Тема: Функции, свойства и их графики. (11 кл.)

• 1 слайд

  при k > 0
  D(f) = (-∞,0)U(0, +∞);
  Е(f) = (-∞,0)U(0,+∞);
  четная
  убывает на луче (-∞,0) и на
  луче (0,+∞);
  нет ни наименьшего, ни
  наибольшего значений;
  непрерывна на луче (-∞,0) и
  на луче (0,+∞);
  выпукла вверх при х < 0 и
  выпукла вниз при х > 0;
  ограничена ни сверху при х < 0,
  ограничена снизу при х > 0;
  с осями координат не пересекается.
  Свойства функции
  

• 2 слайд

  при k < 0
  D(f) = (-∞,0)U(0, +∞);
  Е(f) = (-∞,0)U(0,+∞);
  четная
  возрастает на луче (-∞,0) и на
  луче (0,+∞);
  нет ни наименьшего, ни
  наибольшего значений;
  непрерывна на луче (-∞,0) и
  на луче (0,+∞);
  выпукла вверх при х > 0 и
  выпукла вниз при х < 0;
  ограничена ни сверху при х >0,
  ограничена снизу при х < 0;
  с осями координат не пересекается.
  Свойства функции
  

• 1 слайд

  Функция
  D(f) = [0,+∞);
  Е(f) = [0, +∞);
  ни четная, ни нечетная;
  возрастает на всей области определения;
  непрерывна;
  ограничена снизу;
  унаим = 0, унаиб = не существует;
  у = 0 при х = 0;
  выпукла вверх.
  
  
  Свойства функции
  y
  x
  

• 1 слайд

  Функция у = |х|
  D(f) = (-∞,+∞);
  Е(f) = [0, +∞);
  четная;
  убывает на луче (-∞,0], возрастает на луче [0, +∞);
  непрерывна;
  ограничена снизу, не ограничена сверху;
  унаим = 0, унаиб = не существует;
  у = 0 при х = 0;
  можно считать выпуклой вниз.
  
  
  
  
  

• 1 слайд

  Функция у = ах2 + bх + с
  при а > 0
  
  D(f) = (-∞, +∞);
  Е(f) = [у0 ; +∞)
  убывает на луче ,
  
  возрастает на луче ;
  ограничена снизу;
  унаим = у0, унаиб не существует;
  непрерывна;
  выпукла вниз;
  
  
  
  
  

• 2 слайд

  Функция у = ах2 + bх + с
  при а < 0
  
  D(f) = (-∞, +∞);
  Е(f) = (-∞; у0 ]
  убывает на луче ,
  
  возрастает на луче ;
  ограничена сверху;
  унаим не существует, унаиб = у0;
  непрерывна;
  выпукла вверх.
  

• 1 слайд

  График какой функции изображен на рисунке?
  Проверь себя
  

• 2 слайд

  ПРАВИЛЬНО! МОЛОДЕЦ!
  

• 3 слайд

  Неверно! Придется прочитать
  правила еще раз …
  

• 4 слайд

  А теперь немного посложнее
  График какой функции изображен на рисунке?
  

СЦЕНАРИЙ УРОКА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ

“ФУНКЦИИ, СВОЙСТВА И ИХ ГРАФИКИ”

УЧИТЕЛЯ КИРБИНСКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

ГАБДРАХМАНОВОЙ ФАНЗИИ МУДИРОВНЫ

КИРБИ  -  2013

Тема: Функции, свойства и их графики

Цели урока:

• обобщить и систематизировать методы построения графиков функций;
• развитие логического мышления, познавательного интереса, творческой активности;
• отрабатывать навыки построения графиков функций, содержащих модуль;
• способствовать индивидуализации и дифференциации обучения с помощью применения информационно-коммуникационных технологий на уроках;
• воспитание взаимопомощи, культуры общения, способствующей созданию благоприятного психологического климата, направленного на личностно-ориентированный подход к обучению и воспитанию.

Тип урока: комплексное применение знаний и умений.

Используемые технологии: информационно-коммуникационные, проектная деятель-
                                                   ность,  разноуровневое обучение.

Формы организации познавательной деятельности:

• общеклассная,
• индивидуальная,
• групповая.

Дидактический материал: CD-RОМ. Практикум. «Математика 5–11. Учебное электронное издание».

Оборудование: мультимедиа-проектор, компьютеры, экран.

Ход урока.

I.                  Организационный момент. Сообщение темы и цели урока
                                                                                 (Приложение 1, слайды 1-2)

   Учитель знакомит учащихся с содержанием компьютерной программы «Математика 5 – 11. Учебное электронное издание. Новые возможности для усвоения курса математики. Дрофа», правилами работы с ней, критериями оценок и основными разделами.

Раздел I. Основные сведения

   Очень сжатое напоминание теории, необходимой для работы по этой теме (определения, правила, формулы, теоремы). Представляются в виде короткого гипертекстового элемента.

Раздел II. Инструментарий

   Представляет собой обзор тех инструментов соответствующей лаборатории, которые будут использованы в лабораторном практикуме. Сопровождается мультимедийными демонстрациями, часть из которых приводится в данной версии. Каждая демонстрация при воспроизведении сопровождается пояснениями.

Раздел III. Упражнения

   Система задач для выполнения в рамках лабораторий или устного решения. После нажатия на желтую кнопку со стрелкой перед учеником открывается соответствующая данной задаче лаборатория (если она предусмотрена) и окно с задачей.

Раздел IV. Результаты

   Ученик в любой момент может ознакомиться с личными достижениями при изучении темы с помощью таблицы «Результаты», куда выводится номер задачи, результат ее решения («колобок»), число сделанных попыток и общее время, затраченное на ее решение.

   После решения любой задачи ученик нажимает на кнопку «Готово» и получает на рабочей линейке «колобка» с одним из трех выражений:

– задача решена верно;
– задача решена неверно;
– задача ждет проверки учителем.

Критерии оценок:

• “5” – за 10–11 правильно выполненных заданий;
• “4” – за 8­– ­9 правильно выполненных заданий;
• “3” – за 6–7 правильно выполненных заданий;
• “2” – за 1–5 правильно выполненных заданий.

II. Актуализация опорных знаний и умений

 Учитель предлагает учащимся повторить виды преобразования графиков функций с использованием раздела I «Основные сведения» и слайдов (Приложение 2, слайды 1-17)

III. Формирование новых  знаний

   Урок построен в виде презентации мини-проектов. Учащиеся были предварительно разбиты на группы по два человека, которые изучали построение графиков функций и уравнений, содержащих переменную под знаком модуля в свете ранее изученных функций: 7 класс – линейная функция, 8 – 9 классы – квадратичная функция, 10 класс – тригонометрические функции, 11 класс – логарифмическая функция. В ходе презентации один участник пары (теоретик) рассказывает о преобразованиях графиков, а другой (практик) показывает соответствующие преобразования на экране монитора.

Учащиеся демонстрируют свои презентации.

I-я пара рассматривает линейную функцию y = x – 2 (Приложение 3, слайды 1-2)

Задача 1. Построить график функции y = | x – 2 |

Задача 2. Построить график функции y = | x | – 2

Задача 3. Построить график уравнения | y | = x – 2

II-я пара рассматривает квадратичную функцию y = x²– 2х – 3  
                                                                                                        (Приложение 4, слайды 1-2)

Задача 1. Построить график функции y = | x² – 2х – 3 |

Задача 2. Построить график функции y = | x² | – 2 | х | - 3

Задача 3. Построить график уравнения | y | = x² – 2х – 3

III-я пара рассматривает тригонометрическую функцию y = sin х
                                                                                                        (Приложение 5, слайды 1-2)

Задача 1. Построить график функции y = | sin х. |

Задача 2. Построить график функции y = sin | х |

Задача 3. Построить график уравнения | y | = sin х

 

 

 

IV. Формирование умений и навыков

1)Практическая работа, с использованием учебного электронного издания.

   Работа с компьютерной программой.

1. Учитель формулирует правила регистрации в электронном классном журнале.

2. Учитель объясняет учащимся, как правильно выбрать в оглавлении тему данного урока.

3. Учитель предлагает учащимся самостоятельно зарегистрироваться в журнале, выбрать
    тему урока и выполнить на компьютере серию заданий по следующим блокам.

   Первый блок (Уровень 1) работы с программой заключается в выборе учащимися пре -
  образований, позволяющих из графика функции y = f(x) получить график некоторой дру-
  гой функции, содержащих модуль (задачи № 1 –   2).

Упражнения

№ 1. Как получается график функции y = | x2 –  4 | из графика функции y = x2? Укажите          соответствующие геометрические преобразования.

№ 2. Как получается график функции y = | – 2 cos(4| x |)|2 из графика функции          y = cos(x)? Укажите соответствующие геометрические преобразования.

№ 3. Как получается график функции y = | tg(x) + 3 |из графика функции y = tg(x)?          Укажите соответствующие геометрические преобразования.

Физкультминутка для глаз.

   Второй блок (Уровень 2) работы с программой заключается в построении графиков
  функций, содержащих модуль, с использованием необходимых преобразований (задачи
  № 4 -8).

Упражнения

№ 4. Дан график функции y = sin (x). Постройте график функции y = 2| sin(x) | + a,          проходящий через точку (π;3) и укажите соответствующее значение a.

№ 5. Дан график функции . Постройте график функции . Отметьте          точки, принадлежащие построенному графику. а) (2; – 1);        в) (0; – 3); б) (3; 1);          г) (1; – 2).

№ 6. График функции отразили относительно оси OX а полученный график растянули          в 2 раза относительно оси OY.  График какой функции получили в результате этих          преобразований? Выберите правильный ответ. 1. y = 2 cos (x); 2. y = cos (2x); 3. y = – 2 cos (x); 4. .

№7. Дан график функции f(x) = sin(x). Постройте график функции .         Чему равно значение этой функции при  х = π?

№ 8. Используя график функции y = x2, а также подходящие преобразования             графиков, постройте график функции y = | – 2(x + 1)2 – 5 |. Отметьте те             преобразования, которые были использованы.

   К третьему блоку (Уровень 3) приступают лишь те учащиеся, которые успешно спра-     
   вились с выполнением заданий первого и второго блоков. Ученикам необходимо вос
   произвести алгоритмы, по которым строятся графики функций | y | = | f(x) |,
   y = | f (| x |) |.

Упражнения

№ 9. Построить график функции y = | x2 – 4 | x | + 3 |. Укажите соответствующие гео-          метрические преобразования.

№ 10. Построить график функции y = sin (x) + |sin (x) |. Выполните необходимые            геометрические преобразования.

№ 11. Построить график функции. Выполните необходимые алгебраические и            геометрические преобразования.

2) Тест.  Выполнение теста учащиеся осуществляют  по готовым графикам
                                                                                                        (приложение 6, слайды  1-4)

 

V. Итоги урока:

1) Что нового вы узнали сегодня на уроке?

2) Что еще вы хотите узнать?

3) Выставление оценок.

 а) учитель рекомендует учащимся обратиться к разделу «Результаты», где отражены ито-
     ги их деятельности, время и количество попыток, затраченных на выполнение каждого
     задания, проводит анализ всех работ, отмечает лучшие из них.

б) Учащиеся оценивают свою деятельность в соответствии с ранее установленными
     критериями и анализируют её результаты.

в) Учитель концентрирует внимание учащихся на рассмотренных методах построения
     графиков функций,  содержащих модуль,  намечает цели последующей деятельности и
     комментирует домашнее задание

VI. Домашнее задание.

Уровень 1.

      Построить графики функций и указать виды преобразований:

1. у = │x²+2х -3│;

2. у = │sin3x│

Уровень 2.

    1)  Повторить алгоритм построения графика функции   │у│=│f(х) │

 2)  Построить графики функций:

1) │у│=│х²-5│

2)  │у│=│sin2x│

Уровень 3

  Вам предлагается: график функции y = lnx

Построить графики:

1 . у = |lnx|

2. y = ln |x|

3. |y| = lnx

 

• 1 слайд

  Тема урока: Графики функций, связанных с модулью
  

• 2 слайд

  Основные этапы урока
  Повторение способов преобразований графиков функций
  Презентации учащихся
  Практическая работа на компьютере
  
  
  
  
  
  
  

• 1 слайд

  Параллельный перенос вдоль оси OY
  Параллельный перенос вдоль оси OX
  Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси OY
  Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси OX
  Симметричное отображение относительно оси OX
  Симметричное отображение относительно оси OY
  
  Способы преобразований
  графиков функций
  Построение графика
  Построение графика
  

• 2 слайд

  Параллельный перенос вдоль оси OY
  Для построения графика функции необходимо график функции перенести вдоль оси OY на вектор (0; а)
  

• 3 слайд

  π
  -π
  2π
  

• 4 слайд

  Параллельный перенос вдоль оси OХ
  Для построения графика функции необходимо график функции перенести вдоль оси OX на вектор (а; 0)
  

• 5 слайд

  π
  -π
  2π
  

• 6 слайд

  Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси OY
  Для построения графика функции необходимо график функции растянуть в k раз вдоль оси OY для k>1 или сжать в 1/k раз вдоль оси OY для k<1
  

• 7 слайд

  π
  -π
  2π
  

• 8 слайд

  Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси OX
  Для построения графика функции необходимо график функции сжать в k раз вдоль оси OX для k>1 или растянуть в 1/k раз вдоль оси OX для k<1
  

• 9 слайд

  π
  -π
  2π
  

• 10 слайд

  Симметричное отображение относительно оси OX
  Для построения графика функции необходимо график функции симметрично отобразить относительно оси OX
  

• 11 слайд

• 12 слайд

  Симметричное отображение относительно оси OY
  Для построения графика функции необходимо график функции симметрично отобразить относительно оси OY
  

• 13 слайд

• 14 слайд

  Построение графика
  Для построения графика функции необходимо часть графика функции , лежащую в области , оставить неизменной, а часть графика функции , лежащую в области , симметрично отобразить относительно оси OX
  

• 15 слайд

  π
  -π
  2π
  

• 16 слайд

  Построение графика
  Для построения графика функции необходимо часть графика функции , лежащую в области , оставить неизменной, и её же отобразить симметрично относительно оси OY в область
  

• 17 слайд

  π
  -π
  2π
  

• 1 слайд

  Свойства функции y = kx + m (k ≠ 0)
  D(f) = (-∞; +∞);
  E(f) = (-∞; +∞);
  ни четная, ни нечетная;
  возрастает при k > 0,
  убывает при k < 0;
  непрерывная
  не ограничена ни снизу, ни сверху;
  нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
  y = 0, при
  о выпуклости говорить не имеет смысла.
  k > 0
  k < 0
  

• 1 слайд

  при k > 0
  D(f) = (-∞, +∞);
  E(f) = [0, +∞);
  четная;
  убывает на луче (-∞, 0],
  возрастает на луче [0, +∞);
  непрерывна;
  ограничена снизу, не ограничена сверху;
  унаиб не существует, унаим = 0;
  y = 0 при х = 0
  выпукла вниз.
  Свойства функции у = kх2
  

• 2 слайд

  при k < 0
  D(f) = (-∞, +∞);
  Е(f) = (-∞, 0];
  четная
  убывает на луче [0,+∞),
  возрастает на луче (-∞, 0];
  непрерывна;
  не ограничена снизу, ограничена сверху;
  унаиб = 0, унаим не существует;
  y = 0 при х = 0
  выпукла вверх.
  Свойства функции у = kх2