Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Тема : «Разные способы доказательства теоремы Пифагора»

Тема : «Разные способы доказательства теоремы Пифагора»

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема : «Разные способы доказательства теоремы Пифагора» Участники проекта: 1....
Теорема Пифагора и способы ее доказательства Содержание: Введение История отк...
Доказательство теоремы Пифагора по косинусу Построим из прямого угла С высоту...
Опустим высоту на гипотенузу C .Площадь треугольника-S ,разбивается на 2 Ему...
Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенн...
Доказательство теоремы Пифагора по Басхари Это прямоугольный треугольник Иллю...
Доказательство теоремы Пифагора методом 			Гофмана и Мёльманна Метод Гофмана...
Доказательство теоремы Пифагора методом 			Гофмана и Мёльманна Метод Мёльманн...
Наиболее привычный способ доказательства теоремы Пифагора. Это равнобедренный...
  Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: BC²=AB²+AC² Доказательство: 1...
Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах,...
На рисунке Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны  которого...
Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам,...
Рис. 11 иллюстрирует еще одно более оригинальное доказательство, предложенное...
Доказательство теоремы Пифагора по Евклиду AJ- высота, опущенная на гипотенуз...
S треугольника ABD=1/2 Sпрямоугольника BJLD, т.к. у треугольника ABD и прямоу...
Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из котор...
Теорема Пифагора издавна применялась в разных областях науки и техники, в пра...
В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. В наши дни теорема П...
1. Атанасян Л.С., Бутузов Б.Л., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы, 200...
1 из 23

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Тема : «Разные способы доказательства теоремы Пифагора» Участники проекта: 1.
Описание слайда:

Тема : «Разные способы доказательства теоремы Пифагора» Участники проекта: 1.Беляков Андрей-ученик 9 класса 2.Алексеева Наталья-ученица 9 класса Руководитель проекта: Кондратьева Л.А.-учитель математики д. Лаголово Ломоносовский район 2014 год

№ слайда 2 Теорема Пифагора и способы ее доказательства Содержание: Введение История отк
Описание слайда:

Теорема Пифагора и способы ее доказательства Содержание: Введение История открытия теоремы Пифагора Биография Пифагора Доказательство теоремы Пифагора по косинусу Доказательство теоремы Пифагора по площади Векторное доказательство теоремы Пифагора Доказательство теоремы Пифагора по Басхари Доказательство теоремы Пифагора методом Гофмана и Мёльманна Наиболее привычный способ доказательства теоремы Пифагора Геометрическое доказательство методом Гарфилда Доказательство теоремы Пифагора методом достроения Доказательство теоремы Пифагора по Евклиду Пифагоровы тройки Применение теоремы Пифагора Заключение Список использованной литературы

№ слайда 3
Описание слайда:

№ слайда 4
Описание слайда:

№ слайда 5
Описание слайда:

№ слайда 6 Доказательство теоремы Пифагора по косинусу Построим из прямого угла С высоту
Описание слайда:

Доказательство теоремы Пифагора по косинусу Построим из прямого угла С высоту СD По определению косинуса Аналогично: Cos β=BD:BC=BC:AB Складывая полученные равенства почленно, и отмечая, что АС 2+BС 2=AB(AD+DB)=AB2 чтд На главную

№ слайда 7 Опустим высоту на гипотенузу C .Площадь треугольника-S ,разбивается на 2 Ему
Описание слайда:

Опустим высоту на гипотенузу C .Площадь треугольника-S ,разбивается на 2 Ему подобных с площадями S1 и S2. Площади треугольников относятся как Квадраты их гипотенуз. Доказательство теоремы Пифагора по площади НО! чтд На главную

№ слайда 8 Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенн
Описание слайда:

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b + c = a откуда имеем c = a - b возводя обе части в квадрат, получим c²=a²+b²-2ab Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда c²=a²+b² или c²=a²+b² Теорема Пифагора снова доказана. Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.

№ слайда 9 Доказательство теоремы Пифагора по Басхари Это прямоугольный треугольник Иллю
Описание слайда:

Доказательство теоремы Пифагора по Басхари Это прямоугольный треугольник Иллюстрирует доказательство великого индийского математика Басхари Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ!

№ слайда 10 Доказательство теоремы Пифагора методом 			Гофмана и Мёльманна Метод Гофмана
Описание слайда:

Доказательство теоремы Пифагора методом Гофмана и Мёльманна Метод Гофмана Построим треугольник ABC с прямым углом С Построим BF=CB, BFCB Построим BE=AB, BEAB Построим AD=AC, ADAC Точки F, C, D принадлежат одной прямой. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF=ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим: 1/2а2+1/2b 2=1/2с 2 чтд Соответственно: а2+ b 2 =с 2

№ слайда 11 Доказательство теоремы Пифагора методом 			Гофмана и Мёльманна Метод Мёльманн
Описание слайда:

Доказательство теоремы Пифагора методом Гофмана и Мёльманна Метод Мёльманна Площадь данного прямоугольника с одной стороны равна 0.5ab, с другой 0.5pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r = 0.5(a+b-c)). Имеем: 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c) Отсюда следует , что с2=а2+b2 чтд На главную

№ слайда 12 Наиболее привычный способ доказательства теоремы Пифагора. Это равнобедренный
Описание слайда:

Наиболее привычный способ доказательства теоремы Пифагора. Это равнобедренный прямоугольный треугольник. Все треугольники равны исходному, поэтому также являются равнобедренными и прямоугольными

№ слайда 13   Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: BC²=AB²+AC² Доказательство: 1
Описание слайда:

  Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: BC²=AB²+AC² Доказательство: 1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: SABED=2×AB×AC/2+BC²/2 3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна: S ABED=((DE+AB)/2)×AD 4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:   AB×AC+BC²/2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB×AC+BC²/2= (AC+AB)²/2 AB×AC+BC²/2= AC²/2+AB²/2+AB×AC BC²=AB²+AC².

№ слайда 14 Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах,
Описание слайда:

Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры. На рисунке изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах  квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику. Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь CОEP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.

№ слайда 15 На рисунке Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны  которого
Описание слайда:

На рисунке Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны  которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах.

№ слайда 16 Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам,
Описание слайда:

Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае. Рисунок иллюстрирует доказательство, приведенное Нассир-эд-Дином (1594 г.). Здесь: PCL – прямая; KLOA = ACPF = ACED = a2; LGBO = CBMP = CBNQ = b2; AKGB = AKLO + LGBO = c2; отсюда  c2 = a2 + b2.

№ слайда 17 Рис. 11 иллюстрирует еще одно более оригинальное доказательство, предложенное
Описание слайда:

Рис. 11 иллюстрирует еще одно более оригинальное доказательство, предложенное Гофманом.  Здесь: треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим c2 = a2 + b2. ч.т.д.

№ слайда 18 Доказательство теоремы Пифагора по Евклиду AJ- высота, опущенная на гипотенуз
Описание слайда:

Доказательство теоремы Пифагора по Евклиду AJ- высота, опущенная на гипотенузу. Докажем, что её продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат На два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих Квадратов, построенных на катетах. 1) Докажем, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH. Треугольник ABD=BFC (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; угол FBC=углу ABD). НО!

№ слайда 19 S треугольника ABD=1/2 Sпрямоугольника BJLD, т.к. у треугольника ABD и прямоу
Описание слайда:

S треугольника ABD=1/2 Sпрямоугольника BJLD, т.к. у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD АНАЛОГИЧНО, S треугольника FBC=1/2 S прямоугольника ABFH(BF-общее Основание, AB-общая высота). Отсюда, учитывая, что S треугольника ABD =S треугольника FBC, имеем: S BJLD=S ABFH. АНАЛОГИЧНО, используя равенство треугольников BCK и ACE, доказывается, что S JCEL=S ACKG. S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED. S треугольника=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD чтд На главную

№ слайда 20 Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из котор
Описание слайда:

Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x² + y²= z² ). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. .. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики. Поскольку уравнение x² + y² = z² однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x,y,z — взаимно простые числа. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52). Некоторые Пифагоровы тройки: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)… Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Несмотря на то, что в школе на изучение Пифагоровых троек не отводится много времени, в настоящее время знание их необходимо при решении многих математических задач.

№ слайда 21 Теорема Пифагора издавна применялась в разных областях науки и техники, в пра
Описание слайда:

Теорема Пифагора издавна применялась в разных областях науки и техники, в практической жизни. Область применения теоремы достаточно обширна. Применяется в литературе, мобильной связи, архитектуре (индийцы, например, использовали ее для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта), а также в астрономии. Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Воз­никла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означа­ет «треугольник»). Эта наука нашла применение в землемерии. Но еще раньше с ее помощью научились измерять вообра­жаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями. О теореме Пифагора писали в своих произведениях писатели Плутарх, инженер Витрувий, греческий ученый Диоген, математик Прокл. Не всякое математическое положение удостаивается такого внимания поэтов и писателей.

№ слайда 22 В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. В наши дни теорема П
Описание слайда:

В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема применяется в геометрии на каждом шагу. Из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Всего известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки - наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа.. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника (первый, египетский со сторонами 3, 4 и 5 всем известен), значения которых очень велики. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и пло-дородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана. К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора. 

№ слайда 23 1. Атанасян Л.С., Бутузов Б.Л., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы, 200
Описание слайда:

1. Атанасян Л.С., Бутузов Б.Л., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы, 2007 г. 2. Глейзер Г., Учебно-методическая газета Математика, №4 2005г. 3. Киселёв А.П. , Геометрия. Часть первая. Планиметрия, Москва,Просвещение,1969г.  4. Остренкова Г., Учебно-методическая газета Математика, №24 2001г. 5. Семёнов Е.Е. «Изучаем геометрию», Москва, Просвещение ,1987г. 6. Скопец З.А. «Геометрические миниатюры» , Москва, Просвещение,1990г. 7. Ткачева М.В. Домашняя математика , Москва, Просвещение ,1994г. 8. Интернет-источники: http://bankreferatov.ru/ http://kvant.ru/ http://th-pif.narod.ru/formul.html

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 24.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров6295
Номер материала ДВ-092849
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх