Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Тема: «Применение конструкций треугольник-окружность в решении задач геометрии»

Тема: «Применение конструкций треугольник-окружность в решении задач геометрии»

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ОТКРЫТОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Факультет повышения квалификации

педагогических кадров





КУРСОВАЯ РАБОТА

слушателя факультета повышения квалификации

педагогических кадров отделения «Математика»

Группа МА -10 (1)





Ивакина Нелля Павловна

учитель математики





Тема: «Применение конструкций треугольник-окружность в решении задач геометрии»










Заведующий кафедрой математики

к.ф.-м.н. Ященко Иван Валериевич


«04» апреля 2014г.



г. Москва – 2014г.


СОДЕРЖАНИЕ

Введение 2

  1. Вспомогательные конструкции и их свойства…………………………… 5

    1. Треугольник и секущая, теорема Менелая ……………………………5

    2. Треугольник и точка, теорема Чевы …………………………………...7

    3. Вписанный угол. Теорема синусов …………………………….………9

    4. Окружность и касательная, окружность и секущая. Теоремы о свойствах секущих …………………………………………….….……11

  2. Основные конструкции……………………………………………….….…14

2.1 Треугольник и описанная окружность………………………….….….14

2.2 Частные случаи: прямоугольный, равнобедренный и равносторонний треугольник ………………………………………………………….……...15

    1. Треугольник и вписанная (вневписанная) окружность……….………17

  1. Задачи для самостоятельного решения. ………………………….………21

Список использованной литературы …………………………………………23










Введение

При решении многих задач планиметрии возникают различные конфигурации, в которых участвуют треугольник и окружность. Знание наиболее распространенных комбинаций и их свойств позволяет получать короткие и красивые решения сложных на первый взгляд задач. К таким конструкциям в первую очередь относятся «треугольник и описанная окружность», «треугольник и вписанная окружность», которые довольно подробно изучаются в школьном курсе, в меньшей степени изучаются конструкции «треугольник и вневписанная окружность», «треугольник и окружность, проходящая через две его вершины», «треугольник и окружность, касающаяся двух его сторон» и другие.

Взгляд на планиметрию через призму конструкций дает учащимся возможность по-новому посмотреть на хорошо знакомый материал и связать его с новыми знаниями, укрепив их через практическое применение к решению задач.

Предлагаемые темы рассчитаны на школьников 10-11 классов, при подготовке к сдаче ЕГЭ (выполнения заданий С4).


Цель данных занятий:

  • познакомить старшеклассников с различными конструкциями, в которых участвуют треугольник и окружность и свойствами этих конструкций,

  • научить находить эти конструкции в ходе исследования условий задачи и применять нужные свойства для получения решения.


Требования к уровню усвоения содержания предмета

Старшеклассники должны знать:

  • основные конструкции, описанные выше и связанные с ними факты и теоремы,

  • ряд вспомогательных конструкций: «треугольник и секущая», «окружность и касательная», «треугольник и точка», «окружность и секущая» и их свойства.

Старшеклассники должны уметь:

  • определять, какие конструкции возникают в геометрических задачах,

  • применять подходящие свойства этих конструкций для поиска решения.




1. Вспомогательные конструкции и их свойства

В этой части мы рассмотрим некоторые важные конфигурации, в которых участвуют треугольник, окружность, прямая или угол.

1.1 Треугольник и секущая, теорема Менелая

Секущей будем называть прямую, которая пересекает некоторую геометрическую фигуру: треугольник, окружность, угол и т.п. Иногда удобно брать не только точки пересечения фигуры и секущей, но и некоторые дополнительные точки: например, точку пересечения прямой, на которой лежит сторона треугольника и секущей.

hello_html_m4921f692.jpg
Рассмотрим секущую треугольника. К ней относится одна замечательная теорема: теорема Менелая, которая связывает отношения длин отрезков, на которые секущая делит стороны треугольника.


Теорема Менелая. Пусть hello_html_m7a2a8e32.gif пересечен прямой, не параллельной стороне АC и пересекающей две его стороны АB и ВС соответственно в точках C1 и А1, а прямую АC в точке B1 тогда

hello_html_m2e4ed723.gif (1)


Справедлива также обратная теорема Менелая.

Теорема, обратная теореме Менелая. В треугольнике АВС точки А1, В1, С1 принадлежат прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда если

hello_html_637ce70b.gif,

то точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой.


Упражнение 1. Докажите теорему Менелая. (Указание: опустите на секущую перпендикуляры из вершин треугольника и рассмотрите пары получившихся подобных прямоугольных треугольников. Заменив в (1) отношения гипотенуз на отношения соответствующих катетов и выполнив сокращения, получите нужный результат.)


Упражнение 2. Докажите теорему, обратную теореме Менелая. (Указание: воспользуйтесь методом «от противного». Предположите, что, например, точка A1 не лежит на секущей. Тогда секущая пересечет сторону BC в некоторой точке A2, для которой выполнена прямая теорема Менелая. Далее самостоятельно получите противоречие.)


Упражнение 3. Решите задачу. Прямая пересекает стороны BC, AC и AB треугольника ABC в точках А1, В1, С1 соответственно. Докажите, что середины отрезков АА1, ВВ1, СС1, лежат на одной прямой.

Рhello_html_333d7ff.pngешение

Построим треугольник DEF , где D, E, F – середины сторон, AB, AC и BC соответственно.


hello_html_m5591856.gif

(по теореме Менелая)


Значит, по обратному утверждению теоремы Менелая точки K, L и M лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.


1.2 Треугольник и точка, теорема Чевы

Второй интересной конструкцией, которую мы рассмотрим, является треугольник, у которого три отрезка, проведенных из вершин на противоположные стороны или их продолжения, пересекаются в одной точке.

Свойства этой конструкции описывает теорема Чевы.

Тhello_html_354fdb0e.jpg
еорема Чевы.
В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А1, В1, С1. Если прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в некоторой внутренней точке Z треуголь­ника АВС то выполнено условие

hello_html_1df7ae86.gif. (2)


Так же, как и в случае теоремы Менелая, для теоремы Чевы справедливо обратное утверждение.

Теорема, обратная теореме Чевы. Если в произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А1, В1, С1, для которых выполнено условие

hello_html_1df7ae86.gif,

то прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке.


Упражнение 4. Докажите теорему Чевы. (Указание: попробуйте записать условие теоремы Менелая для треугольников ABB1 и B1BC и секущих CC1 и AA1, а затем исключите из этих равенств «лишние» отрезки.)


Упражнение 5. Докажите теорему, обратную теореме Чевы. (Указание: вновь используйте метод доказательства «от противного».)


Упражнение 6. Решите задачу. На медиане СМ треугольника АВС дана точка Р, через которую проведены прямые АР и ВР, пересекающие стороны ВС и АС треугольника в точках А1 и В1 соответственно. Докажите, что если АА1 равно ВВ1, то данный треугольник равнобедренный.


Рhello_html_m277ed09d.pngешение.

По теореме Чевы


hello_html_m5c33cc32.gif


hello_html_m7fce7dc2.gif


hello_html_m2bbd6f78.gif


hello_html_m6d331e8.gif

hello_html_72b676d.gif

Если АА1 = ВВ1, то эта трапеция равнобокая, то есть АВ1 = А1В.

Тогда по теореме Чевы В1С = А1С,

а значит АС = АВ1 + В1С = А1С + А1В = ВС, то есть ∆АВС равнобедренный.


1.3 Вписанный угол. Теорема синусов

Свойства угла, вписанного в окружность, подробно изучаются в школьном курсе геометрии. Тем не менее, эта конструкция достойна отдельного упоминания, так как из нее можно получить очень полезное доказательство теоремы синусов.

Теорема о вписанном угле. Величина угла, вписанного в окружность, равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.


Теорема синусов. В произвольном треугольнике отношения длин сторон треугольника к синусам противолежащих углов есть постоянная величина, равная диаметру описанной вокруг этого треугольника окружности.

hello_html_3797b663.png

Упражнение 7. Докажите теорему синусов. (Указание: воспользуйтесь рисунком и выразите длину хорды (стороны треугольника) через радиус окружности и величину центрального угла.)


Упражнение 8. Решите задачу. В треугольнике АВС hello_html_m18794ef3.gif, АВ =4, ВС =3, точки А1, В1, С1 – основания высот треугольника АВС. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника А В1С1.


Рhello_html_2d6ec7bd.pngешение.

Для сокращенной записи введем обозначение ∟АВС = β. Получаем ∟А В1С1 = β и ∟С В1А1 = β. Следовательно, ∟А1В1С1 = 2 β. По теореме синусов, радиус описанной окружности ∆ А1В1С1 равен

hello_html_3d747a2a.gif.


По условию, hello_html_677ee160.gif hello_html_5b80568e.gif, чтобы найти R, остается вычислить А1В1С1. hello_html_m629fbf97.gif Найдем АС по теореме косинусов:

АС2=АВ2+ВС2-2АВ·ВС·hello_html_m1e884842.gif, АС2=42+32-2·4·3·hello_html_2aceecfc.gif = 17, АС = hello_html_m7ffc1088.gif. Значит А1С1=hello_html_6acb7c67.gif и окончательно получаем:

hello_html_m152ce9c8.gif

Ответ: hello_html_m63fdf428.gif



1.4 Окружность и касательная, окружность и секущая. Теоремы о свойствах секущих

Вспомогательная конструкция «окружность – секущая» часто встречается в разных задачах. Более того, она связана с важным понятием «степень точки относительно окружности».

hello_html_m39608289.png

Мы рассмотрим только несколько конструкций, которые для удобства собраны на одном чертеже.

Перечислим некоторые их свойства.

Свойство 1. Длины отрезков касательных, проведенных к одной окружности из одной точки M равны (MT2=MO2-R2).

Свойство 2. Произведения отрезков двух секущих к одной окружности равны (MAMB= MCMD).

Свойство 3. Произведение отрезков внешней секущей равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки (MAMB=MT2=MO2-R2).

Далее рассмотрим случай, когда точка расположена внутри окружности.

Свойство 4. (аналог свойства 2) Произведения отрезков двух секущих к одной окружности равны (MAMB= MCMD).

Сhello_html_m46b0d113.png
войство 5. (аналог свойства 3)
Произведение отрезков внутренней секущей равно разности квадратов радиуса и расстояния от точки до центра окружности (MAMB= R2-MO2).


Упражнения 9-13. Докажите свойства 1-5.


Упражнение 14. Решите задачу. В окружности радиуса 17 проведена хорда АВ длины 30. Точка С лежит на хорде АВ так, что АС:ВС = 1:3. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды АВ в точке С.

Решение. 1). Пусть О –центр данной окружности радиуса 17, а r – искомый радиус окружности, касающийся данной окружности и касающийся ее хорды АВ в точке С. Возможны лишь два случая расположения этой окружности:

а) окружность и точка О лежат по одну сторону от хорды АВ.

б) окружность и точка О лежат по разные стороны от хорды АВ.


2) Пусть точке Р – центр окружности, радиус которой мы ищем, а точка К – точка касания этой окружности с данной. Точка РК = СР = r, СР АВ.

Тhello_html_12b67b49.png

Рисунок 1

ак как точка касания двух окружностей принадлежит прямой, соединяющей их центры, то точки О, Р, К лежат на одной прямой. Поэтому ОК = ОР + РК, ОР = ОК – РК = 17 – r.

Из треугольника СРО по теореме косинусов имеем:

ОР2=СР2+СО2-2СР·СО·cos∟ОСР

289 – 34r = CO2 - 2r·СО·cos∟ОСР

rhello_html_588a3e4c.png

Рисунок 2

= (289 – СО2) : (34 - 2·СО·cos∟ОСР) (*)
Пусть М – середина хорды АВ, тогда ОМ АВ, и из ∆СОМ и ∆ВОМ имеем: СО2 = СМ2 + ОМ2,

ОМ2 = ВО2 - ВМ2 = 172-152 = 64 СО2 = СМ2 + 64.

Так как АС = 1/3ВС , то АС = 1/4 АВ = 15/2, СМ = АМ – АС = 15 – 15/2 = 15/2.

Итак СО2 = (15/2)2 + 64 = 481/4.

Поскольку ∟ОСР = 90о - ∟ОСМ, то СО·cos∟ОСР = СО·sin∟ОСМ = ОМ = 8

Итак, r = (289 – 481/4) : (34 - 2·8) = 75/8

Рисунок 3


ОСР =hello_html_m1bfb7f93.png 90о + ∟ОСМ, поэтому получаем

r = (289 – СО2) : (34 + 2·СО·cos∟ОСР) =

= (675/4):50 = 27/8.




Ответ: 27/8 или 75/8


2. Основные конструкции

В этой части мы рассмотрим основные конструкции, которые образуют треугольник и окружность.

2.1 Треугольник и описанная окружность

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

У остроугольного треугольника эта точка находится внутри, у прямоугольного – на середине гипотенузы, а у тупоугольного – вне треугольника.


Упражнение 15. Докажите, что если два треугольника имеют общую сторону, то прямая, проходящая через центры описанных окружностей этих треугольников делит такую сторону пополам (проходит через середину стороны).


Из теоремы о вписанном угле следует, что из центра описанной окружности каждая сторона видна под углом, в два раза большем, чем противолежащий угол треугольника. Используйте это свойство для решения следующего упражнения.


Упражнение 16. Выразить стороны треугольника через его углы и радиус описанной окружности.


Упражнение 17. Докажите для произвольного треугольника следующую формулу: hello_html_559b68b4.gif, здесь a, b и c – стороны, R – радиус описанной окружности, S – площадь треугольника. (Указание: используйте выражение для стороны c из предыдущего упражнения и формулу для площади треугольника hello_html_7104c827.gif.)

2.2 Частные случаи: прямоугольный, равнобедренный и равносторонний треугольник

Как уже отмечалось выше, у прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Отсюда следует, что радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен половине его гипотенузы.

Справедлива также следующая теорема.

Теорема. Если радиус описанной окружности некоторого треугольника равен половине длины одной из его сторон, то этот треугольник – прямоугольный.


Упражнение 18. Докажите теорему. (Указание: покажите, что центр описанной окружности лежит на середине стороны треугольника, и найдите синус противоположного угла с помощью теоремы синусов.)

hello_html_m5460626.jpg
Рассмотрим теперь равнобедренный треугольник. Так как высота, проведенная к основанию такого треугольника, одновременно является серединным перпендикуляром и биссектрисой, то центр описанной окружности лежит на высоте (или ее продолжении).


Упражнение 19. Выразите отношение радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника к его высоте через угол при вершине этого треугольника.


Рассмотрим, наконец, равносторонний или правильный треугольник. В этом треугольнике высоты являются медианами, биссектрисами и серединными перпендикулярами. Поэтому центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан.

hello_html_m7058793e.jpg

Так как точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 к 1 считая от вершины, то радиус описанной окружности равен двум третьим от высоты. Таким образом, hello_html_m29884d52.gif, где a – сторона треугольника.

Упражнение 20. Выразите высоту, сторону и площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности.


2.3 Треугольник и вписанная (вневписанная) окружность

hello_html_55e584d5.png
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника. Радиус этой окружности и точки касания можно определить, опустив перпендикуляр из центра на сторону. Довольно распространенной является такая ошибка: за точку касания окружности и стороны принимают точку пересечения стороны и биссектрисы.

Рассмотрим некоторые свойства вписанного треугольника.

Пhello_html_77a0f1a2.png
усть x, y, z – отрезки, на которые точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника. Эти отрезки можно выразить через стороны треугольника, решив следующую систему уравнений:

hello_html_6af37442.gif

Получим:

hello_html_m316ddd36.gif

Упражнение 21. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, лежащими на противоположных сторонах, пересекаются в одной точке.

Упражнение 22. Решите задачу. В треугольнике АВС: АВ = 12, АС = 9,

ВС = 6. На прямой ВС взята точка D так, что ВD : DС = 1 :7. В треугольнике АDС и АDВ вписаны окружности, касающиеся прямой АD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.

Решение. Так как BD < CD, то возможны только два случая расположения точки D на прямой BC.

а) Точка D лежит на отрезке ВС.

б) Точка D лежит на продолжении стороны ВС за точку В.

hello_html_66fea0ba.png

Из соотношения ВD : DС = 1 :7 имеем:

В случае а) BD = 1/8 BC = 3/4, CD = 7BD = 21/4.

В случае б) BD = 1/7 DC, BC = 6/7DC BD = 1/6 BC = 1, CD = 7BD = 7.

Получаем DF = (AD+BD-AB)/2, DE = (AD+CD-AC)/2.

Таким образом, EF=DE-DF, EF = (CDACBD + AB)/2.

Отсюда имеем:

В случае а) EF = (21/4 – 9 - 3/4 + 12)/2 = 1/2·15/2 = 15/4

В случае б) EF = (7 – 9 – 1 + 12)/2 = 9/2

Ответ: 3,75 или 4,5.

Если вписанные окружности всем хорошо знакомы, то вневписанными встречаются реже. Поясним, чем они отличаются от вписанных.

Итак, центр вневписанной окружности лежит вне треугольника. Это точка пересечения биссектрис одного внутреннего и двух внешних углов треугольника.


Вневписанная окружность касается одной стороны и продолжений двух других сторон треугольника. Для треугольника существует три вневписанных окружности. (На рисунке изображены вписанная и вневписанная окружности. Хорошо видно, что точки касания этих окружностей со стороной треугольника не совпадают.)


Упражнение 23. Выразите длины отрезков касательных, проведенных из вершин треугольника к вневписанной окружности, через длины сторон этого треугольника. (Указание: используйте метод, который был применен к вписанной окружности.)

hello_html_m2ca02daa.png

Найдем выражения для радиусов вписанной и вневписанных окружностей. Начнем со случая вписанной окружности. « Разрежем» треугольник на три треугольника так, как показано на рисунке. Каждый из них имеет высоту, равную радиусу вписанной окружности. Сумма площадей трех треугольников равна площади большого:

hello_html_6720f0c7.gif.

Отсюда легко получить формулу для вычисления радиуса вписанной окружности:

hello_html_469ba5e1.gif.

Радиусы вневписанных окружностей можно получить аналогично. Представим площадь треугольника ABC так:

hello_html_6e8daf1.gif.

hello_html_m622e9ef9.jpg

Далее применим те же рассуждения, что и ранее. В результате получим следующую формулу:

hello_html_m728de46e.gif.


Упражнение 24. Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания сторон или продолжений сторон этого треугольника с вневписанной окружностью, пересекаются в одной точке. (Указание: используйте теорему Чевы.)



3 Задачи для самостоятельного решения.

1. Две окружности внешне касаются в точке А, ВС - их общая внешняя касательная. Доказать, что hello_html_m4e70bc25.gif.

2. Две окружности пересекаются в точках А и В. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой l, которая пересекает окружности соответственно в точках С, D, Е и М. Доказать, что сумма углов DBE и САМ равна 180°.

3. Две окружности пересекаются в точках А и В. Прямые l1 и l2 параллельны, причем l1 проходит через точку А и пересекает окружности в точках Е и К, а l2 про­ходит через точку В и пересекает окружности в точках М и Р. Доказать, что четырехугольник ЕКМР - параллелограмм.

4. Из точки М проведены к окружности с центром в точке О касательные МА и МВ. Прямая l касается окружности в точке С и пересекает МА и МВ соответственно в точках D и Е. Доказать, что: а) периметр треугольника MDE не зависит от Выбо­ра точки С; б) угол DOE не зависит от выбора точки С.

5. Точки А, В, С и D делят окружность на части, отношение которых 1 : 3 : 5 : 6. Найти углы между касательными к окружности, проведенными в точках А, В, С и D.

6. Две равные окружности внешне касаются друг друга и третьей окружности, радиус которой равен 8 см. Отрезок, соединяющий точки касания двух равных ок­ружностей с третьей, равен 12 см. Найти радиусы равных окружностей.

7. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного шестиугольника: а для другой ­вписанного квадрата. Найти расстояние между центрами окружностей.

8. Две окружности радиусами, и R касаются внешним образом. Найти дли­ну их общей внешней касательной.

9. Две окружности радиусами r и R касаются внешним образом. Прямая 1 пересекает окружности в точках А, В, С и D так, что АВ = ВС = CD. Найти AD.

10. Две окружности, радиусы которых относятся как 1 : 3, касаются внешним образом, длина их общей внешней касательной hello_html_6f15cd64.gif см. Найти периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними дугами окружностей.

11. Из внешней точки к окружности проведены секущая длиной 48 см и каса­тельная, длина которой составляет hello_html_m6de610d3.gif от внутреннего отрезка секущей. Найти ра­диус окружности, если известно, что секущая удалена от центра на расстояние 24 см.

12. Общая внешняя касательная двух внешне касающихся окружностей составляет с линией центров угол а. Найти отношение радиусов.

13. Из точки А, расположенной вне круга с центром О, проведены секущие АВС и АМК (В и М - ближайшие к А точки окружности, лежащие на секущих). Найти ВС, если известно, что hello_html_60aef114.gif и секущая АМК проходит через центр окружности.

14. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены отрезки АС и AD, каждый из которых, являясь хордой одной окружности, касается другой окружности. Доказать, что АС2 .BD = AD2 .BС.

15. АВ и CD - взаимно перпендикулярные пересекающиеся хорды окружно­сти радиуса R. Доказать, что АС2 + BD2 = 4R2.

16. Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки М, взятой на диаметре окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд есть для дан­ной окружности постоянная величина.

17. Две окружности внешне касаются в точке С, АВ - их общая внешняя ка­сательная. Найти радиусы, если АС = 8 см, ВС = 6 см.

18. Окружности радиусами R и hello_html_5732857e.gif касаются внешним образом. Из центра мень­шей окружности под углом 30° к линии центров проведен отрезок длиной 2R. Найти длины тех частей отрезка, которые лежат вне окружностей.

19. Окружности радиусами а и b имеют внутреннее касание < b), причем центр большей окружности лежит вне меньшей окружности. Хорда АВ большей окружности касается меньшей окружности и образует с общей касательной к окруж­ностям угол hello_html_2e28ff68.gif. Найти АВ.

20. В правильном треугольнике АВС на сторонах АВ и АС взяты точки М и К так, что АМ : МВ = 2 : 1, АК : КС = 1 : 2. Доказать, что отрезок КМ равен радиусу окружности, описанной около треугольника АВС.


Список использованной литературы


  1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 10-11 классы: учеб. Для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни– 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

  2. Гусев В.А., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А. Геометрия. Полный справочник. – М.: Махаон, 2006. – 320 с.

  3. Лаппо Л.Д., Филонов А.Н. Математика. Экспресс-курс подготовки к ЕГЭ: учебное пособие. – М.: Издательство «Экзамен», 2004. – 96с.

  4. Мальцев Д.А. Математика. Все для ЕГЭ 2011. Часть 1: учебно-методическое пособие. – Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.: НИИ школьных технологий, 2010. – 221 с.

  5. Мельникова Н.Б. Геометрия: Дидакт. Метериалы для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений. – 2-е изд. –М.: Мнемозина, 1999. – 272 с.

  6. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Учимся решать задачи по геометрии. Учеб.-метод. пособие. – К. «Магистр», 1996, – 256 стр.

  7. Потоскуев Е.В., Звавич. Л.И. Геометрия. 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики /– 3-е изд. – М.: Дрофа, 2005. – 223 с.

  8. Потоскуев Е.В., Звавич. Л.И. Геометрия. 11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики – 3-е изд. – М.:Дрофа, 2003. – 368 с.

  9. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. – 5-е изд., испр. И доп. –М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. – 640с.

  10. Прокофьев А.А. Пособие по геометрии для подготовительных курсов (планиметрия). – 4-е изд. перераб. и доп. – М.:МИЭТ, 2007, 232 стр.

  11. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10-11 классы: учеб. Для общеобразоват. заведений. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с

  12. Шарыгин И.Ф. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами / И.Ф.








Краткое описание документа:

Предлагаемые темы рассчитаны на школьников 10-11 классов, при подготовке к сдаче ЕГЭ.

Цель данных занятий:

познакомить старшеклассников с различными конструкциями, в которых участвуют треугольник и окружность и свойствами этих конструкций,

научить находить эти конструкции в ходе исследования условий задачи и применять нужные свойства для получения решения.

Автор
Дата добавления 22.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров639
Номер материала 309919
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх