Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Тема: "Показательная функция. Функционально-графические методы решений уравнений, неравенств, систем"

Тема: "Показательная функция. Функционально-графические методы решений уравнений, неравенств, систем"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Решетняк Марина Николаевна, СОШ № 84

Тема: "Показательная функция. Функционально-графические методы решений уравнений, неравенств, систем"

hello_html_11090369.pnghello_html_11090369.pnghello_html_11090369.pnghello_html_11090369.pngЦель: рассмотреть задачи ЗНО с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = ах, а>0, аhello_html_m4cfa9ac2.png1

Задачи урока:

  • повторить свойство монотонности и ограниченности показательной функции;

  • повторить алгоритм построения графиков функции с помощью преобразований;

  • находить множество значений и множество определений функции по виду формулы и с помощью графика;

  • решать показательные уравнения, неравенства и системы с помощью графиков и свойств функции.

  • работа с графиками функций, содержащими модуль;

  • рассмотреть графики сложной функции и их область значений;

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя. Мотивация изучения данной темы

Слайд 1 Показательная функция. “Функционально - графические методы решения уравнений и неравенств”

Функционально - графический метод основан на использовании графических иллюстраций, применении свойств функции и позволяет решать многие задачи математики.

Слайд 2-3 Цели и задачи урока.

Сегодня мы рассмотрим задачи ЗНО разных уровней сложности с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = ах, а>о,аhello_html_m4cfa9ac2.png1. С помощью графической программы выполним иллюстрации к задачам.

Слайд 4 Почему так важно знать свойства показательной функции?.

  • По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

  • В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания.

  • Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад веществ – процессу органического затухания.

  • Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.

  • Приведите свои примеры

  • Применение в реальной жизни (доза принятия лекарств).

Сообщение о дозе принятия лекарств:

- Каждому известно, что таблетки, рекомендуемые врачом для лечения, нужно принимать несколько раз в день, иначе они будут неэффективны. Необходимость повторного введения лекарства для поддержания постоянной его концентрации в крови вызвана происходящим в организме разрушением лекарства. На рисунке показано, как в большинстве случаев изменяется концентрация лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения.Слайд5.

hello_html_23c92147.png

Уменьшение концентрации лекарства может быть аппроксимировано экспонентой, показатель которой содержит время. Очевидно, что скорость разрушения лекарства в организме должна быть пропорциональна интенсивности метаболических процессов.

Известен один трагический случай, который произошел из-за незнания этой зависимости. С научной точки зрения очень интересным для психиатров и нейрофизиологов является препарат ЛСД, вызывающий у нормальных людей своеобразные галлюцинации. Одни исследователи решили изучить реакцию слона на этот препарат. Для этого они взяли количество ЛСД, приводящее в ярость кошек, и умножили его на столько, во сколько раз масса слона больше массы кошки, считая, что доза вводимого препарата должна быть прямо пропорциональна массе животного. Введение такой дозы ЛСД слону привело через 5 минут к его гибели, из чего авторы заключили, что слоны обладают повышенной чувствительностью к этому препарату. Появившаяся позднее в печати рецензия на эту работу назвала ее «слоноподобной ошибкой» авторов эксперимента.

2. Актуализация знаний учащихся.

  • Что значит изучить функцию? (сформулировать определение, описать свойства, построить график)

  • Какая функция называется показательной? Приведите пример.

  • Какие основные свойства показательной функции вы знаете?

  • Область значения (ограниченность)

  • область определения

  • монотонность( условие возрастания убывания)

  • Слайд 6. Укажите множество значений функции( по готовому чертежу)

hello_html_2b329ee2.jpg

  • Слайд 7.Назовите условие возрастания убывания функции и соотнесите формулу функции с ее графиком

hello_html_m374766b5.jpg

hello_html_29a3a601.png


hello_html_5006617e.jpg

hello_html_m1d0ecbb.png

  • Слайд 8.По готовому чертежу опишите алгоритм построения графиков функции

Слайд а) у=3x + 2

hello_html_m847756c.jpg



hello_html_m3ceb95c0.jpg

б) у=3x-2 – 2



3.Диагностическая самостоятельная работа ( с использованием ПК).

Класс делится на две группы. Основная часть класса выполняют тестовые задания . Сильные учащиеся выполняют более сложные задания.

  1. Самостоятельная работа в программе Power point( для основной части

Самостоятельная работа( для сильной части класса)

Слайд9. Запишите алгоритм построения графика функции, назовите ее область определения, область значения, промежутки возрастания, убывания.



hello_html_m30748a5f.jpg



  • Слайд 10.Соотнесите формулу функции с ее графиком



) hello_html_728997b5.png

2) hello_html_74d8885b.png

3)hello_html_m330a438b.png

 4) hello_html_m13a0b3cc.png

5) hello_html_m64935d13.png

6) hello_html_m20bf7338.png

 7) hello_html_38deec28.png

hello_html_m3131cb5b.jpg

hello_html_44ad1ef8.jpg



Учащиеся проверяют свои ответы, не исправляя ошибки, самомтоятельные работы сдают учителю



Слайды 11-21 .Проверка теста для основной части

4. Изучение новой темы. Применение функционально-графического метода для решения уравнений ,неравенств, систем, определения области значений сложной функции

Слайды 22-23. Функционально графический способ решения уравнений

Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально-графическим методом нужно:

Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.

Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.

Записать ответ.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Слайд24-25.

  • Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный

  • hello_html_m23621b76.png;

hello_html_m5bada87.pnghello_html_8a5772d.pnghello_html_m1411fe2a.png

  • hello_html_cf16905.png

hello_html_29f83c05.png

  • 6х =1/6

hello_html_m10767e.png

  • (4/3)х= 4

hello_html_48fb99aa.pngСЛАЙД 26

  • hello_html_m1c63f9ed.png

hello_html_78618fdb.png



5. Выполнение практической работы.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕИЙ. СЛАЙДЫ 27-30

  • Решить уравнение:hello_html_m477e245c.png

Это уравнение возможно решить графическим способом. Учащимся предлагается выполнить задание, а затем ответить на вопрос: “Обязательно ли для решения этого уравнения строить графики функций?”. Ответ: “Функция hello_html_m27eb13d9.pngвозрастает на всей области определения, а функция hello_html_3e79bde2.png- убывает. Следовательно, графики таких функций имеют не более одной точки пересечения, а значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что hello_html_m2f88778b.png”.

  • Решить уравнение 3x = (х-1) 2 + 3

Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:

hello_html_6222e497.jpg

hello_html_m70507542.png

т.к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1

Ответ: 2)

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ. Слайды 31-33

Гhello_html_1db23044.jpgрафические методы дают возможность решать неравенства, содержащие разные функции. Для этого после построения графиков функций , стоящих в левой и правой части неравенства и определения абсциссы точки пересечения графиков , необходимо определить промежуток на котором все точки одного из графиков лежат выше( ниже0 точек второго.

  • Решить неравенство:

а) сos x hello_html_4dc1c2d3.png1 + 3x







Решение:



hello_html_m3d24918.png

Ответ: (hello_html_m67ef31bb.png ; hello_html_m29ec9bd2.png)

Решить графически неравенство.

  • Что можно сказать про графики функций hello_html_32f531e7.pngи график функции у=12 - 1,5х?

(График показательной функции лежит выше функции, записанной в правой части уравнения).

hello_html_28b15ec9.png>12 - 1,5х

hello_html_m62d29737.jpg


Ответ: х>2. О



hello_html_m1b6cf217.pnghello_html_m34a0a2e3.jpg

.
Oтвет: х>0.





Показательная функция содержит знак модуля в показателе степени.слайд 34-35

Повторим определение модуля.

hello_html_707ecbe9.png(запись на доске)

Сделать записи в тетради:

1). hello_html_41335816.png

2). hello_html_m46aab281.png

Графическая иллюстрация представлена на слайде .Объяснить, как построены графики.

hello_html_2b0b018.pnghello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_6632fcf1.jpg


Е(у)=[1;hello_html_m68f5e19f.png

hello_html_a30c6c5.png

hello_html_m4c634d71.jpg


Е(у)=(0;1]















.

  • hello_html_m59d17c42.png

Для решения этого уравнения нужно вспомнить свойство ограниченности показательной функции. Функция hello_html_4cc45692.pngпринимает значения >1, а – 1 < hello_html_7802c922.png> 1, поэтому равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения одновременно равны 1. Значит, hello_html_2d34d8c1.pngРешая эту систему, находим, что х = 0.



.Нахождение области значений сложной функции. Слайды 36-37.

Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений. hello_html_m19a61cc3.png

 hello_html_mdaa6a39.png, hello_html_m712a1f4e.png- вершина параболы.

hello_html_m6a72b18b.png

hello_html_m14b1bc18.jpg

.

hello_html_m19a61cc3.png

hello_html_m3e1b9a9c.jpg



Вопрос: определите характер монотонности функции.

Показательная функция у = 16t возрастает, так как 16>1 .

При наименьшем значении показателя функции

hello_html_4ce7fcdb.png.

Е(у)=[2;hello_html_0.gif.

График иллюстрирует наш вывод.

hello_html_m3aa2bcdf.png

hello_html_m45385991.jpg



Вопрос: определите характер монотонности функции.

Показательная функция у = hello_html_m38a2cb8e.pngубывает, так как hello_html_17c7eff3.png<1.

При наименьшем значении показателя функции

hello_html_4251653b.png. Е(у)=(0;hello_html_1d9639c3.png].

График иллюстрирует наш вывод.

Решение графически систем уравнений, содержащих показательную функцию.38-40

Найти значение выражения хhello_html_31de2089.png+ уhello_html_31de2089.png,если (хhello_html_0.gifhello_html_0.gif) является решением системы уравнений. hello_html_m399bd665.png

Решение:

hello_html_m636f58d5.pnghello_html_173361e8.png-параллельный перенос на 1 единицу влево.

hello_html_m33314bf.png- параллельный перенос на 2 единицы влево.

хhello_html_0.gif=-1, уhello_html_0.gif=1

хhello_html_0.gif+ уhello_html_0.gif=0.

hello_html_m4aa16645.jpg


Ответ: 0.













Задание 6 Решение уравнений, содержащих параметры. Слайды 41-42.



При каких значениях параметра а уравнение hello_html_m594c1b6.pngимеет нечетное количество корней?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще одно свойство функций – четность, нечетность. Функция hello_html_35e0bca7.pngявляется четной, так как hello_html_1d76eaca.png. Так как график четной функции симметричен относительно оси ординат, то если hello_html_m52d88552.pngявляется корнем уравнения, то и hello_html_6f5b8046.pngтоже является корнем уравнения. Поэтому данное уравнение может иметь нечетное количество корней только тогда, когда hello_html_m304c84c9.pngявляется корнем. Подставляя hello_html_m304c84c9.pngв уравнение, имеем: hello_html_d2f3b64.png

Дополнительные задания (при наличии времени).Слайд 43

Решить графически неравенство.

1).hello_html_m430a0556.png. Ответ: (-hello_html_m4803272.png;2].

2). Ответ: (-1;0)

6.Домашнее задание ( с комментариями) Слайд 44

7. Подведение итогов урока .Слайд 45.

По мере изучения курса алгебры постоянно возрастает применение функционально-графических методов, что позволяет быстро и красиво решать многие уравнения и неравенства ЗНО



17



Автор
Дата добавления 04.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров498
Номер материала ДВ-123158
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх