Технология применения равносильных преобразований при решении алгебраических соотношений. Методическое пособие для школьников старших классов.

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ЮГО-ВОСТОЧНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

Государственное образовательное учреждение

Лицей № 1547

Технология применения
равносильных преобразований при решении алгебраических соотношений

Методическое пособие для школьников старших классов

МОСКВА, 2014

Технология применения равносильных преобразований при решении алгебраических соотношений. Методическое пособие для школьников старших классов/ Составитель В.Н. Кривобоков. – МОСКВА, 2014. – 61С.

В методическом пособии изложена технология применения равносильных преобразований в решении алгебраических задач различных классов. Приведена их классификация.

Пособие применяется при изучении алгебры в 8-9 классах и алгебры и начал анализа в 10-11 классах основной школы. Рекомендуется при повторении и обобщении материалов при подготовке к конкурсным экзаменам  и  ЕГЭ.

ВВЕДЕНИЕ

Начиная изучение какого-либо объекта, всякий человек прежде всего задается вопросами о том, насколько данный объект велик по размерам и сложен по структуре. Говоря научным языком, перед ним встают трудные задачи анализа изучаемого объекта, классификации имеющихся фактов о нём и приведения этих фактов в систему (первый шаг на пути синтеза нового знания об объекте). Не ответив на поставленные вопросы, исследователь обречён на изучение лишь отдельных сторон интересующего его объекта или явления. В этом смысле алгебра как школьный предмет не составляет исключения, а  успешность ее освоения позволяет решать насущные проблемы абитуриентов и школьников (прежде всего – поступление в ВУЗ).

Опыт общения с абитуриентами и школьниками старших классов показывает, на первый взгляд, парадоксальную ситуацию. Проведём следующий. Предложим старшеклассникам или абитуриентам решить набор “предельно простых” алгебраических уравнений и неравенств:

1)    

при условии отсутствия предварительной подготовки. Результат  эксперимента оказывается удивительно удручающим и единообразным. Уровень первичной решаемости хотя бы одного из указанных соотношений составляет не более 30-50%. Говорить же не только об эффективном, но и о просто осознанном решении всех предлагаемых соотношений не приходится вообще. Если при этом ещё “заставить” школьника решать квадратное неравенство с отрицательным дискриминантом, то создавшееся впечатление усугубиться. Парадокс же заключается в том, что результат здесь довольно мало коррелирует с системой подготовки школьника: результаты в обычной школе, гимназии с усиленной подготовкой по математике, по обычной или углубленной программе в этом случае отличаются лишь количественно. По глобальным, структурным ошибкам отличий практически нет. Первое и второе неравенства учащиеся в большинстве своем склонны решать неравносильно и теряют либо приобретают корни. Четвертое соотношений решается неэффективным, очень затратными методами, а третье, как правило, просто ставит в тупик! Возникает впечатление, что школьники и абитуриенты брошены в “алгебраический океан” и не вооружены никакими средствами навигации в нем! Из существенных недостатков математической подготовки абитуриентов и старших школьников можно отметить следующие:

·        Незнание основных классов и взаимосвязей изучаемых в школе элементарных функций;

·        Широкое и необоснованное применение неравносильных преобразований алгебраических уравнений и неравенств;

·        Несистематизированность методических приемов решения алгебраических задач (попытки решить “хоть как-то”)

·        Незнание связей между различными разделами школьной математики (алгебры, элементов теории множеств и математической логики).

Следует отметить, что обозначенные проблемы, на мой взгляд, имеют в своей основе существенные для традиционной школьной программы по алгебре недостатки, например:

·        Допущение неравносильных преобразований соотношений:

·        Узкое использование или неиспользование вообще полной теоретико-множественной и логической символики (например, знака квадратной скобки как знака объединения числовых множеств и логической независимости высказываний),

·        Наличие непропорциональностей в объемах изучения некоторых разделов курса алгебры (многочлены высоких степеней и их преобразования, тригонометрия, основы анализа, логарифмирование и другие).

Немаловажной особенностью является и тот факт, что значительная часть учителей математики недостаточно творчески подходят к освещению многих вопросов школьной программы, следуя в фарватере традиционных школьных учебников и подходов, а также написанных на их основе многочисленных пособий, которые в гигантских масштабах дублируют и размножают указанные выше недостатки.

Отмеченные факты наводят на мысль о глубинных, объективных причинах “провалов” школьной подготовки для решения конкурсных задач по математике. Данное учебное пособие направлено на устранение некоторых из указанных выше недостатков. Здесь основное внимание уделено вопросам классификации алгебраических соотношений и систематизации методов их решения на основе принципа равносильности и системы приемов его реализации, которые позволяют:

1)      Классифицировать алгебраические уравнения и неравенства с целью их стандартизованного решения на основе выделения в каждом классе соотношений некоторых канонических подклассов, допускающих их непосредственное решение с помощью известных, равносильных преобразований, схем, алгоритмов или методов;

2)      Использовать единую систему обозначений, позволяющую:

·         Максимально упростить логику решения алгебраических соотношений каждого класса, а также соотношений, имеющих смешанный тип;

·         Сделать компактным, наглядным и единообразным оформление процесса решения с целью максимального упрощения получения и анализа ответа в логически разветвленных задачах.

ГЛАВА I

КЛАССИФИКАЦИЯ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

КАНОНИЧЕСКИХ КЛАССОВ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

СООТНОШЕНИЙ

                Рассмотрим следующую систему базовых положений и ключевых понятий, используемую в данном пособии.

1.      Решению всякого алгебраического соотношения становится в соответствии множество значений переменной x (множество корней), при подстановке которых в исходное соотношение возникает верное числовое тождество; причем решением верного числового соотношения, является вся числовая ось К (все действительные числа), а неверного – пустое множество чисел .

2.      Алгебраические соотношения разбиваются на 6 основных классов в соответствии с входящими в них функциями (многочлены, рациональные, иррациональные, с модулем, тригонометрические, показательно-логарифмические). В каждом классе соотношений можно выделить соотношения канонического (элементарного) вида, к которым напрямую (непосредственно), можно применить известную формулу, тождество, схему или алгоритм решения и, тем самым, свести его решение к анализу более простых или ранее изученных классов соотношений.

3.      Решение (получение множества корней) неканонического или смешанного алгебраического соотношения осуществляется путем перехода от одного их вида или класса к другому (более простому или ранее изученному) преимущественно с помощью равносильных преобразований. Преобразование алгебраического выражения называется равносильным, если в результате его применения множество корней исходного соотношения не меняется.

4.      Преобразования алгебраических соотношений происходят по правилам математической логики и теории множеств и могут быть описаны двумя теоретико-множественными (соответственно логическими) операциями: пересечения (соответственно логического умножения, логической зависимости) и объединения (соответственно логического сложения, логической независимости). В алгебраической записи им соответствуют фигурная скобка (система соотношений) и квадратная скобка (совокупность соотношений).

5.      Для любого множества X справедливы следующие правила:

Включая в данную концепцию теоретико-множественную и логическую основу, с помощью простой системы обозначений:

 

Система соотношений

Пересечение множеств

Логическая зависимость (умножение))

“и”, “одновременно”

Совокупность соотношений

Объединение множеств

Логическая независимость (сложение))

“или”, “либо”

Достаточно легко удается применить математическую логику для решения задач различного уровня сложности, в том числе текстовых задач, задач параметрического анализа  и других классов задач. Изложенная выше система понятий прошла проверку при подготовке абитуриентов на подготовительных курсах, при чтении спецкурсов в школах и гимназиях, при проведении индивидуальных занятий в рамках подготовки как к письменным экзаменам, так и к экзаменам государственного тестирования по математике.

Таким образом, принцип равносильных преобразований, дополненный теоретико-множественными и логическими операциями, а так же краткими схемами и алгоритмами равносильных преобразований, рассматривается здесь как главный инструмент алгоритмизации мышления и систематизации решения алгебраических задач. Использование описанного подхода позволяет вооружить учащихся строго логичным, непротиворечивым, полным и одновременно не перенасыщенным набором математических методов, приемов и алгоритмов решения алгебраических задач.

Решение алгебраических уравнений и неравенств составляет значительную долю

математических задач конкурсного типа. Приведем классификацию алгебраических соотношений и основных методов их решения в виде следующих таблиц (аргументы функций опускаются):

Таблица 1

КЛАССИФИКАЦИЯ

Класс алгебраических соотношений	Канонические	Неканонические
1.      Многочлены	Степени не выше второй	Третьей и более высокой степени
2.      Рациональные	вида
3.      Иррациональные
4.      Модули
5.      Тригонометрические	T-имя тригонометрической функции	Остальные
6.      Показательно-логарифмические		Остальные

В таблице 1 кроме классификации соотношений приведены канонические (элементарные) подклассы, допускающие непосредственное использование равносильных алгоритмов, схем или методов решения.

Таблица 2

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Класс соотношения	Канонические	Неканонические
1.      Многочлены	Степень 0: решение – либо , либо R. Степень 1: формулы корней Степень 2: формулы корней, т.Виета.	Частные случаи: 1)      Биквадратный; 2)      Симметричный; 3)      Корни - среди делителей свободного коэффициента.
2.      Рациональные	Уравнения –схема 2.1 Неравенства – метод интервалов.	Сведение к каноническим путем переноса слагаемых и нахождения общего знаменателя
3.      Иррациональные	Схемы 3.1-3.5	Сведение к каноническим с помощью. Равносильных преобразований. Вычисление ОДХ обязательно.
4.      Модули	Схемы 4.1-4.5	Метод интервального анализа
5.      Тригонометрические	Формулы корней, Схемы 5.1-5.4	Сведение к каноническим с использованием тригонометрических тождеств и свойств тригонометрических функций
6.      Показательно-логарифмические	Схемы 6.1-6.6	Сведение к каноническим с использованием свойств логарифмической и показательной функции. Обязательно вычисление ОДЗ.

                Указанные в таблице 2 схемы приведены в приложении 1. Они указывают для каждого класса соотношений равносильные методы освобождения от этого класса и, в конечном счете, сведения всех соотношений к системам и совокупностям многочленов. Рассмотрим ниже более подробно основные алгоритмы и схемы равносильных преобразований указанных классов соотношений.

1.Многочлены

Многочленом называется выражение вида

 ,                                                                               (1.1)

где  ,  – коэффициенты многочлена, x – переменная, n – степень многочлена,  – свободный коэффициент. Решить многочлен – значит найти корни уравнения  (точки пересечения с осью абсцисс). При решении неравенства  ищутся x – координаты точек пересечения кривой  с полуплоскостью .

                Рассмотрим случаи канонических многочленов степени n=0,1,2.

1.      Многочлен степени n=0 (числовое уравнение или неравенство):

                                                                (1.2)  

2.      Многочлен степени n=1 (линейное уравнение или неравенство):

,                                                                       (1.3)

Решения линейных неравенств для знаков <, ≥, ≤ записываются аналогично.

3.      Многочлен степени n=2 (квадратное уравнение или неравенство):

                                   (1.4)               

                Основное внимание следует уделить квадратному соотношению, так как случай n=2 является самым сложным в классе элементарных многочленов. Кроме аналитической записи решения уравнения (1.4) крайне важно хорошо представлять его графическую интерпретацию. Графическим образом квадратного трехчлена является парабола. Рассмотрим все случаи расположения параболы  и неравенств  где ∨ заменяет один из знаков >, <, ≥, ≤.

                При отрицательном a имеем:

Здесь

При анализе квадратного трехчлена  с коэффициентами, зависящими от параметра p, часто требуется определять положение корней  относительно заданных чисел M, N (без непосредственного вычисления этих корней). Ниже приводится соответствующие алгоритмы.

1)     

2)     

3)     

4)       

5)     

6)     

7)     

Относительно многочленов степени выше второй заметим, что в школьной программе не изучаются формулы их корней, то есть отсутствуют непосредственные алгоритмы их решения, что позволяет, по определению, называть их неэлементарными (неканоническими). Решение таких многочленов возможно только в отдельных частных случаях, следующими из приведённых ниже теоретических сведений общей теории многочленов, которые могут быть полезны при овладении методами решения многочленов выше второй степени.

Теорема 1. Многочлен степени n имеет не более n действительных корней. Из теоремы 1 следует два важных утверждения: 1) многочлен нечетной степени имеет нечетное число (причем всегда хотя бы один) действительных корней; 2) многочлен четной степени имеет четное число действительных корней либо не имеет их вообще.

Теорема 2. Всякий многочлен может быть расписан на произведение сомножителей вида x-d (тогда d – действительный корень этого многочлена) и вида .

Теорема 3. Если x=p/q – корень многочлена, т.е , то p – делитель , а q – делитель .

Следствие теоремы 3. Если , то всякий целочисленный корень многочлена является делителем свободного коэффициента .

Теорема Безу. Остаток от деления  на двучлен x-c равен значения многочлена x=c, то есть .

Следствие из теоремы Безу.  делится на x-c без остатка, если и только если с – корень , то есть .

                Основным практическим выводом из приведенного теоретического материала является следующий алгоритм поиска целых корней приведённого (a_n=1) многочлена P_n(x):

1)      Найти все делители свободного коэффициента ;

2)      Среди делителей , путем подбора, найти какой-либо корень

3)      Если такой корень с найден, то понизить степень  на единицу путем деления его на двучлен x-c, получить новый многочлен  и повторить пункты 1) – 3);

4)      Если корень не найден, то сделать вывод об отсутствии целочисленных корней многочлена ; в этом случае у данного многочлена могут быть только иррациональные корни, универсальные методы нахождения которых отсутствует.

Иррациональные корни многочленов, кроме того, можно найти, если удастся подыскать замены переменных, с помощью которой исходный многочлен сводится к каноническому (например, случай биквадратного трехчлена), или к многочлену, корни которого находятся из вышеприведенной теоремы 3. Одним из нестандартных (частных) методов получения иррациональных корней является метод неопределенных коэффициентов, который не является предметом изучения в общеобразовательной школе и, следовательно, не может использоваться в конкурсных задачах вступительных экзаменов в ВУЗы.

2. Дроби

В простейшем  случае рациональное выражение имеет вид , где ,  – произвольные функции. Ниже излагаются основные равносильные схемы решения для канонических дробных уравнений и неравенств.

C.2.1. 

то есть дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю одновременно.

С.2.2.                     C.2.3.   ,

или иначе:  дробь больше нуля, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак; дробь меньше нуля, если числитель и знаменатель имеют разный (противоположный друг другу) знак. Подчеркнём, что, например, соотношение   =C или   , где  не являются элементарными, и вышеуказанные схемы непосредственно к ним неприменимы. Чтобы их решить, необходимо перенести все слагаемые в одну часть соотношения и привести общий знаменатель (табл.2.).

Следует отметить, что значительно более эффективным методом решения дробных неравенств является метод интервалов, который основывается на следующей теореме.

Теорема 2.1. Если  – непрерывная функция и x₁, x₂, … , x_n – её корни: x₁<x₂<…<x_n , то на любом из интервалов  функция  сохраняет знак. Причём, если x_i – корень нечетной  кратности, то при переходе с интервала (x_i-1, x_i) на интервал (x_i, x_i+1) функция меняет знак на противоположный, а в случае четной кратности корня xi знак функции не меняется. Сформулированная теорема применяется для решения дробных неравенств  вида (здесь знак  заменяет один из знаков неравенств).

Изложим далее метод интервалов в виде следующего алгоритма:

1.      Найти все корни функции f и g (решить уравнения f=0, g=0) и расположить их по возрастанию на числовой оси.

2.      Все полученные корни отметить полыми точками в случае строгого неравенства, а в случае нестрогого – корни числителя, не совпадающие с корнями знаменателя, обозначить сплошными точками.

3.      Определить знак дроби на одном из интервалов, выбирая его, исходя из наличия на нём удобной для проверки знака дроби f/g точки числовой оси (По-возможности, наименьшее натуральное число, не совпадающее с корнями числителя и знаменателя).

4.      Расставить знаки дроби f/g на остальных интервалах в соответствии с теоремой 2.1.

5.      Записать решение, объединив интервалы, помеченные знаком, совпадающим со знаком исходного неравенства. Причём все корни, обозначенные сплошными точками, включить в ответ, а корни, обозначенные полыми – исключить.

Пример 2.1. Решить неравенство

Решение. Пусть . Тогда корни числителя: x=0 (кратности 2) и x=1; корень знаменателя x=-1 (см.рисунок).

                                                          -                     +                 +                   -

                                                                    -1                 0                   1                   x

Так знак f(2)<2, то, по теореме 2.1, f(x)<0 на всём интервале  Расставляя знаки на остальных интервалах в соответствии с алгоритмом метода интервалов, получим

Ответ:

Пример 2.2. Решить неравенство 

Решение. Корни числителя и знаменателя найдены в примере 2.1. Расставляя знаки на интервалах в соответствии с алгоритмом метода интервалов и учитывая изменения знака неравенства, получим

Ответ:

Пример 2.3.Решить  неравенство 

Ответ:

Очень  часто  решающие  теряют  решения  в  точках! Пример 2.3 демонстрирует  досканальность  учета  решений  в  точках.

Заметим, что для решения целых неравенств вида  также можно применять изложенный алгоритм, заменив пункт 2 в нём следующим образом: корни функции ,  обозначить сплошными точками в случае нестрогого неравенства и полыми – в случае строгого.

 Особое значение метода интервалов определяется тем фактом, что он является практически единственным алгебраическим методом школьной программы, который может применяться при решении соотношений любого из указных в таблице 1 классов соотношений. Причём это касается как канонических и неканонических соотношений, содержащих “чистые” классы функций, так и смешанных соотношений. Наиболее эффективно применение метода интервалов при решении смешанных соотношений с дробями.

3. Иррациональные соотношения

Под иррациональными соотношениями в школьной математике, понимают соотношения, содержащие несокращаемые дробные показатели степени неизвестной или её комплексов. Каноническими иррациональными соотношениями назовём соотношения вида  , где  - один из знаков сравнения. Эти соотношения (которые в подавляющем большинстве случаев используются при k=1) допускают применения эквивалентных схем, излагаемых ниже. Заметим, что при решении иррациональных соотношений, как правило, применяют операцию их возведения в целую степень, которая в общем случае не является равносильной! В этой связи необходимо хорошо усвоить условие равносильности этой операции (неотрицальность левой и правой частей соотношения), а также необходимость обязательного вычисления ОДЗ в случае неканонических и смешанных иррациональных соотношений. Ниже предлагаются эквивалентные схемы преобразований иррациональных соотношений (обозначение аргумента опускается):

C.3.1.                  C.3.2.

Следует заметить, что в схемах C.3.1, C.3.2 JLP соотношений учитывается автоматически.

C.3.3.                 C.3.4.

C.3.5.

Иррациональные соотношения вида  могут быть решены равносильно, если в них выделить неотрицательные левые и правые части путём перенесения слагаемых или других равносильных преобразований, а также вычислить их ОДЗ.

Пример 3.1. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ  Перенося второе слагаемое левой части в правую и учитывая неотрицательность обеих частей полученного соотношения, имеем

Ответ:

Следует отметить, что приведённый ход решения (основанный на принципе равносильных преобразований) является для данного класса задача в общем случае наиболее оптимальным, так как позволяет избежать не только утомительного слежения за потерей или приобретением посторонних корней, но и не менее утомительной проверки решения путём подстановки корней в исходной соотношение.

Пример 3.2. Решить уравнение

Решение. Учитывая нелинейность подкоренных выражений, перенос второго слагаемого левой части в правую – самый короткий путь к решению:

Ответ: {2}.

Комментарий. Часто множество корней уравнений – конечное множество, и допускает несложный отсев корней. Поэтому иногда этап предварительного вычисления ОДЗ может быть опущен, либо, при необходимости, сделан в ходе последующего решения. Неучёт условия:   привел бы к необходимости проверки того, что  – посторонний корень, что достаточно затратно и ненадёжно.

Пример 3.3. решить неравенство

Решение. Учитывая неканонический вид неравенства, вычислим его ОДЗ:  Так как обе части неравенства неотрицательны, возведём его в квадрат:

 (изменение ОДЗ!)

Ответ:

Комментарий. С одной стороны, предварительное вычисление области определения здесь помогает отсеять посторонние корни интервала , а с другой – не гарантирует от появления посторонних корней  в случае неиспользования равносильной схемы 3.3.

Для рассматриваемых неканонических иррациональных соотношений часто удаётся подобрать замену переменных, позволяющую упростить их решение. Рассмотрим решение примера 3.3 методом, использующим замену переменных:

C учётом введенной замены получим

Возвращаясь к переменной x,  получим:

Пример 3.4. При  каких   уравнение   имеет  решение?

Решение:

т.е. уравнение  имеет  решение  при 

Ответ:  

Пример 3.5. Решить  уравнение 

Решение: 1)При   уравнение  принимает  вид   решениями  которого  являются  все 

2)При    исходное  уравнение  путем  равносильных  преобразований  переходит  в  систему 

Из  неравенства   следует, что   является  решением  исходного  уравнения  только  при 

Уравнение   путем  равносильных  преобразований  переходит  в  систему 

  удовлетворяет  неравенствам    и    при 

Ответ: при    Ø;

             при     

             при    

Пример  3.6. При  каких    уравнение    имеет  два  корня?

Решение: 

Корни  уравнения      существуют  и  различны  при  . Для  существования  двух  решений  исходного  уравнения  достаточно  выполнения  условия 

Ответ:

Пример  3.7.  При  каких  значениях  параметра    уравнение    имеет  два  различных  решения?

Решение:

Пусть    Значения  , при  которых  уравнение    имеет  два  решения, удовлетворяющих  условию    находим  из  системы 

Ответ:

Пример  3.8. При  каких    уравнение    имеет  единственное  решение?

Решение: Выполним  равносильные  преобразования  исходного  уравнения 

Пусть    Уравнение  вида    имеет  единственное  решение, если    Т.к.  при       то  и  исходное  уравнение  имеет  единственное  решение    при 

Исходное  уравнение  будет  иметь  единственное  решение  еще  и  тогда, когда  один  корень  уравнения    удовлетворяет  неравенству   Значения    найдем  из  условия 

Т.о., исходное  уравнение  будет  иметь  единственное  решение  при 

Ответ:

Пример  3.9. Решить  неравенство 

Решение: 1)Если   то  неравенство  выполняется  при  всех  допустимых  значениях  х, т.е.  при 

Т.о.,  при    

2)Если    то  исходное  неравенство  путем  равносильных  преобразований  переходит  в  двойное  неравенство

 

Ответ: при    

             при    

Пример  3.10.  Решить  неравенство

Решение:1) Очевидно, при   неравенство  не  имеет  смысла.

2)Проведем  равносильные  преобразования  исходного  неравенства:

Если    то, учитывая  что  при  этом    и   из  первой  системы  совокупности    а  из  второй -  объединив  которые, получим  решение  исходного  неравенства   

Если   то, учитывая  что  при  этом   из  первой  системы  совокупности   а  из  второй -  объединив  которые, получим  решение  исходного  неравенства    

Ответ:  при    решений  нет;

              при     

              при    

4. Модули

Для решения элементарных соотношений с модулем вида , а также соотношений вида  используются следующие равносильные схемы и алгоритмы.

Определение модуля:

C.4.1.

C.4.2.                    C.4.2.1.

C.4.2.2.

C.4.3.

В случае соответствующего уравнения используется следующая модификация схемы C.4.3:

C.4.3.1.

C.4.4.

C.4.5.

Для решения соотношений вида  большую эффективность при практической реализации показывает следующий алгоритм.

Алгоритм интервального анализа

1.    Найти корни  всех подмодульных выражений , решив уравнение

      расположить их по возрастанию на числовой оси  .

2.    Раскрыть модули в исходном соотношении по определению, предварительно выполнив возможные                    графические построения с целью определения знаков подмодульных выражений.

3.    В соответствии с логической схемой:

 

решить исходное соотношение. (Здесь знак “” означает две логические независимые возможности появления

одного из арифметических знаков в зависимости от знака конкретного подмодульного выражения на текущем

интервале.) Основное назначение приведённых схем и алгоритма заключается в освобождении соотношения от функции модуль путём перехода в равносильному множеству соотношений. Если функция  и  являются многочленами (а это наблюдается чаще всего), дальнейшее решение определяется возникающими системами и совокупностями многочленов.

Пример 4.1. Решить уравнение

Решение. Реализуем изложенный выше алгоритм интервального анализа.

1.       – корни подмодульных выражений.

2.      Сделаем вспомогательное построение (рис. 4.1), изобразив графики подмодульных функций.

 

                                                                             -1                          0                  1                  x

                                                                                                  Рис. 4.1

Заметим, что здесь рисунок несёт существенную смысловую нагрузку, так как позволяет определять знаки подмодульных выражений, не подставляя конкретные числовые значения в них.

3.

Ответ: .

Пример  4.2. Решить  уравнение 

Решение: Учитывая  определение  модуля, проведем  равносильные  преобразования     

Ответ:  при    решений  нет;

              при      

             при          

Пример 4.3. Решить  неравенство       

Решение:  

Ответ:       

Пример 4.4.   Решить  неравенство      

Решение:  Ответ:    

Пример 4.5. Решить  неравенство     

Решение:

Ответ:

Пример 4.6. Решить  неравенство   

Решение:

Ответ:    

Пример 4.7. Решить  неравенство 

Решение:

Ответ:  

Пример 4.8. Решить  уравнение 

Решение:

Ответ:  при       

               при     

Пример 4.9. Решить  уравнение 

Решение: Точки    и    разбивают  числовую  ось  на  три  промежутка.

1)При   Тогда    и  уравнение  принимает  вид    Т.к.   то 

Значит, при    уравнение  имеет  одно  решение 

2)При   . Тогда    и  уравнение  принимает  вид   Уравнение  решений  не  имеет.

3)При   Тогда    и  уравнение  принимает  вид    Т.к.    то   Значит, при    уравнение  имеет  одно  решение 

Ответ:  при    уравнение  имеет  одно  решение     или  ;

              при    уравнение  решений  не  имеет.

Пример 5.0.  Найти  все  значения  параметра   при  которых  при  любых  значениях  параметра    уравнение    имеет  хотя  бы  одно  решение.

Решение: Воспользуемся  известным  свойством  модуля:

  и 

При    левая  часть  уравнения  не  зависит  от    и  равна    поэтому    удовлетворяет  условию  задачи.  единственно  возможное  значение  параметра    Т.к. если  , то  при    имеем    а  при    и    имеем    Значит, что  при    существуют  значения   при  которых  уравнение  не  имеет  решений.

Ответ:

При решении соотношений с модулем полезно помнить и уметь использовать следующие свойства модуля:

 .

Следует  обратить  внимание  на  следующий  факт:

пусть    

Тогда 

Т.е., если   то  на  множестве   неравенства   и   равносильны. Это  можно  обобщить  на  произведение  и  частное  функций.

5. Тригонометрические соотношения

Тригонометрия является одним из разделов математики, насыщенным формулами и преобразованиями, тождественными на области их определения. В этой связи при решении тригонометрических соотношений необходимо: 1) с помощью тождественных преобразований привести их к каноническому виду (см. таблицу 1);  2) осуществлять контроль возможного изменения ОДЗ соотношения. Ниже предлагаются методические модификации записи решений канонических тригонометрических соотношений в стиле рекомендуемой системы приёмов.

  

Приведённые записи решений тригонометрических уравнений не исключают обязательного знания решения частных случаев тригонометрических уравнений типа

Полезно, кроме того, знать схемы решения элементарных тригонометрических неравенств:

При решении элементарных тригонометрических уравнений вида

 используются формулы тождественных преобразований сумм и разностей одноимённых тригонометрических функций различных аргументов. Существуют, однако, более эффективные равносильные алгоритмы решения таких задач, излагаемых ниже в виде следующих равносильных схем.

C.5.1.  

C.5.2.

C.5.3.

C.5.4.     

Уравнение вида сводятся к предыдущему с использованием формул приведения.

При решении тригонометрических соотношений кроме тригонометрических формул тождественных преобразований важно знать немногочисленные стандартные алгоритмы решения, некоторые из которых приводятся ниже:

Где

Приведённый выше алгоритм прост в реализации, однако, при проверке полученных по нему решений, приводит к значительным осложнениям. Нижеследующий алгоритм не обладает указанным недостатком.

В общем случае, с помощью универсальной тригонометрической подстановки , тригонометрическое соотношение вида  –рациональная функция, сводятся к рациональной функции переменной  по формулам:

Последнее ограничение говорит о возможном сужении ОДЗ исходного соотношения, что требует аккуратного применения универсальной тригонометрической подстановки. Кроме того, её применение приводит к уравнениям высокой степени относительно переменной t.

Пример 5.1. Решить уравнение

Решение.

Отмечая полученные серии решений на тригонометрическом круге, можно заметить, что серия  включается в серию ,а серия  – в серию . Поэтому получаем

Ответ:

 Заметим, что решение большинства тригонометрических соотношений допускает несколько вариантов решения благодаря многочисленности формул тождественных преобразований. Вместе с тем, приведённый

Пример показывает, что если известно, куда “плыть” (см. рекомендации в табл.1,2), то выбор метода решения значительно облегчается.

Пример 5.2. Решить  уравнение 

Решение: Данное  уравнение  относится  к  однородному  уравнению  второй  степени  относительно  синуса  и  косинуса.

 

Ответ:

Пример 5.3. Решить  уравнение 

Решение: Данное  уравнение  относится  к  симметрическим  тригонометрическим  уравнениям  относительно  синуса  и  косинуса ( при  взаимообмене  функций  уравнение  не  меняет  прежнего  вида). В  этом  случае  удобно  применить  замену    тогда    В  этом  случае  получим  алгебраическое  уравнение  относительно 

 

Выполнив  обратную  замену, получим 

Ответ:

Пример 5.4. Найти  все  значения  параметра   при  которых  уравнение    не  имеет  решений.

Решение:

Очевидно, что  уравнение  не  имеет  решений, если 

Ответ: при 

Пример 5.5. Решить  уравнение 

Решение:    

Ответ:

Пример 5.6. Решить  уравнение 

Решение:

Первое  уравнение  сводится  к  следующему 

Для  решения  второго  уравнения  совокупности  введем  новую  переменную:

Пусть    тогда 

Второе  уравнение  совокупности  примет  вид 

Выполняя  обратную  замену, получим

Ответ:

Необходимо  учесть, что  встречаются  тригонометрические  уравнения  или  неравенства, которые  удобнее  решать  с  помощью  использования  свойств  функций. Эта  палочка-выручалочка  помогает  решать  зачастую  в  крайних  случаях. 

Пример 5.7. Решить  уравнение 

Решение: Учитывая  ограниченность  синуса, можно  сделать  следующий  вывод: левая  часть  уравнения  принимает  значение  2, если  оба  слагаемых  одновременно  равны  единице. Отсюда  

Ответ:

Пример 5.8. Решить  уравнение 

Решение:

 

Ответ:

Пример 5.9. Решить  уравнение 

Решение:

 

Ответ:

Пример 5.10. Решить  уравнение    

Решение: Учитывая  свойства  ограниченности  синуса  и  косинуса, получаем, что  левая  часть  уравнения  не  превышает  16, а  правая – не  превосходит  16. Значит, в  этом  случае  уравнение   путем  равносильных  преобразований  перейдет  в  систему  уравнений.

 

Ответ:

6.      Логарифмические и показательные соотношения

Логарифмические соотношения начинают изучаться в школе достаточно поздно и вызывают определённые трудности у абитуриентов при сдаче вступительных экзаменов. Зачастую школьники просто не успевают обобщить в принципе несложный материал. Ниже известные из школьной программы свойства логарифмов обобщаются на случай произвольных функций  аргументы которых опускаются.

1.  При

 – основное логарифмическое тождество.

2. При

 – логарифм произведения.

3. При

 – логарифм частного.

4. При

 -правило освобождения от степеней аргумента и основания.

4.1 При  

5.  При

 – правило перехода в новому основанию.

5.1. При

Ниже приводятся равносильные схемы решения канонических логарифмических соотношений:

C.6.1.

C.6.2.

C.6.3.

А также канонических показательных соотношений:

C.6.4.

(здесь символ “D” означает область определения)

C.6.5.

C.6.6.

Замечание. Схемы C.6.1-6.6 значительно упрощаются, если функция  являются константами. Равносильные схемы для знаков нестрогих неравенств легко получить самостоятельно.

Пример 6.1. Решить неравенство

Решение.

 

                                                                                       X1       X2          1                x

                                                                                -1     X1    0    X4   X2     1        x      

Объединяя изображенные на рис. 6.1 множества, получаем

Ответ:

Пример 6.2. Решить  уравнение 

Решение:

Ответ:

Пример 6.3.  Решить  уравнение     

Решение:

    

Ответ :

Пример 6.4. Решить  уравнение 

Решение: Левая  часть  уравнения  представляет  собой  убывающую  функцию, значит, исходное  уравнение  если  имеет, то  это  решение  единственное.

Проверка  показывает, что  решением  исходного  уравнения  является  число  - 1.

Ответ: - 1.    

Пример 6.5. Решить  неравенство   

Решение: Учитывая  следующее  правило: знак  разности   совпадает  со  знаком  произведения   исходное  неравенство  при  равносильных  преобразованиях  принимает  вид   

Ответ:

Пример 6.6.

Глава II. Применение технологии равносильных преобразований для анализа и решения смешанных классов алгебраических соотношений

Приведенные в главе I классификация алгебраических соотношений и методы их решения позволяют систематизировать их и разделить на несколько классов по уровню сложности и конкурсности.

I.        Стандартные конкурсные - это соотношения, в которых:

1)  помимо многочленов присутствуют несколько (как правило, от одного до трех) классов функций, перечисленных в таблице 1 главы I;

2)  методы их решения изучаются в рамках общеобразовательной школьной программы и не выходят за пределы перечисленных в таблице 2 главы I.

II.     Нестандартные конкурсные - это соотношения, методы решения которых не выходят за рамки школьной      программы, но требуют применения неформальных процедур предварительного или контекстного анализа (поиск удачной замены переменных или использование свойств функций для получения решения, разделение области определения на подобласти, в которых соотношения допускают существенные упрощения и тому подобное).

III.     Олимпиадные (исследовательские) - это задачи или соотношения, для решения которых, как правило, используются неформальные процедуры постановки задачи, построения ее математической модели, использование общенаучных или частных методов решения, не изучаемых систематически в общеобразовательной школе.

Заметим, что данное пособие ориентировано на подготовку к решению соотношений    преимущественно    первого и второго класса, хотя предлагаемые методы могут быть полезны и для анализа более сложных нестандартных и олимпиадных задач. Ниже предлагается следующий типовой алгоритм анализа и решения алгебраических соотношений I и II классов.

1.      Выявить классы функций, входящих в соотношения, их системы и совокупности. Определить каноничность (неканоничность соотношения в соответствии с таблицей 1 главы I.

2.      Если соотношение имеет канонический вид, то применить для освобождения от соответствующего класса функций методы изложенные в таблице 2 главы I.

3.      Если соотношение имеет неканонический вид, то оценить возможность свести его к каноническому с помощью равносильных действий (перенос слагаемых, приведение общего знаменателя, равносильные замены переменных, выделение знакоопределенных выражений и т. п.), изложенные в таблице 2 главы I.

4.      Если указанные в п. 3 равносильные действия найти не удается, то использовать неравносильные действия с обязательным контролем ОДЗ или другие неформальные действия (подходящие замены переменных, использование свойств функций, анализ области определения и другие).

               Заметим,   что   в   последнем   случае   алгебраическая   задача  должна считаться «трудной», нестандартной, исследовательской, творческой, и отнесение ее к конкурсному типу вступительных экзаменов сомнительно.

               Ниже рассматриваются примеры решения алгебраических соотношений, большинство из которых использовались в билетах вступительных экзаменов в ВУЗы. Все анализируемые задачи можно отнести к типу (I) стандартных конкурсных заданий. В скобках приведены номера классов функций в соответствии с классификацией таблицы I.

Иррациональная дробь (2-3)

Решение. Дробно-иррациональное неравенство можно свести к канонической дроби путём переноса слагаемого и приведения общего знаменателя, то есть равносильно.

1) корни знаменателя:

2) корни числителя:

Отметим корни на оси абсцисс и реализуем метод интервалов. Кроме того, учитывая, что исходное неравенство имеет смешанный, дробно-иррациональный вид, вычислим его ОДЗ (см. рекомендацию в табл. 2):

  _                          +                            _

     X3         -5                   1           X4       x

Ответ: .

Модульная дробь (2-4)

Решение.  Данное неравенство можно привести в канонической дроби и применить метод интервалов:

1) корни знаменателя:

 Применим метод интервального анализа (см. раздел 4 гл.I):

Изображая корни числителя и знаменателя на оси абсцисс, получим

    _          +                    _                         _                   +         _

       X₈                                 0                                   x₉

Ответ:

Тригонометрическая дробь (2-5)

Решение. Сведём уравнение к канонической дроби (табл. 1):

Решим 1-е уравнение системы сведением к квадратному относительно выражения

 – посторонняя серия, так как

Ответ: 

Логарифмическая дробь (2-6)

Решение. Данное неравенство является неканоническим логарифмом. В соответствии с рекомендациями табл. 2, с целью сведения неравенства к каноническому логарифму, используем свойство 5.1 логарифмом (гл. I):

Заметим, что, пытаясь получить канонический логарифм, мы получили каноническое дробное неравенство (табл. 1). Эта особенность неканонических логарифмических соотношений связана с частным использованием важного свойства 5 логарифмов. Решим последнее неравенство методом интервалов (табл. 2):

1) корни знаменателя:

2) корни числителя:

что даёт решение (по методу интервалов): .  Так как исходное неравенство было неканоническим логарифмом, то в соответствии с рекомендацией табл. 2 необходимо ещё вычислить его ОДЗ:

-1<x<5. С учётом ОДЗ получаем окончательный

Ответ:

Дробная иррациональность (3-2)

Решение. Иррационально-дробное неравенство имеет вид канонической иррациональности:

(I)                                                                                             (II)

           X3        0           X4      2/3           x                               0                  X5          2/3           x

Объединяя решения систем (I) и (II), получим

Ответ:

Модульная иррациональность (3-4)

Решение. Каноническая иррациональность решается по C.3.1:

Ответ:

Тригонометрическая иррациональность (3-5)

Решение. Уединяя радикал, получим следующее каноническое иррациональное уравнение:

Произведём отбор корней с учётом ограничения

               

 не удовлетворяет ограничению при всех m;

Ответ:

Логарифмическая иррациональность (3-6)

Решение. Решим каноническое иррациональное неравенство, использовав С.3.5:

 

Решим неравенство по  Тогда

Ответ:

Дробный модуль (4-2)

Решение: Данное неравенство можно рассматривать как канонический модуль вида

.

Решим каждое из неравенств системы отдельно.

1) корни знаменателя:

2) корни числителя:

Решение (I) методом интервалов даёт

(II).

1) корни знаменателя:

2) корни числителя:

Решение (II) методом интервалов даёт

Тогда

Ответ:

Иррациональный модуль (4-3)

Решение. Имеем канонический модуль вида  который решается в соответствии с рекомендациями таблицы 2:

Ответ:

Тригонометрический модуль (4-5)

Решение. Имеем канонический модуль. По C.4.1 (определение модуля) получим

C учётом ограничений  и обе серии  и  – посторонние корни.

(2)  Аналогично (1) получаем

C учётом ограничений  обе серии  и  – посторонние корни.

Ответ:

Логарифмический модуль (4-6)

Решение. Исходное неравенство – канонический модуль. По C.4.5 получаем

Решим каждое неравенство совокупности отдельно:

По аналогии с примером п. 2-6 (логарифмическая дробь), применяя свойство 5.1 логарифмов, получим:

Последнее неравенство – каноническая дробь. Решение – методом интервалов:

1) знаменатель:

2) числитель:

Решение методом интервалов, с учётом ОДЗ неравенства, даёт  Заметим, что прямое вычисление ОДЗ необходимо, так как исходное неравенство (I) имеет смешанный вид и включает логарифм (табл. 2).

Метод интервалов:

1) знаменатель:

2) числитель:

Корень последнего кубического уравнения можно найти подбором среди делителей свободного коэффициента (табл. 2). По теореме Безу получаем остальные корни числителя  . C учетом ОДЗ решение (II) методом интервалов даёт

Решение совокупности (I), (II) тогда имеет вид

Ответ: 

О конкурсных тригонометрических соотношениях

                Отметим, что смешанные тригонометрические соотношения , то есть соотношения, в которых аргументами тригонометрических функций являются отличные от линейных многочленов функции, в конкурсных задачах практически не встречаются. Значительно чаще встречаются тригонометрические соотношения с линейными аргументами, в которых необходимо произвести отбор корней в соответствии с заданным условием. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример 5.1. Решить уравнение sin²3x=cos²4xпри условии cos3x<0

Решение.  sin²3x=cos²4x ⟺ (sin3x-cos4x)(sin3x+cos4x)=0 ⟺

Для отбора корней в соответствии с условием cos3x<0 используем тригонометрический круг с осью абсцисс 3x. Для этого пересчитаем полученные серии корней, умножив их на 3:

1)       не удовлетворяет ограничению при всех  

2)     

3)       не удовлетворяет ограничению при всех

4)       

Ответ:

                    

Дробный логарифм (6-2)

Решение. Данное неравенство легко превращается в канонический логарифм с использованием свойства 4.1 логарифмов:

Ответ:

Иррациональный логарифм (6-3)

Решение. Приводя к каноническому логарифму, получим

                                                    

  

Ответ:       

Модульный логарифм (6-4)

Решение. Исходное неравенство является каноническим логарифмом. По С.6.2 при φ=1/3 получим

Ответ:      

Тригонометрический логарифм (6-5)

Решение. Исходное уравнение приводится к каноническому логарифму по свойству

логарифмов 4.1:

Ответ:         ,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одним из основных математических навыков, которые требуются от школьников на практике, является умение решать алгебраические соотношения (уравнения и неравенства). Простой подсчёт тематики конкурсных задач, использующихся на вступительных экзаменах в ВУЗы, показывает, что от 50 до 80% из них – это решение соотношений. К таким задачам относятся не только собственно алгебраические соотношения с многочленами, дробными, иррациональными, модулем, тригонометрическими, логарифмическими функциями, но и задачи параметрического анализа с использованием соответствующих функций, многие текстовые задачи, задачи аналитической геометрии, которые сводятся к решению систем уравнений и неравенств. Следует отметить, что в настоящее время в школьных учебниках алгебры отсутствует единый, аксиоматизированный подход, позволяющий классифицировать и систематизировать знания в этой области. В частности, бросается в глаза некоторый двойной стандарт при изучении алгебраических соотношений. Например, с одной стороны, утверждается, что их решение должно соответствовать принципу равносильности, а с другой – при решении некоторых классов уравнений, допускаются их неравносильные преобразования. При этом предлагается страховать изменения множества корней вычислением области определения, отсевом корней путем подстановки, анализом свойств функции и другими трудно формализуемыми процедурами.

В данной работе изложен подход, который, на взгляд автора, способен эффективно устранить указанные недостатки алгебраической подготовки школьников. В основе указанного подхода лежит системное применение принципа преобразований алгебраических соотношений. Основные элементы данного подхода излагаются в виде следующих положений.

Классификация соотношений. Алгебраические соотношения разбиваются на 6 классов соответствий с входящими в них функциями (многочлены, с модулем, рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательно-логарифмические). В каждом из перечисленных классов выделяются соотношения канонического вида, которые могут быть решены с помощью непосредственного применения равносильных методов. Не являющиеся каноническими соотношения в подавляющем большинстве случаев можно привести к каноническим с помощью равносильных преобразований. Исключения могут составить соотношения иррационального и логарифмического класса. Однако в этом случае для большинства конкурсных задач достаточным для неизменности множества корней является вычисление области определения соотношения. К положительной стороне предлагаемой классификации можно отнести малочисленность используемых равносильных методов решения канонических классов: формулы корней, равносильные схемы, метод интервалов. Метод интервалов и является здесь единственным универсальным (применимым для всех классов функций) методом. Список равносильных схем (см. Приложение 1) в каждом из классов не превышает пяти и в принципе может быть ограничен тремя – для уравнения и двух видов неравенств.

Правила вывода (Modus ponens). Преобразования алгебраических соотношений происходят по правилам математической логики и теории множеств и могут быть описаны двумя теоретико-множественными (логическими) операциями – пересечения (логического умножения, логической зависимости) и объединения (логического сложения, логической независимости). В алгебраической записи им соответствуют фигурная скобка (система соотношений) и квадратная скобка (совокупность соотношений). Результатом всякого преобразования является освобождение от одного из присутствующих в исходном соотношении классов функций и, в конечном счете, получение за конечное число равносильных преобразований систем и совокупностей многочленов, как правило, не выше второй степени.

Описанный подход обладает достоинствами быстроты и надежности решения всех классов алгебраических соотношений за счет относительно небольшого набора необходимых теоретических сведений и логической ясности метода, что проявилось на подготовительных курсах, при чтении специальных курсов в гимназиях и школах как обычных, так и с повышенной математической подготовкой. На основе данного подхода теоретически и методически разработан курс обучения школьников решению такого сложного класса алгебраических задач, как задачи параметрического анализа, также апробированный в учебных заведениях и реализованный в виде графоаналитического обучающего комплекса.

Следует отметить, что применение указанного подхода в школе существенно сдерживается отсутствием использования в программе общеобразовательной школы знака совокупности соотношений, что, по сути, означает попытку излагать предмет “Алгебра” без союза «или» и, очевидно, бесперспективно. Автор убежден, что строгое, системное и вместе с тем компактное изложение принципа равносильности без использования символа совокупности, и обратно – эффективное использование равносильных алгоритмов без примата принципа равносильности невозможны.

В настоящее время появилось значительное количество учебных пособий, широко использующих равносильные преобразования соотношений. Вместе с тем понятно, что при отсутствии символа совокупности в программе школы, а также при неявном присутствии упомянутого выше двойного стандарта они не могут радикально повлиять на принятый в школе подход, допускающий использование неравносильных переходов при решении любых соотношений (с комментариями об отборе корней путем подстановки, контроле области допустимых значений соотношения, анализе свойств функций при применении метода замены переменных и т.п). Ниже приводится небольшой список очевидных и вопиющих диспропорций школьной программы по алгебре, которые, на взгляд автора, обусловлены, в частности, непоследовательным использованием принципа равносильности и отсутствием в программе знака совокупности.

1.       Показательные и логарифмические соотношения изучаются лишь во втором полугодии 11-го класса, что неявно обосновывается неоднозначностью логарифмической функции и «сложностью» решения соотношений с ними. Это приводит к тому, что один из наиболее часто встречающихся в конкурсных задачах классов соотношений начинает изучаться только тогда, когда уже требуется завершать процесс систематизации знаний в алгебре. Вместе с тем, указанные соотношения в рамках метода равносильных преобразований ни сложнее, ни проще остальных, если для их решения использовать знак совокупности, что может позволить изучать эту важную тему гораздо раньше, например, в конце 9-го класса школы.

2.       Соотношения с модулем рекомендуется раскрывать без исключения по определению модуля. Тогда как само определение модуля (его раскрытие) приводится через знак системы, что логически запутывает смысл производимых действий, так как этот знак означает логическую зависимость, “одновременность” реализации действий, тогда как подмодульное выражение не может быть одновременно и отрицательным и неотрицательным. С другой стороны, использование знака совокупности, позволяя “выправить” определение модуля, дает возможность использования идеально эффективных, равносильных схем решения как канонических неравенств с модулем, так и неканонических соотношений вида .

3.       Заслуживает серьёзной критики, на взгляд автора, раздельное изучение в общеобразовательной школе тем «Уравнения» и «Неравенства» для всех классов соотношений. Дело в том, что при изучении уравнений, как более простого типа соотношений, допускается использование частных, в том числе и неравносильных методов их решения. При этом допустимо использовать такие громоздкие или неформализованные процедуры, как отбор корней, анализ области определения и свойств функции и соотношений, замена переменных и другие, безусловно полезные с точки зрения общематематического образования. Однако заученные формально методы решения уравнений часто некорректно обобщаются учащимися на решение, например, соответствующих неравенств. Использование же схем равносильных  преобразований позволяет изучать указанные темы комплексно и непротиворечиво, не разделяя их, и, как показывает практика преподавания, с минимальными временными затратами.

Отметим ещё раз, что приведенный, далеко не полный, список диспропорции обусловлен прежде всего двумя вышеуказанными факторами – несистемным использованием принципа равносильности и знака совокупности при решении алгебраических соотношений.

Таким образом, рассматривая принцип равносильных преобразований как методологическую основу устранения сложившихся диспропорций в программе алгебры общеобразовательной школы, а знак совокупности соотношений – как знак, замыкающий в единое целое алгебраический, теоретико-множественный и логический аспекты школьной математики, сформулируем ряд рекомендаций, которые могут позволить скорректировать изучение курса алгебры в направлении ее классификации, систематизации и даже унификации с точки зрения подготовки основной массы старших школьников к конкурсным испытаниям:

·        Наряду с обозначениями системы соотношений целесообразно ввести в программу обозначение совокупности как знака, имеющего теоретико-множественное значение объединения множеств (для соотношений это множества их корней) и логическое значение независимости событий (под событием, например, понимать тот факт, что соотношение обладает некоторым множеством корней – уже найденных или подлежащих определению). Данная модификация вполне могла бы уместиться в программу при изучении темы «Элементы теории множеств».

·        При изучении понятий и методов решения алгебраических соотношений в качестве базового принципа имеет смысл использовать принцип равносильных преобразований, а неравносильные действия (в том числе некоторые замены переменных) рассматривать как вспомогательные, использующиеся лишь в исключительных случаях.

·        Изучение как уравнений, так и неравенств производить одновременно, по ходу прохождения конкретного класса соотношений с использованием равносильных алгоритмов решения.

Указанные модификации, как показывает опыт использования описанного подхода на спецкурсах в 8-11-х классах гимназий и общеобразовательных школ, позволяют абитуриентам и школьникам относительно быстро классифицировать и систематизировать свои знания в области алгебры соотношений и успешно применять их при изучении решений конкурсных задач.

ЛИТЕРАТУРА

1.      Брабандер С.П. Применение метода эквивалентных преобразований для решения уравнений и неравенств / С.П. Брабандер, А.В. Медведев. – Кемерово: Кузбассвузиздат, 2000. -27 с.

2.      Кривобоков В.Н. О многочленах степени не выше второй / В.Н. Кривобоков, А.В. Медведев // Изд. Дом «Первое сентября», газета «Математика», - 2004, №2, 3, 6, 11.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

СХЕМЫ РАВНОСИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

2.РАЦИОНАЛЬНЫЕ

С.2.1.

               3.ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ

С.3.1.

C.3.2.

C.3.3.

C.3.4.

C.3.5.

4.МОДУЛИ

С.4.1.

С.4.2.

С.4.3.                   C.4.3.1.

C.4.4.

C.4.5.

5.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

С.5.1.

С.5.2.

С.5.3.

С.5.4.

6.ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ

С.6.1.

С.6.2.  

С.6.3.   

С.6.4.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………… ......  4

ГЛАВА I. КЛАССИФИКАЦИЯ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

КАНОНИЧЕСКИЕ КЛАССЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ …………………7

КЛАССИФИКАЦИОННАЯ ТАБЛИЦА 1 ………………………………………………………….10

КЛАССИФИКАЦИОННАЯ ТАБЛИЦА 2 ………………………………………………………….11

МНОГОЧЛЕНЫ……………………………………………………………………………………….12

ДРОБИ…………………………………………………………………………………………………17

ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ……………………………………………………………………………. 20

МОДУЛИ………………………………………………………………………………………………24

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ……………………………………………………………………………………..28

ПОКАЗАТЕЛЬНО-ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ …………………………………..32

ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕХНОЛОГИИ РАВНОСИЛЬНЫХ  ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА И РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ

КЛАССОВ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ  CООТНОШЕНИЙ……………………………………………………………………………………35

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………………………… 54

ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………………………………………60

ПРИЛОЖЕНИЕ (схемы равносильных преобразований) ………………………………61

Краткое описание документа:

В данной работе изложен подход, который, на взгляд автора, способен эффективно устранить указанные недостатки алгебраической подготовки школьников. В основе указанного подхода лежит системное применение принципа преобразований алгебраических соотношений. Основные элементы данного подхода излагаются в виде следующих положений.

Классификация соотношений. Алгебраические соотношения разбиваются на 6 классов соответствий с входящими в них функциями (многочлены, с модулем, рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательно-логарифмические). В каждом из перечисленных классов выделяются соотношения канонического вида, которые могут быть решены с помощью непосредственного применения равносильных методов. Не являющиеся каноническими соотношения в подавляющем большинстве случаев можно привести к каноническим с помощью равносильных преобразований. Исключения могут составить соотношения иррационального и логарифмического класса. Однако в этом случае для большинства конкурсных задач достаточным для неизменности множества корней является вычисление области определения соотношения. К положительной стороне предлагаемой классификации можно отнести малочисленность используемых равносильных методов решения канонических классов: формулы корней, равносильные схемы, метод интервалов. Метод интервалов и является здесь единственным универсальным (применимым для всех классов функций) методом. Список равносильных схем (см. Приложение 1) в каждом из классов не превышает пяти и в принципе может быть ограничен тремя – для уравнения и двух видов неравенств.

Правила вывода (Modusponens). Преобразования алгебраических соотношений происходят по правилам математической логики и теории множеств и могут быть описаны двумя теоретико-множественными (логическими) операциями – пересечения (логического умножения, логической зависимости) и объединения (логического сложения, логической независимости). В алгебраической записи им соответствуют фигурная скобка (система соотношений) и квадратная скобка (совокупность соотношений). Результатом всякого преобразования является освобождение от одного из присутствующих в исходном соотношении классов функций и, в конечном счете, получение за конечное число равносильных преобразований систем и совокупностей многочленов, как правило, не выше второй степени.

Описанный подход обладает достоинствами быстроты и надежности решения всех классов алгебраических соотношений за счет относительно небольшого набора необходимых теоретических сведений и логической ясности метода, что проявилось на подготовительных курсах, при чтении специальных курсов в гимназиях и школах как обычных, так и с повышенной математической подготовкой. На основе данного подхода теоретически и методически разработан курс обучения школьников решению такого сложного класса алгебраических задач, как задачи параметрического анализа, также апробированный в учебных заведениях и реализованный в виде графоаналитического обучающего комплекса.