Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Технология "Решение задач с параметрами графическим способом в параметрической плоскости",часть 1

Технология "Решение задач с параметрами графическим способом в параметрической плоскости",часть 1

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:











Для того чтобы наиболее полно раскрыть возможности этого метода, будем рассматривать основные типы задач.


Образцы заданий при отработке знаний и умений при решении задач с параметрами графическим методом (координатная плоскость )


Задание 1.

При каких значениях a уравнение = имеет два корня?

Решение.

Переходим к равносильной системе:


Эта система на координатной плоскости (;) задаёт кривую. Ясно, что все точки этой дуги параболы (и только они) имеют координаты, удовлетворяющие исходному уравнению. Поэтому число решений уравнения при каждом фиксированном значении параметра , равно количеству точек пересечения кривой с горизонтальной прямой, соответствующей этому значению параметра.

hello_html_ma237929.jpg


Очевидно при указанные прямые пересекают график в двух точках, что равносильно исходному уравнению иметь два корня.

Ответ: при .

Задание 2.

Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение.

Решение.

Перепишем исходную систему в таком виде:

Все решения этой системы (пары вида ) образуют область, показанную на рисунке штриховкой. Требование единственности решения данной системы на графический язык переводится так: горизонтальные прямые должны иметь с полученной областью только одну общую точку. Легко заметить, что лишь прямые и удовлетворяют выдвинутому требованию.

hello_html_m32b43d05.jpg


Ответ: или .

Только что разобранные две задачи позволяют дать более конкретные рекомендации по сравнению с приведёнными раннее:

  • попытаться выразить параметр через переменную, т. е получить равенства вида , затем

  • на плоскости строить график функции .


Задание 3.

При каких значениях а уравнение имеет ровно три корня?

Решение.

Имеем

График этой совокупности – объединение «уголка» и параболы. Очевидно, лишь прямая пересекает полученное объединение в трёх точках.

hello_html_m35996925.jpg


Ответ: .

Замечание: Параметр обычно рассматривается как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причём «равноправная» с другими, присутствующими в задаче. При таком взгляде на параметр формы задают функции не с одной, а с двумя переменными.


Задание 4.

Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет одно решение.

Решение.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Находим корни квадратного трёхчлена :


Данное уравнение равносильно системе:


hello_html_m7f1bbad3.jpg


С помощью полученной системы легко построить график исходного уравнения. Именно наличие «проколов» в этом графике позволяет при и = иметь уравнению единственное решение. Это определяющий фактор в решении.


Ответ: и .

Задание 5.

При каких значениях параметра, а уравнение имеет единственное решение.

Решение.

Запишем систему, равносильную исходному уравнению


Отсюда получаем








Строим график и будем проводить прямые перпендикулярные оси а.

Первые два неравенства системы задают множество точек, показанное штриховкой, причём в это множество не входят гиперболы и .

hello_html_m5ea7e944.jpg


Тогда отрезок и луч , отрезок и луч , лежащие соответственно на прямых и , являются графиком исходного уравнения. Одно решение будет, если 2 < < или < или = .

Ответ: 2 < < или < или = .



Задание 6.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно два различных решения


Решение.

Рассмотрим совокупность двух систем

Если , то .

Если < , то .

Отсюда

или

Параболы и прямая имеют две общие точки: А (-2; - 2), В (-1; -1), причём, В – вершина первой параболы, D – вершина второй. Итак, график исходного уравнения показан на рисунке.

hello_html_4376b458.jpg



Должно быть ровно два различных решения. Это выполняется при или .

Ответ: или .


Задание 7.

Найдите множество всех чисел , для каждого из которых уравнение

имеет только два различных корня.

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде

.

Корни уравнения, , при условии, что .

Строим график данного уравнения. В данном случае график удобно строить, отнеся переменной ось ординат. Здесь ответ «считываем» вертикальными прямыми, получим, что данное уравнение имеет только два различных корня при = -1 или или .




hello_html_me45fa95.jpg


Пунктиры говорят о том, что .


Ответ: при = -1 или или .


Задание 8.

Для каких в множестве решений неравенства содержится промежуток .


Решение.

Запишем совокупность двух систем, равносильную исходному уравнению:


или

Поскольку в решение первой системы ни при каких значениях параметра а не может входить отрезок , то необходимые исследования проведём для второй системы.

Имеем

Обозначим . Тогда второе неравенство системы принимает вид < - и на координатной плоскости задаёт множество, показанное на рисунке.

hello_html_6694052c.jpg


С помощью рисунка устанавливаем, что при в полученном множестве содержатся все точки, абсциссы в которых пробегают все значения промежутка

Тогда , отсюда .

Ответ: .


Задание 9.

Найти все неотрицательные числа , при которых существует единственное число , удовлетворяющее системе

Решение.

Имеем,

Первое уравнение на координатной плоскости задаёт семейство вертикальных прямых. Прямые и разбивают плоскости на четыре области. Некоторые из них являются решениями неравенства системы. Конкретно какие – можно установить, взяв из каждой области по пробной точке. Та область, точка которой удовлетворяет неравенству, является его решением (такой приём ассоциируется с методом интервалов при решении неравенств с одной переменной). Строим прямые

и .

Например, берём точку и подставляем в Координаты точки удовлетворяют неравенству.

hello_html_m77e3828a.jpg


Получаем две области (I) и (II), но, учитывая, что по условию , мы берём только область (I). Строим прямые , k.

Итак, исходной системе удовлетворяют все точки (и только они), лежащие на лучах и выделенные на чертеже жирными линиями, (т. е. строим точки в заданной области).


Теперь надо найти единственное при фиксированном . Строим параллельные прямые, пересекающие ось . и находим где будет одна точка пересечения с прямой .

Находим по рисунку, что требование единственности решение достигается, если (при уже 2 точки),

где - ордината точки пересечения прямых и ,

где – ордината точки пресечения прямых и .

Итак, получаем < .

Ответ: < .


Задание 10.

При каких значениях параметра, а система имеет решения?


Решение.

Разложим на множители левую часть неравенства системы, имеем


Строим прямые и . Показываем на рисунке штриховкой множество точек плоскости, удовлетворяющее неравенству системы.

hello_html_m79f03909.jpg


Строим гиперболу = .


Тогда абсциссы выделенных дуг гиперболы – решения исходной системы. M, P, N, Q – узловые точки. Найдём их абсциссы.


.

Для точек P, Q имеем

Остаётся записать ответ: или .

Ответ: или .


Задание 11.

Найти все значения , при которых любое решение неравенства по модулю не превосходит двух ().

Решение.

Перепишем данное неравенство в таком виде . Построим графики уравнений и =.

«Методом интервалов» устанавливаем, что решением исходного неравенства будут заштрихованные области.

hello_html_56c651ba.jpg


Теперь строим область и смотрим, какая её часть попадает в заштрихованную область.



Т.е. теперь, если при каком – то фиксированном значении прямая в пересечении с полученной областью даёт лишь точки, абсциссы которых удовлетворяют условию < 2, то – одно из искомых значений параметра.

Итак, мы видим, что .

Ответ: .


Задание 12.

При каких значениях параметра множество решений неравенства содержит не более четырёх целых значений ?

Решение.

Преобразуем данное неравенство к виду . Это неравенство равносильно совокупности двух систем

или

hello_html_1576d8a1.jpg


Изображаем с помощью этой совокупности решение исходного неравенства.


Проведём прямые , где . Тогда значение , для которого прямая пересекает прямые не более чем в четырёх точках из отмеченного множества, будет искомым. Итак, мы видим, что или или .

Ответ: или или .


Задание 13.

При каких значениях параметра а имеет решения система


Решение.

Корни квадратного трёхчлена и .

Тогда

Строим прямые и .

Методом «интервалов» находим решение неравенства системы (заштрихованная область).

hello_html_m63f970b8.jpg


Та часть окружности с центром в начале координат и радиуса 2, которая попадает в заштрихованную область и будет решением данной системы. .


Значения и находим из системы

Значеня и – из системы .

Ответ:


Задание 14.

В зависимости от значений параметра а решить неравенство > .


Решение.

Перепишем данное неравенство в виде и рассмотрим функцию , которую, раскрывая модули, запишем так:

hello_html_m3b081900.jpg


Строим график. График разбивает координатную плоскость на две области. Взяв т. (0;0) и подставив и в исходное неравенство, получим, что 0 > 1, и поэтому исходное неравенство выполняется в области лежащей выше графика.

Непосредственно из рисунка получаем:

при решений нет;

при ;

при .

Ответ: при решений нет;

при ;

при .



Задание 15.

Найдите все значения параметра , при котором система неравенств

удовлетворяется лишь при одном .


Решение.

Перепишем данную систему в таком виде:

Построим область, задаваемую данной системой.

1) , – вершина параболы.

=,

,

.

2) - прямая, проходящая через точки и .

hello_html_1070f69e.jpg


Требование единственности решения на графический язык переводится так: горизонтальные прямые с полученной областью должны иметь только одну общую точку. Выдвинутому требованию удовлетворяют прямые и , где – ордината точки пересечения параболы и прямой.


Найдём значение :


= (не подходит по смыслу задачи),

= . Находим ординату:

= .

Ответ: ,


Задание 16.

Найти все значения параметра а, при которых система неравенств

удовлетворяет лишь при одном х.


Решение.




Построим параболы и штриховкой покажем решение последней системы.

hello_html_67a693f3.jpg


1) , .

2) , .

Из рисунка видно, что условие задачи выполняется при или .

Ответ: или .


Задание 17.

При каких значениях уравнение имеет ровно три корня.


Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности


График совокупности - объединение графиков параболы и уголка.

hello_html_545852e6.png


Прямые пересекают полученное объединение в трёх точках.

Ответ: при .


Задание 18.

При каких значениях уравнение имеет ровно три решения.


Решение.

Преобразуем левую часть данного уравнения. Получим квадратное уравнение относительно .


,

.

Получим уравнение

, которое равносильно совокупности


hello_html_m779f7d2.jpg


Объединение графиков парабол есть решение совокупности.


Находим ординату очки пересечения парабол:



Считываем нужную информацию с рисунка: данное уравнение имеет три решения при или

Ответ: при или


Задание 19.

В зависимости от параметра определить число корней уравнения


Решение.

Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно а.

,


.

Получаем совокупность



hello_html_m5f069cbf.jpg


Строим графики уравнений совокупности и отвечаем на поставленный вопрос задачи.



Ответ: : нет решений;

: одно решение;

: два решения;

или : три решения;

или : четыре решения.


Задание 20.

Сколько решений имеет система


Решение.



Ясно, что количество корней второго уравнения системы равно числу решений самой системы.

Имеем, .

Рассмотрев это уравнение как квадратное относительно , получаем совокупность.


Теперь обращение к координатной плоскости делает задачу простой. Координаты точек пересечения находим, решив уравнение

hello_html_m2003394.jpg


Отсюда

Вершины парабол и .


Ответ: : четыре решения;

: два решения;

: одно решение;

: нет решений.

Задание 21.

Найти все действительные значения параметра , для которых уравнение имеет только два различных корня. Запишите эти корни.


Решение.

.

Найдём корни квадратного трёхчлена, стоящего в скобках:


hello_html_m5bc550b9.jpg


Изобразим множество решений данного уравнения в координатной плоскости , построив графики при условии, что



Считываем с рисунка нужную информацию. Итак, данное уравнение имеет два различных корня при ( и ) и при (и )

Ответ: при ( и ) и

при (и ).


Задание 22.

Решить систему неравенств:


Решение.


hello_html_m72de346.jpg



Строим в плоскости графики параболы и прямой .


Все точки закрашенной области – решение системы. Разобьём построенную область на две части.

Если и , то нет решений.

Если , то абсциссы точек закрашенной области будут больше абсцисс точек прямой , но меньше абсцисс (большего корня уравнения ) параболы.

Выразим через из уравнения прямой :

Найдём корни уравнения :

,

,

.

Тогда .

Если же , то .

Ответ: при и 1 нет решений;

при ;

при .



Задание 23.

Решить систему неравенств


Решение.


вершина параболы .

- вершина параболы .

Находим абсциссы точек пересечения парабол:



hello_html_m7fac6319.jpg


Закрашенная область – решение системы. Разбиваем её на две части.


В уравнениях парабол выражаем через :


Записываем ответ:

если и , то нет решений;

если , то < ;

если , то .


Задание 24.

При каких значениях, а уравнение не имеет решений?


Решение.

Уравнение равносильно системе

Построим множество решений системы.

hello_html_2cb9ac90.jpg


Три кусочка параболы решение данного уравнения.


Найдем при котором и исключим его.

.

Итак, при нет решений;

при нет решений;

(замечание: при остальных а есть одно или два решения).

Ответ: ; .


Задание 25.

При каких действительных значениях параметра существует хотя бы одно , удовлетворяющее условиям:



Решение.

Решим графически «методом интервалов» неравенство в и построим график . Посмотрим, какая часть графика попадает в построенную область решения неравенства, и найдём соответствующие значения а.


Строим графики прямых и

Они разбивают координатную плоскость на 4 области.

«Методом интервалов» решим графически последнее неравенство.

Заштрихованная область является его решением. В эту область попадает часть графика параболы . На интервале ; (по условию неравенство системы строгое) существуют , удовлетворяющие условиям данной системы.


hello_html_2c860617.jpg



Ответ:


Задание 26.

Найдите все значения параметра , при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства .


Решение.

hello_html_m658999e8.jpg


Построим множество решений неравенства («методом интервалов»). Затем построим «полосу» Искомые значения параметра q те, при которых ни одна из точек указанных областей не принадлежит «полосе»


Ответ: или .


Задание 27.

При каких значениях параметра , уравнение имеет единственное решение.

Решение.

Разложим на множители числитель дроби.



,

,


Данное уравнение равносильно системе:

Построим график совокупности в координатной плоскости .

или

точка пересечения прямых и . График совокупности - объединение прямых.

«Выкалываем» точки графика с абсциссами ,.

hello_html_3d345770.jpg


Проводим прямые и смотрим, где существует одна точка пересечения с графиком.


Очевидно, что только при или данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: или .


Задание 28.

При каких действительных значениях параметра система неравенств не имеет решений.

Решение.


hello_html_m109b2e64.jpg


Множество точек плоскости заштрихованной области удовлетворяет данной системе неравенств.

Строим прямые . По рисунку определяем, что при (- абсцисса точки пересечения гиперболы и прямой) прямые не пересекают заштрихованную область.

Ответ: при .

Задание 29.

При каких значениях параметра а система имеет единственное решение.

Решение.

Перейдём к системе, равносильной данной.


В координатной плоскости построим графики парабол и Вершины парабол соответственно точки и .

Вычислим абсциссы точек пересечения парабол, решив уравнение


Заштрихованная область – решения системы неравенств. Прямые и

hello_html_m7bdcbc19.jpg


имеет с закрашенной областью одну общую точку.


Ответ: при и .


Задание 30.

Решите неравенство:


Решение.

В зависимости от параметра найдём значение .

Неравенство будем решать «методом интервалов».

Построим параболы

: .

: .

Вычислим координаты точки пересечения парабол:

hello_html_55b63d8.jpg


Точки закрашенной области удовлетворяют данному неравенству. Проведя прямую , разобьём эту область на три части.

1) Если , то нет решений.

2)Если , то в уравнении выразим через :



Таким образом, в области I имеем .

  1. Если , то смотрим:

а) область II.

Выразим в уравнении через .


,

- меньший корень,

- больший корень.

Итак, в области II имеем .

б) область III: .

Ответ: при нет решений;

при

при , .




















Литература:


  1. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1994.

  2. П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.

  3. Фаддеев Д. К. Алгебра 6 – 8. – М.: Просвещение, 1983 (б – ка учителя математики).

  4. А. Х. Шахмейстер. Уравнения и неравенства с параметрами. Под редакцией Б. Г. Зива. С – Петербург. Москва. 2004.

  5. В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич. Задачи с параметрами Минск «Асар», 2002.

  6. А. Х. Шахмейстер. Задачи с параметрами в ЕГЭ. Издательство Московского университета, ЧеРо на Неве МЦНМО.















Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 08.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров64
Номер материала ДБ-244290
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх