Технологические карты уроков по геометрии "Глава III. Параллельные прямые"

ГЛАВА III. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

У р о к 29. Тема: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

Цель деятельности учителя		Создать условия для введения понятия параллельных прямых, рассмотрения признака параллельности двух прямых, связан­ного с накрест лежащими углами
Термины и понятия		Параллельные прямые, накрест лежащие углы, соответственные углы, односторонние углы
Планируемые результаты
Предметные умения			Универсальные учебные действия
Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания			Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассужде­ние, делать умозаключения и выводы. Регулятивные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необходимость их проверки. Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учите­лем и сверстниками, разрешать конфликты на основе согласования интересов. Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	• Тест. • Задания для фронтальной работы
I этап. Актуализация опорных знаний учащихся
Цель деятельности	Совместная деятельность
Проанализировать ошибки, допущенные в контрольной работе	(Ф/И) 1. Указать ошибки, допущенные учащимися при выполнении работы. 2. Решить задачи, вызвавшие затруднения у учащихся
II этап. Учебно-познавательная деятельность. Изучение нового материала
Цель деятельности	Совместная деятельность
Ввести понятие па­раллельных прямых, накрест лежащих уг­лов, соответственных, односторонних углов	(Ф/И) 1. Тест (см. Ресурсный материал). Учащиеся решают задания самостоятельно. Важно подчеркнуть, что за данный тест оценки в журнал выставлены не бу­дут; это обеспечит практически полную самостоятельность учащихся при выполнении задания. 2. Изучение новых понятий. – Начертите прямые a и b и прямую c так, чтобы a и b пересекались с прямой c. – Сколько неразвернутых углов изображено на рисунке? – Запишите в тетрадях: c – секущая по отношению к прямым a и b. 3 и 5; 4 и 6 – накрест лежащие углы. 4 и 5; 3 и 6 – односторонние углы. 1 и 5; 2 и 6; 4 и 8; 3 и 7 – соответственные углы. 3. Упражнения на закрепление знания углов, полученных – при пересечении двух прямых секущей (по рис. 2). – Назовите накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c. – Назовите односторонние углы при прямых b и c и секущей a. – Назовите соответственные углы при прямых a и c и секущей b. Дано: 4 = 5. Докажите: 3 =6; 3 =7; 6 = 2; 4 + 6= 180°; 5 + 2 = 180°. 4. Доказательство признаков параллельности прямых. Признак параллельности прямых, использующий накрест лежащие углы, можно доказать по учебнику
III этап. Закрепление изученного материала
Цель деятельности	Деятельность учителя				Деятельность учащихся
Совершенствовать навыки решения задач	(Ф/И) Организует деятельность учащихся. 1. Решить задачу. Найти пары параллельных прямых (отрезков) и доказать их парал­лельность.   2. Решить задачу № 191 на доске и в тетрадях				Дано: АВС, BK – биссектриса, BM = KM.                                           Доказать: .                                           Доказательство:                                           1) Так как BM = KM, то BMK – равнобедренный,                                           значит, 2 = 3 (по свойству).                                            2) 1 = 2 (по условию), 2 = 3 (из п. 1), 1 = 3, а так как 1 и 3 – накрест лежащие при прямых AB и KM и секущей BK, то по признаку , что и требо­валось доказать
IV этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя				Деятельность учащихся
(Ф/И) – В чем заключается первый признак параллельности прямых? – Составьте синквейн к теме урока				(И) Домашнее задание: изучить § 1 пункты 24 – 25 (первый признак), вопросы 1 – 3, с. 66; решить задачи № 186, 188

Ресурсный материал

Тест

 1. Выбрать рисунки с пересекающимися прямыми.

а) 1а;                    б) 1б;                  в) 1в.

 2. Завершить высказывание, выбрав нужный пункт.

Пересекающиеся прямые имеют...

а) на чертеже одну общую точку;

б) одну общую точку.

3. Указать номера рисунков, на которых изображены параллельные прямые.

а) 2а;            б) 2б;              в) 2в.

4. Указать неправильную концовку определения.

Две прямые на плоскости называются параллельными...

а) если они находятся на постоянном расстоянии друг от друга;

б) если они не пересекаются на плоскости;

в) если они обе перпендикулярны к третьей прямой;

г) если они не пересекаются на чертеже.

5. Указать рисунки, на которых изображены параллельные отрезки,
а) 3а;                б) 3б;              в) 3в;            г) 3г.

6. Указать правильную концовку определения.

Два отрезка называются параллельными, если они...

а) оба перпендикулярны третьей прямой;

б) лежат на параллельных прямых;

в) имеют одинаковое расстояние между концами;

г) не пересекаются на плоскости.

7. Указать рисунки, на которых изображены параллельные лучи.
а) 4а;       б) 4б;           в) 4в;             г) 4г.     

Ответы: 1 – а, б; 2 – б; 3 – в; 4 – г; 5 – а, в; 6 – б; 7 – а, в, г.

У р о к 30. Тема: ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

Цель деятельности учителя				Создать условия для изучения признаков параллельности двух прямых, связанных с односторонними и соответственными уг­лами, и демонстрации их применения при решении задач
Термины и понятия				Параллельные прямые, накрест лежащие углы, соответственные углы, односторонние углы
Планируемые результаты
Предметные умения					Универсальные учебные действия
Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания					Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и выводы. Регулятивные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необ­ходимость их проверки. Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятель­ность с учителем и сверстниками, разрешать конфликты на основе согласования интересов. Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений
Организация пространства
Формы работы			Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы			• Задания для фронтальной и самостоятельной работы. • Тест
I этап. Актуализация знаний учащихся
Цель деятельности			Совместная деятельность
Систематизировать теоретические знания			(Ф/И) 1. Обсуждение вопросов учащихся по домашнему заданию.  2. Повторение доказательства признака параллельности двух прямых, использующего накрест лежащие углы, по готовому чер­тежу на доске. 3. Устная работа по готовым чертежам на доске. Задание: Найти пары параллельных прямых (отрезков) и доказать их параллельность.
II этап. Изучение новой темы
Цель деятельности			Совместная деятельность
Рассмотреть призна­ки параллельности прямых, связанные с односторонними углами и соответ­ственными углами			(Ф)  1. По рисунку 102 учебника, заранее начерченному на доске, учитель вместе с учащимися доказывает теорему о признаке параллельности двух прямых, связанном с односторонними углами (устно), а затем учащиеся самостоятельно должны записать доказательство теоремы в тетрадях. 2. Учащиеся самостоятельно изучают признак параллельности прямых, связанный с соответственными углами, и записывают доказательство теоремы в тетрадях. 3. Решить задачи по готовым чертежам на заготовленных плакатах (устно). Задание: Найдите пары параллельных прямых и докажите их параллельность
III этап. Тест
Цель деятельности			Тестовые задания
Проверить уровень сформированности теоретических знаний			(И) Выполнить тест с самопроверкой (см. Ресурсный материал)
IV этап. Решение задач по готовым чертежам
Цель деятельности	Совместная деятельность
На простейших за­дачах отработать признаки парал­лельности прямых	(Ф/И) Решение задач (устно). 1) Параллельны ли прямые a и b? Почему? 2) Доказать: АВ || DE.                                                2) Доказать: АВ || MN.
V этап. Решение задач
Цель деятельности		Деятельность учителя				Деятельность учащихся
Совершенствовать навыки решения задач		(Ф/И) Организует деятельность учащихся. 1. Решить № 192 на доске и в тетрадях. 2. Познакомиться с практическими способами по­строения параллельных прямых (п. 26) по рисун­кам 103, 104, 105 учебника. 3. Выполнить задание № 195				Дано: АВС, A = 40°,                                               BCE, ACB – смежные,                                               BCE = 80°, CK – биссектриса BCE. Х40°                                                Доказать: АВ || CK.                                                Доказательство:                                               1) Так как CK – биссектриса BCE, то BCK = KCE = 40°. 2) ВАС и KCE – соответственные при прямых АВ, CK и секущей АС, ВАС = KCE = 40°, АВ || CK, что и требовалось доказать.
VI этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя						Деятельность учащихся
(Ф/И) – Перечислите признаки параллельности прямых. – Оцените свою работу на уроке. – Задайте три вопроса по теме урока						(И) Домашнее задание: изучить § 1 пункты 24 – 26; ответить на вопросы 1 – 6 на с. 66; решить задачи № 193, 194

Ресурсный материал

1. Выберите верные утверждения (по рис. 1):

а) 1 и 3 – вертикальные;           б) 5 и 1 – односторонние;        в) 7 и 6 – соответственные;            г) 5 и 3 – накрест лежащие;

д) 2 и 4 – смежные;                  е) 7 и 1 – накрест лежащие;      ж) 3 и 7 – односторонние.

2. Выберите верные утверждения (по рис. 1).

Прямые a и b параллельны, если...

а) 1 = 3;            б)8 + 5 = 180°;             в)7 =6;                      г)8 +3 = 180°;

д) 5 = 3;            е)2 =6;                          ж)1 +4 = 180°;         и)1 +7  = 180°.

3. Укажите продолжения высказывания, не соответствующие действительности.

Прямые не параллельны, если при пересечении двух прямых секущей...

а) сумма односторонних углов не равна 180°;

б) сумма соответственных углов равна 180°;

в) вертикальные углы не равны;

г) накрест лежащие углы не равны;

д) сумма смежных углов не равна 180°;

е) соответственные углы не равны.

Ответы: 1 – а, в, г, д, ж; 2 – б, в, д, е, и; 3 – а, г, е.

У р о к 31. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ

Цель деятельности учителя		Создать условия для закрепления и систематизации изученного материала, Обучения применению признаков параллельности прямых при решении задач; способствовать развитию логического мышления учащихся; содействовать воспитанию аккурат­ности при построении чертежей на доске и в тетрадях
Термины и понятия		Параллельные прямые, накрест лежащие углы, соответственные углы, односторонние углы
Планируемые результаты
Предметные умения			Универсальные учебные действия
Владеют геометрическим языком, умеют его использо­вать для описания предметов окружающего мира, имеют достаточно высокий уровень пространственных пред­ставлений и изобразительных умений, владеют навыка­ми геометрических построений			Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и выводы. Регулятивные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необ­ходимость их проверки. Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную дея­тельность с учителем и сверстниками, работать самостоятельно. Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	• Чертежи к задачам. • Задания для самостоятельной работы.
I этап. Актуализация опорных знаний учащихся
Цель деятельности	Совместная деятельность
Систематизировать теоретические знания	(Ф/И) 1. Проверить правильность выполнения домашнего задания. 2. Провести теоретический опрос по признакам параллельности прямых. 3. Решить задачи по готовым чертежам (устно).
II этап. Решение задач
Цель деятельности	Деятельность учителя				Деятельность учащихся
Совершенствовать навыки решения задач	(Ф/И) Организует деятельность учащихся. 1. Решить задачу № 190 по рисунку 109 (на доске и в тетрадях). 2. Решить задачу № 213 по рисунку 121 (на доске и в тетрадях). 3. Решить задачу № 215 по рисунку 122 (устно). Указание: рисунок 122 заранее перенести на доску и ввести цифровые обозначения углов. Сначала доказывается параллельность прямых a и b (сумма односторонних углов: 115° + 65° = 180°)			№ 190.                                    Дано: AB = BC, AD = DE, C = 70°, EAC = 35°.                                     Доказать: DE ||АС.                                     Доказательство:                                     1) Так как AB = BC, то A = C (свойство равнобедренного                                                   треугольника).                                      2) Так как EAC = 35°, A = 70°, то DAE = 35°.                                       3) Так как ADE – равнобедренный, то DAE = DEA = 35° (по свой­ству). 4)DEA =EAC = 35°. DEA и EAC – накрест лежащие при прямых DE и AC и секущей AE. DE || AC, что и требовалось доказать. № 213.                                              Дано: CE = ED, BE = EF, KE || AD.                                              Доказать: KE || BC.                                              Доказательство:                                             1) Рассмотрим BCF и FDE. BE = EF (по условию) CE = ED (по                                               условию), 1 = 2 (как вертикальные углы), тогда BCE =FDE (по двум сторонам и углу между ними), CBE =DFE(по определению равных треугольников). 2) CBE = DFE – накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей BF, CBE =DFE (по п. 1), тогда BC || AD по признаку. 3) КЕ || AD (по условию), BC || AD (из п. 2), тогда KE || BC (свойство парал­лельных прямых), что и требовалось доказать
III этап. Самостоятельная работа
Цель деятельности	Тестовые задания
Проверить умение применять признаки параллельности при решении задач	(И) Самостоятельная работа выполняется на листках и сдается на проверку учителю (см. Ресурсный материал)
IV этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя						Деятельность учащихся
(Ф/И) – Оцените свою работу на уроке. – Задайте три вопроса по теме урока						(И) Домашнее задание: повторить материал § 1 пунктов 24 – 26; № 214, № 216

Ресурсный материал

Самостоятельная работа

Вариант I

1.      Параллельны ли прямые d и e, изображенные на рисунке 1?

2.      На рисунке 2 точка O – середина отрезков EL и KF. Докажите, что EF || KL.

 

Вариант II

1.      Параллельны ли прямые m и n, изображенные на рисунке 3?

2.      На рисунке 4 точка F – середина отрезков МО и NP. Докажите, что MN || РО.

 

Вариант III

1. Какие из прямых, изображенных на рисунке 5 (m, n и p), являются параллельными? Ответ обоснуйте.

2. В равнобедренных треугольниках CDE и FPK, изображенных на рисунке 6, 1 = 2. Докажите, что CD || PF.

Вариант IV

1.      На рисунке 7 MD = NP, 1 = 2. Докажите, что MN || DP.

2.      В равнобедренных треугольниках ABC и DEF, изображенных на рисунке 8, 1 = 2. Докажите, что AB || EF.

 

У р о к 32. Тема: ОБ АКСИОМАХ ГЕОМЕТРИИ. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ

Цель деятельности учителя		Создать условия для формирования представления об аксиомах геометрии, введения аксиомы параллельных прямых и след­ствия из нее
Термины и понятия		Параллельные прямые, аксиома
Планируемые результаты
Предметные умения			Универсальные учебные действия
Владеют геометрическим языком, умеют его использо­вать для описания предметов окружающего мира, имеют пространственных пред­ставлений и достаточно высокий уровень развития изобразительных умений, владеют навыка­ми геометрических построений			Познавательные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи. Регулятивные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки. Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятель­ность с учителем и сверстниками, разрешать конфликты на основе согласования интересов. Личностные: проявляют целостное мировоззрение, соответствующее современному уров­ню развития науки и общественной практики
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	• Задания для фронтальной работы. • Историческая справка об аксиоме параллельных прямых
I этап. Актуализация опорных знаний учащихся
Цель деятельности	Совместная деятельность
Проанализировать ошибки, допущенные в самостоятельной работе	(Ф/И) 1. Сообщить результаты самостоятельной работы. 2. Проверить правильность выполнения домашнего задания
II этап. Беседа по новой теме
Цель деятельности	Совместная деятельность
Ввести понятие ак­сиомы, рассмотреть аксиому параллель­ных прямых	(Ф/И) 1. Беседа об аксиомах геометрии (см. пункт 27 и приложение 1 учебника). 2. Самостоятельное решение задачи с последующим обсуждением. Задание: Через точку A, не лежащую на прямой a, провести прямую, параллельную прямой a. Ход построения (рис. 1): 1) провести через точку A прямую b так, что a ┴ b 2) провести через точку A прямую c так, что b ┴ c Доказательство: 1 =2 = 90°, то есть накрест лежащие углы при прямых a и c и секущей b равны, следовательно, a || c. Вопросы учащимся: 1) Всегда ли через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной? 2) Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на данной прямой? 3) Можно ли доказать, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной? – Математики с древних времен пытались доказать данное утверждение. В «Началах» Евклида оно называется пятым постула­том. Попытки доказать пятый постулат Евклида не увенчались успехом, и лишь в XIX веке было окончательно выяснено, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой. Огромную роль в решении этого вопроса сыграл русский математик Николай Иванович Лобачевский. Итак, аксиома параллельных прямых гласит: «Через точку, не лежащую на дан­ной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной». – Является ли утверждение «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной» аксиомой? Почему? (Это утверждение не является аксиомой, так как оно доказывается.) – Чем отличаются вышеуказанные утверждения? (Аксиома параллельных прямых говорит о единственности такой прямой, а другое утверждение – о существовании такой прямой.)
III этап. Закрепление изученного материала
Цель деятельности	Деятельность учителя			Деятельность учащихся
Совершенствовать навыки решения простейших задач	(И) Организует деятельность учащихся. 1. Решить задачи № 196, 197 (устно). Указание: при решении задачи № 197 полезно показать учащимся на рисунке два возможных случая расположения прямых: 1) все четыре прямые пересекают прямую p; 2) одна из четырех прямых параллельна прямой p, а три другие прямые пересекают ее. Эти два случая иллюстрируют ответ на вопрос задачи: по крайней мере, три прямые пересекают прямую p. 2. Разъяснить смысл понятия «следствия». Записать в тетрадях: «Следствиями называются утверждения, которые выводятся непосредствен­но из аксиом или теорем», 3. Рассмотреть следствия 1 и 2 из аксиомы парал­лельных прямых. 4. Решить задачи № 198, 200, 218. 5. Решить задачу № 219			№ 218.                                          Дано:                                           Можно ли построить прямую с, такую, что:                                           1) a || c; 2) ?                                            Доказательство: Возьмем любую точку Ma. По аксиоме параллельных прямых, через точку M можно построить прямую c, параллельную a, и притом только одну. Так как a || c, , тогда ) . Значит, можно построить такую прямую, параллельную прямой a и пересекающую прямую b.  № 219                                       Дано: , , c – любая.                                      Доказать: a || b.                                      Доказательство:                                      Пусть  a || b. Проведем прямую c || b;  (по построению), а это противоречит условию. Следовательно, a || b, что и требовалось доказать
IV этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя					Деятельность учащихся
(Ф/И) – Что нового узнали на уроке? – В чем заключается аксиома Евклида? – Составьте синквейн к уроку					(И) Домашнее задание: изучить § 2, пункты 27 и 28; ответить на вопросы 7 – 11 на с. 66 – 67 учебника; решить задачи № 217, 199

У р о к 33. Тема: СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

Цель деятельности учителя		Создать условия для рассмотрения свойств параллельных прямых, демонстрации применения свойств параллельных прямых, закрепления знаний, умений, навыков учащихся по теме «Аксиома параллельных прямых»
Термины и понятия		Параллельные прямые, аксиома, свойства параллельных прямых
Планируемые результаты
Предметные умения			Универсальные учебные действия
Владеют геометрическим языком, умеют его использо­вать для описания предметов окружающего мира, владе­ют достаточно высоким уровнем развития простран­ственных представлений и изобразительных умений, навыков геометрических построений			Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обоб­щения, установления аналогий, классификации на основе самостоятельного выбора осно­ваний и критериев. Регулятивные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необ­ходимость их проверки. Коммуникативные: считаются с разными мнениями и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве; подбирают аргументы для доказательства своей позиции, фор­мулируют выводы. Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	• Тест. • Таблица
I этап. Актуализация опорных знаний учащихся
Цель деятельности	Совместная деятельность
Систематизировать теоретический мате­риал	(Ф/И) 1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию. 2. Тест с последующей самопроверкой (см. Ресурсный материал). (Задания 1 и 2 выполняются одновременно; 3 ученика ра­ботают у доски, остальные в тетрадях.)
II этап. Учебно-познавательная деятельность
Цель деятельности	Совместная деятельность
Ввести свойства параллельных прямых	(Ф/И) 1. Решение задач Следует обратить внимание учащихся, что в первой задаче a || b по первому признаку параллельности прямых, а вторая за­дача является обратной первой, и в этом случае мы не знаем, равны ли накрест лежащие углы, если прямые параллельны. Та­ким образом, перед учащимися поставлена проблема, которую необходимо разрешить. Условие. Пусть a || b, с – их секущая, 1 и 2 – накрест лежащие углы, образованные данными прямыми. Требуется выяс­нить, равны ли1 и 2. Решение этой задачи можно построить так же, как доказательство свойства накрест лежащих углов при параллельных прямых и их секущей по учебнику. Вывод. Если две параллельные прямые пересечены третьей, то накрест лежащие углы равны.  – Это утверждение называют свойством накрест лежащих углов при параллельных прямых и их секущей.  2. Информация для учащихся.  – Во всякой теореме различают две части: условие и заключение. Условие теоремы – это то, что дано, а заключение – то, что требуется доказать. Вывод. Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.  3. Беседа о методе доказательства от противного по учебнику.  4. Доказательства следствия свойства накрест лежащих углов при параллельных прямых и их секущей и свойств соответ­ственных и односторонних углов при параллельных прямых и их секущей. Можно предложить учащимся провести доказательства самостоятельно в ходе выполнения упражнений.  – Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. – Сформулируйте теорему, обратную признаку параллельности прямых, использующему соответственные углы. Дайте назва­ние полученной теореме и докажите ее.  – Сформулируйте теорему, обратную признаку параллельности прямых, использующему односторонние углы. Дайте назва­ние полученной теореме и докажите ее.  Заполните таблицу. Название теоремы Признак параллельности прямых Свойство параллельности прямых Формулировка теоремы Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые па­раллельны Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны Условие (дано)                           Прямые a и b; c – их секущая;                           1 и2 – накрест лежащие                                                                                     углы; 1 =2                                                                                   Прямые a и b; c – их секущая;                           1 и2 – накрест лежащие                                                                                     углы; a || b Заключение (доказать) a || b 1 =2 – В чем заключается разница между этими теоремами?
III этап. Решение задач
Цель деятельности	Совместная деятельность
Совершенствовать навыки решения простейших задач	(И) Устно решить № 201, 205 по рисунку 117 и № 209 по рисунку 118
IV этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя				Деятельность учащихся
(Ф/И) – Перечислите свойства параллельных прямых. – Что такое доказательство методом от противного? – Оцените свою работу на уроке				(И) Домашнее задание: изучить § 2, пункт 29; повторить пункты 15 – 28; ответить на вопросы 1 – 15 на с. 66 – 67 учебника; решить задачи № 202, 212

Урок 34. Тема: СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цель деятельности учителя		Создать условия для закрепления знания свойств параллельных прямых в ходе выполнения упражнений и решения задач, для систематизации знаний учащихся; способствовать развитию логического мышления учащихся
Термины и понятия		Параллельные прямые, аксиома, свойства параллельных прямых
Планируемые результаты
Предметные умения			Универсальные учебные действия
Умеют работать с геометрическим текстом, анализиро­вать его, извлекать необходимую информацию			Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий, классификации на основе самостоятельного выбора оснований и критериев. Регулятивные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необ­ходимость их проверки. Коммуникативные: считаются с разными мнениями и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве; подбирают аргументы для доказательства своей позиции, фор­мулируют выводы. Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объ­ектов, задач, решений, рассуждений
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	• Задания для индивидуальной работы.
I этап. Актуализация опорных знаний учащихся
Цель деятельности	Совместная деятельность
Выявить уровень сформированности теоретических знаний	(Ф/И) 1. Проверка домашнего задания. (И) 2. Проверочная работа на 10 минут. Работа выполняется на листочках и сдается на проверку учителю. Вариант 1 1. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. 2. Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным. 3. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны. Вариант II 1. Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом. 2. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными? 3. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°
II этап. Решение задач
Цель деятельности	Деятельность учителя				Деятельность учащихся
Совершенствовать навыки решения за­дач по данной теме	(Ф/И) Организует деятельность учащихся. 1. Решить задачу № 203 на доске и в тетрадях. (П) 2. Решить № 205. (Ф/И) 3. Решить № 220 по готовому  чертежу (устно)			№ 203                                              Дано: a || b, c – секущая.                                             а) 1 = 150°; б) 1 > 4 на 70°.                                              Найти: величину углов.                                              Решение:                                             а) 1) Если 1 = 150° (по условию), то 3 = 1 = 150° (как вертикальные); 5 = 1 = 150° (как накрест лежащие при a || b секущей с); 7 = 5 = 150° (как вертикальные). 2) 1, 4 – смежные, значит, 1 + 4 = 180° (по свойству), 4 = 180° – 150° = 30°; 2 = 4 = 30° (как вертикальные), 8 = 4 = 30° (как накрест лежащие при a || b и секущей с); 6 = 8 = 30° (как вертикальные). Ответ: 30°, 150°, 30°, 150°, 30°, 150°, 30°. б) Если 1 > 4 на 70°, то примем 1 = x, следовательно, 4 = x – 70°; так как1,4 – смежные, то x + (x – 70) = 180, 2x = 250,  x = 250: 2, x = 125 1 = 125°, 4 = 125° – 70° = 55° 1 = 125°,4 = 55° Рассуждая аналогично пункту (а), имеем: 1 = 3 =5 =7 = 125°, 2= 4 = 6 = 8 = 55°. Ответ: 125°; 55°                                              Найти: 1. Доказательство:        2 – вертикальный с углом 73°, значит 2 = 73°.  2, 3 – односторонние при прямых a, b и секущей c. 2 + 3 = 73° + 107° = 180°, тогда, a || b (по признаку). 1, 4 – соответственные углы при прямых a || b и секущей d, значит, 1 = 4 = 92° (по свойству параллельных прямых). Ответ: 92°
III этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя						Деятельность учащихся
(Ф/И) – Перечислите свойства параллельных прямых. – Перечислите признаки параллельных прямых. – Оцените свою работу на уроке и работу своего товарища						(И) Домашнее задание: повторить изученный материал § 1 – 2 пунктов 24 – 29; ответить на вопросы 1 – 15 с. 66 – 67; подготовиться к устному опросу; решить задачи № 206, 208, 211

У р о к 35. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цель деятельности учителя		Создать условия для приведения в систему знаний учащихся по данной теме, четкого понимания учащимися того, когда в за­даче нужно применить признак параллельности двух прямых, а когда – свойство параллельных прямых
Термины и понятия		Параллельные прямые, аксиома, свойства параллельных прямых
Планируемые результаты
Предметные умения			Универсальные учебные действия
Умеют работать с геометрическим текстом, анализиро­вать его, извлекать необходимую информацию			Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий обобщения, установления аналогий, классификации на основе самостоятельного выбора оснований и критериев. Регулятивные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необ­ходимость их проверки. Коммуникативные: умеют работать в сотрудничестве с учителем. Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объ­ектов, задач, решений, рассуждений
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	• Карточки для устного опроса. • Чертежи к задачам
I этап. Актуализация опорных знаний учащихся
Цель деятельности	Совместная деятельность
Систематизировать теоретические зна­ния учащихся	(Ф/И) 1. Обсуждение результатов проверочной работы и анализ допущенных ошибок. 2. Проверка правильности выполнения домашней работы. Для этого к доске вызываются трое учащихся и демонстрируют ре­шения домашних задач. 3. Устный опрос учащихся по карточкам (см. Ресурсный материал)
II этап. Решение задач по готовым чертежам
Цель деятельности	Совместная деятельность
Совершенствовать навыки решения простейших задач	(Ф/И) 1. Решить задачи по готовым чертежам, сделав в тетрадях краткие записи (см. Ресурсный материал) (самостоятельно) (Ф/И) 2. Решить задачу (один ученик решает у доски, остальные в тетрадях).                                                                          Дано: AB || DE (рис. 1а)                                                                         Доказать: 1 +2 =3 Подсказка: через точку C проведите прямую, параллельную AB. Доказательство (см. рис. 1б): 1) Через точку C, не лежащую на прямой AB, можно провести прямую, параллельную AB, и притом только одну. 2) Так как KC || AB, а AB || DE по условию задачи, то KC || DE. 3) 1 = ACK, как накрест лежащие при параллельных прямых AB и KC и секущей AC. 4)2 = KCD, как накрест лежащие при параллельных прямых KC и DE и секущей DC. Так как 1 = ACK, 2 = ZKCD, а 3 =ACK + KCD, то3 = 1+ 2, что и требовалось доказать
III этап. Самостоятельное решение задач
Цель деятельности	Задания для самостоятельной работы
Совершенствовать навыки решения задач	(И) Учащимся предложены задачи двух уровней сложности (см. Ресурсный материал). Они сами выбирают, задачи какого уровня будут решать. В конце урока тетради можно собрать на проверку
IV этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя				Деятельность учащихся
(Ф/И) – Что повторили на уроке? – Оцените свою работу на уроке				(И) Домашнее задание: решить № 207

Ресурсный материал
Карточки для устного опроса

 

Вариант I

1. Сформулируйте один из признаков параллельности двух прямых.

2. Докажите, что прямые a и b, изображенные на рисунке 1, параллельны, если 1 = 36°; 8 = 144°.

3. На рисунке 2 прямые AD и BK параллельны, луч BD – биссектриса угла ABK,ABK = 80°.

Найдите углы треугольника ABD.

Вариант II

1. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

2. Дан треугольник CDE. Сколько прямых, параллельных стороне CE, можно провести через вершину D?

3. На рисунке 3 отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине M. Через точку B проведена прямая a,
параллельная прямой AD. Докажите, что прямая a проходит через точку C.

Вариант III

1. Сформулируйте одно из свойств параллельных прямых.

2. На рисунке 4 прямые a и b параллельны; 2 = 132°. Найдите 7.

3. На рисунке 5 AB = BC; BF || АС. Докажите, что луч BF – биссектриса угла CBD.

У р о к 36. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цель деятельности учителя		Создать условия для приведения в систему знаний учащихся по данной теме; для четкого понимания учащимися того, когда в задаче нужно применить признак параллельности двух прямых, а когда - свойство параллельных прямых; для подготовки к контрольной работе
Термины и понятия		Параллельные прямые, аксиома, свойства параллельных прямых
Планируемые результаты
Предметные умения			Универсальные учебные действия
Умеют работать с геометрическим текстом, анализиро­вать его, извлекать необходимую информацию			Познавательные: осуществляют логические действия. Регулятивные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необхо­димость их проверки, осуществлять контроль по результату и способу действия на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы. Коммуникативные: умеют работать в сотрудничестве с учителем, находить общее реше­ние и разрешать конфликты. Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объ­ектов, задач, решений, рассуждений
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	• Задания для фронтальной работы
I этап. Актуализация опорных знаний учащихся
Цель деятельности	Совместная деятельность
Систематизировать теоретические зна­ния учащихся по теме	(Ф/И) 1. Сообщить результаты проверочной работы и проанализировать основные ошибки. 2. Ответить на вопросы по домашнему заданию
II этап. Решение задач по готовым чертежам
Цель деятельности	Совместная деятельность
Совершенствовать навыки решения задач	(Ф/И) 1. Найти пары параллельных прямых и доказать их параллельность (устно). 2. Решить задачи, сделав краткие записи в тетрадях.
III этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя				Деятельность учащихся
(Ф/И) – Оцените свою работу на уроке – Составьте синквейн к уроку				(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 24 – 29; подготовить­ся к контрольной работе, просмотрев решение задач по тетрадям; решить задачи, которые не успели выполнить в классе

У р о к 37. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цель деятельности учителя		Создать условия для приведения в систему знаний учащихся по изученной теме, для формирования у учащихся четкого пони­мания того, когда в задаче нужно применить признак параллельности двух прямых, а когда - свойство параллельных прямых; для подготовки к контрольной работе
Термины и понятия		Параллельные прямые, аксиома, свойства параллельных прямых
Планируемые результаты
Предметные умения			Универсальные учебные действия
Умеют работать с геометрическим текстом, анализиро­вать его, извлекать необходимую информацию			Познавательные: владеют логическими действиями. Регулятивные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необхо­димость их проверки, осуществляют контроль по результату и способу действия на уровне произвольного внимания и вносят необходимые коррективы. Коммуникативные: умеют работать в сотрудничестве с учителем, находить общее реше­ние и разрешать конфликты. Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объ­ектов, задач, решений, рассуждений
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	• Тест. • Задания для домашней работы
I этап. Актуализация опорных знаний учащихся
Цель деятельности	Совместная деятельность
Систематизировать теоретические зна­ния учащихся по теме	(Ф/И) 1. Ответить на вопросы по домашнему заданию. 2. Решить тест (каждое из заданий № 1,2 оценивается в 4 балла). 1) Выберите верные утверждения. а) Параллельные лучи лежат на параллельных прямых. б) Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. в) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны 122°, то прямые параллельны. г) Если прямая a перпендикулярна прямой c, а прямая c перпендикулярна прямой b, то прямые a и b пересекаются. 2. По данным рисунка докажите, что прямые c и a параллельны. О т в е т: 1) а, б, в
II этап. Решение задач
Цель деятельности	Совместная деятельность
Совершенствовать навыки решения задач	(Ф/И) Решить тест с самопроверкой (см. Ресурсный материал)
III этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя				Деятельность учащихся
(Ф/И) – Оцените свою работу на уроке – Составьте синквейн к уроку				(И) Домашнее задание: решить задачи (задачи даны на карточках).

 

У р о к 38. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цель деятельности учителя		Создать условия для подготовки к контрольной работе
Термины и понятия		Параллельные прямые, аксиома, свойства параллельных прямых
Планируемые результаты
Предметные умения			Универсальные учебные действия
Умеют работать с геометрическим текстом, анализиро­вать его, извлекать необходимую информацию			Познавательные: осуществляют логические действия. Регулятивные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необ­ходимость их проверки, осуществляют контроль по результату и способу действия на уровне произвольного внимания и вносят необходимые коррективы. Коммуникативные: умеют работать в сотрудничестве с учителем, находить общее реше­ние и разрешать конфликты. Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объ­ектов, задач, решений, рассуждений
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	• Задания для парной работы
I этап. Актуализация опорных знаний учащихся
Цель деятельности	Совместная деятельность
Проверить правиль­ность выполнения домашнего задания	(Ф/И) 1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию и проверить правильность решения задач.                                                       Так как AC || BD, СК || DM, то ACK = BDM = 48°. CDK + EDM= 180° – BDM.                                                       CDK в 3 раза больше EDM, тогда 3EDM+ EDM= 180° – 48°, 4EDM= 132°, EDM= 33°.                                                      Тогда KDE = 48° + 33° = 81°.                                                        Ответ: KDE = 81°.                                                        AD = DE, тогда DAE = DEA. АС – биссектриса АВС, тогда DAE = EAC, значит,                                                       EAC = DEA, следовательно, DE || АС.                                                        АЕС – равнобедренный (АЕ = ЕС), тогда EAC = ACE = 37°, следовательно, DAC= 74°.                                                        DE || AC, DAC = 74°, тогда BDE = 74°.                                                        Ответ: BDE = 74°.
II этап. Решение задач
Цель деятельности	Деятельность учителя				Деятельность учащихся
Совершенствовать навыки решения задач	(П) Предлагает учащимся решить пробный вариант контрольной работы.                                           1. Дано: 1 +2= 88°, a || b.                                            Найти: все углы, образовавшиеся,                                            при пересечении прямых a || b  и                                            секущей с.                                          2. Дано: 1 +2= 180°, 3 = 48°.                                          Найти: 4, 5, 6. 3. Отрезок DM – биссектриса CDE. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DNM, если CDE = = 68°. 4. Прямая EK является секущей для АВ и CD (Е АВ, K CD). AEK = 49°. При какой величине CKE прямые АВ и CD мо­гут быть параллельными?				1. a || b, тогда 1 = 2 = 44° (как накрест лежащие углы при параллельных прямых a и b и секущей c); 3 = 4 (как накрест лежащие); 1 + 3 = 180°  – смежные, следовательно, 3 = 4 = = 180° – 44° = 136°; 5 = 2 = 44° (как вертикальные), 4 = 6 = = 136° (как вертикальные), 1= 8 = 44° (как верти­кальные), 3 = =7 = 136°. 2. 1 и 2 – внутренние односторонние углы и по условию 1 + 2 = 180°, тогда a || b (по признаку), следовательно, 3 = 5 = 48° (как накрест лежащие углы),5 =6 (вертикальные), следовательно, 3 =5 = 6 = 48°, а3 + 4 = 180° (односторонние), тогда 4 = 132°.                                       3. DM – биссектриса CDE, CDE = 68°, тогда                                      CDM = MDN = 34°. CD || MN,                                          DMN = CDM = 34°.                                        CD || MN, тогда NDC + DNM = 180°.                                        Значит, DNM= 180° – NDC = 112°.                                        Ответ: NDM = NMD = 34°, DNM =112°. Возможны два случая: а)AEK =CKE, CKE = 49°, так как АВ || CD. б) AEK + CKE = 180°, так как АВ || CD, тогда CKE =131°
III этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя				Деятельность учащихся
(Ф/И) – Продолжите фразы: • Я научился... • Я понял... • Я смогу...				(И) Домашнее задание: повторить теоретический материал, подго­товиться к контрольной работе

У р о к 39. Тема: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 «ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ»

Цель деятельности учителя		Создать условия для проверки знаний, умений и навыков учащихся по усвоению и применению изученного материала
Термины и понятия		Признаки параллельности прямых; свойства параллельных прямых
Планируемые результаты
Предметные умения			Универсальные учебные действия
Умеют демонстрировать знание основных понятий, применять полученные знания для решения основных и качественных задач, контролировать процесс и результат учебной математической де­ятельности			Познавательные: проводят сравнение, сериацию и классификацию по заданным критериям. Регулятивные: вносят необходимые коррективы в действие после его завершения на основе учета характера сделанных ошибок; осуществляют самоанализ и контроль своей учебной деятельности. Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных по­зиций в сотрудничестве. Личностные: осознают необходимость и важность изучения предмета
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
Образовательные ресурсы	• Задания для контрольной работы.
I этап. Выполнение контрольной работы по вариантам
Цель деятельности	Задания для контрольной работы
Проверить уровень знаний, умений и на­выков по изученному материалу	(И) Учащиеся выполняют задания контрольной работы (см. Ресурсный материал)
II этап. Итоги урока. Рефлексия
Деятельность учителя				Деятельность учащихся
– Что выполняли на уроке? – Какие задания вызвали затруднения? Почему? – Как оцениваете свою работу на уроке?				(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 5 – 29