ТЕМА «ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ, СВЯЗИ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ И РЕЗУЛЬТАТАМИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ».

ЗАДАНИЕ К СЕМИНАРУ

НА 20 МАРТА 2020 ГОДА

по дисциплине «Методика преподавания математики»

для студентов группы ПОноия-35 (3 курс ИПиП)

ТЕМА «ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ, СВЯЗИ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ

И РЕЗУЛЬТАТАМИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ».

2. Сформируйте информационные материалы согласно указанного плана темы семинара.

1.Алгоритмы в начальном курсе математики.

Среди разнообразных правил, с которыми приходится сталкиваться ежедневно и ежечасно, особую роль играют правила, предписывающие последовательность действий, ведущих к достижению некоторого необходимого результата. Нередко их называют алгоритмами.

Слово «алгоритм» происходит от имени выдающегося математика средневекового Востока. В одном из своих трудов он описал десятичную систему счисления и впервые сформулировал правила выполнения арифметических действий над целыми числами и обыкновенными дробями.

Аль - Хорезми стремился к тому, чтобы сформулированные им правила были понятными. Достичь этого в IX веке, когда еще не была разработана математическая символика (знаки операций, скобки, буквенные обозначения и т.д.), было трудно. Однако ему удалось выработать четкий стиль строгого словесного предписания, который не давал читателю возможность уклонится от предписанного или пропустить какие-нибудь действия.

Согласно другому определению, которое дал В. П. Беспалько, под алгоритмом понимают точное, общепонятное описание определенной последовательности интеллектуальных операций, необходимых и достаточных для решения любой из задач, принадлежащих к некоторому классу.

Л.Н. Ланда определяет алгоритм, как правило, предписывающее последовательность элементарных действий (операций), которые в силу их простоты однозначно понимаются и исполняются всеми. Алгоритм - это система указаний (предписаний) об этих действиях, о том, какие из них и как надо производить.

Определение, которое дает в своей книге Н.А.Криницкий, звучит так: алгоритм - это правило, сформулированное на некотором языке и определяющее процесс переработки допустимых исходных данных в искомые результаты.

Алгоритм - это конечный набор правил, который определяет последовательность операций для решения конкретного множества задач и обладает пятью важными чертами: конечность, определённость, ввод, вывод, эффективность [Кнут, 1976].

Алгоритм - это всякая система вычислений, выполняемых по строго определённым правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи [Колмогоров, 1987].

Алгоритм - правило действий, последовательность проведения вычислительных операций, способ нахождения искомого результата [Райзберг, 2007].

Алгоритм - совокупность предписаний о последовательном выполнении системы различных операции (вычислений), необходимых для решения определенной задачи [Паффенгольц, 1978].

Большая советская энциклопедия трактует понятие «алгоритм» как точное предписание, которое задает вычислительный процесс, начинающийся с произвольного исходного данного и на определение полностью определяемого этим исходным данным результата[Прохоров, 2003].

Алгоритмы в зависимости от цели, начальных условий задачи, путей ее решения, определения действий исполнителя подразделяются следующим образом:

* Механические алгоритмы, или иначе детерминированные, жесткие (например, алгоритм работы машины, двигателя и т.п.);
* Гибкие алгоритмы, например стохастические, т.е. вероятностные и эвристические. Механический алгоритм задает определенные действия, обозначая их в единственной и достоверной последовательности, обеспечивая тем самым однозначный требуемый или искомый результат, если выполняются те условия процесса, задачи, для которых разработан алгоритм.
* Вероятностный (стохастический) алгоритм дает программу решения задачи несколькими путями или способами, приводящими к вероятному достижению результата.
* Эвристический алгоритм - это такой алгоритм, в котором достижение конечного результата программы действий однозначно не предопределено, так же как не обозначена вся последовательность действий, не выявлены все действия исполнителя.
* Линейный алгоритм - набор команд, выполняемых последовательно во времени друг за другом.
* Разветвляющийся алгоритм - алгоритм, содержащий хотя бы одно условие, в результате проверки которого ЭВМ обеспечивает переход на один из двух возможных шагов.
* Циклический алгоритм - алгоритм, предусматривающий многократное повторение одного и того же действия (одних и тех же операций) над новыми исходными данными. К циклическим алгоритмам сводится большинство методов вычислений, перебора вариантов.
* Вспомогательный алгоритм (процедура) - алгоритм, ранее разработанный и целиком используемый при алгоритмизации конкретной задачи. В некоторых случаях при наличии одинаковых последовательностей указаний (команд) для различных данных с целью сокращения записи также выделяют вспомогательный алгоритм.

Приведем перечень наиболее важных свойств алгоритма:

1. Дискретность. Шаги в алгоритме должны идти в определенной последовательности. Это означает, что в любом алгоритме для следующего шага (кроме последнего) можно указать единственный непосредственно следующий за ним шаг, то есть такой, что между ними нет других шагов. Это свойство дискретности организмов.

Дискретная структура алгоритмов хорошо видна в алгоритмах выполнения арифметических действий. Например, алгоритм нахождения суммы 34+23 формулируется так:
1) Пишу десятки под десятками, а единицы под единицами.
2) Складываю единицы: 4+3=7
3) Складываю десятки:3+2=5, пишу 5 под десятками.
4) Читаю ответ: сумма равна 57.

2. Элементарность шагов. Каждый шаг программы, задающей алгоритм, должен состоять из выполнимых действий. Это означает, что предусмотренные действия были выполнимы теми исполнителями, которым она адресована. Так, например, задание «решить уравнение х+9=17» один ученик уверенно выполняет и получает искомое значение переменной х, так как владеет всеми действиями, необходимыми для решения простейших уравнений:
1) прочитай уравнение;
2) установи, какой компонент неизвестен;
3) вспомни правило, как найти значение неизвестного;
4) найди значение неизвестного;
5) сделай проверку;
6) запиши ответ.

Другой не справляется с заданием или получает неверный ответ, так как не владеет хотя бы одним из действий, которые требуются для выполнения данного задания.

Как видно из примера под словом «действие» понимаются не только математические операции, но оно имеет и более широкий смысл.

Кроме того, в алгоритме недопустимы также ситуации, когда после выполнения очередного действия исполнителю неясно, какое из них должно выполняться на следующем этапе.

Все сказанное характеризует свойство алгоритма, называемое свойством элементарных шагов.

3. Определенность. Каждая программа, задающая алгоритм, должна состоять из конечного числа шагов, а каждый шаг должен быть точно и однозначно определен. Это свойство алгоритмов называется свойством определенности (или детерминированности).

4. Результативности. Программа, задающая алгоритм должна быть направлена на получение определенного результата. Получение результата за конечное число шагов составляет свойство результативности алгоритма. Эта черта выражается в том, что алгоритм всегда направлен на получение некоторого искомого результата. Эта черта алгоритма, однако, не предполагает, что алгоритмы приводят к получению нужного результата при всех исходных данных, принадлежащих к определенному классу, возможно, что к некоторым исходным данным алгоритм оказывается неприменимым, и тогда процесс выполнения алгоритма либо безрезультативно обрывается, либо никогда не заканчивается.

5. Массовость. Программа, задающая алгоритм, должна быть применима к любой задаче рассматриваемого типа. Другими словами, каждый алгоритм предназначен для решения не одной-единственной, а любой из некоторого бесконечного класса однотипных задач.

Например, алгоритм решения линейного уравнения первой степени применяется для решения всех уравнений вида ах + b=0. В этом состоит свойство массовости алгоритмов.

Одним из источников алгоритмов является практика, которая предоставляет нам две основные возможности: наблюдение и эксперимент (а также любые их комбинации).

Объектом наблюдения может быть какое-либо живое существо (в частности, человек), умеющее решать какую-либо из возникающих перед ним задач. Описывая его действия, анализируя их зависимость от изменяющихся условий, можно получить алгоритм для решения упомянутой задачи. Получаемые этим путем алгоритмы обычно называют имитирующими. В более сложном случае объектом наблюдения может быть коллектив совместно действующих живых существ.

В еще более сложных случаях наблюдают какой-либо процесс, протекающий в неживой природе, организме или в обществе, изучают влияние на него различных факторов; в конце концов, может быть получен алгоритм управления этим процессом (который будет эффективным, если существует реальная возможность изменять определяющие процесс факторы). Алгоритмы, полученные таким образом, принято называть эмпирическими.

Алгоритмы иногда можно получить экспериментально, подбирая действия, приводящие к желаемому результату. Их не выделяют в отдельную группу и условно относят к эмпирическим.

В качестве второго источника следует указать научную теорию, из основных положений и установленных фактов которой алгоритмы в некоторых случаях могут быть выведены.

Третьим источником новых алгоритмов может являться совокупность уже накопленных. Когда с помощью специальных приемов из имеющихся алгоритмов можно получать новые.

Наконец, четвертым источником алгоритмов может быть изобретательность их разработчика. Алгоритмы кодирования и декодирования по заданному ключу происходят из этого источника.

Как бы ни был получен алгоритм, он должен быть обоснован; это означает, что если алгоритм создан для решения определенной задачи, то необходима уверенность в том, что для всех исходных данных, для которых эта задача может быть решена, алгоритм позволяет получить решение и ни для каких исходных данных не дает неправильного результата. Это называется корректностью алгоритма.

Корректность эмпирических алгоритмов обычно проверяют экспериментально. Какую-то уверенность в их корректности можно получить, если их многократное применение всегда приводит к необходимому результату. Однако одно только многократное экспериментальное подтверждение еще не вселяет полной уверенности.

Полная уверенность в корректности эмпирического алгоритма возникает лишь в том случае, когда полученные c его помощью результаты не только подтверждаются экспериментально, но и согласуются со всеми другими накопленными и объединенными в научную теорию фактами данной области науки или техники.

Если хотя бы один из даваемых алгоритмом результатов противоречит хотя бы одному из ранее установленных и получивших признание фактов, эмпирический алгоритм нельзя признать корректным (хотя после проверки может оказаться некорректным не алгоритм, а тот факт, которому он противоречит). Корректность теоретически обусловленных алгоритмов гарантируется наличием соответствующих доказательств.

Очень интересен вопрос об установлении корректности алгоритмов, полученных на основе других, ранее разработанных и заведомо корректных алгоритмов. Решение этого вопроса зависит от приема, который был применен для получения нового алгоритма.

Перечислим наиболее часто применяемые приемы.

1) Конструирование алгоритмов. Этот прием заключается в том, что новый алгоритм получают комбинированием уже известных алгоритмов как составных частей.

2) Эквивалентные преобразования алгоритмов. Два алгоритма называют эквивалентными, если: а) всякий вариант исходного данного, допустимый для одного из них, допустим и для другого; б) применимость одного алгоритма к какому-либо исходному данному гарантирует, что и другой алгоритм применим к этому исходному данному; в) результаты, даваемые этими алгоритмами для одного и того же исходного данного, между собой одинаковы.

Всякое изменение алгоритма, в результате которого снова получается алгоритм и при этом эквивалентный исходному алгоритму, называется эквивалентным преобразованием алгоритма. Примером эквивалентного преобразования алгоритма является его перевод с одного языка на другой.

3) Сужающие преобразования. Они приводят к алгоритмам решения задач, являющихся частными случаями тех задач, для решения которых были предназначены исходные алгоритмы.

4) Применение формального метода к нематематической проблеме. Этот прием заключается в том, что нематематическую проблему формулируют математически. При этом может оказаться, что известен алгоритм решения получившейся математической задачи. Этот алгоритм и принимается за искомый. Если готового алгоритма не окажется, то делают попытку его разработки, тем самым обращаясь ко второму из указанных выше источников для получения алгоритмов.

Корректность алгоритмов, полученных путем конструирования, не вызывает сомнений, если алгоритмы, использованные в качестве «строительного материала», дают точные результаты. Если же их результаты являются приближенными, как это часто бывает на практике, то обоснование корректности может требовать сложных исследований.

Доказательством корректности алгоритмов, полученных с помощью эквивалентных преобразований, является правильность преобразований

Корректность алгоритмов, полученных путем сужающих преобразований, обеспечивается проверкой (доказательством) того, что каждый результат, получаемый суженным алгоритмом, тождествен с результатом, который для того же варианта исходного данного дает исходный алгоритм.

Наконец, корректность алгоритма, полученного в результате применения формального метода, выясняется либо так же, как для эмпирических алгоритмов, либо а) оценкой, так называемой адекватности полученной математической задачи (т. е. возможности получения при ее решении результата, достаточно близкого к искомому результату) и б) доказательством корректности алгоритма решения математической задачи [Криницкий, 1984].

Алгоритмы, полученные в результате изобретательности разработчика, также требуют обоснования. Обычно с ними поступают либо как с эмпирическими, либо (уже после их получения) проделывают все действия, предусматриваемые формальным методом.

2. Особенности устных и письменных вычислений.

В соответствии с государственным образовательным стандартом по математике в начальных классах предусматривается усвоение детьми письменных и устных приемов вычислений для всех четырех арифметических действий над целыми неотрицательными числами.

Под устными и письменными вычислениями понимают вычисления, выполняемые без вспомогательных средств – таблиц или счетных приборов.
Общие черты устных и письменных вычислений:
- при выполнении тех или иных вычислений решается одна учебная задача;
- найти искомое число по данным числам;
- те, и другие вычисления выполняются путем приведения данного случая к ранее известным, а, в конечном счете, к табличным случаям;
- письменные приемы опираются на устные.

Различия устных и письменных вычислений можно представить в таблице:

Устные вычисления 1. Процесс вычисления выполняется либо без записи, либо с записью данных и результата. Запись производится в строчку. 2. Вычисления для одного и того же действия над парой чисел могут выполнятся разнообразными способами в зависимости от того, какая теоретическая основа используется. а)36•20 =36•(2•10)=(36•2)•10=72•10 =720 б)36•20=(30+6)•20=30•20+6•20=600+120= 720 3. Вычисления, как правило, начинаются с единиц высшего разряда. 4. Промежуточные результаты сохраняются в памяти, не записываются.

Письменные вычисления 1. Запись производится в столбик. 2.Вычисления выполняются по определенному алгоритму, принятому для каждого арифметического действия.                529              +286                815 3. Вычисления (кроме деления) начинаются с единиц низшего разряда. 4. Промежуточные результаты записываются.

3. Формирование навыков устных и письменных вычислений.

Формирование вычислительных умений и навыков – одна из основных задач начального курса математики.

Вычислительные умения – это развёрнутое осуществление действия, в котором каждая операция осознаётся и конкретизируется. В отличие от умения вычислительные навыки характеризуются свёрнутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат.

Принято считать, что процесс вычислений требует только репродуктивного воспроизведения соответствующего алгоритма. Поэтому в педагогической практике преобладает такой подход, при котором обучение вычислительным приемам идет репродуктивным путем. Деятельность детей состоит во внимательном слушании учителя, выполнении практических действий по заданной инструкции или образцу, объяснении готового решения. В этих условиях вычислительные навыки формируются в результате выполнения большого числа однообразных заданий, и не приобретают необходимых качественных характеристик. При таком обучении не происходит и существенного умственного развития.

Формирование полноценного вычислительного навыка должно обеспечиваться созданием ряда специальных условий. Первостепенное значение имеет систематическая работа по формированию мотивов учебной деятельности, организация поисковой, эвристической деятельности учащихся на этапе восприятия вычислительного приема, целенаправленный отбор заданий для обеспечения осознания и осмысления вновь вводимого вычислительного приема, насыщение всего процесса формирования заданиями на развитие приемов умственных действий, учет индивидуальных особенностей усвоения.

При формировании вычислительных навыков необходимо исходить из того, что мышление - это активная, целенаправленная деятельность, в процессе которой осуществляется переработка имеющейся и вновь поступающей информации, отчленение внешних случайных или второстепенных ее элементов от основных или внутренних, отражающих сущность исследуемых ситуаций, раскрывается закономерная связь между ними.

Задача учителя заключается в умелом руководстве этой деятельностью. Управлять - не значит подавлять, навязывать процессу мышления ход, противоречащий его природе, а, наоборот, максимально учитывать эту природу, согласовывать каждое воздействие на процесс с его логикой и особенностями усвоения учащихся. В связи с этим, оптимально подобранная совокупность заданий на каждом этапе формирования вычислительного навыка становится средством управления мышлением и практическими действиями школьников.

Формирование вычислительных умений и навыков можно осуществлять, придерживаясь следующих этапов: подготовка к восприятию вычислительного приема, восприятие нового материала, осознание и осмысление всех характеристик вычислительного приема, закрепление и применение сформированного вычислительного умения.

Этап подготовки к восприятию нового вычислительного приема предполагает проведение тщательной перспективной и непосредственной подготовки. Перспективная подготовка предполагает, что учащиеся предварительно изучают все знания, которые являются базовыми для нового вычислительного приема. Этому способствует основополагающий принцип изучения вычислительных приемов: сведение нового вычислительного приема к ранее изученным.

Непосредственная подготовка к изучению нового ВП традиционно предполагает: актуализацию опорных знаний из числа тех, которые входят в базовые для нового вычислительного приема. Актуализация знаний предполагает решение трех задач:

· воспроизведение понятий и алгоритмов, необходимых и достаточных для «открытия» нового знания;

· создание положительной мотивации к изучению нового ВП;

· отработка логических приемов мышления.

При отборе упражнений для данного этапа важны все три составляющих: первая позволяет содержательно подготовить этап открытия нового знания. Вторая положительную эмоциональную направленность на его включение в следующий этап урока. Третья активизировать мыслительные способности учащихся: способность к анализу, синтезу, сравнению, классификации, аналогии, обобщению.

Таблица

Этапы формирования вычислительных умений

Подготовка к восприятию	Восприятие материала	Осознание и осмысление	Закрепление и применение
1.Перспективная подготовка. 2.Непосредственная подготовка к восприятию · актуализация опорных знаний; · мотивация деятельности; · создание проблемной ситуации.	1.Фиксация затруднения 2. Постановка учебной проблемы 3. Поиск решения учебной проблемы 4. Выделение общего способа действия, фиксация его в виде различных моделей	1. Выполнение упражнений, удовлетворяющих принципам: полноты, однотипности, контрпримеров, сравнения, непрерывного повторения, вариативности. 2.Пооперационный контроль и коррекция	1, Введение ВП в систему ранее изученных знаний   2. Отработка качеств ВН 3. Формирование действий контроля   4. Итоговый тематический контроль

Следует подчеркнуть значимость создания ситуации успеха для каждого ребенка на этапе актуализации знаний, поскольку положительный результат, зафиксированный ребенком в сознании, создает положительную эмоциональную направленность на его включение в следующий этап урока.

Этап восприятия нового знания будет организован с большим развивающим эффектом, если введение нового материала будет организовано через проблемную ситуацию. Этот метод в большей степени активизирует процесс мышления и требует высокой степени теоретического обобщения.

В современных УМК предоставляются условия для использования технологии проблемно диалогического обучения, которая позволяет учащимся самостоятельно «открывать» знания, а значит включать детей в продуктивные виды деятельности. (сноска на первую часть)

Известно, что новое знание принимает четкие формы в сознании ученика, если оно зафиксировано в форме алгоритма, схемы или языковой записи, принятой в данной дисциплине и в данной технологии. В связи с чем, на этом этапе происходит оформление нового алгоритма, фиксирование его как вербально, так и графически, что создает основу для развития способности к новому виду математической деятельности – моделированию.

Этап восприятия нового вычислительного приема заканчивается первичным закреплением алгоритма выполнения вычислительного действия.

С этой целью несколько аналогичных примеров выполняются детьми у доски. Выполнение первых заданий полезно сопровождать полным теоретическим обоснованием, затем, перейти к поиску путей сокращения алгоритма и записи вычислений. Переход к выполнению вычислений по сокращенному алгоритму и сокращенной записи должен осуществляться индивидуально по мере усвоения и осознания значения каждой операции учеником.

Ознакомление детей с новым ВП в основном происходит на одном уроке, в конце которого полезно провести небольшое тестирование для выявления уровня усвоения ВП каждым учеником. Полученные в результате тестирования результаты помогут учителю осуществить дифференцированный подход в обучении и с учетом данных тестирования определить содержание следующего урока, с которого начинается следующий этап формирования ВП.

Завершая этот этап, следует особое внимание уделить подведению итога, обсуждению процесса получения результата, различным видам моделирования вновь спроектированного алгоритма выполнения действия, его проговариванию в свернутой и развернутой форме. Именно на этот образец будет ориентироваться ученик на следующих этапах и при самостоятельных вычислениях.

На этапе осознания и осмысления школьниками ВП полезно предложить совокупность упражнений, удовлетворяющую принципам полноты, однотипности, сравнения, вариативности, контрпримеров, непрерывности, единственного различия.

Эти принципы или требования к процессу отбора упражнений необходимо реализовать как для осознания и осмысления приема вычислений, так и для развития логических приемов мышления.

Раскроем принципы отбора совокупности упражнений, которую полезно предлагать учащимся на этапе осознания и осмысления вычислительного приема.

Реализация принципа полноты предполагает, что совокупность упражнений будет содержать задания, обеспечивающие осознанное применение всех операций, связанных с усвоением изучаемого вычислительного приема. К ним мы относим упражнения:

· на отбор выражений, значение которых можно находить с помощью изученного вычислительного приема;

· на отработку каждой операции, входящей в состав вычислительного приема;

· на понимание математического смысла и последовательности выполнения каждой операции входящей в состав алгоритма;

· на осуществление контроля и оценки выполненного вычислительного приема.

Совокупность упражнений будет соответствовать принципу однотипности, если на каждую из выше перечисленных операций будет выполнено достаточное число однотипных упражнений. При этом достаточность определяется индивидуальными особенностями скорости усвоения материала каждым учеником класса. Для осознания и осмысления операции некоторым детям достаточно выполнить одно упражнение, для других, этого количества бывает недостаточно. Здесь нужно подходить дифференцированно, ориентируясь на уровень развития детей в классе и организовать работу так, чтобы одним стало понятно, а другим было интересно.

Принцип контрпримеров предполагает включение в совокупность таких заданий, которые провоцируют ученика на ошибку. Умение увидеть ошибку это уже определенный уровень освоения алгоритма вычислительного приема. В связи с этим такие упражнения могут служить как для осознания и осмысления вычислительного приема, так и для диагностики уровня сформированности вычислительного приема и самоконтроля. Кроме того, такие задания дети воспринимают как своеобразную игру, с интересом включаются в диалог по обоснованию причин возникновения ошибки и правильному выполнению действия, что способствует повышению познавательной мотивации.

Применение принципа сравнения предполагает включение некоторого ряда взаимосвязанных заданий, позволяющих подчеркнуть сходство и различие нового и ранее изученного вычислительных приемов. Алгоритм вычислительных приемов дает для сравнения богатейший материал. Сравнивать можно, опираясь на схематическую, математическую модель выполнения действия, на теоретическую основу вычислительного приема и другие его характеристики. В процессе формирования вычислительных навыков скрыты немалые возможности для существенного развития мышления детей путем использования заданий на сравнение, классификацию, подведение под понятие, выведения следствия из факта принадлежности объекта к понятию. Задача учителя - реализовать их в полной мере через совокупность упражнений, предполагающих использование логических приемов мышления.

Принцип вариативности полезно использовать двояко: варьировать формы выполнения вычислительного приема (варьируя модели вычислительного приема, осуществляя переход от одной модели к другой) и видоизменять форму подачи заданий (используя формулировки: вычисли, допиши, прочитай разными способами, сравни, назови вычислительный прием и т. д.).

Принцип непрерывного повторения предполагает включение вновь изученного вычислительного приема в контекст ранее изученного материала. Это могут быть задачи, уравнения, вычисления на нахождение значений величин и другие, ранее изученные понятия.

Следует понимать, что реализация всех этих принципов вовсе не требует большого числа упражнений, разумно подбирать такие задания, выполнение которых предусматривает реализацию сразу нескольких принципов.

На этапе закрепления и применения детям предлагается совокупность упражнений, удовлетворяющая принципу непрерывного повторения, т. е., вновь изученный ВП будет включаться в систему ранее усвоенных знаний. Кроме того, на этом этапе учитель предусматривает решение следующих обучающих задач:

· доведения изученного ВП до уровня умения или навыка со всеми присущими им качествами;

· формирование умения проверять правильность вычислений.

В процессе обучения детей работе над ошибками, можно выделить шесть этапов, на каждом из которых используются специальные методические приёмы, формирующие у детей учебные действия контроля и оценки. Результатом такой работы может быть составленный ребенком справочник вычислительных ошибок.

1. Выяснение, какие ошибки можно допустить при выполнении заданий на вычисления и каков характер этих ошибок. Это могут быть ошибки по содержанию (неправильное использование алгоритма вычисления, сложения или вычитание единиц в разряде) и ошибки на невнимание (неверно списал цифры при записи чисел, поставил не тот знак, знак поставил правильно, но выполнял другое действие и т.д.).

2. Знаковая фиксация ошибок. Следующий этап связан с поиском знаковых форм фиксации ошибок. Ученики при участии учителя разрабатывают и придумывают значки для обозначения каждой ошибки.

3. Упорядочивание ошибок. Ученики, прежде чем начать выполнять то, или иное задание, представляли, какие ошибки можно допустить при его выполнении. Такая работа учит мысленно составлять план собственных действий раньше, чем ребенок приступит к выполнению заданий.

4. Работа с контролирующей карточкой. Упорядочивая ошибки, ученики должны осмыслить и выстроить, в какой последовательности и как они будут обнаруживать эти ошибки. В результате учащиеся составляют «Справочник ошибок», где находятся карточки, в которых с помощью созданной символики фиксируют последовательность действий при проверке: первое – проверь вот это, второе – проверь вот это, третье – проверь – вот это.

Ученик выполняет задание сначала до конца, затем возвращается в начало, читает карточку и на каждом этапе проверяет, нет ли у него ошибок. При работе с карточкой очень эффективна работа в паре.

5. Выявление собственных проблем. Когда ученики совместно с учителем составили карточки для самоконтроля и начали работать с ними, то каждому ученику необходимо зафиксировать, где у него появляются ошибки, на каком шаге и отметить эти шаги на карточке.

6. Предвидение ошибки и её предупреждение. На заключительном этапе ученик сначала должен посмотреть, где он может сделать ошибку, и только после этого начинать действовать.

В настоящее время существующие учебно-методические комплексы преуспели в разработке совокупности заданий, направленных на отработку как устных, так и письменных вычислений. Наиболее последовательно и обоснованно как с психологической, так и с методической точки зрения разработана совокупность упражнений в системе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова.

Автор этой совокупности Э. И. Александрова. Всю совокупность упражнений она делит на 10 блоков, в некоторых из них выделяются еще и уровни.

Первый блок – это задания, которые уже выполнены кем-то, а ребёнку нужно их оценить. (Учителями этот блок называется оценочным, ученик узнает информацию и оценивает ее). Этот блок включает в себя задания двух уровней.

1-ый уровень – задания, выполненные кем-то с использованием символической модели. Ученик должен оценить правильность выполненных заданий.

2–ой уровень – задания, выполненные кем-то без использования символической модели. Для того чтобы оценить правильность выполнения заданий, ребёнку сначала нужно выполнить символическую модель.

Второй блок – исполнительный. Эти задания ребёнку нужно выполнить самому.

1-й уровень – ребёнок выполняет задание сам, но ему дан готовый ответ, с которым он сравнивает свое выполнение.

2-й уровень – ребёнок выполняет задание сам, но ему даётся несколько ответов, среди которых один правильный, а остальные получены в результате типичных ошибок.

3-й уровень – ребёнок сам выполняет задание и сам доказывает правильность его выполнения.

Третий блок – рефлексивный. Это задания на придумывание самим ребёнком таких же заданий, как те, которые ему предложены учителем. Этот блок позволяет выяснить, умеет ли ребёнок выделять существенные связи и отношения в заданиях, которые даны учителем и составить такие же.

Четвёртый блок – рефлексивно-методический. Это задания типа: «как научить других, придумывать такие же задания».

Пятый блок – диагностический. Это задания с «ловушками» (можно выделить несколько типов «ловушек»: «ловушки на способ», «ловушки, связанные с недостающими или лишними данными» и др.).

Шестой блок – рефлексивно-диагностический. Это задания на придумывание детьми таких же «ловушек», что позволяет определить, насколько ученик видит «ошибко-опасные» места.

Седьмой блок – методико-диагностический, в котором ребёнок думает над вопросом, как научить других, придумывать задания с «ловушками».

Восьмой блок – это так называемые олимпиадные задачи, к которым относятся задачи, не выходящие за рамки изучаемых понятий по годам обучения, но требующие нестандартных способов решения.

Девятый блок – это задания на придумывание детьми своих олимпиадных заданий по аналогии с данными в восьмом блоке.

Десятый блок – содержит задания, где ребенку предлагается научить других, придумывать олимпиадные задания.

Данная совокупность заданий, предлагаемая в системе, нацелена на формирование компонентов учебной деятельности (осознание учебной задачи, планирование ее выполнения, осуществление самоконтроля и самооценки).

2.Выпишите ключевые понятия по каждому вопросу темы семинара в тетрадь.

В тексте выделила  желным цветом.

4.Составуьте по 7 вопросов-ответов к каждому вопросу плана данногго семинар (всего 21 вопрос-ответ).

1.Алгоритмы в начальном курсе математики.

1.Дайте определение понятию алгоритм?
Алгоритм - совокупность предписаний о последовательном выполнении системы различных операции (вычислений), необходимых для решения определенной задачи.

2. Алгоритмы в зависимости от цели, начальных условий задачи, путей ее решения, определения действий исполнителя подразделяются на?
* Механические алгоритмы, или иначе детерминированные;
* Гибкие алгоритмы;
* Вероятностный (стохастический) алгоритм;
* Эвристический алгоритм;
* Линейный алгоритм; 
* Разветвляющийся алгоритм;
* Циклический алгоритм;
* Вспомогательный алгоритм.

3.Какие существуют свойства алгоритмов?
1. Дискретность.
2. Элементарность шагов.
3. Определенность.
4. Результативности.
5. Массовость.

4.Что подразумевает свойство алгоритма дискретность?
Дискретность. Шаги в алгоритме должны идти в определенной последовательности. Это означает, что в любом алгоритме для следующего шага (кроме последнего) можно указать единственный непосредственно следующий за ним шаг, то есть такой, что между ними нет других шагов. Это свойство дискретности организмов. Дискретная структура алгоритмов хорошо видна в алгоритмах выполнения арифметических действий. Например, алгоритм нахождения суммы 34+23 формулируется так:
1) Пишу десятки под десятками, а единицы под единицами.
2) Складываю единицы: 4+3=7
3) Складываю десятки:3+2=5, пишу 5 под десятками.
4) Читаю ответ: сумма равна 57.

5. Перечислите наиболее часто применяемые приемы?
1) Конструирование алгоритмов.
2) Эквивалентные преобразования алгоритмов.
3) Сужающие преобразования.
4) Применение формального метода.

6. Одним из источников алгоритмов является практика, которая предоставляет нам две основные возможности. Какие?
Наблюдение и эксперимент (а также любые их комбинации).

7.Алгоритм решения уравнения?
1) прочитай уравнение;
2) установи, какой компонент неизвестен;
3) вспомни правило, как найти значение неизвестного;
4) найди значение неизвестного;
5) сделай проверку;
6) запиши ответ.

2. Особенности устных и письменных вычислений.

1.Перечислите общие черты устных и письменных вычислений?
- при выполнении тех или иных вычислений решается одна учебная задача;
- найти искомое число по данным числам;
- те, и другие вычисления выполняются путем приведения данного случая к ранее известным, а, в конечном счете, к табличным случаям;
- письменные приемы опираются на устные.

2.Устные вычисления – это…?
Устные вычисления — это быстрые безошибочные вычисления без каких-либо опор в виде записей, рисунков, схематических рисунков и т. д., то есть они должны быть доведены до уровня навыка, автоматизированного действия: восприятие (узнавание) числового выражения и соотнесение его с хорошо известным ребёнку результатом.

3.Письменные вычисления – это…?
Письменное вычисление-письменное объяснение каждого своего действия во время решения задачи или просто примера.

4.Как производится запись во время письменных вычислений?
Запись производится в столбик.

5.Как выполняется процесс вычисления во время устных вычислений?
Процесс вычисления выполняется либо без записи, либо с записью данных и результата. Запись производится в строчку.

6.С каких единиц начинаются вычисления при устных вычислениях?
Вычисления, как правило, начинаются с единиц высшего разряда.

7. С каких единиц начинаются вычисления при письменных вычислениях?
Вычисления (кроме деления) начинаются с единиц низшего разряда.

3. Формирование навыков устных и письменных вычислений.

1.Вычислительные умения – это…?
 Вычислительные умения – это развёрнутое осуществление действия, в котором каждая операция осознаётся и конкретизируется.

2.Вычислительные навыки характеризуются ?
Вычислительные навыки характеризуются свёрнутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат

3. Этап подготовки к восприятию нового вычислительного приема предполагает?
Предполагает проведение тщательной перспективной и непосредственной подготовки. Перспективная подготовка предполагает, что учащиеся предварительно изучают все знания, которые являются базовыми для нового вычислительного приема. Этому способствует основополагающий принцип изучения вычислительных приемов: сведение нового вычислительного приема к ранее изученным.

4.Чем заканчивается этап восприятия нового вычислительного приема?
Этап восприятия нового вычислительного приема заканчивается первичным закреплением алгоритма выполнения вычислительного действия.

5. Решение каких задач предполагает актуализация знаний?
 Актуализация знаний предполагает решение трех задач:
· воспроизведение понятий и алгоритмов, необходимых и достаточных для «открытия» нового знания;
· создание положительной мотивации к изучению нового ВП;
· отработка логических приемов мышления.

6. Перечислите этапы формирования вычислительных умений?

Подготовка к восприятию

Восприятие материала

Осознание и осмысление

Закрепление и применение

7. Результатом какой работы может быть составленный ребенком справочник вычислительных ошибок?

1. Выяснение, какие ошибки можно допустить при выполнении заданий. 
2. Знаковая фиксация ошибок.
3. Упорядочивание ошибок. 
4. Работа с контролирующей карточкой.
5. Выявление собственных проблем.
6. Предвидение ошибки и её предупреждение.

5.Составьте интеллект-карты по каждому вопросу плана семинара письменно в тетради.

2. Особенности устных и письменных вычислений.

3. Формирование навыков устных и письменных вычислений.  

1.Алгоритмы в начальном курсе математики.