Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Текст по теме "Вписанные и описанные 4-х угольники".Для учащихся, пропустивших занятие по подготовке к ЕГЭ или ОГЭ

Текст по теме "Вписанные и описанные 4-х угольники".Для учащихся, пропустивших занятие по подготовке к ЕГЭ или ОГЭ



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Окружность, вписанная в многоугольник http://egemaximum.ru/zadachi-7-mnogougolnik-i-okruzhnost/

hello_html_58216862.jpg

Задача 1. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Решение: Радиус вписанной окружности в квадрат – есть половина стороны квадрата. Поэтому r = 8

Ответ: 8.


hello_html_522cb96e.jpg



hello_html_m97d3b7a.jpg

Задача 2. Сторона ромба равна 58, острый угол равен 30˚. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Решение: Пусть точки касания окружности противоположных сторон ромба – E и T. Тогда ET– диаметр окружности (точка пересечения диагоналей О – центр симметрии параллелограмма, значит и ромба).

ET – есть расстояние  между противоположными сторонами ромба так же, как и высота ромба (DH).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH. Так как угол А равен 30°по условию, то катет HD, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы AD. То есть HD=ET=29. Значит, радиус вписанной окружности есть ET: 2, то есть 14,5.Ответ: 14,5.

hello_html_m1e749b6b.jpg

Задача 3. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.

Решение: Высота трапеции – есть диаметр вписанной окружности в трапецию.

h=2r=2·14, h = 28. Ответ:28

hello_html_2e1986d5.jpg

Задача 4. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение: в трапецию вписана окружность, значит BC+AD=AB+CD, что хорошо видно на картинке (равные отрезки помечены согласно свойству отрезков касательных).Итак, BC+AD=32, средняя линия l– есть полусумма оснований, то l=16.

Ответ:16

hello_html_m67aec6dd.jpg

Задача 5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 80, ее большая боковая сторона равна 30. Найдите радиус окружности

Решение: в трапецию вписана окружность, значит BC+AD=AB+CD и PABCD =80, то AB+CD= P:2 = 40. CD=30 по условию, то AB=10.

Далее, AB=NQ=2r. r =5. Ответ:5

hello_html_6eedcc82.jpg

Задача 6. В четырехугольник ABCD вписана окружность,  AB=52, CD=53. Найдите периметр четырехугольника.

Решение: Раз в выпуклый четырехугольник ABCD вписана окружность, то AB+CD=BC+AD. PABCD=2(AB+CD)=2(52+53)=210

Ответ:210

hello_html_697fb559.jpg

Задача 7. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:17:23 . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 84.

Решение: В выпуклый четырехугольник ABCD вписана окружность, значит AB+CD=BC+AD. По условию три стороны четырехугольника относятся как 1:17:23, пусть тогда AD=x;AB=17x; BC=23x. Итого, 24x=17x+CD; 7x=CD;

Наконец, так как по условию периметр четырехугольника равен 84, то 24x=42;

x= 7/4.Очевидно, большая сторона – это BC=23x. BC=23·(7/4) = 40,25.

Ответ: 40,25.

hello_html_1e537038.jpg

Задача 8. Около окружности, радиус которой равенhello_html_4c8c016f.gif, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение: Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому сторона квадрата равнаhello_html_m10dfb04f.gif. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Поэтому радиус описанной окружности есть hello_html_2dfc1bb3.gif. Ответ: 6.

hello_html_59f81eb7.jpg

Задача 9. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен hello_html_m1d34e3ad.gif

Решение: Шестиугольник составлен из 6 правильных треугольников. Рассмотрим правильный треугольник AOF: В нем OH = r – медиана и высота, hello_html_31b446bb.gif, hello_html_41fe8089.gif, тогда hello_html_m593e0816.gif, АО=66 Ответ: 66.

Окружность, описанная около многоугольник http://egemaximum.ru/zadachi-7-mnogougolnik-i-okruzhnost/

hello_html_m7466a528.jpg

Задача 1. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 26˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: Вписанный в окружность угол A опирается на дугу BCD, значит дуга BCD=52° по свойству вписанного угла. Дуга BAD, дополняющая дугу BCD до окружности, равна 360°-52°=308°. Тогда угол Cравен 308°: 2 = 154°. Ответ: 154.

hello_html_682bfd3e.jpg

Задача 2. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: Вписанный угол C опирается на дугу BAD, равную 78˚+136˚=214˚.

Значит сам угол равен 214 : 2 = 107˚.Ответ: 107.


hello_html_20b0b887.jpg

Задача 3. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:2:7:26. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Решение: Дуги AB,BC,CD,AD в сумме составляют 360˚. Так как градусные меры дуг AB, BC, CD и AD относятся соответственно как 1:2:7:26, то пусть AB=x, BC=2x, CD=7x,AD=26x градусов. Имеем, x+2x+7x+26x=360;36x=360;x=10. Угол A опирается на дугу BD=9x градусов, значит угол A равен 90˚: 2 = 45˚. Ответ: 45. 

hello_html_3a4ca1c5.jpg

Задача 4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38˚, угол CAD равен 33˚. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение: hello_html_7707454f.gifABC=38˚, значит дуга ADC равна 76˚. hello_html_7707454f.gifCAD=33°, значит дуга DC равна 66°. Тогда дуга AD равна 10°. Стало быть, hello_html_7707454f.gifABD=5°. Ответ: 5.

hello_html_m8373069.jpg

Задача 5. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и hello_html_m544e1f43.gif.

Решение: Радиус R описанной окружности около прямоугольника – половина диагонали. По т. Пифагора: AC= hello_html_306fe23.gif; тогда R=9. Ответ: 9.

hello_html_687900e6.jpg

Задача 6. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиусаhello_html_meaaae03.gif

Решение: Диагональ BD квадрата – диаметр окружности. Обозначим сторону квадрата за x. Из треугольника ABD по т. Пифагора x2+x2=(hello_html_m5f04e766.gif)2; 2x2=902·2;

x2=902; x=90; Ответ: 90.

hello_html_460604d6.jpg

Задача 7. Меньшая сторона прямоугольника равна 16. Угол между диагоналями равен 60˚. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

Решение: Диагонали прямоугольника – диаметры окружности.

Треугольник ABO – равносторонний, так как hello_html_7707454f.gifO=60°, AO=BO=R. Значит, R=16.Ответ: 16.

hello_html_mec4ffc3.jpg

Задача 8. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение: Раз трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная (AB=CD).

Средняя линия трапеции l есть полусумма оснований (BC+AD)/ 2, при этом l =25. P=2AB+(BC+AD); 60=2AB+50; AB=5; Ответ: 5.

hello_html_58b711b.jpg

Задача 9. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60˚, большее основание равно 82. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение: 1) Трапеция, вписанная в окружность, – равнобедренная.

HQ=BC=AB=CD, AH=QD (где H,D – основания высот, опущенных к большему основанию).Из прямоугольного треугольника ABH с углом B в 30˚ AH=0,5AB по свойству катета

hello_html_m5f3ef25e.jpg

против угла в 30˚. Значит, AD=2AH+HQ=AB+HQ=2AB; 2AB=82; AB=41.

2) Окружность описана и вокруг треугольника ABC.Треугольник равнобедренный с углом при вершине в 120˚. Значит, hello_html_7707454f.gifBAC=hello_html_7707454f.gifBCA=30°. Применяем теорему синусов: AB/sin30° =2R, где R – радиус окружности, описанной около треугольника ABC (и около трапеции ABCD). 41/{1/2}=2R; R=41; Ответ: 41.

hello_html_509f6e1c.jpg

Задача 10. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Решение: Длина высоты трапеции HQ есть сумма длин высот OQ,OH треугольников OBC и OAD.

OQ=hello_html_m7de44cc9.gif =4 (по т. Пифагора из треугольника OQC);

OH=hello_html_m5db38e54.gif= 3 (по т. Пифагора из треугольника OHD);

HQ=4+3=7. Ответ: 7.

hello_html_38c68ba1.jpg

hello_html_78c7edfc.jpg

Задача 11. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны  56˚ и 99˚. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение: Данные два угла не могут быть противоположными, так как иначе их сумма должна была бы быть 180˚ (так как они опираются на дополняющие друг друга дуги до окружности).Если hello_html_7707454f.gifA=99°, то hello_html_7707454f.gifC=180°-99°=81°. Если hello_html_7707454f.gifB=56°, то hello_html_7707454f.gifD=180°-56°=124°. Угол D и есть наибольший. Ответ: 124.

hello_html_m44cb14d6.jpg

Задача 12.Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение: Диаметр описанной окружности около прямоугольника – диагональ прямоугольника. R = BD: 2=2,5. Ответ: 2,5.

hello_html_m1912136a.jpg

Задача 13. Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности.

Решение: AB=BC=...=EF= P: 6 = 108 : 6 =18. Рассмотрим треугольник AOF. Он равносторонний, т.к. AO=OF=R и hello_html_7707454f.gifAOF=60°. Значит, диаметр окружности D есть 2 ·18=36. Ответ: 36.

hello_html_32ad5680.jpg

Задача 14. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 72˚. Найдите n.

Решение: Рассмотрим треугольник AОB. Он равнобедренный, так как AO=BO=R.

Значит, hello_html_7707454f.gifA=hello_html_7707454f.gifB и hello_html_7707454f.gifAOB=180°-2 · 72°=36°.Таких равных равнобедренных треугольников у нас n штук, в сумме углы при вершине O этих треугольников дают 360˚.Тогда n=360°/{36°}=10. Ответ: 10.

hello_html_6931663d.jpg

Задача 15. Около окружности, радиус которой равен hello_html_mcc8899.gif,описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

Решение: Треугольники AOB,BOC и т.д. – равные, равносторонние. Их сторона равна радиусу описанной около правильного шестиугольника окружности.

Из прямоугольного треугольника AOP, (где OP=R, R – радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник):sinA=OP/AO; hello_html_m4e78292f.gif, АО=3 Ответ: 3




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 28.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров492
Номер материала ДВ-388368
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх