Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / «Текстовые задачи и систематизация методов их решения»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

«Текстовые задачи и систематизация методов их решения»

библиотека
материалов

hello_html_e98c297.gifhello_html_m2f60419.gifhello_html_6cd3694b.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2ff6b22c.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_76e1edbe.gifhello_html_755200a4.gifhello_html_23c4bdeb.gifhello_html_m3d9b6a27.gif«Текстовые задачи и систематизация методов их решения»

Введение

Анализ результатов проведения итоговой аттестации по математике в новой форме позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела математики.
Данная работа рассчитана в первую очередь на учащихся, желающих расширить и углубить свои знания по математике и качественно подготовиться к экзаменам. Она поможет школьникам систематизировать полученные на уроках знания по решению текстовых задач и ознакомиться с методами их решения, на которые мало уделяется внимания в рамках школьной программы из-за ограниченного количества часов на данную тему. 

Способы решения текстовых задач.

               Общепризнанно, что для выработки у учащихся умения решать задачи, важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности, и решение её различными способами.

               Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче.

Возможность решения некоторых задач разными способами основана на различных свойствах действий или вытекающих из них правил.

               При решении задач различными способами ученик привлекает

дополнительную информацию, поскольку он непроизвольно выполняет в большем числе выборы суждений, хода мысли из нескольких возможных; рассматривается один и тот же вопрос с разных точек зрения. При этом полнее используется активность учащихся, прочнее и сознательнее запоминается материал. Как правило, различными способами решается  те из задач, где этого требует вопрос, поэтому такая работа носит эпизодический характер.

               В качестве основных в математике различают арифметический и алгебраический способы решения задач. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами.

               Арифметические способы решения задач отличаются друг от друга одним или несколькими действиями или количеством действий, также отношениями между данными, данными и искомым, данными и неизвестным, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий.

               При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения.

               В зависимости от выбора неизвестного для обозначения буквой, от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических решениях этой задачи.

               Опираясь только на чертёж, легко можно дать ответ на вопрос задачи. Такой способ решения называется графическим.

               До настоящего времени вопрос о графическом способе решения арифметических задач не нашёл должного применения в школьной практике.

Графический способ даёт возможность более тесно установить связь между

арифметическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление детей.

              

Этапы решения задач.

Решение текстовых задач – это сложная деятельность, содержание которой зависит как от конкретной задачи, так и от умений решающего. Тем не менее, в ней можно выделить несколько этапов:

1.   Ознакомление с содержанием задачи;

2.   Поиск решения задачи;

3.   Выполнение решения задачи;

4.   Проверка решения задачи.


1. Задачи на движение:

  • Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку);

  • Задачи на движение по замкнутой трассе;

  • Задачи на движение по воде;

  • Задачи на среднюю скорость;

  • Задачи на движение протяженных тел;

2. Задачи производительность;

3. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии;

4. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы;

5. Задачи на проценты, части и доли;

6. Задачи на бассейны и трубы.

Ценность задач состоит в демонстрации их общности с точки зрения исследования и анализа реальных процессов средствами математики.

Решение задач состоит в построении математической модели по текстовому описанию конкретной ситуации и в применении этой модели для отыскания одной или нескольких величин, имеющих конкретный содержательный смысл. Как правило, математическая модель имеет форму алгебраического уравнения или системы уравнений, которая строится на основе содержательной интерпретации понятий и условий, характеризующих ситуацию в тексте задачи. Решение построенной модели обычно требует учета содержательного смысла используемых величин. Наконец, самому полученному решению модели должна быть дана содержательная интерпретация.

Учащиеся, как правило, испытывают трудности при решении задач, так как их систематическое решение заканчивается вместе с изучением курса математики 9-го класса. В курсе математики текстовые задачи представлены периодически, и они систематизированы по видам составляемых уравнений, а не по содержательной интерпретации. Кроме того, математическая формализация условий конкретных ситуаций предусматривает использование понятий и закономерностей, либо изучаемых вне математики, либо вытекающих из опыта практической жизни или здравого смысла.

Мы остановимся на рассмотрении некоторых задач на движение, арифметическую и геометрическую прогрессии, концентрацию, смеси, сплавы и сложный процент.


Способы решения текстовых задач


При решении задач на равномерное движение по прямой принимаются обычно следующие допущения:

1. Движение на отдельных участках считается равномерным, а пройденный путь Sопределяется по формуле S = vt, где t - время, v скорость.

2. Скорость всегда считается величиной положительной.

3. Повороты движущихся тел принимаются мгновенными, то есть, происходят без затрат времени; скорость при этом тоже меняется мгновенно.

4. При движении на воде:

  • Скорость тела, движущегося по течению реки, равна сумме собственной скорости тела (скорость в стоячей воде) и скорости течения реки.

  • Скорость тела, движущегося против течения реки, равна разности собственной скорости тела и скорости течения реки.

  • Если в условии задачи речь идет о движении плотов, то этим хотят сказать, что тело (плот) движется со скоростью течения реки (собственная скорость плота равна нулю).

  • Разность между скоростью тела по течению и против течения рекиравна удвоенной скорости течения реки.

Если x – собственная скорость тела (при любой размерности), v– скорость течения реки (при той же размерности), то (x + v)– скорость тела по течению, (x - v)– скорость против течения. Тогда разность между скоростью тела по течению и против течения:

(x + v) – (x - v) = x + vx + v = 2v.


Задача 1.Теплоход проходит расстояние между пристанямиВ и С по течению за 6 часов, а обратно против течения – за 8 часов. Сколько времени понадобится плоту, чтобы проплыть расстояние отВ до С.

Решение.Обозначим расстояние отВ до С за S км. Тогда скорость по течению - hello_html_m4bf4ea5c.gifкм/ч, а скорость против течения - hello_html_2768fd2a.gifкм/ч. Разность между скоростью теплохода по течению и против течения равна удвоенной скорости течения реки, то есть, 2Vт = hello_html_m4bf4ea5c.gif-hello_html_2768fd2a.gif=hello_html_7ed52ad7.gif.

Скорость течения Vт = hello_html_m20136f31.gifS (км/час) и равна скорости движения плота, следовательно, время движения плота 48 часов.

Ответ: 48 часов.

S1

S2

t1

t2

В задачах на движение иногда объект движется с разной скоростью на разных участках пути, и требуется найти среднюю скорость движения.


Пусть объект прошел расстояние S1 за время t1и расстояние S2 за время t2 , тогда средняя скорость движения объекта на всем пути вычисляется по формуле:

Vcр= hello_html_m62361fa9.gif

Обратите внимание, что при нахождении средней скорости движения в задачах, где известны расстояния и скорости на каждом участке пути (S1, S2 иv1,v2), учащиеся часто делают ошибку, находя среднюю скорость как v= hello_html_m20fc710c.gif. На самом деле, средняя скорость движения находится по формуле: v=hello_html_479906.gif.

Если отрезков пути не два, а более, то средняя скорость находится аналогично.


Задача 2.Автомобиль изА в Вехал со скоростью 50 км/ч, а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч. Какова его средняя скорость на всем пути?

Решение. Примем расстояние отА до В за S. Поскольку автомобиль шёл изА в В и обратно, то Sобщ = 2S, а tобщ = tAB + tBA.

tAB =hello_html_m5ff2864b.gifч, а tBА =hello_html_505d262d.gifч, то есть, tобщ= hello_html_29949ea5.gifч.

Тогда vср = 2S :hello_html_29949ea5.gif = 37,5 (км/ч).

Ответ: 37,5 км/ч.


Далее рассмотрим возможные варианты движения двух тел (вышедших из одной точки, из разных точек; движущихся в одном направлении, противоположных, друг за другом).


S

v1

v2

1. Движение навстречу друг другу.

Если два тела движутся навстречу друг другу, то скорость «их сближения» равна сумме скоростей данных тел.

Если первоначальное расстояние между двумя телами, движущимися навстречу друг другу со скоростями v1 и v2, равно S, то время, через которое они встретятся, равно:

t = S : (v1 + v2).


2. Движение в противоположные стороны.

S0

v1

v2

S

Если два тела движутся в противоположные стороны, то скорость «их удаления друг от друга» равна сумме скоростей данных тел.

Расстояние между двумя телами, движущимися в противоположные стороны со скоростями v1 и v2, через время t равно

S = S0 + (v1 + v2)t,

где S0 – первоначальное расстояние между ними. S0 = 0, если движение тел начинается из одной точки.

3. Движение в одном направлении.

Если два тела, находящиеся перед началом движения на расстоянии S друг от друга, движутся в одном направлении со скоростями v1 и v2, где v2>v1, то возможны два случая.

S

v2

v1

1 случай

1. Тело с большей скоростью догоняет тело с меньшей скоростью. В этом случае «скорость сближения» равна разности скоростей (v2v1), авремя, через которое второе тело догонит первое, равно:

S

v2

v1

2 случай

t =S:(v2v1).


2. Тело с большей скоростью «убегает» от тела с меньшей скоростью. В этом случае «скорость удаления» также равна разности скоростей (v2v1), а расстояние, которое будет между телами через время t, равно:

S1 = S + (v2v1)t


Задача 3. Две пчелы одновременно взлетели с одного и того же цветка и разлетелись в противоположных направлениях. Скорость первой пчелы 18 км/ч, что в 1,2 раза меньше, чем скорость второй пчелы. Через 9 секунд они сели на ромашки, растущие на противоположных сторонах лужайки. Каково расстояние между ромашками?

Решение. Переведем скорость первой пчелы в м/с: 18 км/ч = 5 м/с. Скорость второй пчелы – 51,2 = 6 (м/с). Скорость «удаления пчел друг от друга» равна 11 м/с. Значит, расстояние между ромашками – 99 м.

Ответ: 99 м.


Задача 4. Из города выехал грузовик со скоростью 60 км/ч. Через 2 часа вдогонку выехал мотоциклист. В некоторый момент времени расстояние между ними было 80 км. Если бы скорость мотоциклиста была вhello_html_m68d645d8.gifраза больше, чем в действительности, то это расстояние оказалось бы в четыре раза меньше. Найти скорость мотоциклиста.

Решение.

Обратим внимание на то, что мотоциклист на 80 км не догоняет грузовик (ситуация, в которой мотоциклист сразу перегоняет грузовик на 80 км, не может быть – в этом случае при увеличении скорости мотоциклиста вhello_html_m68d645d8.gifраза, расстояние между ними не может уменьшиться). При этом возможны два случая по условию задачи: мотоциклист при увеличении скорости вhello_html_m68d645d8.gifраза может не догнать грузовик, и мотоциклист может перегнать грузовик.

Составим таблицу:



Скорость (км/ч)

Время

Расстояние

Грузовик

60

t + 2

60(t + 2)

Мотоциклист

(с первой скоростью)

v

t

v t

Мотоциклист

(со второй скоростью)

hello_html_m57d23a77.gifv

t

hello_html_m57d23a77.gifv t

Составим систему уравнений для первого случая (мотоциклист не догоняет грузовик и после увеличения скорости):

60(t + 2)= vt + 80,

60(t + 2)= hello_html_m57d23a77.gifvt + hello_html_mc390684.gif.

Решаем эту систему.

Выразим vt из первого уравнения: vt = 60(t + 2) – 80 = 60t + 40.

Подставим vt во второе уравнение: 60(t+ 2)= hello_html_m57d23a77.gif (60t + 40) +hello_html_mc390684.gif. Отсюда t =hello_html_m5f43463c.gif.

Тогда из первого уравнения находим v = 72.

Составим систему уравнений для второго случая (мотоциклист перегоняет грузовик после увеличения скорости):

60(t + 2)= vt + 80,

60(t + 2) = hello_html_m57d23a77.gifvt - hello_html_mc390684.gif.

Решая эту систему, получим t = 6, v =hello_html_m608463b3.gif.

Ответ: 1) 72 км/ч; 2) hello_html_m608463b3.gif км/ч.

Задача 5. Два грузовика ехали по асфальтированной дороге со скоростью 80 км/ч, сохраняя дистанцию 24 м. Свернув на проселочную дорогу, каждый из них резко снизил скорость, и дистанция между ними стала равной 15 м.

С какой скоростью поехали грузовики по проселочной дороге?

(A) 70 км/ч (Б) 65 км/ч (В) 60 км/ч (Г) 55 км/ч (Д) 50 км/ч


Решение. В момент, когда первый грузовик свернет на проселочную дорогу, ситуация изменится. Первый грузовик пройдет по проселочной дороге 15 м с неизвестной скоростью за то же время, за которое второй пройдет по асфальтированной дороге 24 м со скоростью 80 км/ч.

Отношение пройденных расстояний равно отношению скоростей.

Составим пропорцию hello_html_64510511.gif= hello_html_m76597899.gif. Отсюда х = 50.

Ответ: (Д) 50 км/ч.


Еще один вид движения – движение с ускорением.

Считается, что движение может быть равноускоренным (ускорениеа> 0) или равнозамедленным (ускорение а< 0). При решении таких задач используются следующие формулы, связывающие пройденное расстояние S, время t, скорость v, ускорение а, начальное время t0и начальную скорость v0 = v(t0):

S = v0t + hello_html_m1d15baf.gif, а = hello_html_m14d2a7f.gif

Задача 6. Винтик и Шпунтик выехали навстречу друг другу из разных гаражей, расстояние между которыми 390 метров. Винтик проехал в первую секунду 6 м, а в каждую последующую проезжал на 6 м больше, чем в предыдущую. Шпунтик выехал через 5 секунд после Винтика и ехал равномерно со скоростью 12 м/с. Сколько времени ехал Винтик до встречи со Шпунтиком?

Решение. Очевидно, что Винтик двигался равноускоренно. Начальная скорость v0 и ускорение aнеизвестны. Из формулы S = v0t + hello_html_m1d15baf.gif при t =1с получаем 6 = v0 + hello_html_m479a45a.gif (за первую секунду Винтик проехал 6 метров). При t = 2с получаем 18 = 2v0 + hello_html_140e2ce1.gif (6 метров за первую секунду и 12 метров за вторую проехал Винтик). Отсюда v0 =3 м/с, а= 6 м/с2. Тогда расстояние, пройденное Винтиком за время t, определяется по формуле:

S = 3 t + hello_html_3fa93e3c.gif.

Пусть Винтик и Шпунтик встретятся в момент t0. Винтик проедет расстояние, равное

S1 = 3 t0 + hello_html_7655ec5a.gif, аШпунтикS2 = 12 (t0 – 5). По условию S1 + S2 = 390. Получаем квадратное уравнение: 3 t0 + hello_html_7655ec5a.gif+ 12 (t0 – 5) = 390. Корни уравнения: -15 и 10. Уравнение имеет один положительный корень: t0 = 10.

Ответ: 10 секунд.


Поезд, lм

Платформа, 150 м

Начало пути

Конец пути

Задача 7.Электропоезд проехал мимо светофора за 5 секунд, а мимо платформы длиной 150 м за 15 секунд. Какова длина электропоезда и его скорость?


Решение. В данной задаче следует учесть, что электропоезд имеет длину l. Тогда скорость поезда v с одной стороны равна hello_html_71074e42.gif м/с, а с другой стороны v =hello_html_m4f510864.gif. Составим уравнение: hello_html_m4f510864.gif=hello_html_71074e42.gif. Из полученного уравнения находим длину электропоезда l = 75 м и его скорость v = 15 м/с (54 км/ч).

Ответ: 75 м; 15 м/с.

Задача 8. Расстояние между домами Винни-Пуха и Пятачка 1 км. Однажды Винни-Пух и Пятачок одновременно вышли из дома Винни-Пуха и пошли к дому Пятачка. Пятачок за 1 минуту проходит 75 м, а Винни-Пух – 50 м. Пятачок дошёл до своего дома, повернул назад, встретил Винни-Пуха, повернул и опять пошёл к своему дому – так он и ходил туда и обратно до тех пор, пока Винни-Пух дошёл до дома Пятачка. Какой путь за всё время прошёл Пятачок?

Решение. Заметим, что время движения неторопливого Винни-Пуха и бегающего туда-сюда Пятачка одинаковое. После осознания этого задача решается совсем легко. 1 способ. Найдём время, за которое пришёл Винни-Пух t =hello_html_b9d3d01.gif = 20 мин. Путь, который пройдёт за это время Пятачок, составляет SПят = 75∙20 =1500 м = 1,5 км.

2 способ. Так как Винни-Пух и Пятачок двигались одно и то же время с постоянными скоростями, и скорость Пятачка по условию задачи в 1,5 раза больше, то и путь он пройдет в 1,5 раза больше, то есть 1,5 км.

Ответ: 1,5 км.

Задача 9. Два туриста пошли одновременно из А в В. Первый турист половину времени, затраченного на весь путь, шёл со скоростью 5 км/ч, а остальную часть времени шёл со скоростью 4 км/ч. Второй турист первую половину пути шёл со скоростью 5 км/ч, а вторую – со скоростью 4 км/ч. Кто из них раньше прибудет в В ?

Решение. Если длина путиа км и первый турист прошёл его за х ч, то 5hello_html_e43e43f.gif+ 4hello_html_e43e43f.gif= а,

откуда х =hello_html_6d8d9074.gif. Второй турист этот путь прошёл за hello_html_m35dae76e.gif: 5 +hello_html_1815b726.gif: 4 =hello_html_m69b3f151.gif.

Сравним hello_html_6d8d9074.gif и hello_html_m69b3f151.gif. hello_html_6d8d9074.gif = hello_html_m27ac267d.gif и hello_html_m69b3f151.gif= hello_html_77072621.gif. Так как hello_html_m27ac267d.gif<hello_html_77072621.gif, то первый турист затратил на весь путь времени меньше, чем второй, а это значит, что он прибудет вВ раньше, чем второй.

Ответ: Первый турист прибудет раньше.


  • Решая задачи на движение, иногда удобно точку отсчета, относительно которой рассматривается движение привязывать не к земле, а к одному из движущихся объектов. Рассмотрим следующие задачи.

Задачи 10. Папа и сын плывут в лодке по течению. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Через 30 минут папа заметил пропажу, развернул лодку и поплыл навстречу шляпе. Через сколько минут они встретят шляпу?

Решение. Если рассматривать это движение относительно шляпы в воде, то на вопрос этой задачи можно ответить сразу – через 30 минут после того, как папа заметил пропажу шляпы, так как папа с сыном относительно шляпы движутся с одной и той же скоростью в обе стороны – с собственной скоростью лодки.

Ответ: Через 30 мин.

Задача 11. Крокодил плывёт против течения реки и встречает плывущую по течению пустую лодку. Продолжая плыть против течения ещё t минут после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в s метрах от места встречи. Найти скорость течения реки.

Решение. Заметим, что время, затраченное крокодилом после поворота назад до того момента, как он догнал лодку, тоже t минут. Т.е. с момента встречи с крокодилом лодка проплыла S метров за 2t минут. Таким образом, скорость течения реки (равную скорости плывущей пустой лодки) можно найти, разделив S на 2t. vтечения = hello_html_m2e696b4f.gif.

Ответ:hello_html_m2e696b4f.gif.

Задача 12. От пристаниА одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся вА через 14 часов. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.

Решение.

1 способ. Попробуйте решить эту задачу стандартным способом, составив систему уравнений, обозначив х (км/ч) – скорость катера в стоячей воде, у (км/ч) – скорость течения.


v (км/ч)

T(час)

S(км)

Катер по течению реки

х + у

hello_html_9a1c91d.gif

96

Катер против течения реки

х - у

hello_html_m1489062c.gif

96

Плот до встречи

у

hello_html_m4072b535.gif

24

Катер до встречи

(против течения реки)

х - у

hello_html_59310ca.gif

72

После несложных рассуждений получается следующая система уравнений.

hello_html_m2104a8b6.gif;

hello_html_44a2dc9b.gif,


Решив эту систему, получим ответ задачи. Найдем, что скорость катера в стоячей воде х = 14, а скорость течения реки у = 2.

2 способ. Рекомендуется проделать все необходимые преобразования и вычисления, чтобы прочувствовать преимущества арифметического метода.

Если катер удаляется от плота или приближается к нему, то его скорость относительно плота, как уже рассматривалось ранее, равна скорости катера в стоячей воде, меняется лишь направление этой скорости. Следовательно, катер удаляется от плота за то же время, что и приближается к нему, т.е. путь 96 км отА до В пройден за то же время, что и 72 км от В до встречи с плотом. Значит, скорости катера по течению и против течения относятся как 96 : 72 = 4 : 3. Время на путь отА до В и обратно равно 14 ч. Это время надо разделить на части пропорционально 3: 4, чтобы узнать время туда и обратно. Имеем: от А до В катер шёл 6 ч, обратно – 8 ч. Скорость по течению равна 96 : 6 = 16 (км/ч), против – 12 км/ч. Скорость течения 0,5(16 – 12) = 2 (км/ч), скорость катера в стоячей воде 14 км/ч.

Ответ.14 км/ч; 2 км/ч.

Так как путь – это длина траектории движения, то некоторые задачи на движение могут быть связаны с длиной какого-то геометрического объекта. Например, движение по периметру геометрической фигуры или по окружности.

Задача 13.Карлсон полетел к Малышу, чтобы взять баночку варенья к чаю. Сначала он пролетел 6 км на север, потом повернул и пролетел еще 8 км на восток. Он планировал лететь со скоростью 32 км/ч, но, в этот день дул сильный северный ветер и первые 6 км Карлсон пролетел всего за 10 минут. Взяв большую банку варенья, он полетел домой по прямой линии и вернулся за такое же время, за которое прилетел к Малышу. Какова средняя скорость Карлсона на всем пути туда и обратно?

Решение. К Малышу Карлсон пролетел 6 км за 10 минут и 8 км со скоростью 32 км/ч, то есть, за 15 минут (hello_html_1e5388d1.gifчаса) . На дорогу к Малышу он потратил 25 минут. Домой он полетел по прямой, то есть, по диагонали прямоугольного треугольника со сторонами 6 км и 8 км. Диагональ равна 10 км, значит скорость полета назад равна 10 :hello_html_25c6bf40.gif= 24 (км/ч).

Найдем среднюю скорость: vср = hello_html_m2b5dd8e0.gif= 28,8 (км/ч).

Ответ. 28,8 км/ч.

Задача 14. Скорость моторки при движении по реке против течения составляет 3/7 скорости моторки по течению. На сколько % скорость течения меньше скорости моторки в стоячей воде?

Решение.х (км/ч) – скорость моторки в стоячей воде

y (км/ч) – скорость течения реки

x+y (км/ч) – скорость моторки по течению

x-y(км/ч) – скорость моторки против течения

составим уравнение: x-y = 3/7 (x+y);

7x-3x=3y+7y;

x=2,5y

Пусть скорость лодки в стоячей воде 100%, тогда скорость течения реки:

100:2,5 = 40%; 100%-40%= 60%

Ответ:60%.


Задача 15. Женя ехал на велосипеде на восток со скоростью 8км/ч и проехал пересечение дорог в 11:00. Через некоторое время этот же перекрёсток в направлении на север проехал на мопеде Вася. Определите через сколько минут после Жени проехал перекрёсток Вася, если в 15:30 расстояние между ними составило 39км, а в 16:30 – 55км.

Решение.

Север Таблица для Жени


T (ч)

V (км/ч)

S (км)

АД

4,5

8

36

АВ

5,5

8

44


К



Таблица для Васи


T (ч)

V (км/ч)

S (км)

АК

4,5-х

y

y(4,5-x)

АС

5,5-х

y

y(5,5-x)

Восток Д А





Треугольники АВС и АДК прямоугольные. Применим теорему Пифагора:


362 +y2(4,5 –x)2 =392

442+y2(5,5 –x)2=552

После преобразований получим следующую систему:

y(4,5-x)=15

y(5,5-x)=33

В результате получим х=22/6 или 220/60 часа или 220 минут

Ответ. 220минут


Задача 16. Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми 88км. Возвращаясь из Вв А он ехал сначала с той же скоростью, но через 1 час пути он был вынужден сделать остановку на 15 минут. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч. В результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найти скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение.составим таблицу


V(км/ч)

T(ч)

S(км)

Из А в В

х

88/х

88

Из Вв А (1участок пути)

х

1

х

Из Вв А

(2 участок пути)

х+2

88/х -1- 1/4

(х+2)(88/х-5/4)


Составим уравнение: х+(х+2)(88/х-5/4)=88;

После преобразований получим уравнение: х2+10х-704=0

Получим: х=22

Ответ. 22км/ч


Задача 17.Теплоход отошёл от пристани одновременно с плотом и прошёл вниз по реке 42км. Сделав остановку на 1 час он двинулся обратно вверх по реке. Пройдя 12км он встретился с плотом. Во сколько раз собственная скорость теплохода больше скорости течения реки, если скорость течения реки 4 км/ч?

Решение. Составим таблицу


S(км)

V (км/ч)

T(ч)

Теплоход по течению

42

х+4

42/х+4

Теплоход против течения

12

х-4

12/х-4

Плот

42-12=30

4

30/4

Составим уравнение: 1+42/(х+4) + 12/(х-4) =30/4

После преобразований приходим к уравнению: 6,5х2-54х+16=0, откуда х=8(км/ч) собственная скорость теплохода; 8:4=2 раза

Ответ. 2 раза



Задачи на движение по замкнутой трассе:

При решении таких задач рассмотрим два условия:

Движение двух точек по окружности длины s в одном направлении при одновременном старте со скоростями v1 и v2, причем v1 > v2, то ответим на вопрос: через какое время первая точка будет опережать вторую ровно на один круг? Считая, что вторая точка покоится, а первая приближается к ней со скоростью v1 - v2, получим, что условие задачи будет выполнено, когда первая точка поравняется в первый раз со второй, при этом первая точка пройдет расстояние, равное длине одного круга, и искомая формула hello_html_5d910d8c.gif

А если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v1 и v2, причем v1 > v2, то первая точка приближается ко второй со скоростью v1 - v2 и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.

Задача из открытого банка данных ЕГЭ:

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть скорость велосипедиста х (м/мин), а мотоциклиста – у (м/мин), тогда за 10+30=40 минут велосипедист проедет 40х метров. hello_html_b52cb47.gif(первая встреча). А еще через 30 минут мотоциклист догнал велосипедиста во второй раз hello_html_13725157.gif Решая систему уравнений, получаем, что скорость мотоциклиста равна 80 (км/ч).

Ответ: 80.

Задачи на движение протяженных тел:

При решении таких задач требуется определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация: определение длины поезда, проезжающего мимо столба или протяженной платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба – расстояние, равное длине поезда, во втором случае – расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.

Задача из открытого банка данных ЕГЭ:

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение:

Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью х(м/мин), равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Тогда за 12 минут второй сухогруз проходит расстояние

L=400+80+120+600=1200 (м). Поэтому х=1200/12=100 (м/мин), то есть 6 (км/час).

hello_html_m62a00377.gifОтвет: 6.


Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.


Решение этих задач традиционно является слабым звеном в подготовке школьников к сдаче экзаменов. Ключевой идеей при решении таких задач является отслеживание изменений, происходящих с «чистым» веществом.

Формула концентрации:

hello_html_5ca3f702.gifГде a, b – количество литров в двух растворах, а n и m – процентное содержание водного раствора, к – концентрация получившейся смеси.

Рассмотрим задачу:

Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Используя формулу концентрации получившегося раствора, hello_html_m17565177.gif получим hello_html_319c9f80.gif

Ответ: 21.

А теперь рассмотрим решение задачи с помощью метода «стаканов».

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Х

30%

10

0%

Х+у+10

36%

У

60%


+ + =


Х

30%

10

50%

Х+у+10

41%

У

60%


+ + =




Составим систему уравнений:

30х+60у+10*0=(х+у+10)*36,

30х+60у+10*50=(х+у+10)*41.

Решая ее, получаем х=60, у=30.

Ответ: 60.

Задачи на сложный процент:


При решении таких задач можно использовать следующую формулу:

hello_html_m3f592b4b.gif, где В – конечная величина, А – начальная величина, hello_html_6e8e4c54.gif- процент изменения ( в десятичной дроби), n – количество периодов, «+» - повышение, «-» - снижение.

Рассмотрим следующую задачу:

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Решение:

В=15842 руб, А= 20000 руб, n=2.

Воспользуемся формулой hello_html_m3f592b4b.gif, получим:

hello_html_15570559.gif. hello_html_6e8e4c54.gif= 11(%).

Ответ: 11.

Задачи на совместную работу

Рассмотрим еще один тип задач - задачи на совместную работу. В таких задачах, обычно, какую либо работу выполняют несколько человек или механизмов, работающих с постоянной для каждого из них производительностью. Правила решения задач на работу очень просты. Сначала желательно рассмотреть алгоритм решения задачи (например, при помощи таблицы).


A http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/18/17288/17288_html_m6ac73bb7.pngp http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/18/17288/17288_html_m742c89e.pngt, то есть работа http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/18/17288/17288_html_m6ac73bb7.pngпроизводительность http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/18/17288/17288_html_m742c89e.pngвремя.

Из этой формулы легко найти t или p.


При решении таких задач возможны два случая:
1) Объем выполненной работы известен, т.е. если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.
2) Объем выполненной работы неизвестен, т.е. если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна).

В таких задачах объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р – производительность труда, то есть объем работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением

1 http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/18/17288/17288_html_m6ac73bb7.pngp http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/18/17288/17288_html_m742c89e.pngt

Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа.

Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим,

у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.

Тогда 1/ х производительность труда первого рабочего,

1/ у – производительность труда второго рабочего.

1/ (х +у) – совместная производительность труда.

(х +у) – время, за которое они выполнят задание, работая вместе

В городе имеются три завода по выпуску рыбных консервов. Первый завод может переработать 50 тонн рыбы за трое суток, второй – 45 тонн за двое суток, а третий – 95 тонн за шесть суток. Определите минимальное время, за которое на этих заводах можно переработать 110 тонн рыбы.

Решение:

Image1790

 110 : 55 = 2 сут.

Ответ: 2 суток.

Первый наборщик текста набирает за час 5 страниц текста, второй – 6 страниц, а третий – 7 страниц. Определите, по сколько страниц текста нужно отдать для набора каждому из них, если требуется, чтобы весь текст, объем которого 216 страниц, был набран как можно быстрее.

Решение:

5 + 6 + 7 = 18 частей всего

216 : 18 = 12 страниц 1 часть

12 · 5 = 60 стр.

12 · 6 = 72 стр.

12 · 7 = 84 стр.

Ответ: 60, 72, 84 страницы.

Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 часа. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем вторая?

Решение:

Image1791

Ответ: 3 часа.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе была изучена методика работы над текстовыми задачами: понятие и виды задач, способы их решения, общие вопросы методики обучения решению задач, разработана система задач по развитию навыка решения текстовых задач в рамках системы ЕГЭ. Умение решать текстовые задачи является одним из показателей уровня математического развития.

Надеюсь, знания всех способов решения помогут успешно сдать ЕГЭ.


Краткое описание документа:

«Текстовые задачи и систематизация методов их решения»

Введение

           Анализ результатов проведения итоговой аттестации по математике в новой форме позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела математики.
           Данная работа рассчитана в первую очередь на учащихся,  желающих расширить и углубить свои знания по математике и качественно подготовиться к экзаменам. Она поможет школьникам систематизировать полученные на уроках знания по решению текстовых задач и ознакомиться с методами их решения, на которые мало уделяется внимания в рамках школьной программы из-за ограниченного количества часов на данную тему. 

 Способы решения текстовых задач.

               Общепризнанно, что для выработки у учащихся умения решать задачи, важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности, и решение её различными способами.

               Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче.

Возможность решения некоторых задач разными способами основана на различных свойствах действий или вытекающих из них правил.

               При решении задач различными способами ученик привлекает дополнительную информацию, поскольку он непроизвольно выполняет в большем числе выборы суждений, хода мысли из нескольких возможных; рассматривается один и тот же вопрос с разных точек зрения. При этом полнее используется активность учащихся, прочнее и сознательнее запоминается материал. Как правило, различными способами решается  те из задач, где этого требует вопрос, поэтому такая работа носит эпизодический характер.

               В качестве основных в математике различают арифметический и алгебраический способы решения задач. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами.

               Арифметические способы решения задач отличаются друг от друга одним или несколькими действиями или количеством действий, также отношениями между данными, данными и искомым, данными и неизвестным, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий.

               При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения.

               В зависимости от выбора неизвестного для обозначения буквой, от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических решениях этой задачи.

               Опираясь только на чертёж, легко можно дать ответ на вопрос задачи. Такой способ решения называется графическим.

               До настоящего времени вопрос о графическом способе решения арифметических задач не нашёл должного применения в школьной практике.

Графический способ даёт возможность более тесно установить связь между арифметическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление детей.

              

Этапы решения задач.

Решение текстовых задач – это сложная деятельность, содержание которой зависит как от конкретной задачи, так и от умений решающего. Тем не менее, в ней можно выделить несколько этапов:

1.   Ознакомление с содержанием задачи;

2.   Поиск решения задачи;

3.   Выполнение решения задачи;

4.   Проверка решения задачи.

 

1. Задачи на движение:

  • Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку);
  • Задачи на движение по замкнутой трассе;
  • Задачи на движение по воде;
  • Задачи на среднюю скорость;
  • Задачи на движение протяженных тел;

2. Задачи производительность;

3. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии;

4. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы;

5. Задачи на проценты, части и доли;

6. Задачи на бассейны и трубы.

Ценность задач состоит в демонстрации их общности с точки зрения исследования  и анализа реальных процессов средствами математики.

          Решение задач состоит в построении математической модели по текстовому описанию конкретной ситуации и в применении этой модели для отыскания одной или нескольких величин, имеющих конкретный содержательный смысл. Как правило, математическая модель имеет форму алгебраического уравнения или системы уравнений, которая строится на основе содержательной интерпретации понятий и условий, характеризующих ситуацию в тексте задачи. Решение построенной модели обычно требует учета содержательного смысла используемых величин. Наконец, самому полученному решению модели должна быть дана содержательная интерпретация.

Учащиеся, как правило, испытывают трудности при решении задач, так как их систематическое решение заканчивается вместе с изучением курса  математики 9-го класса. В курсе математики текстовые задачи представлены периодически, и они систематизированы по видам составляемых уравнений, а не по содержательной интерпретации. Кроме того, математическая формализация условий конкретных ситуаций предусматривает использование понятий и закономерностей, либо изучаемых вне математики, либо вытекающих из опыта практической жизни или здравого смысла.

Мы остановимся на рассмотрении  некоторых задач на движение, арифметическую и геометрическую прогрессии, концентрацию, смеси, сплавы и сложный процент.

  Способы решения текстовых задач

 При решении задач на равномерное движение по прямой принимаются обычно следующие допущения:

1. Движение на отдельных участках считается равномерным, а пройденный путь Sопределяется по формуле S = vt, где t - время,  v – скорость.

2. Скорость всегда считается величиной положительной.

3. Повороты движущихся тел принимаются мгновенными, то есть, происходят без затрат времени; скорость при этом тоже меняется мгновенно.

4. При движении на воде:

·         Скорость тела, движущегося по течению реки, равна сумме собственной скорости тела (скорость в стоячей воде) и скорости течения реки. 

·         Скорость тела, движущегося против течения реки, равна разности собственной скорости тела и скорости течения реки.

·         Если в условии задачи речь идет о движении плотов, то этим хотят сказать, что тело (плот) движется со скоростью течения реки (собственная скорость плота равна нулю).

·         Разность  между скоростью тела по течению и против течения реки равна удвоенной скорости течения реки.

Если x – собственная скорость тела (при любой размерности), v– скорость течения реки (при той же размерности), то (x + v)– скорость тела по течению, (x - v)– скорость против течения. Тогда разность между скоростью тела по течению и против течения:

(x + v) – (x - v) = x + vx + v = 2v.

 

Задача 1.Теплоход проходит расстояние между пристанями В и С по течению за 6 часов, а обратно против течения – за 8 часов. Сколько времени понадобится плоту, чтобы проплыть расстояние от В до С.

Решение.Обозначим расстояние от В до С за S км. Тогда скорость по течению - км/ч, а скорость против течения - км/ч. Разность между скоростью теплохода по течению и против течения равна удвоенной скорости течения реки, то есть,  2Vт = -=.

Скорость течения Vт = S (км/час) и равна скорости движения плота, следовательно, время движения плота 48 часов.

Ответ: 48 часов.

   


В задачах на движение иногда объект движется с разной скоростью на разных участках пути,  и требуется найти среднюю скорость движения.

 

Пусть  объект прошел расстояние S1 за время t1и расстояние S2 за время t2 , тогда средняя скорость движения объекта на всем пути вычисляется по формуле:

Vcр=

Обратите внимание, что при нахождении средней скорости движения в задачах, где известны расстояния и скорости на каждом участке пути (S1, S2 иv1,v2), учащиеся часто делают ошибку, находя среднюю скорость как vcр= . На самом деле, средняя скорость движения находится по формуле: vcр=.

Если отрезков пути не два, а более, то средняя скорость находится аналогично.

 

Задача 2. Автомобиль из А в В ехал со скоростью 50 км/ч, а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч. Какова его средняя скорость на всем пути?

Решение. Примем расстояние отА до В за S. Поскольку автомобиль шёл изА в В и обратно, то Sобщ = 2S, а tобщ = tAB + tBA.

tAB =ч,  а tBА =ч,  то есть,  tобщ= ч.

Тогда vср = 2S : = 37,5 (км/ч).

Ответ: 37,5 км/ч.

 

Далее рассмотрим возможные варианты движения двух тел (вышедших из одной точки, из разных точек; движущихся в одном направлении, противоположных, друг за другом).

 

1.  Движение навстречу друг другу.

Если два тела движутся навстречу друг другу, то скорость «их сближения» равна сумме скоростей данных тел.

Если первоначальное расстояние между двумя телами, движущимися навстречу друг другу со скоростями  v1 и v2, равно S, то время, через которое они встретятся, равно:

t = S : (v1 + v2).

         2.  Движение в противоположные стороны.

Если два тела движутся в противоположные стороны, то скорость «их удаления друг от друга»  равна сумме скоростей данных тел.

Расстояние между двумя телами, движущимися в противоположные стороны со скоростями  v1 и v2, через время t равно

S = S0 + (v1 + v2)×t,

где S0 – первоначальное расстояние между ними. S0 = 0, если движение тел начинается из одной точки.

3.  Движение в одном направлении.

Если два тела, находящиеся перед началом движения на расстоянии S друг от друга, движутся в одном направлении со скоростями v1 и v2, где v2>v1, то возможны два случая.

1. Тело с большей скоростью догоняет тело с меньшей скоростью. В этом случае «скорость сближения» равна разности скоростей (v2–v1),  авремя, через которое второе тело догонит первое, равно:

t =S:(v2 – v1).

 

2. Тело с большей скоростью «убегает» от тела с меньшей скоростью. В этом случае «скорость удаления» также равна разности скоростей (v2–v1), а расстояние, которое будет между телами через время t, равно:                                                         

S1 = S + (v2 – v1)×t

 

Задача 3. Две пчелы одновременно взлетели с одного и того же цветка и разлетелись в противоположных направлениях. Скорость первой пчелы 18 км/ч, что в 1,2 раза меньше, чем скорость второй пчелы. Через 9 секунд они сели на ромашки, растущие на противоположных сторонах лужайки. Каково расстояние  между ромашками?

Решение.  Переведем скорость первой пчелы в м/с: 18 км/ч = 5 м/с. Скорость второй пчелы – 5×1,2 = 6 (м/с). Скорость «удаления пчел друг от друга» равна 11 м/с. Значит, расстояние между ромашками – 99 м.

Ответ: 99 м.

 

Задача 4. Из города выехал грузовик со скоростью 60 км/ч. Через 2 часа вдогонку выехал мотоциклист. В некоторый момент времени расстояние между ними было 80 км. Если бы скорость мотоциклиста была враза больше, чем в действительности, то это расстояние оказалось бы в четыре раза меньше. Найти скорость мотоциклиста.

Решение.

Обратим внимание на то, что мотоциклист на 80 км не догоняет грузовик (ситуация, в которой мотоциклист сразу перегоняет грузовик на 80 км, не может быть – в этом случае при увеличении скорости мотоциклиста враза, расстояние между ними не может уменьшиться). При этом возможны два случая по условию задачи: мотоциклист при увеличении скорости враза может не догнать грузовик, и мотоциклист может перегнать грузовик.

Составим таблицу:

 

 

Скорость (км/ч)

Время

Расстояние

Грузовик

60

t + 2

60(t + 2)

Мотоциклист

(с первой скоростью)

v

t

v t

Мотоциклист

(со второй скоростью)

v

t

v t

 Составим систему уравнений для первого случая (мотоциклист не догоняет грузовик и после увеличения скорости):

60(t + 2)= vt + 80,

60(t + 2)= vt + .

Решаем эту систему.

Выразим vt из первого уравнения: vt = 60(t + 2) – 80 = 60t + 40.

Подставим vt во второе уравнение: 60(t+ 2)=  (60t + 40) +. Отсюда t =.

Тогда из первого уравнения находим v = 72.

Составим систему уравнений для второго случая (мотоциклист перегоняет грузовик после увеличения скорости):

60(t + 2)= vt + 80,

60(t + 2) = vt - .

Решая эту систему,  получим t = 6, v =.

Ответ: 1) 72 км/ч;    2)   км/ч.

Задача 5. Два грузовика ехали по асфальтированной дороге со скоростью 80 км/ч, сохраняя дистанцию 24 м. Свернув на проселочную дорогу, каждый из них резко снизил скорость, и дистанция между ними стала равной 15 м.

С какой скоростью поехали грузовики по проселочной дороге?

(A) 70 км/ч      (Б) 65 км/ч      (В) 60 км/ч      (Г) 55 км/ч      (Д) 50 км/ч

 

Решение. В момент, когда первый грузовик свернет на проселочную дорогу, ситуация изменится. Первый грузовик пройдет по проселочной дороге 15 м с неизвестной скоростью за то же время, за которое второй пройдет по асфальтированной дороге 24 м со скоростью 80 км/ч.

Отношение пройденных расстояний равно отношению скоростей.

Составим пропорцию = . Отсюда х = 50.

Ответ: (Д) 50 км/ч.

 

Еще один вид движения – движение с ускорением.

Считается, что движение может быть равноускоренным (ускорение а> 0) или равнозамедленным (ускорение а< 0). При решении таких задач используются следующие формулы, связывающие пройденное расстояние S, время t, скорость v, ускорение а, начальное время t0и начальную скорость v0 = v(t0):

S = v0t + ,                                   а =

Задача 6. Винтик и Шпунтик выехали навстречу друг другу из разных гаражей, расстояние между которыми 390 метров. Винтик проехал в первую секунду 6 м, а в каждую последующую проезжал на 6 м больше, чем в предыдущую. Шпунтик выехал через 5 секунд после Винтика и ехал равномерно со скоростью 12 м/с. Сколько времени ехал Винтик до встречи со Шпунтиком?

Решение. Очевидно, что Винтик двигался равноускоренно. Начальная скорость v0 и ускорение неизвестны. Из формулы S = v0t +  при t =1с получаем 6 = v0  +  (за первую секунду Винтик проехал 6 метров). При  t = 2с получаем 18 = 2v0  +  (6 метров за первую секунду и 12 метров за вторую проехал Винтик). Отсюда v0 =3 м/с,  а= 6 м/с2. Тогда расстояние, пройденное Винтиком за время t, определяется по формуле:

                                                                               S = 3 t + .

Пусть Винтик и Шпунтик встретятся в момент t0. Винтик проедет расстояние, равное

S1 = 3 t0 + , аШпунтикS2 = 12 (t0 – 5). По условию S1 + S2 = 390. Получаем квадратное уравнение: 3 t0 + + 12 (t0 – 5) = 390. Корни уравнения: -15 и 10. Уравнение имеет один положительный корень: t0 = 10.

Ответ: 10 секунд.

 

   


Задача 7.Электропоезд проехал мимо светофора за 5 секунд, а мимо платформы длиной 150 м за 15 секунд. Какова длина электропоезда и его скорость?

 

Решение. В данной задаче следует учесть, что электропоезд имеет длину l.     Тогда скорость поезда v с одной стороны равна  м/с, а с другой стороны v =. Составим уравнение: =.  Из  полученного  уравнения  находим длину электропоезда l  = 75 м  и  его скорость v = 15 м/с (54 км/ч).

Ответ: 75 м; 15 м/с.

Задача 8. Расстояние между домами Винни-Пуха и Пятачка 1 км. Однажды Винни-Пух и Пятачок одновременно вышли из дома Винни-Пуха и пошли к дому Пятачка. Пятачок за 1 минуту проходит 75 м, а Винни-Пух – 50 м. Пятачок дошёл до своего дома, повернул назад, встретил Винни-Пуха, повернул и опять пошёл к своему дому – так он и ходил туда и обра

Автор
Дата добавления 31.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2007
Номер материала 353285
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх