Её свойства удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов разной природы. Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком не вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или по её аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток закручены по логарифмической спирали. Рога таких рогатых млекопитающих, как архары – горные козлы, закручены по логарифмической спирали. Расположение семечек в любом подсолнечнике, чешуек в любом ананасе, да и другие разнообразные виды растений, простые ромашки… дают нам настоящий парад переплетающихся спиралей. Если мы посмотрим сверху на любую сосновую шишку, увидим, что ее семена располагаются в виде большого числа спиралей.

По логарифмической спирали закручены многие галактики.

2. Применение логарифмов в физике

а) краткий повтор теории

Способность ядер самопроизвольно распадаться, испуская частицы, называется радиоактивностью. Радиоактивный распад статистический процесс.

N(t) = N₀e^-λt ,       N(t) = N₀   

 = ln  =

e=2, 718281828459045…

б) решение физических задач, где применяется логарифм, с демонстрацией решения у доски

Задача 1.

Чему равен период полураспада одного из изотопов Франция, если за 6 секунд количество ядер этого изотопа уменьшается в 8 раз?

Задача 2.

Период полураспада одного из изотопов франция равен 2 секунды, через, сколько секунд количество ядер этого изотопа уменьшается в 8 раз?(микрокалькуляторы). 

Приложение 4

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
А	log416	log327	log5125	log232	log39	log28	log381	log216	log11121
В	log25125	log4 8	log279	log816	log8127	log324	log168	lg100	log255
С	log82	log49 7	log162	log273	log1255	log644	log322	log813	log10010
D	log66	log55	lg10	log77	log99	log42	log24	Log1/2	43log42
E	lg0,01	lg0,1	lg0,001	lg1000	lg	7log73	2log25	4log48	52log53

Приложение 3.

Преобразовать в степень
Преобразовать в логарифм

Приложение 1. Преобразование выражений

                                            =     =    =                         

1. Вычислить. (возведите в степень)                                                                                    
2.           

 ;   ;   ;   ;   ; ;  ;  ;     .

Приложение 2.

Оценочный лист
Ф.И. учащегося	Вычисление логарифмов	Устный счёт	Работа в группе	Физическая задача	Суммарный балл	Оценка за работу на уроке	Оценка за тест
	1 балл за каждый верный ответ	1 балл за каждый верный ответ	1-3 баллов	1 балл

Использованные материалы

1. http://www.effects.ru/science/227/index.htm
2. http://cyclowiki.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C
3. http://www.coolreferat.com/%D0%A1%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81_%D0%BC%D1%83%D0%B7%D1%8B%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C=3
4. http://ru.wikipedia.org/wiki/%C0%E1%F1%EE%EB%FE%F2%ED%E0%FF_%E7%E2%B8%E7%E4%ED%E0%FF_%E2%E5%EB%E8%F7%E8%ED%E0

5.      http://ru.wikipedia.org/wiki/%CB%EE%E3%E0%F0%E8%F4%EC%E8%F7%E5%F1%EA%E0%FF_%F1%EF%E8%F0%E0%EB%FChttp://hijos.ru/2011/04/13/yakob-bernulli-logarifmicheskaya-spiral/