Текстовая задача В13 — легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

 Преподователь: Узденова Лариса Пиляловна

 КЧР,  г. Усть-Джегута, Лицей№1

Открытый урок в 8 классе         

Тема урока: «Текстовая задача В13 — легко!

                      Алгоритм решения и успех на ЕГЭ»

Цели урока:

1)отработка и закрепление умений и навыков решения текстовых задач, выработка у учащихся умения обобщать изученный материал, анализировать, сопоставлять и делать выводы;

2)воспитание терпеливости при выполнении задания, чувства ответственности за проделанную работу;

3)развитие логического мышления, внимания, памяти, содействовать рациональной организации труда.

                                             ХОД УРОКА

1.     Орг.момент. Постановка цели урока.

2.     Устная работа

Почему текстовые задачи В13 относятся к  простым?

Во-первых, все задачи В13 из банка заданий ФИПИ решаются по единому алгоритму. Во-вторых, все В13 однотипны — это задачи на движение или на работу. Главное — знать к ним подход.

Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. Но прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.

а) Запишите в виде математического выражения:

x на 5  больше  y,   x в пять раз больше y,

z  на 8 меньше, чем  x,    z меньше  x в  3,5 раза,

на меньше, чем ,     частное от деления  а на  в полтора раза больше ,

квадрат суммы x и  y равен ,   x  составляет 60  процентов от  y,

 больше n на 15 процентов, 

Итак, правильные ответы:

больше, чем . Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить большую величину, надо к  меньшей величине  прибавить разницу.

больше, чем , в пять раз. Значит, если умножить на , получим .

меньше, чем . Разница между ними равна . Чтобы получить меньшую величину, надо из большей  вычесть разницу.

меньше, чем . Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.

На всякий случай повторим терминологию:
Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.
Разность — результат вычитания.
Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.
Частное — результат деления чисел.

Мы помним, что .

Если принять за , то на 15 процентов больше, то есть .

б) повторим формулы дискриминанта……………………..

Д=, если Д>0, то квадратное уравнение имеет два корня; если Д=0, то квадратное уравнение имеет один корень; если Д<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3.Формирование новых понятий.

Начнем с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:

Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: , то есть расстояние скорость время. Из этой формулы можно выразить скорость или время .

В качестве переменной удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.

1 задача. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за ? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче.  Автомобилист проезжает на 40 километров больше, значит, его скорость равна .

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по км. Можно внести скорость — она равна и для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: . Для велосипедиста получим , для автомобилиста .
Эти данные тоже запишем в таблицу.

Вот что получится:

велосипедист
автомобилист

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на  4 часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что на четыре больше, чем , то есть

Решаем уравнение.

( сократим на 4 )

По теореме Виета имеем:

, .

Ясно, что не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: 10 км/ч.

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

---

2 задача. Моторная лодка прошла против течения реки 255км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна .

Тогда скорость движения моторки по течению равна x +1, а скорость, с которой она движется против течения x -1.

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 225 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению , при движении против течения , причем на два часа больше, чем .

по течению
против течения

Условие « на два часа меньше, чем » можно записать в виде:

Составляем уравнение:

и решаем его.

Вообще-то это уравнение имеет два корня: и (оба этих числа при возведении в квадрат дают ). Но, конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: 16 км/ч.

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную километров в час — задача решена неверно.

---

3 задача. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В— 1час 20минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

Пусть скорость течения равна . Тогда по течению баржа плывет со скоростью , а против течения со скоростью .

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из вычесть , а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что час минут придется перевести в часы: час минут =1часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно  4часа.

по течению
против течения

Возникает  вопрос — какой из пунктов, или , расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем!  Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма , равная .

Итак,  ,  .

Поскольку скорость течения положительна, .

Ответ: 2км/ч.

Еще один тип задач , встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: . Здесь — работа, — время, а величина , которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

, то есть работа производительность время. Из этой формулы легко найти или .

Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.

Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) — их производительности складываются. Очень логичное правило.

В качестве переменной  х удобно взять именно производительность.

Покажем, как все это применяется на практике.

---

4 задача. Заказ на 100 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Так же, как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: 100. В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за . Тогда производительность первого рабочего равна (он делает на одну деталь в час больше). , время работы первого рабочего равно , время работы второго равно .

первый рабочий
второй рабочий

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, на меньше, чем , то есть

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к  квадратному:

Корни уравнения: , .  Очевидно,  производительность рабочего не может быть отрицательной — ведь он производит детали, а не уничтожает их).  Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: .

4. Домашнее задание

В13(1). Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

В13(2). Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 100 литров она заполняет на минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом литров?

5.Подведем итоги.

Для того чтобы просто сдать ЕГЭ по математике и получить аттестат, достаточно решить несколько простых задач. Это задачи В1, В2, В4 и В13. Никаких особых математических способностей для этого не требуется.

Помните, что главный фактор успеха – тренировка, тренировка и тренировка !!!.