Тема разработки "РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ"

   

	Сборник задач           Составил:Сырымбетов М.С.

 

 

  

1.  Решите уравнение: х++=2

Решение:  Воспользуемся неравенством а₁ а₂+в₁ в₂

Геометрическая интерпретация этого неравенства : скалярное произведение двух векторов не превосходит произведения их длин. Оно является частным случаем (n=2) общего неравенства  Коши-Буняковского. Равенство имеет место в случае коллинеарности векторов (а₁,в₁) и (а₂,в₂).

Имеем х+1=2. Значит векторы

(х,1) и (,) коллинеарны, следовательно их координаты пропорциональны.  = ,     х= ,  х³-3х²+х+1=0

х³-2х²+х-х²+1=0 ; х(х-1)²-(х-1)(х+1)=0 Разложим на множители: (х-1)(х²-2х-1)=0 . Отсюда

   х-1=0; х=1,  х²-2х-1=0; х=1+, , х=1-,

Корень , х=1-- посторониий , т.к. х-положительное число.

Ответ: х=1, х=1+

2.   Для функции f(x)=ах²+вх+с известно , что а<b  и f(x)  для всех х. Найти наименьшее значение

Решение:  Если f(x) для всех х ,то а >0     и Д=в²-4ас< 0 и   с>  

==,. Пусть в-а=р, тогда

   ===3.                                                                             Здесь применили неравенство Коши      9а²+р²6ар

3.Может ли квадратное уравнение ах²+вх+с=0 с целыми коэффицентами иметь дискриминант, равный 23?

 Решение: Допустим , что дискриминант равен 23. Тогда в²-4ас=23. Т.к. 4ас четное число, то в должно быть нечетным числом, т.е. в=2к+1. Тогда (2к+1)²-4ас=23;

4к²+4к+1-4ас=23                                                                                                   

4(к²+к-ас)=22 . Левая часть равенства при целых значениях к и а является числом кратным 4, а правая часть на 4 не делится нацело, Получили противоречие. Значит квадратное уравнение ах²+вх+с=0 с целыми коэффицентами не может  иметь дискриминант, равный 23.

4.Доказать, что число 1998 невозможно представить в виде разности квадратов двух разных чисел.

Решение:   Докажем от противного: предположим, что число 1998 можно представить в виде разности квадратов двух различных чисел. Так как число 1998 четное, то эти оба числа либо четные, либо нечетные. В противном случае разность квадратов четного и нечетного чисел была бы нечетным числом.

    Предположим, что эти два числа четные. Тогда их можно записать в виде 2n и 2m. Составим разность квадратов этих чисел:   (2n)² –(2m)² = 4n² -4m² =4(n² - m²). Полученная разность квадратов двух четных чисел делится на 4, так как один из множителей  произведения 4(n² - m²) делится на 4, но число 1998 на 4 не делится, следовательно, число 1998 нельзя представить в виде разности квадратов двух четных  чисел.

    Предположим, что эти два числа нечетные. Тогда их можно записать в виде 2n -1 и 2m-1.  Составим разность квадратов этих чисел:   (2n+1)² –(2m+1)² = 4n² -4n+1- 4m²+4m -1=4(n² - m²)-  4(n - m) =4(n² - m²  - n + m). Полученная разность квадратов двух нечетных чисел делится на 4, так как один из множителей  произведения 4(n² - m²  - n + m). делится на 4, но число 1998 на 4 не делится, следовательно число 1998 нельзя представить в виде разности квадратов двух нечетных  чисел. Получили противоречие. Наше предположение неверно, значит, число 1998 невозможно представить в виде разности квадратов двух разных чисел.

5.  Можно ли в равенстве 1*2*3*. . .*10=0  вместо звездочек поставить знаки плюс и минус так, чтобы получилось верное равенство.

Решение:  Нельзя, так как эта алгебраическая сумма содержит нечетное число нечетных различных чисел и нечетное число четных чисел, и их алгебраическая сумма была бы нечетным числом.

6.Объясните, как покрасить часть точек плоскости так, чтобы на любой окружности радиуса 1 см было, ровно четыре покрашенные точки.

Решение: Проведем на плоскости параллельные прямые на расстоянии 1см друг от друга и будем считать эти прямые закрашенными частями плоскости.   Тогда любая окружность радиусом 1 см и центром в любой точке плоскости будет содержать ровно четыре покрашенные точки.

7. Дописать справа к числу 641 три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось бы на 7, 8, и 9.

Решение:   Если число делится на 7, 8 и 9, то оно делится также на их и     произведение, то есть 7*8*9=504. Возьмем число  641 000, разделим на 504 с остатком , то есть  641000 = 504*1271 + 416 .К обеим частям данного равенства прибавим число 88 = 504 – 416 , то есть число дополняющее  число 416  до 504,   641000 + 88 = 504*1271 + 416 +88, отсюда следует равенство

641 088= 504*1271+504=504*1272. Отсюда следует, что число 641 088

делиться на 504, а значит и делится на 7, 8 и 9. Искомые цифры: 0, 8, 8.

Сложим число 641 088 и 504:     641 088 + 504 = 641 592. Полученная сумма также делится на 504, значит и делится на 7, 8 и 9. Искомые цифры: 5, 9, 2.

8.Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом произведение не изменилось. Приведите примеры таких чисел.

Решение:  1)Например, возьмем следующие пять чисел:  -0,5; 3; 4; 5; 6 и найдем их произведение:   -0,5*3* 4* 5* 6=-180. Уменьшим каждое на единицу и найдем их произведение: -1,5*2*3*4*5=-180. Значит, данные числа -0,5; 3; 4; 5; 6 – искомые.

2)  Например, возьмем следующие пять чисел:  - 1;5; 6;7;8  и найдем их произведение:   -1*5*6*7*8=-1680. Уменьшим каждое на единицу и найдем их произведение: -2*4*5*6*7=-1680.  Значит, данные числа -1; 5;6; 7;8  – искомые.

9.Какое из чисел больше

…+или 

Решение:   Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше числитель, и меньше та, у которой больше знаменатель. В данной сумме каждое слагаемое  заменим дробью , и тогда исходная сумма будет меньше вновь полученной суммы, то есть

…+<++ …==<.

Значит  больше суммы …+

10.Решите  уравнение  х²  - у² –х +у =6 в натуральных числах.

Решение: Разложим левую часть уравнения на множители.

 х²  - у² –х +у =6

(х-у) (х+у-1)=6. Так как 6=1*6 и 6=2*3, то данное уравнение можно заменить на равносильные ему четыре системы уравнений: 1) ,                     или 2) ,или 3) , или 4)

Системы 1) и 4) в натуральных числах решений не имеет. Система 2) имеет решение х=4, у=3 , система 3) имеет решение х=3, у=1 .

Ответ : 1) х=4, у=3 ,   2) х=3, у=1 .

11.Страницы учебника пронумерованы 3, 4, 5 и т.д. Для этого потребовалось 1000 цифр. Сколько страниц в учебнике?

Решение: Страниц, пронумерованных  однозначными числами от 3 до 9 всего 7, а значит и цифр требуется всего 7. Страниц, пронумерованных  двузначными числами от 10 до 99 всего 90, а значит, цифр требуется всего -180. Значит, на страницы с трехзначными числами требуется 1000- 7-180=813 цифр. Разделив 813 на 3 получим 271 страницу, пронумерованных трехзначными числами от 100 до 270 включительно.   Значит в учебнике   270  страниц.

12.Докажите , что n(n²+5) делится на 6.

Доказательство:  n (n²+5)= n(n²-1+6)= n(n²-1)+6 n = n(n-1)( n+1)+ 6 n; произведение

n (n-1)( n+1) кратно 6, так как является произведением трех последовательных натуральных чисел, и произведение  6 n кратно 6, следовательно и сумма  n(n-1)( n+1)+ 6n кратна 6, а значит и n(n²+5) делится на 6.    

13.Докажите , что в десятичной записи числа 2³⁰⁰ не более 100 цифр.

Доказательство:    2³⁰⁰=(2³ )¹⁰⁰=8¹⁰⁰<10¹⁰⁰. Число 10¹⁰⁰  содержит 101 цифру (1 и 100 нулей). Так как    2³⁰⁰  <10¹⁰⁰ , то значит число  2³⁰⁰ содержит не более 100 цифр.

14.К числу 43 справа и слева приписать по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

Решение: Если число делится на 45, то  оно делится на 5, и на 9. Значит оно должно оканчиваться на 0 или на 5, и сумма его цифр должна делиться на 9.

Значит это числа 1) 2430;   2) 6435.

15.Докажите , что произведение четырех последовательных четных(нечетных) натуральных чисел в сумме с числом 16 является полным квадратом натурального числа.

Доказательство:     п(п+2)(п+4)(п+6) +16= ((п+3)-3)((п+3)-1)((п+3)+1)((п+3)+3) + 16=

=((п+3)²-9) ((п+3)²-1) +16 = (п+3)⁴-9(п+3)²-(п+3)²+9+16=   (п+3)⁴-10(п+3)²+25=( (п+3)²-5)².

16.Докажите , что произведение четырех последовательных натуральных чисел  в сумме с единицей является  полным квадратом натурального числа.

    Доказательство:      п(п+1)(п+2)(п+3) +1= п(п+3)(п+1)(п+2)+1=(п²+3п)(п²+п+2п+2) + 1=

 = (п²+3п)(п²+3п+2) + 1 =    (п²+3п)² +2(п²+3п) +1 =    (п²+3п+1)².

17.Произведение  произведение четырех последовательных натуральных чисел  равно  1680. Найдите эти числа.

Решение: Произведение четырех последовательных натуральных чисел  в сумме с единицей является  полным квадратом натурального числа. Пусть п меньшее число. По условию п(п+1)(п+2)(п+3)=1680. Прибавим к обеим частям равенства 1:

п(п+1)(п+2)(п+3) +1=1681 ;      (п²+3п+1)²=41² ;     п²+3п+1=41 ;  п²+3п-40=0 ; п=-8 – не подходит по условию;  п=5 является натуральным числом. Значит искомые числа 5,6,7,8.

18.Известно, что авс+ав+ас+вс+а+в+с=1000. Найти сумму  а+в+с.

Решение:

Прибавим к обеим частям равенства единицу и разложим обе части на множители.

авс+ав+ас+вс+а+в+с+1=1001:

ав(с+1)+с(а+в)+(а+в)+(с+1)=7х11х13

ав(с+1)+(а+в)(с+1)+(с+1)=7х11х13

(с+1)(ав+а+в+1)=7х11х13

(с+1)(а(в+1)+(в+1))=7х11х13

(с+1)(в+1)(а+1)=7х11х13 . Значит с+1=7; в+1=11; а+1=13, отсюда с=6, в=10, а=12, тогда а+в+с=12+10+6=28.

19.При каких значения а и b уравнение a sin x = b уравнение имеет ровно 850 корней?

Решение : a sin x = b ;          sin x= ,  Решая это уравнение графическим способом можно заметить , что синусоида у= sin x и прямая у= проходят через начало координат, которое является для этих линий центром симметрии, и не могут имеет четное число точек пересечений, следовательно данное уравнение не может иметь ровно 850 корней.

20.Может ли вершина параболы у=4х²-4(а-1)х+а лежать во второй координатной четверти при каком – нибудь значении а?

Решение: х₀=--абсцисса вершины параболы, значит х₀==

У₀-ордината вершины параболы, значит у₀=-а²+3а-1. Если точка принадлежит 2-й координатной четверти, то ее абсцисса отрицательна, а ордината положительна. Значит

 т.е.           

1)а<1     2)  Решением данного неравенства является промежуток:

   . Найдем пересечение множеств решений данных неравенств системы:

        Ответ: может, при а        

21. Дан треугольник со сторонами а, в и с. Докажите что если медианы проведеные к сторонам   а и в   , взаимно перпендикулярны, то а²+в²=5c²                                      

 

                                         С                    

                                    К                   Е

                                                  О               

                              А                                     В

Дано :      АВС, АЕ и ВК медианы; АЕ перпендикулярно ВК. ВС = а, АС = в , АВ = с.               Доказать: а²+в²=5c² 

Доказательство: Пусть АЕ = m_a , BC=m_в  Медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении2:1, считая от вершины. Треугольники АВО, АКО, ВЕО – прямоугольные:      АВ²=АО²+ВО² ;   ВЕ²=ВО²+ЕО²;       АК²=АО²+КО²    Значит

с²= m_a²+   m_в² (1) ,      а² =     m_a²+   m_в²  (2) ,          в² =     m_в²+   m_а²  (3) Сложим почленно равенства (2) и (3) :    а² +  в² = m_а²  +  m_в²  . Умножим обе части равенства на 4: :   а² +  в² = 4 ( m_а²  +  m_в² ) = 5 ( m_а²  +  m_в²) = 5с² , что и требовалось доказать.

22.Решите уравнение х⁹⁹+2х¹⁹⁹+3х²⁹⁹+...+20х¹⁹⁹⁹=210

Решение:  Т.к. показатели переменной х в уравнении нечетные числа, то значение корня должно быть положительным числом.   Допустим, что корень уравнения больше нуля и меньше единицы.Тогда х⁹⁹ меньше 1, 2х¹⁹⁹ меньше 2, 3х²⁹⁹ меньше 3,...,   20х¹⁹⁹⁹ меньше 20, следовательно сумма   х⁹⁹+2х¹⁹⁹+3х²⁹⁹+...+20х¹⁹⁹⁹ меньше 210, так как 1+2+3+...+20=210. Значит корень уравнения не может быть больше нуля и меньше единицы.

  Допустим , что корень уравнения больше единицы. Тогда х⁹⁹ больше 1, 2х¹⁹⁹ больше 2, 3х²⁹⁹ больше 3,...,   20х¹⁹⁹⁹ больше 20, следовательно сумма   х⁹⁹+2х¹⁹⁹+3х²⁹⁹+...+20х¹⁹⁹⁹ больше  210, так как 1+2+3+...+20=210. Значит корень уравнения не может быть больше единицы. Проверим х=1: лю,бая степень числа 1 равна 1, следовательно 1⁹⁹+2*1¹⁹⁹+3*1²⁹⁹+...+20*1¹⁹⁹⁹ =210, значит корень уравнения равен 1.

Ответ: х=1

23.Одна сторона квадрата увеличена на р%, а другая уменьшена на р%. Площадь полученного прямоугольника составляет 99% от площади квадрата. Найти р.

Решение:Пусть х – сторона квадрата, тогда его площадь равна х².После того, как одну сторону увеличили на р%, т.е. х+х=х(1+), а другую уменьшили на р%, т.е. х-х=х(1-),то площадь получившегося прямоугольника стала х(1+) х(1-)=х²(1-). Так как площадь получившегося прямоульника составляет 99% от площади квадрата, то х²= х²(1-).Разделив обе части уравнения на х², получим уравнение =1-. Отсюда =,т.е.  р=10%

Ответ: р=10%

24.Прямоугольный участок пола покрыт квадратной плиткой одинакового размера. На границе участка использовали плитку красного цвета, а внутри участка –зеленого. Понадобилось поровну плиток красного и зеленого цвета.Сколько всего плиток могло быть использовано!

Решение: Пусть по длине участка размещается а плиток, а по ширине в плиток, тогда на границе участка разместятся а+а+в-2+в-2=2а+2в-4 красных плиток, а внутри участка- (а-2)(в-2)=ав-2а-2в+4 зеленых плиток.Так как количество красных и зеленых плиток поровну, то

2а+2в-4= ав-2а-2в+4.

4а+4в-ав=8,

 а(4-в)=8-4в,

а====+=4+

Числа а и в являются натуральными, следовательно число в больше 4 и не больше  12.

Пусть в=5, тогда а=4+=12,

           в=6, тогда а=4+=8

           в=8, тогда а=4+=6

           в=12, тогда а=4+=5

Значения в=7;9;10;11 не подходят по смыслу задачи, т.к. число а –целое  Задача имеет два решения: всего могло быть использовано либо 5*12=60 плиток (30 красных и 30 зеленых ), либо 6*8=48 плиток (24 красных и 24 зеленых)   

25.Вычислить  2010х2012х2014х2016+16

Решение: 2010х2012х2014х2016+16=(2013-3)(2013-1)(2013+1)(2013+3)+16=

(2013²-9)(2013²-1)+16=2013⁴-9х2013²-2013²+10+16=2013⁴-10х2013²+25=(2013²-5)²

26.Доказать, что произведение четырех последовательных четных(нечетных) натуральных чисел в сумме с числом 16 является натуральным числом.

Док-во:  п(п+2)(п+4)(п+6)+16=((п+3)-3)((п+3)-1) ((п+3)+1)((п+3)+3)+16= ((п+3)²-9)((п+3)²-1)+

+16=(п+3)⁴-9(п+3)²-(п+3)²+9+16=(п+3)⁴-10(п+3)²+25=((п+3)²-5)².

27.Решите уравнение:  - =1

 - =1,   введем новую переменную    =у, где утогда у - =1

у²-у-2=0 , где у=-1 и у=2;  у=-1 – посторонний корень. Значит =2 ; =4 ;

4х+4=2х ;  2х=-4; х=-2 . Найдем ОДЗ:0 при х.  Х= -2 принадлежит ОДЗ ,Ответ: х=-2.

28.Основание равнобедренного треугольника относится к его высоте как 3:2. Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.

Решение: Пусть АВС равнобедренный треугольник с основанием АС и высотой ВК, где

АС: ВК=3:2.              Пусть к- коэффициент пропорциональности, тогда АС=3к и ВК=2к.

 S=1/2 АСхВК=1/2 3к*2к= 3к² .   R- радиус описанной окружности, r- радиус вписанной                                               

                    В               окружности.  R=     r=    

                                                  АК=1,5к , ВК= 2к , АВ=ВС=2,5к  

                                                              R= ==  =к

  А                                            С           r=  =   к

                        К              R: r=(  к ):( к) =           Ответ:       

29.Обозначим через S=1!(1²+1+1) + 2!(2²+2+1) +…+2011!(2011²+2011+1) .

Вычислите значение  

Решение: Исследуем произведение: n!(n²+n+1)=n!(n²+2n+1-n)=n!((n+1)²-n)=n!(n+1)²-n!n=

= n!(n+1)(n+1)-n!n=(n+1)!(n+1)- n!n . Значит n!(n²+n+1)= (n+1)!(n+1) - n!n. Следовательно

S=1!(1²+1+1) + 2!(2²+2+1) +…+2011!(2011²+2011+1)= 2!2 - 1!1 + 3!3 - 2!2 + 4!4 – 3!3 + … +

+ 2011!2011 – 2010!2010 + 2012!2012 – 2011!2011 = 2012!2012 – 1.

 =  = =2012

30.Доказать, что для любых положительных а и в верно неравенство

 +    Доказательство: Преобразуем левую часть неравенства :

 + =  +  = +  +  +   +  +   =

 (  ) + ( +  ) +()

неравенствами  а +в    и  верных для любых положительных чисел а и в

  2 =   (1);   +  2 =  (2); х2=4 (3) Сложим почленно неравенства (1), (2) ,(3):

(  )  + ( +  ) +() +   + 4  4+4=8 .            

Значит  +  

31. Синус и косинус некоторого угла а оказались различными корнями квадратного трехчлена ах²+вх+с. Доказать, что в²=а²+2ас.

Доказательство: По теореме Виета  +  =  ; (1)        (2) . Возведем обе части равенства (1) в квадрат: = + 2 .

Т.к. + =1 и    ,      то  = 1+ ;  умножим обе части равенства на а² :  в²=а²+2ас , что и требовалось доказать.

32.Решите уравнение: (х³-2)(-1) + (-4) =0

Решение:    (х³-2)(-1) = (4-) .   Т.к. ||1, то рассмотрим два случая:

1 случай: 01  -10   

2;    -1=0  и   при х= ,   первое решение х= ,  . Т.к. -10 и ,  то

либо а)    ,            либо б)    , т.е. выражения   и    

числа одинаковых знаков.   а)      х= , либо  б)      х= 

 значит второе решение  х= .

2 случай:  -10  -10   

-;    -1=0  и   при х= ,

Аналогичное решение х= ,

Т.к. -10 и ,  то

либо а)    ,            либо б)    , т.е. выражения   и    

числа одинаковых знаков.   а)      х= , либо  б)      х= 

 значит получаем аналогичное решение   х= .

Ответ: х= , ,   х= .   

33.Переднее колесо  велосипеда изнашивается через 2000 км, а заднее через 3000 км. Какое максимальное расстояние можно проехать на одной паре колес, поменяв вовремя колеса местами? Через сколько км пробега следует поменять колеса?

Решение:  износ переднего колеса на 1 км,  износ заднего колеса на 1 км. Тогда

(+  = =  - средний износ переднего и заднего колес на 1 км. Значит на одной паре колес можно проехать максимально 2400 км, поменяв их друг с другом через 1200 км.  

34.Решить уравнение в действительных числах

Х⁴-2х³-х²-2х+1=0

Решение:  Разложим левую часть уравнения на множители :.

                     Х⁴-2х³-х²-2х+1=0 ;       ( х⁴-х²+1) – (2х³+2х)=0 ;       (х⁴+2х²+1) – 3х² – 2х(х²+1)=0 ; 

                    (х²+1)² -2х(х²+1) + х² – 4х² =0 ;      (х²+1 –х)² – 4х²=0  ;     ( х² +1-х-2х) ( х² +1-х+2х)=0 ;  

                   (х² – 3х +1)(х² –х + 1) = 0 .     Приравняем каждый множитель к нулю и решим

                   получившиеся квадратные уравнения :   1)  х² – 3х +1=0   или     2) х² –х + 1 =0

                  1)  х² – 3х +1=0  ;   D=9-4=5 ;   х=

                  2) х² –х + 1 =0     ;   D=1-4=-3  ;  корней нет.               ОТВЕТ:    х= 

  35. Найти площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 1 см и 4 см.

Решение: Пусть а, в – катеты, с – гипотенуза , r -        радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности: r=1см, R=4см. В прямоугольном треугольнике радиус описанной около него окружности равен половине гипотенузы, то есть R=с/2, где с= 2R = 8 см, радиус вписанной окружности вычисляется по формуле  r = , значит =1 , следовательно а + в=10 см. Возведем обе части равенства в квадрат : (а + в)² = 100 ; а²+2ав+в²=100 ; согласно теореме Пифагора а² + в² = с² , то есть а² + в² = 64 . Значит 64+2ав=100. Отсюда 2ав=36 . Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов S= , то разделив обе части последнего равенства на 4 получим

S= = 9 см²                                        ОТВЕТ:  9 см²

36.  На доске написано 30 последовательных натуральных чисел. Известно, что сумма десяти из них – число простое. Может ли сумма оставшихся 20 чисел быть простым числом.

Ответ: Не может, так как среди 30 последовательных натуральных чисел 15 нечетных чисел, а среди десяти чисел, сумма которых является простым числом , количество нечетных чисел нечетно, а среди оставшихся 20 чисел количество нечетных чисел четно, а значит их сумма четное число и не может быть простым числом.

37.Если идти вниз по движущемуся эскалатору, то на спуск потратишь 1 минуту. Если увеличить собственную скорость в два раза, то спустишься за 45 секунд. За какое время можно спуститься, стоя на эскалаторе неподвижно?

Решение: Пусть С – длина эскалатора, х – скорость движения эскалатора, у –скорость движения человека. Тогда  = 1 мин.=60 сек.  и = 45 сек.  Отсюда

С=60(х+у)  и С=45(х+2у).  Значит 60(х + у) = 45(х+2у) , то есть 15х=30у или х=2у.

Время спуска ,стоя неподвижно на эскалаторе, определяется отношением  .

С=60(2у+у)=180у.  Значит 180у/(2у)=90 сек.=1,5 мин.=1 мин.30 сек.

38.  Доказать, для любых а и в верно неравенство а²+ав+в² 3(а+в-1)

   Доказательство: Сделаем замену а=1+х,  в=1+у

(1+х)²+(1+х)(1+у)+(1+у)² 3(х+1+у+1-1)  .  После раскрытия скобок получили х²+ху+у²  0. Это неравенство верно при всех х и у, так как х²+ху+у²=(х+у/2)²+3у²/4