ГЛАВА 4: «ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ»

Продолжит обзор заданий 1-й части экзамена глава, условно названная «Текстовые задачи». В нее вошли задания №№ 5, 11 и 13. Нельзя сказать, чтобы они были особо похожи друг на друга, и особенно выбивается из этого ряда вероятностная «пятерка». 

Скорее, эти задания собраны в главу 4 по некоему принципу «условной похожести».

ЗАДАНИЕ 5

В 2012 году, впервые за всю историю ЕГЭ, в экзамен вошло отдельное задание по теории вероятностей. В этом году (да и во все последующие годы) в реальных вариантах экзамена встречались достаточно простые «вероятностные» задания. 

Экзамен 2015-го не будет исключением из этого явно приятного правила. Вместе с тем, некоторые сборники, посвященные «пятерке», содержат довольно большое количество слишком трудных заданий, которые непосильны для большинства учащихся. Я считаю излишним их рассматривать, и ограничусь примерами самых простых и ожидаемых заданий.

 

Просто нарисуй задачу.

5.1.  В СБОРНИКЕ БИЛЕТОВ ПО МАТЕМАТИКЕ ВСЕГО  25   БИЛЕТОВ, В  9  ИЗ НИХ  ВСТРЕЧАЕТСЯ ВОПРОС О СВОЙСТВАХ ЛОГАРИФМОВ. НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ  ТОГО, ЧТО В СЛУЧАЙНО ВЫБРАННОМ НА ЭКЗАМЕНЕ БИЛЕТЕ ШКОЛЬНИКУ  ДОСТАНЕТСЯ ВОПРОС  О СВОЙСТВАХ ЛОГАРИФМОВ.

 

1-Й ЭТАП: ОТРАЗИТЬ СУТЬ ЗАДАЧИ РИСУНКОМ (ПО ВОЗМОЖНОСТИ). ВЫЧИСЛЕНИЯ.

 

Искомая вероятность равна отношению числа «логарифмических билетов» к общему числу  билетов:

         

            

            

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА:                   0,36

 

5.2.  ПЕРЕД НАЧАЛОМ 1-ГО ТУРА ЧЕМПИОНАТА ПО ТЕННИСУ УЧАСТНИКОВ РАЗБИВАЮТ  НА ИГРОВЫЕ ПАРЫ СЛУЧАЙНЫМ ОБРАЗОМ С ПОМОЩЬЮ ЖРЕБИЯ. ВСЕГО В ЧЕМПИОНАТЕ УЧАСТВУЕТ  26   ТЕННИСИСТОВ. СРЕДИ КОТОРЫХ  9  УЧАСТНИКОВ ИЗ РОСИИ, В ТОМ ЧИСЛЕ АЛЕКСЕЙ ПЕТРОВ. НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО В 1-М ТУРЕ ОН БУДЕТ ИГРАТЬ С КАКИМ-ЛИБО ТЕННИСИСТОМ ИЗ РОССИИ?

 

1-Й ЭТАП: ОТРАЗИТЬ СУТЬ ЗАДАЧИ РИСУНКОМ (ПО ВОЗМОЖНОСТИ). ВЫЧИСЛЕНИЯ.

 

Партнерами Петрова могут оказаться всего  25  человек. Из них –  8 из России (так, как  9-м  российским игроком является сам Петров).

Искомая вероятность равна отношению количества игроков из России к общему количеству  игроков:

         

 2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

В данном случае достаточно  пересчитать все заново.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.   0,32

 

 

 

5.3.  НА СЕМИНАР ПРИЕХАЛИ  6  УЧЕНЫХ ИЗ ГОЛЛАНДИИ,   5  ИЗ ИТАЛИИ И, 4   ИЗ ЧЕХИИ. ПОРЯДОК ДОКЛАДОВ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ЖЕРЕБЬЕВКОЙ. НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ЧЕТВЕРТЫМ ОКАЖЕТСЯ ДОКЛАД УЧЕНОГО ИЗ ГОЛЛАНДИИ.

 

1-Й ЭТАП: ОТРАЗИТЬ СУТЬ ЗАДАЧИ РИСУНКОМ (ПО ВОЗМОЖНОСТИ). ВЫЧИСЛЕНИЯ.

 

РИСУНОК 5.3

Вероятность выступления докладчика из Голландии равна отношению числа «голландских  докладов» к общему числу докладов. Причем эта вероятность одинакова для любого по очередности доклада (и слова «…что четвертым окажется…» никак не влияют на решение задачи и ее ответ).

    

            

      

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.   0,4

 

5.4.  НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ПРОВОДИТСЯ В  3 ДНЯ. ВСЕГО ЗАПЛАНИРОВАНО  50  ДОКЛАДОВ – В ПЕРВЫЙ ДЕНЬ  30  ДОКЛАДОВ, ОСТАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНЫ  ПОРОВНУ МЕЖДУ ВТОРЫМ И ТРЕТЬИМ ДНЯМИ. ПОРЯДОК ДОКЛАДОВ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ЖЕРЕБЬЕВКОЙ. КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ДОКЛАД ПРОФЕССОРА М. ОКАЖЕТСЯ ЗАПЛАНИРОВАННЫМ НА ПОСЛЕДНИЙ ДЕНЬ КОНФЕРЕНЦИИ?

 

1-Й ЭТАП: ОТРАЗИТЬ СУТЬ ЗАДАЧИ РИСУНКОМ (ПО ВОЗМОЖНОСТИ). ВЫЧИСЛЕНИЯ.

 

Искомая вероятность равна отношению числа докладов в последний день к общему числу докладов:    

          

     

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.   0,2

 

5.5.  ГАЛЯ ДВАЖДЫ БРОСАЕТ ИГРАЛЬНЫЙ КУБИК. В СУММЕ У НЕЕ ВЫПАЛО  9ОЧКОВ. НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ПРИ ВТОРОМ БРОСКЕ ВЫПАЛО 6  ОЧКОВ.

 

1-Й ЭТАП: ОТРАЗИТЬ СУТЬ ЗАДАЧИ РИСУНКОМ (ПО ВОЗМОЖНОСТИ). ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Для некоторой категории задач составление таблиц более наглядно и эффективно, чем попытка сделать какой-либо рисунок. Пример тому – двукратное бросание кубика. Итак, варианты набранных очков в результате 2-х бросков изобразим в виде таблицы, в которой результаты 1-го броска отображены вертикальными числами, результаты 2-го броска – горизонтальными числами.

 

Из таблицы следует, что общее количество 9-балльных бросков может быть  4. 

Из этих 4-х вариантов один вариант броска соответствует 6-и очкам во втором броске. 

Таким образом, вероятность выпадения 6 очков во втором броске равна    Р=1/4=0,25

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.   0,25

 

5.6.  В КАРМАНЕ У ПЕТИ БЫЛО 4  МОНЕТЫ ПО РУБЛЮ И 2  МОНЕТЫ ПО  2 РУБЛЯ.  ПЕТЯ, НЕ ГЛЯДЯ, ПЕРЕЛОЖИЛ КАКИЕ-ТО 3  МОНЕТЫ В ДРУГОЙ КАРМАН. НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ОБЕ ДВУХРУБЛЕВЫЕ МОНЕТЫ ЛЕЖАТ В ОДНОМ КАРМАНЕ.

1-Й ЭТАП: ОТРАЗИТЬ СУТЬ ЗАДАЧИ РИСУНКОМ (ПО ВОЗМОЖНОСТИ). ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Для того чтобы различать 1-рублевые и 2-рублевые монеты, обозначим их на рисунке разными цветами (белые и черные). Кроме того, пронумеруем все монеты для того, чтобы «придать им индивидуальность».

 

По условию задачи, 3 монеты перекладываются в другой карман. Попробуем записать, какие именно 3 переложенные монеты могут оказаться во 2-м кармане. Сделаем упорядоченную запись возможных вариантов (мне это удобно, например, сделать в виде столбцов чисел).

 

Рассмотрев таблицу, можно понять: существуют 20 вариантов  «переложенных» монет. А значит, и однозначно связанные с ними 20 вариантов «оставшихся» монет (то есть каждому набору переложенных монет однозначно соответствует набор оставшихся монет). Иными словами, возможны 20 вариантов разделения пополам исходного набора монет.

Жирным прямым шрифтом выделены те случаи, когда монеты «5» и «6» оказались вместе во 2-м кармане. Жирным курсивом выделены те случаи, когда монеты 5 и 6 оказались вместе в 1-м кармане (так как в этих наборах вообще нет ни одной из 2-рублевых монет).

 Таким образом, из 20 возможных вариантов разделения монет, вместе они оказываются  в 4+4=8  случаях. Значит, вероятность их совместного нахождения в одном из карманов равна Р=8/20=0,4

Нумеровать исходный набор монет, естественно, можно и другими способами.

Например, 2-рублевые монеты обозначить цифрами «1» и «2». А можно все монеты обозначить

буквами. Например, А Б В Г Д Е, где 2-рублевым монетам будут соответствовать, допустим, 

буквы А и Б…

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.  0, 4

 

5.7.  В  СЛУЧАЙНОМ  ЭКСПЕРИМЕНТЕ  СИММЕТРИЧНУЮ  МОНЕТУ  БРОСАЮТ  ТРИЖДЫ. НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ТРИ РАЗА ВЫПАДЕТ РЕШКА.

 

1-Й ЭТАП: ОТРАЗИТЬ СУТЬ ЗАДАЧИ РИСУНКОМ (ПО ВОЗМОЖНОСТИ). ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Для того чтобы различать стороны монеты, обозначим их на рисунке разными цифрами 

(«1» и «2»). Пусть решке соответствует, например, цифра 1.

Запишем, какие варианты выпадения монет возможны при трех бросках. Сделаем упорядоченную

запись возможных вариантов (мне это удобно, например, сделать в виде столбца чисел).

 

Из таблицы видно, что существуют 8 вариантов  выпадения монет. 

Значит, вероятность выпадения трех решек («111») равна «1 из 8», то есть  Р=1/8=0,125

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.    0,125

 

5.8.  НАЙДИТЕ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО СЛУЧАЙНО ВЫБРАННОЕ ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО  ДЕЛИТСЯ НА 5 ?

1-Й ЭТАП: ОТРАЗИТЬ СУТЬ ЗАДАЧИ РИСУНКОМ (ПО ВОЗМОЖНОСТИ). ВЫЧИСЛЕНИЯ.

 

Несложно подсчитать, что общее количество двузначных чисел равно  99-9=90       . 

Количество чисел, которые делятся на 5 (и, значит, оканчиваются на 0 или 5) равно   9+9=18     .

Искомая вероятность равна «18 из 90», то есть   Р=18/90=0,2      

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.   0,2

 

 

ЗАДАНИЕ В11

По замыслу разработчиков ЕГЭ, задания №11 являются «практико-ориентированными».  То есть такими заданиями, которые якобы встречаются на практике (в жизни).  Или, по крайней мере, могут встретиться. Или не совсем такие, но очень похожие… В этих задачах «из жизни» встречаются самые разные сюжеты: мальчик, бросающий камни в колодец с целью определить его глубину с помощью откуда-то взятой формулы; некий электрический прибор, который через определенное время нужно непременно выключать из розетки, чтобы он не перегорел (!) и многие другие забавности.

Видимо, таким образом показывается ценность математики в решении прикладных, обыденных задач. Однако, сдающие ЕГЭ по математике на заданиях №11, как правило, получают лишнюю «головную боль». А именно: они вынуждены продираться сквозь смысл физических, экономических и других терминов, которыми напичканы эти задания. Кому-то это дается легко, кому-то труднее. Но для многих суть задачи остается «условно понятной»: то есть каждое слово по отдельности понятно, а все вместе – не очень... Так или иначе, но здесь присутствуют дополнительные трудности, не связанные с собственно сдаваемой математикой. Чтобы преодолеть эти трудности непонимания, полезно помнить следующее:  практически все эти задания сводятся к решению самых обычных квадратных уравнений или квадратных неравенств. Таким образом, даже не особо понимая суть условия, нужно стремиться «собрать» из него (но не совсем уж наугад!) выражение вида               

Это и есть тот своеобразный маяк, на который нужно заранее ориентироваться.

Далее. Многие задания №11, особенно «физические», содержат величины, которые не могут быть любыми (например, электрическое сопротивление или время движения не могут быть отрицательным). Такие моменты нужно обязательно учитывать при анализе полученных корней уравнений, и после этого отбрасывать непригодные. То, что правильно и грамотно с точки зрения математики, может быть абсурдно с точки зрения физического смысла задачи. Примеры такого рода задач будут показаны ниже.

И последнее. К сожалению, встречаются задачи, содержание которых (или задаваемый вопрос) допускают двоякое толкование. Или содержат заведомо лишнюю информацию (в том числе цифры), мешающую их пониманию, что в прежние, «менее прогрессивные» времена, считалось недопустимым. Образец такой задачи (11.10) специально приведен для примера. Это «проблемные» задачи, «задачи – диверсии». Таких задач, в идеале, не должно быть вообще.

По крайней мере – на ЕГЭ. Чего вам и желаю!

А теперь самое главное, ради чего и было сделано вступление – практические примеры.

Просто собери уравнение

 11.1.  В РОЗЕТКУ ЭЛЕКТРОСЕТИ ПОДКЛЮЧЕНЫ ПРИБОРЫ, ОБЩЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КОТОРЫХ СОСТАВЛЯЕТ  90 ОМ. ПАРАЛЛЕЛЬНО С НИМИ В РОЗЕТКУ ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ ПОДКЛЮЧИТЬ ЭЛЕКТРООБОГРЕВАТЕЛЬ. ОПРЕДЕЛИТЕ (В ОМАХ) НАИМЕНЬШЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЭТОГО ЭЛЕКТРООБОГРЕВАТЕЛЯ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО,

ЧТО ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ ДВУХ ПРОВОДНИКОВ С СОПРОТИВЛЕНИЯМИ  R₁  И R₂    ИХ ОБЩЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЗАДАЕТСЯ ФОРМУЛОЙ , А ДЛЯ НОРМАЛЬНОГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОСЕТИ ОБЩЕЕ     СОПРОТИВЛЕНИЕ В НЕЙ ДОЛЖНО БЫТЬ НЕ МЕНЬШЕ  40  ОМ.

 

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ, СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (ИЛИ НЕРАВЕНСТВА) И ЕГО

РЕШЕНИЕ (ДЛЯ УДОБСТВА ЕГО МОЖНО ПРИВЕСТИ К ПРИВЫЧНОМУ «МАТЕМАТИЧЕСКОМУ»

ВИДУ). АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННОГО ОТВЕТА. 

Из условия понятно, что  параллельно включены два прибора: с сопротивлением   R₁=90 ом   и R₂=х>0

       . По условию                   («не меньше  40 »).

  

Приведем неравенство к более привычному, математическому виду:          .

  

      

   

      (    )

  

   

Так как   90+х>0      (сопротивление   может быть только положительным), то

          

      

    

Таким образом,           (рис. 11.1).

Поскольку спрашивается наименьшее значение сопротивления, выбираем из найденного интервала число  72 . 

Внимание! Правильным для этой задачи является составление и последующее решение именно неравенства (как и было сделано выше). Однако на практике для получения правильного ответа достаточно было решить уравнение   50х-3600=0         , и записать в ответ его корень   72   .

 

Кстати, вычисления с самого начала можно было выполнить и более экономичным способом (учитывая, что знаменатель положителен):  

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.   72

 

11.2.  ДЛЯ ОДНОГО ИЗ ПРЕДПРИЯТИЙ – МОНОПОЛИСТОВ ЗАВИСИМОСТЬ ОБЪЕМА  СПРОСА НА ПРОДУКЦИЮ   (ЕДИНИЦ В МЕСЯЦ) ОТ ЕЕ ЦЕНЫ    (ТЫС. РУБ.) ЗАДАЕТСЯ ФОРМУЛОЙ         . ОПРЕДЕЛИТЕ МАКСИМАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ  ЦЕНЫ (В ТЫС. РУБ.), ПРИ КОТОРОМ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРУЧКИ ПРЕДПРИЯТИЯ ЗА МЕСЯЦ             СОСТАВИТ НЕ МЕНЕЕ  720   ТЫС. РУБ.

 

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ, СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (ИЛИ НЕРАВЕНСТВА) И ЕГО  РЕШЕНИЕ (ДЛЯ УДОБСТВА ЕГО МОЖНО ПРИВЕСТИ К ПРИВЫЧНОМУ «МАТЕМАТИЧЕСКОМУ»  ВИДУ). АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННОГО ОТВЕТА.

Не пытаясь понять глубоко суть условия, тем не менее, можно записать следующее:

          

По условию           , то есть   

Чтобы облегчить вычисления, запишем вместо  720000       число 720     (тем более что ответ все равно нужно выразить не в рублях, а в тысячах рублей). Перейдем для удобства к привычному, «математическому» написанию последней формулы:

                   Найдем корни уравнения         х₁=6,       х₂=12

График функции            – парабола вида «ветви вверх» (коэффициент при  х  положительный).

 

Поскольку нужно найти максимальное значение   , выбираем из найденного интервала  число  12   (рис. 11.2).  

Внимание! Правильным для этой задачи является составление и последующее решение именно квадратного неравенства (как и было сделано выше). Однако на практике для получения правильного ответа достаточно было решить уравнение , и записать в ответ его больший корень      .

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.      12

 

11.3.  ЗАВИСИМОСТЬ ТЕМПЕРАТУРЫ (В ГРАДУСАХ КЕЛЬВИНА) ОТ ВРЕМЕНИ (В МИНУТАХ)

ДЛЯ НАГРЕВАТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА НЕКОТОРОГО ПРИБОРА БЫЛА ПОЛУЧЕНА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО И НА ИССЛЕДУЕМОМ ИНТЕРВАЛЕ ТЕМПЕРАТУР ЗАДАЕТСЯ ВЫРАЖЕНИЕМ                . ИЗВЕСТНО, ЧТО ПРИ ТЕМПЕРАТУРАХ НАГРЕВАТЕЛЯ СВЫШЕ 1500 К       ПРИБОР МОЖЕТ ИСПОРТИТЬСЯ, ПОЭТОМУ ЕГО НУЖНО ОТКЛЮЧАТЬ. ОПРЕДЕЛИТЕ (В МИНУТАХ) ЧЕРЕЗ КАКОЕ НАИБОЛЬШЕЕ ВРЕМЯ ПОСЛЕ НАЧАЛА РАБОТЫ НУЖНО ОТКЛЮЧАТЬ ПРИБОР.

 

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ, СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (ИЛИ НЕРАВЕНСТВА) И ЕГО

РЕШЕНИЕ (ДЛЯ УДОБСТВА ЕГО МОЖНО ПРИВЕСТИ К ПРИВЫЧНОМУ «МАТЕМАТИЧЕСКОМУ»

ВИДУ). АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННОГО ОТВЕТА. 

Подставляем значения коэффициентов в исходное уравнение, и учитываем ограничения температуры (она должна быть не более  1500  К).

                     

                

Найдем корни уравнения    t₁=20,    t₂= 130

График функции – парабола вида «ветви вниз» (коэффициент при   х отрицательный).

 

 «Математически» мы получаем в качестве ответа два интервала. Однако по смыслу задачи ясно,  что после 20-й минуты этот загадочный прибор перегреется (пора срочно выключать, иначе до 130-й  минуты он может вообще не дожить!). 

Поэтому выбираем из левого интервала наибольшее значение:   20   (рис. 11.3). 

Внимание! Правильным для этой задачи является составление и последующее решение именно

квадратного неравенства (как и было сделано выше). Однако на практике для получения

правильного ответа достаточно было решить уравнение   , и

записать в ответ его единственно возможный (но это нужно еще сообразить!) корень    20   .

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.   20

 

 

 

11.4.  КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ НЕКОТОРОГО ДВИГАТЕЛЯ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ  ФОРМУЛОЙ           ПРИ КАКОМ НАИМЕНЬШЕМ ЗНАЧЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ НАГРЕВАТЕЛЯ  Т₁   КПД ЭТОГО ДВИГАТЕЛЯ БУДЕТ НЕ  МЕНЬШЕ  70%   , ЕСЛИ ТЕМПЕРАТУРА ХОЛОДИЛЬНИКА   Т₂=150      ?

 

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ, СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (ИЛИ НЕРАВЕНСТВА) И ЕГО

РЕШЕНИЕ (ДЛЯ УДОБСТВА ЕГО МОЖНО ПРИВЕСТИ К ПРИВЫЧНОМУ «МАТЕМАТИЧЕСКОМУ»

ВИДУ). АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННОГО ОТВЕТА. 

Произведем понятные замены и «перейдем к математике», учитывая, что по смыслу задачи

         

          

Выбираем «наименьшее» из решений неравенства, то есть число  500    (рис. 11.4).

 

Внимание! Правильным для этой задачи является составление и последующее решение именно

неравенства (как и было сделано). Однако на практике для получения правильного ответа

    

достаточно было решить уравнение              , и записать в ответ его корень   500    .

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.                500

 

11.5.  К БОКОВОЙ СТЕНКЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО БАКА ВБЛИЗИ ДНА ЗАКРЕПЛЕН КРАН. ПОСЛЕ ЕГО ОТКРЫТИЯ ВОДА НАЧИНАЕМ ВЫТЕКАТЬ ИЗ БАКА, ПРИ ЭТОМ ВЫСОТА СТОЛБА ВОДЫ В НЕМ МЕНЯЕТСЯ ПО ЗАКОНУ   ( h  ВЫСОТА В МЕТРАХ), ГДЕ  t - ВРЕМЯ В МИНУТАХ. В ТЕЧЕНИЕ КАКОГО ВРЕМЕНИ ВОДА БУДЕТ ВЫТЕКАТЬ ИЗ БАКА?

 

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ, СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (ИЛИ НЕРАВЕНСТВА) И ЕГО

РЕШЕНИЕ (ДЛЯ УДОБСТВА ЕГО МОЖНО ПРИВЕСТИ К ПРИВЫЧНОМУ «МАТЕМАТИЧЕСКОМУ»

ВИДУ). АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННОГО ОТВЕТА. 

Нужно сообразить, что когда вся вода вытечет, ее уровень станет равным нулю, то есть   . Таким образом, решение задачи сводится именно к этому уравнению:

                                     

  Найдем корни уравнения:        t₁=4                 t₂=5

 

 Математически исходное уравнение имеет два корня (рис. 12.5).

Но физически 2-й корень не имеет смысла: вода не сможет закончиться в баке дважды – сначала

через  4 минуты, а затем через 5  минут! Поэтому выбираем меньший корень:   t₁=4                    .

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.    4

 

 

11.6.  ЕСЛИ НАБЛЮДАТЕЛЬ НАХОДИТСЯ НА НЕБОЛЬШОЙ ВЫСОТЕ    НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ, ТО РАССТОЯНИЕ ОТ НЕГО ДО ЛИНИИ ГОРИЗОНТА МОЖНО НАЙТИ ПО ФОРМУЛЕ     , ГДЕ R=6400 КМ – РАДИУС ЗЕМЛИ. НАЙДИТЕ НАИМЕНЬШУЮ ВЫСОТУ, С КОТОРОЙ ДОЛЖЕН СМОТРЕТЬ НАБЛЮДАТЕЛЬ, ЧТОБЫ ОН ВИДЕЛ ЛИНИЮ ГОРИЗОНТА НА РАССТОЯНИИ НЕ МЕНЕЕ  6,4    КМ? (ОТВЕТ ВЫРАЗИТЕ В МЕТРАХ).

 

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ, СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (ИЛИ НЕРАВЕНСТВА) И ЕГО

РЕШЕНИЕ (ДЛЯ УДОБСТВА ЕГО МОЖНО ПРИВЕСТИ К ПРИВЫЧНОМУ «МАТЕМАТИЧЕСКОМУ»

ВИДУ). АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННОГО ОТВЕТА.

             

Таким образом,       метров.  Минимальное значение высоты    3,2    метров.

Внимание! Правильным для этой задачи является составление и последующее решение именно неравенства (как и было сделано). Однако на практике для получения правильного ответа  достаточно было решить уравнение , и записать в ответ его корень      .

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.          3,2

 

11.7.  МАССА РАДИОАКТИВНОГО ВЕЩЕСТВА УМЕНЬШАЕТСЯ ПО ЗАКОНУ   . В ЛАБОРАТОРИИ ПОЛУЧИЛИ ВЕЩЕСТВО, СОДЕРЖАЩЕЕ    12  МГ ИЗОТОПА  МЕДИ-64, ПЕРИОД ПОЛУРАСПАДА КОТОРОГО  Т  РАВЕН  12,8    Ч. В ТЕЧЕНИЕ  СКОЛЬКИХ ЧАСОВ КОЛИЧЕСТВО ИЗОТОПА МЕДИ-64 В ВЕЩЕСТВЕ БУДЕТ  ПРЕВОСХОДИТЬ  3  МГ?

 

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ, СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (ИЛИ НЕРАВЕНСТВА) И ЕГО

РЕШЕНИЕ (ДЛЯ УДОБСТВА ЕГО МОЖНО ПРИВЕСТИ К ПРИВЫЧНОМУ «МАТЕМАТИЧЕСКОМУ»

ВИДУ). АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННОГО ОТВЕТА. 

Понятно, что искомое время вычисляется из неравенства               .  Причем достаточно будет решить даже уравнение              .       

            t=25,6    

Таким образом, через    25,6      ч. масса изотопа уменьшится до 3  мг.

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.   25,6

 

11.8.  ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ НАПРЯЖЕНИЕМ    220В   ЗАЩИЩЕНА ПРЕДОХРАНИТЕЛЕМ, РАССЧИТАННЫМ НА СИЛУ ТОКА  8А  . НАЙДИТЕ НАИМЕНЬШЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ, КОТОРОЕ МОЖЕТ БЫТЬ У ЭЛЕКТРОПРИБОРА, ВКЛЮЧЕННОГО В ЭТУ ЦЕПЬ, ЧТОБЫ ПРЕДОХРАНИТЕЛЬ ПРОДОЛЖАЛ РАБОТАТЬ. СИЛА ТОКА I В ЦЕПИ   СВЯЗАНА С НАПРЯЖЕНИЕМ  U  СООТНОШЕНИЕМ  I=U/R     , ГДЕ  R – СОПРОТИВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРИБОРА (ОТВЕТ ВЫРАЗИТЕ В ОМАХ).

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ, СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (ИЛИ НЕРАВЕНСТВА) И ЕГО

РЕШЕНИЕ (ДЛЯ УДОБСТВА ЕГО МОЖНО ПРИВЕСТИ К ПРИВЫЧНОМУ «МАТЕМАТИЧЕСКОМУ»

ВИДУ). АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННОГО ОТВЕТА. 

По мере уменьшения знаменателя ( ) при постоянном числителе ( ), сила тока будет возрастать. Что, по условию, возможно до 8  А. Минимально возможное сопротивление будет соответствовать этому значению тока.  Итак:     

   

          R=27,5  (Ом).

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.   27,5

 

11.9.  ПРИ ТЕМПЕРАТУРЕ      РЕЛЬС ИМЕЕТ ДЛИНУ    l₀=10  М. ПРИ ВОЗРАСТАНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ПРОИСХОДИТ ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ РЕЛЬСА, И ЕГО ДЛИНА, ВЫРАЖЕННАЯ В МЕТРАХ, МЕНЯЕТСЯ ПО ЗАКОНУ    ГДЕ    КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОВОГО РАСШИРЕНИЯ, t₀   — ТЕМПЕРАТУРА (В ГРАДУСАХ ЦЕЛЬСИЯ). ПРИ КАКОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ РЕЛЬС УДЛИНИТСЯ НА 6 ММ? ОТВЕТ ВЫРАЗИТЕ В ГРАДУСАХ ЦЕЛЬСИЯ.

 

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ, СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (ИЛИ НЕРАВЕНСТВА) И ЕГО  РЕШЕНИЕ (ДЛЯ УДОБСТВА ЕГО МОЖНО ПРИВЕСТИ К ПРИВЫЧНОМУ «МАТЕМАТИЧЕСКОМУ»  ВИДУ). АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННОГО ОТВЕТА.

Для понимания этой задачи явно полезным будет рисунок.

 

Выразим искомую температуру из исходного уравнения.

 

      

Для удобства вычислений выразим все длины в миллиметрах.

                          

                                                      

               

А можно было сразу же подставить числа в исходное уравнение, а затем его решать.

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

Именно такой и должна быть длина рельса в результате расширения. Значит ответ правильный.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.   50

 

11.10.   ПОСЛЕ ДОЖДЯ УРОВЕНЬ ВОДЫ В КОЛОДЦЕ МОЖЕТ ПОВЫСИТЬСЯ. МАЛЬЧИК ИЗМЕРЯЕТ ВРЕМЯ ПАДЕНИЯ t  НЕБОЛЬШИХ КАМЕШКОВ В КОЛОДЕЦ И РАССЧИТЫВАЕТ РАССТОЯНИЕ ОТ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ ДО УРОВНЯ ВОДЫ ПО ФОРМУЛЕ  . ДО ДОЖДЯ ВРЕМЯ ПАДЕНИЯ КАМЕШКОВ СОСТАВЛЯЛО 1С.

НА КАКУЮ НАИМЕНЬШУЮ ВЫСОТУ ДОЛЖЕН ПОДНЯТЬСЯ УРОВЕНЬ ВОДЫ ПОСЛЕ ДОЖДЯ, ЧТОБЫ ИЗМЕРЯЕМОЕ ВРЕМЯ ИЗМЕНИЛОСЬ БОЛЬШЕ, ЧЕМ НА   0,1   С? (ОТВЕТ ВЫРАЗИТЕ В МЕТРАХ).

 

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ, СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (ИЛИ НЕРАВЕНСТВА) И ЕГО

РЕШЕНИЕ (ДЛЯ УДОБСТВА ЕГО МОЖНО ПРИВЕСТИ К ПРИВЫЧНОМУ «МАТЕМАТИЧЕСКОМУ»

ВИДУ). АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННОГО ОТВЕТА. 

Уровень воды до дождя был                  (рис. 11.10).

 

Поскольку уровень воды повысится, измеряемое время уменьшится как минимум на  0,1 с       и станет равным  0,9 с     .

Тогда уровень воды будет

Таким образом, наименьшая высота уровня воды должна стать -4,05      .

Но не тут-то было! Правильным ответом считается число  0,95     !

И это число действительно можно получить:               .

Именно таков подъем уровня  воды относительно первоначального уровня. 

Но ведь вопрос задачи можно понять и по-другому: «на какую наименьшую высоту должна  подняться вода относительно уровня земли»?   И тогда ответ получится  -4,05, что в результате окажется неправильным!

Эта ситуация является примером двусмысленных задач, которые по идее не должны предлагаться

на ЕГЭ вообще. Подобные задачи могут служить поводом для обоснованных вопросов и

возмущения. И это правильно! 

 2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.  0, 95

 

А теперь, после рассмотрения этих, довольно разных примеров, можно сходить  в «Открытый банк заданий по математике», где находится большое количество других, еще более    разных и ужасно занимательных «практико-ориентированных» заданий №11 .

 

ЗАДАНИЕ Β13

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Успешность выполнение некоторых заданий решающим образом зависит от выбранного У способа этого самого выполнения. Для решения большинства заданий существуют и используются как простые и очевидные способы (а значит хорошие), так и сложные, запутанные (а значит плохие).

Эти различия между хорошими и  плохими способами как нельзя лучше проявляются при решении текстовых задач. Именно в них «техника решения» играет определяющую роль.

В учебной литературе упоминаются самые разнообразные примеры таких «техник». Часто они не наглядны, достаточно сложны в запоминании и производят впечатление чего-то искусственного. Например, так нелюбимый многими подход через длинные многоходовые рассуждения: 

«Пусть х  –  это … , тогда …».

Иногда такое решение-рассуждение может занимать в книге до четверти печатной страницы! 

Оно требует много времени для того, чтобы разобраться с ним, но даже при многократном прочтении (несмотря на то, что все вроде бы правильно) все же остается ощущение какого-то жульничества. Наверное, такая ситуация знакома и вам?

Или другой популярный совет: составлять для каждого типа задач специальные таблицы, в которых все содержание задачи разносится по разным ячейкам. А после этого, поглядев на таблицу, предлагается каким-то загадочным образом вдруг взять, и решить задачу!

Подобные советы обычно имеют весьма и весьма ограниченную пользу. Научиться решать такими неочевидными и мудреными способами получается, как правило, только y «математически продвинутых» учащихся. У меня, например, так и не получилось...

Предлагаемый ниже Подход к решению текстовых задач сводится к трем основным моментам:

1)  По условию любой задачи нужно обязательно (!) составлять рисунок.

Именно так –  как в 5-м классе! На него в схематичном виде наносится вся существенная  информация. Достоинство рисунка – возможность одним взглядом охватить все  содержание задачи и понять его, причем после его составления печатный текст условия для решения уже не нужен;

2)  Рисунок позволяет выявить некий важный, ключевой факт (идею) решаемой задачи. 

По поводу этого факта заранее известно следующее:

  Он обязательно содержится в условии;

  Он очень простой;

  Он может быть выражен «просто словами», без каких-либо формул;

3)  Именно этот факт «порождает» уравнение, которое, в свою очередь, приводит к ответу

(либо помогает вычислить искомое отношение).  

Таким образом, рисунок дает быстрое понимание сути задачи, а найденный факт (идея) приводит к уравнению, которое остается только решить.

Все сказанное будет проиллюстрировано конкретными примерами решения достаточно разноплановых задач.

 

 

 

 

 

13.1. ЗАДАЧИ «НА ДВИЖЕНИЕ»

Просто делай по схеме

13.1.1. ОТ ПРИСТАНИ   К ПРИСТАНИ  , РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ КОТОРЫМИ РАВНО 420  КМ,  ОТПРАВИЛСЯ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ ПЕРВЫЙ ТЕПЛОХОД, А  ЧЕРЕЗ 1  ЧАС ПОСЛЕ ЭТОГО СЛЕДОМ ЗА НИМ СО СКОРОСТЬЮ НА  1  КМ/Ч  БОЛЬШЕЙ ОТПРАВИЛСЯ ВТОРОЙ. НАЙДИТЕ СКОРОСТЬ ПЕРВОГО ТЕПЛОХОДА,

ЕСЛИ В ПУНКТ B ОБА ТЕПЛОХОДА ПРИБЫЛИ ОДНОВРЕМЕННО.  ОТВЕТ ДАЙТЕ В КМ/Ч.

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА  (РИС. 13.1.1).

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

В этой задаче таким фактом удобно считать то, что «время движения второго теплохода  на   час меньше, чем первого», то есть                 

3-Й ЭТАП: ЗАПИСАТЬ ВЫБРАННЫЙ ФАКТ В ВИДЕ БОЛЕЕ ПОДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЯ

ОБОЗНАЧЕНИЯ ИЗ РИСУНКА. 

           

      

     

    

Привычнее всего решать уравнения, в которых неизвестная величина обозначена как   . 

Поэтому «на время решения уравнения» заменим    на х  :

 

      Приведем все слагаемые уравнения к общему знаменателю:

, приравняв числитель к нулю:

                  

     

  

Существует мнение, что нужно помнить таблицу квадратов чисел. Я считаю, что специально этого

делать не нужно.

В случае же необходимости, всегда можно извлечь корень из встретившегося в задаче числа

каким-либо несложным способом. Примеры этого уже приводились в нескольких задачах В6.

Итак, найдем подбором число, квадрат которого равен     

Таким образом, скорость первого теплохода равна   20км/ч

Из двух корней, естественно, нужно выбрать положительный.

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕННИЯ УРАВНЕНИЯ 

И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.    20

 

13.1.2. ДВА ВЕЛОСИПЕДИСТА ОДНОВРЕМЕННО ОТПРАВЛЯЮТСЯ  В 168-КИЛОМЕТРОВЫЙ ПРОБЕГ. ПЕРВЫЙ ЕДЕТ СО СКОРОСТЬЮ, НА 2  КМ/Ч БОЛЬШЕЙ, ЧЕМ ВТОРОЙ, И ПРИБЫВАЕТ К ФИНИШУ НА  2 ЧАСА РАНЬШЕ ВТОРОГО. НАЙТИ СКОРОСТЬ ВЕЛОСИПЕДИСТА, ПРИШЕДШЕГО К ФИНИШУ ВТОРЫМ.

ОТВЕТ ДАЙТЕ В КМ/Ч. 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА  (РИС. 13.1.2).

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

Как и в предыдущей задаче, удобно в качестве идеи для последующего уравнения выбрать

заданную в условии разницу времени движения велосипедистов:           .

3-Й ЭТАП: ЗАПИСАТЬ ВЫБРАННЫЙ ФАКТ В ВИДЕ БОЛЕЕ ПОДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЯ

ОБОЗНАЧЕНИЯ ИЗ РИСУНКА.

                

      

    Заменим    на х  :               х=12

 

    Таким образом, скорость второго велосипедиста равна    12     (км/ч).

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ 

И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

              

       

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.      12

 

 13.1.3. ТЕПЛОХОД ПРОХОДИТ ПО ТЕЧЕНИЮ РЕКИ ДО ПУНКТА НАЗНАЧЕНИЯ  504   КМ И  ПОСЛЕ СТОЯНКИ ВОЗВРАЩАЕТСЯ В ПУНКТ НАЗНАЧЕНИЯ. НАЙДИТЕ СКОРОСТЬ  ТЕЧЕНИЯ, ЕСЛИ СКОРОСТЬ ТЕПЛОХОДА В НЕПОДВИЖНОЙ ВОДЕ РАВНА  23 КМ/Ч,  СТОЯНКА ДЛИТСЯ 10   ЧАСОВ, А В ПУНКТ ОТПРАВЛЕНИЯ ТЕПЛОХОД

ВОЗВРАЩАЕТСЯ ЧЕРЕЗ  56  ЧАСОВ ПОСЛЕ ОТПЛЫТИЯ ИЗ НЕГО.   ОТВЕТ ДАЙТЕ В КМ/Ч.

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА  (РИС. 13.1.3).

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

В качестве такого факта удобно выбрать одно из 2-х очевидных и равноценных обстоятельств:

 

3-Й ЭТАП: ЗАПИСАТЬ ВЫБРАННЫЙ ФАКТ В ВИДЕ БОЛЕЕ ПОДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЯ

ОБОЗНАЧЕНИЯ ИЗ РИСУНКА.

 1-й вариант уравнения выглядит так:

                        

       2-й вариант уравнения приводит, по сути, к тому же:                

      

     

        

Решим последнее уравнение, заменив   v  на х  :

      

    Выбираем положительный корень уравнения:        (км/ч).

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

      

      5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.       5

 

13.1.4. ИЗ   В   ОДНОВРЕМЕННО ВЫЕХАЛИ ДВА АВТОМОБИЛИСТА. ПЕРВЫЙ ПРОЕХАЛ С  ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ ВЕСЬ ПУТЬ. ВТОРОЙ ПРОЕХАЛ ПЕРВУЮ ПОЛОВИНУ  ПУТИ СО СКОРОСТЬЮ, МЕНЬШЕЙ СКОРОСТИ ПЕРВОГО НА 14   КМ/ЧАС, А ВТОРУЮ  ПОЛОВИНУ ПУТИ ПРОЕХАЛ СО СКОРОСТЬЮ  84  КМ/ЧАС, В РЕЗУЛЬТАТЕ ЧЕГО  ПРИБЫЛ В B ОДНОВРЕМЕННО С ПЕРВЫМ АВТОМОБИЛИСТОМ.  НАЙДИТЕ СКОРОСТЬ ПЕРВОГО АВТОМОБИЛИСТА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО, ЧТО ОНА  БОЛЬШЕ  52  КМ/ЧАС. ОТВЕТ ДАЙТЕ В КМ/Ч.

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА  (РИС. 13.1.4).

 

На рисунке весь путь обозначен как  S .

Как вариант, его можно принять равным   (обычно в математике так и делают).

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

Факт прост: «время движения автомобилистов равно», то есть          .

3-Й ЭТАП: ЗАПИСАТЬ ВЫБРАННЫЙ ФАКТ В ВИДЕ БОЛЕЕ ПОДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЯ

ОБОЗНАЧЕНИЯ ИЗ РИСУНКА. 

                    

Заменяя  v  на x   и сокращая S , получим:        

Выбираем корень, который больше  52  (см. условие задачи), то есть     56       .

Таким образом, скорость первого автомобилиста         (км/ч).

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

                                        

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.        56  

           

       

    

            13.2.1. ПЕРВАЯ ТРУБА ПРОПУСКАЕТ НА  1 ЛИТР ВОДЫ В МИНУТУ МЕНЬШЕ, ЧЕМ ВТОРАЯ ТРУБА. СКОЛЬКО ЛИТРОВ ВОДЫ В МИНУТУ ПРОПУСКАЕТ ПЕРВАЯ ТРУБА, ЕСЛИ  РЕЗЕРВУАР ОБЪЕМОМ 240   ЛИТРОВ ОНА ЗАПОЛНЯЕТ НА 2  МИНУТЫ ДОЛЬШЕ, ЧЕМ   ВТОРАЯ ТРУБА ЗАПОЛНЯЕТ РЕЗЕРВУАР ОБЪЕМОМ  224   ЛИТРА?

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА  (РИС. 13.2.1). 

 

По аналогии с задачами на «обычное» движение, пропускную способность трубы можно рассматривать как скорость вытекания воды (л/мин), и обозначать как   . А объем воды  (количество литров) будет чем-то напоминать пройденное расстояние (количество метров).   Очень удобно, что при таком подходе вид рисунка останется тем же.

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ).

Время наполнения 1-го резервуара на 2 минуты больше, чем 2-го:           .

3-Й ЭТАП: ЗАПИСАТЬ ВЫБРАННЫЙ ФАКТ В ВИДЕ БОЛЕЕ ПОДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЯ

ОБОЗНАЧЕНИЯ ИЗ РИСУНКА.

          Заменим  v  на x  :                                   

           

По смыслу задачи выбираем положительный корень уравнения:

        л/мин).

Поскольку необходимо найти скорость пропускания воды 1-й трубой, а она равна     , 

то получим ответ 16-1=15        .

Как вариант, можно было бы уже на рисунке «скорость» 1-й трубы обозначить как  , и сразу

находить именно ее (тогда «скорость» 2-й трубы будет     ).

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

               

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.        15

 

 

13.2.2. ПЕРВЫЙ РАБОЧИЙ ЗА ЧАС ДЕЛАЕТ НА  2  ДЕТАЛИ БОЛЬШЕ, ЧЕМ ВТОРОЙ РАБОЧИЙ, И ЗАКАНЧИВАЕТ РАБОТУ НАД ЗАКАЗОМ, СОСТОЯЩИМ ИЗ 192    ДЕТАЛЕЙ, НА 4  ЧАСА РАНЬШЕ, ЧЕМ ВТОРОЙ РАБОЧИЙ ВЫПОЛНЯЕТ ЗАКАЗ, СОСТОЯЩИЙ ИЗ  224   ТАКИХ ЖЕ ДЕТАЛЕЙ.  СКОЛЬКО ДЕТАЛЕЙ ДЕЛАЕТ В ЧАС ВТОРОЙ РАБОЧИЙ?

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА  (РИС. 13.2.2). 

 

И опять, несмотря на то, что тема задачи не связана с движением, рисунок удобно выполнить  «в стиле движения». Производительность работы в этом случае можно рассматривать и обозначать как некую скорость работы   v (детали/час). 

А количество деталей в заказе похоже на пройденный путь (количество километров).

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

И снова идею, порождающую уравнение, проще всего связать со временем:           .

3-Й ЭТАП: ЗАПИСАТЬ ВЫБРАННЫЙ ФАКТ В ВИДЕ БОЛЕЕ ПОДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЯ

ОБОЗНАЧЕНИЯ ИЗ РИСУНКА.

          

       Дальше следует знакомый (и такой одинаковый!) алгоритм.

      

              х=14

 Таким образом, скорость работы 2-го рабочего равна         (деталей/час).

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.   

    

               

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.        14

 

 

13.2.3. ДВА ФЕРМЕРА, РАБОТАЯ ВМЕСТЕ, МОГУТ ВСПАХАТЬ ПОЛЕ ЗА  25  ЧАСОВ. ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ТРУДА ПЕРВОГО И ВТОРОГО ФЕРМЕРОВ ОТНОСЯТСЯ  КАК  2:5  . ФЕРМЕРЫ ПЛАНИРУЮТ РАБОТАТЬ ПООЧЕРЕДНО.  СКОЛЬКО ВРЕМЕНИ ДОЛЖЕН ПРОРАБОТАТЬ ВТОРОЙ ФЕРМЕР, ЧТОБЫ ЭТО ПОЛЕ

БЫЛО ВСПАХАНО ЗА  45,5    ЧАСОВ?

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА  (РИС. 13.2.3).

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

Очевидно, что «объем работы в обоих случаях одинаков» (и принят за некоторую условную

единицу). В задачах «на движение» мы бы записали        .

3-Й ЭТАП: ЗАПИСАТЬ ВЫБРАННЫЙ ФАКТ В ВИДЕ БОЛЕЕ ПОДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЯ

ОБОЗНАЧЕНИЯ ИЗ РИСУНКА. 

В данном случае уравнение получится такое:

                

               Таким образом, время работы  2-го фермера равно  28   ч.

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

Ввиду относительной сложности задачи, после проверки правильности найденного корня следует

еще раз проверить все этапы ее решения.    

  

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.      28

 

 

 

 

 

 

 

13.2.4. ДВА ПЛОТНИКА, РАБОТАЯ ВМЕСТЕ, МОГУТ ВЫПОЛНИТЬ ЗАДАНИЕ ЗА  36  ЧАСОВ. ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ТРУДА  ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПЛОТНИКОВ ОТНОСЯТСЯ КАК 3:4 . ПЛОТНИКИ ДОГОВОРИЛИСЬ РАБОТАТЬ ПООЧЕРЕДНО.  КАКУЮ ЧАСТЬ ЭТОГО ЗАДАНИЯ ДОЛЖЕН ВЫПОЛНИТЬ ВТОРОЙ ПЛОТНИК, ЧТОБЫ  ВСЕ ЗАДАНИЕ БЫЛО ВЫПОЛНЕНО ЗА  69,3 Ч?

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА  (РИС. 13.2.4).

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ  ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

Объем работы в обоих случаях одинаков , то есть

                          

3-Й ЭТАП: ЗАПИСАТЬ ВЫБРАННЫЙ ФАКТ В ВИДЕ БОЛЕЕ ПОДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЯ

ОБОЗНАЧЕНИЯ ИЗ РИСУНКА. 

В задаче требуется найти для варианта «работа по очереди» отношение 

          

Чтобы найти это отношение, подставим в него   , предварительно выразив его из уравнения :

    

Итак,

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ. 

Ввиду относительной сложности задачи, после проверки правильности найденного корня следует

еще раз проверить все этапы ее решения.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 0,7

 

     Выше были рассмотрены текстовые задачи на довольно разные темы.

     Все эти задачи имели похожий подход к решению. А именно – они решались по аналогии с задачами на движение (и даже рисунок к ним был стилизован «под движение»). 

   И такой подход действительно применим к очень широкому спектру задач.

   Вместе с тем, для большого количества других задач приходится делать рисунки, которые сложно «притянуть» к движению. Правила составления таких рисунков сложно формализовать, то есть представить в виде четких, готовых рецептов.

   Поэтому общие пожелания к ним можно сформулировать так: рисунки должны быть достаточно простыми и интуитивно понятными, выполняться в «свободном стиле» и содержать всю информацию из условия задачи.

   Рассмотрим несколько примеров таких задач.

 

13.2.5. ОБЪЕМЫ ЕЖЕГОДНОЙ ДОБЫЧИ НЕФТИ ПЕРВОЙ, ВТОРОЙ И ТРЕТЬЕЙ  СКВАЖИНАМИ ОТНОСЯТСЯ КАК  7:6:5. ПЛАНИРУЕТСЯ УМЕНЬШИТЬ ГОДОВУЮ  ДОБЫЧУ НЕФТИ ИЗ ПЕРВОЙ СКВАЖИНЫ НА  4% , А ИЗ ВТОРОЙ – НА  2% . НА СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ НУЖНО УВЕЛИЧИТЬ ГОДОВУЮ ДОБЫЧУ НЕФТИ ИЗ  ТРЕТЬЕЙ СКВАЖИНЫ, ЧТОБЫ СУММАРНЫЙ ОБЪЕМ ДОБЫВАЕМОЙ ЗА ГОД НЕФТИ  НЕ ИЗМЕНИЛСЯ?

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА  (РИС. 13.2.5).

 

А вот условие таких задач, пожалуй, удобнее отображать с помощью таблицы.

Через  k   обозначим повышение количества добытой нефти, выраженное в единицах.

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

Из условия понятно, что объем добываемой нефти должен остаться прежним, то есть 

              

3-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ ВЫБРАННОГО ФАКТА. 

               сократим на х                   

        ,                                     . 

Добычу нефти из третьей скважины нужно увеличить на 8%  .

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

Подставим k=1,08 в уравнение ( *):                       

     

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 8

 

13.2.6.  ЦИСТЕРНА ЗАПОЛНЯЕТСЯ КЕРОСИНОМ ЗА  2 ЧАСА С ПОМОЩЬЮ ТРЕХ  НАСОСОВ, РАБОТАЮЩИХ ВМЕСТЕ. ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ НАСОСОВ  ОТНОСЯТСЯ КАК 1:2:7. СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ ОБЪЕМА ЦИСТЕРНЫ БУДЕТ  ЗАПОЛНЕНО ЗА   1ЧАС  12  МИНУТ СОВМЕСТНОЙ  РАБОТЫ  ПЕРВОГО  И  ТРЕТЬЕГО НАСОСОВ?

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА (РИС. 13.2.6).

 

На самом деле все рисунки, приводимые к этим задачам, не являются образцами для буквального подражания. По сути, они всего лишь отражают мои привычки рисования и представления о простоте и полезности рисунка.

Кому-то они понравятся (и помогут), а кому-то нет, и тогда нужно придумать что-то свое.  И это совершенно нормально, потому что существуют самые различные варианты «графического конспектирования» информации.

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

 

А в этой задаче никакой особой идеи искать и не нужно, так как требуется найти отношение     .    

Единственно, нужно учесть, что 12 минут составляют            

3-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ ВЫБРАННОГО ФАКТА.

  

                   

   (        )    (       )          

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

Уместно будет для проверки правильности еще раз «пройтись» по всей задаче.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.             48  

         

А теперь, напоследок, рассмотрим задачу этого же типа с тремя «участниками процесса». 

Именно такие задачи вызывают наибольшую трудность! 

13.2.7. ТРИ ТРАКТОРА, РАБОТАЯ ВМЕСТЕ, МОГУТ ВСПАХАТЬ ПОЛЕ ЗА 4  ЧАСА.  ЭТО ЖЕ ПОЛЕ ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ТРАКТОР, РАБОТАЯ ВМЕСТЕ, МОГУТ ВСПАХАТЬ  ЗА  6  ЧАСОВ. ЗА СКОЛЬКО ЧАСОВ ЭТО ПОЛЕ МОЖЕТ ВСПАХАТЬ ТРЕТИЙ ТРАКТОР, РАБОТАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНО?

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА  (РИС. 13.2.7).

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

В качестве факта можно выбрать то обстоятельство, что объем работы (то есть размер поля) во  всех случаях одинаковый. На рисунке он принят равным некой условной единице.

Итак,                   

3-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ ВЫБРАННОГО ФАКТА. 

Отразим выбранный факт системой из 3 уравнений.

Глядя на эту систему, можно предложить такой вариант действий: найти из (2) значение (х+у ),

подставить его в (1), и из него уже найти значение  z . А зная  z , можно добраться и до    . 

Вот и все!

Из (2):    Подставляем     в (1):

 

Z=1/12                     И теперь последнее действие. Из (3) найдем ответ задачи:   

         

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.         12

 

13.3. ЗАДАЧИ «НА ПРОЦЕНТЫ»

Название этого раздела главы №13 достаточно условно, так как проценты обязательно присутствуют не только в задачах на смеси и сплавы, но и во многих других задачах.

 

13.3.1.  ЗА ПЕРВЫЙ ГОД ПРЕДПРИЯТИЕ УВЕЛИЧИЛО ВЫПУСК ПРОДУКЦИИ НА   8% . В СЛЕДУЮЩЕМ ГОДУ ОН УВЕЛИЧИЛСЯ НА  25%  . НА СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ ВЫРОС ВЫПУСК ПРОДУКЦИИ ПО СРАВНЕНИЮ С ПЕРВОНАЧАЛЬНЫМ?

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА (РИС. 13.3.1).

И снова условие задачи можно наглядно отобразить, используя за основу прямую линию.

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ).

3-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ ВЫБРАННОГО ФАКТА.

Глядя на рисунок, легко увидеть, что через 2 года объем продукции равен                    .

Коэффициент   1,35 х   означает, что произошло увеличение на  35%  .

Если вы не понимаете, как в этой задаче происходит работа с процентами, еще раз загляните в

Тематическое Отступление к заданию №1.

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

Вероятно, лучшей проверкой ответа будет повторное решение задачи.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.      35

 

13.3.2.  НА РЫНКЕ КОСТЮМ, СОСТОЯЩИЙ ИЗ ПИДЖАКА И БРЮК, СТОИТ НА  20%   ДЕШЕВЛЕ, ЧЕМ ТАКОЙ ЖЕ КОСТЮМ В МАГАЗИНЕ, ПРИЧЕМ БРЮКИ СТОЯТ  НА  35%   ДЕШЕВЛЕ, ЧЕМ В МАГАЗИНЕ, А ПИДЖАК – НА  10%   . СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ СТОИМОСТИ ЭТОГО КОСТЮМА В МАГАЗИНЕ СОСТАВЛЯЕТ

СТОИМОСТЬ ПИДЖАКА?

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА (РИС. 13.3.2).

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

По условию задачи, костюм на рынке стоит   80%   от его стоимости в магазине.

Запишем это, используя обозначения рисунка:

3-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ ВЫБРАННОГО ФАКТА. 

Прежде чем работать с этим уравнением, нужно уяснить, что именно нам нужно найти и записать

в ответ. Очевидно, что найти нужно выраженное в процентах отношение 

    

          

А для того, чтобы его найти, следует в уравнении ( ) выразить   через  , и подставить его в

знаменатель последней дроби.

                    

         

     

     

   

После этого уже можно ответить на поставленный в задаче вопрос:

                 

Таким образом, в магазине стоимость пиджака составляет  60%   от стоимости всего костюма.

   4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

Поскольку проверку ответа нельзя свести только к проверке корня уравнения, то можно  порекомендовать заново решить задачу. Причем с самого начала – с составления рисунка. И, само собой, не подсматривая в первоначальное решение. Это, конечно, не гарантирует  правильность результата, но поможет снизить вероятность ошибки.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 60

 

 

 

13.3.3.  ПРИ ПОКУПКЕ РЕБЕНКУ НОВЫХ ЛЫЖ С БОТИНКАМИ РОДИТЕЛЯМ  ПРИШЛОСЬ ЗАПЛАТИТЬ НА 35%    БОЛЬШЕ, ЧЕМ ДВА ГОДА НАЗАД, ПРИЧЕМ  ЛЫЖИ ПОДОРОЖАЛИ С ТЕХ ПОР НА  20%  , А БОТИНКИ – НА 70%   . СКОЛЬКО  ПРОЦЕНТОВ ОТ СТОИМОСТИ ЛЫЖ С БОТИНКАМИ  СОСТАВЛЯЛА ДВА ГОДА

НАЗАД СТОИМОСТЬ ЛЫЖ?

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА  (РИС. 13.3.3). 

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

В условии сказано, что сейчас комплект на 35%    дороже, чем раньше, то есть 

3-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ ВЫБРАННОГО ФАКТА.

Превратим факт, записанный на 2-м этапе в уравнение, используя обозначения на рисунке.

           В задаче требуется найти отношение    

             

Воспользуемся приемом, показанным в предыдущей задаче.                      

                  у=3х/7 

     

   Теперь можно ответить на поставленный в задаче вопрос:

  

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

Рекомендации по проверке полученного ответа можно посмотреть в предыдущей задаче.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.             70

 

13.4. ЗАДАЧИ «НА СМЕСИ И СПЛАВЫ»

13.4.1.  СМЕШАЛИ НЕКОТОРЕ КОЛИЧЕСТВО   -% РАСТВОРА НЕКОТОРОГО  ВЕЩЕСТВА С ТАКИМ ЖЕ КОЛИЧЕСТВОМ   -% РАСТВОРА ЭТОГО ЖЕ  ВЕЩЕСТВА. СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ СОСТАВЛЯЕТ КОНЦЕНТРАЦИЯ

ПОЛУЧИВШЕГОСЯ РАСТВОРА?

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА (РИС. 13.4.1).

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

Масса «чистого» вещества до и после смешивания растворов одинакова:

                          

 3-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ ВЫБРАННОГО ФАКТА.

                              

                  

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.        17

 

 

13.4.2.  СМЕШАЛИ   ЛИТРА   -% ВОДНОГО РАСТВОРА НЕКОТОРОГО ВЕЩЕСТВА  С   ЛИТРАМИ   -% РАСТВОРА ЭТОГО ЖЕ ВЕЩЕСТВА. СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ СОСТАВЛЯЕТ КОНЦЕНТРАЦИЯ ПОЛУЧИВШЕГОСЯ РАСТВОРА?

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА (РИС. 13.4.2).

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

Масса «чистого» вещества до и после смешивания растворов одинакова:

                          

 3-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ ВЫБРАННОГО ФАКТА.                         

               

 4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.    21

 

 

13.4.3.  ПЕРВЫЙ СПЛАВ СОДЕРЖИТ     МЕДИ, ВТОРОЙ -     МЕДИ. МАССА  ВТОРОГО СПЛАВА БОЛЬШЕ МАССЫ ПЕРВОГО СПЛАВА НА   КГ. ИЗ ЭТИХ  ДВУХ СПЛАВОВ ПОЛУЧИЛИ ТРЕТИЙ СПЛАВ, СОДЕРЖАЩИЙ     МЕДИ.

НАЙДИТЕ МАССУ ТРЕТЬЕГО СПЛАВА, ОТВЕТ ДАЙТЕ В КИЛОГРАММАХ.

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА (РИС. 13.4.3).

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ).

                            

 3-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ ВЫБРАННОГО ФАКТА.

                 х=з   

Отвечаем на вопрос задачи:                  (  )

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.         9

 

 

13.4.4.  СМЕШАВ  30 %   -Й И 60% -Й РАСТВОР КИСЛОТЫ И ДОБАВИВ 10   КГ ЧИСТОЙ  ВОДЫ, ПОЛУЧИЛИ  36%   -Й РАСТВОР КИСЛОТЫ. ЕСЛИ БЫ ВМЕСТО  10  КГ  ВОДЫ ДОБАВИЛИ БЫ  10  КГ  50%   -ГО РАСТВОРА ТОЙ ЖЕ КИСЛОТЫ, ТО  ПОЛУЧИЛИ БЫ  41% -Й РАСТВОР КИСЛОТЫ. СКОЛЬКО КИЛОГРАММ  30%-ГО  РАСТВОРА ИСПОЛЬЗОВАЛИ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ СМЕСИ?

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА (РИС. 13.4.4).

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

Задача немного сложнее предыдущих, но делаем все то же самое.

Для обоих случаев смешения  растворов                                     

 3-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ ВЫБРАННОГО ФАКТА.

На этот раз получим не одно уравнение, а систему уравнений:

Вычтем одно уравнение из другого. Например, (1) из (2):

         

             

Подставим найденное значение у  , например, в (1) для последующего нахождения х  :

            х=60

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.        60

 

13.4.5.  ВИНОГРАД СОДЕРЖИТ  91%   ВЛАГИ, А ИЗЮМ –7%   . СКОЛЬКО  КИЛОГРАММОВ ВИНОГРАДА ТРЕБУЕТСЯ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ  21  КИЛОГРАММА  ИЗЮМА? 

И еще один популярный вид заданий, обычно вызывающих трудности. И опять делаем то же

самое, и опять получаем правильный результат – в этом и проявляется настоящая ценность

универсальных схем решения!

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА (РИС. 14.4.5).

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

Масса «абсолютно сухой ягоды» и в винограде, и в полученном из него изюме одинакова.

                                           

 3-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ ВЫБРАННОГО ФАКТА.

               

               х=217

  4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.    217

 

13.4.6.  ВЛАЖНОСТЬ СУХОЙ ЦЕМЕНТНОЙ СМЕСИ НА СКЛАДЕ СОСТАВЛЯЕТ  18%   .  ВО ВРЕМЯ ПЕРЕВОЗКИ  ИЗ-ЗА ДОЖДЕЙ ВЛАЖНОСТЬ СМЕСИ ПОВЫСИЛАСЬ  НА 2 %  . НАЙДИТЕ МАССУ ПРИВЕЗЕННОЙ СМЕСИ, ЕСЛИ СО СКЛАДА БЫЛО  ОТПРАВЛЕНО  400   КГ.

 

1-Й ЭТАП: ОТОБРАЗИТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА (РИС. 13.4.6).

А сейчас (для контраста с предыдущими задачами) попробуем сделать рисунок как-нибудь иначе,  просто для разнообразия. И чтобы напомнить: картинки к задачам можно делать по-разному,  лишь бы они хорошо отражали суть задания. Рисуйте, и с каждым разом они будут получаться все  лучше и лучше!

 

2-Й ЭТАП: НАЙТИ ПРОСТОЙ, СОДЕРЖАЩИЙСЯ В УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ФАКТ (ИДЕЮ). 

Количество собственно сухой смеси в обоих случаях остается неизменным:

                               

 3-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ ВЫБРАННОГО ФАКТА.

Запишем это равенство в обозначениях рисунка:

     х=410                      

 4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕГО КОРНЯ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.         410

 

      Мы рассмотрели наиболее распространенные задания №13. На самом деле, существуют заметно более сложные текстовые задачи, но они явно не нужны категории «чайников», для которых написано это пособие. Да и вряд ли они появятся на ЕГЭ.

      Впрочем, большинство из них можно при желании решить по той же самой схеме!

      Глава 4 получилась явно больше других, и это не случайно.

      Ведь, по существующей статистике (информация взята из одной, не помню уже какой именно, брошюры по ЕГЭ) успешно справляются с текстовыми задачами около 10% выпускников.  Даже если эта цифра занижена, трудности с их решением, как показывает практика, действительно велики.