Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Тема разработки "РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Тема разработки "РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ"

библиотека
материалов

«Екібастұз каласының әкімдігінің білім бөлімінің 17 ЖББОМ» КММ

КГУ «СОШ № 17 отдела образования акимата города Экибастуза»







Решение

нестандартных задач











Составил: Сырымбетов М.С.



















Екібастұз қаласы

2015 ж.

Город Экибастуз

2015 г.

hello_html_299c2bcb.gifhello_html_51b7ddc3.gifhello_html_m2c6a89a5.gifhello_html_6c469614.gifhello_html_4cf69ff6.gifhello_html_m26819bca.gifhello_html_m255a5596.gifhello_html_mf890f56.gifhello_html_m55f771cd.gifhello_html_24babdf3.gif

Сборник задач

Составил:Сырымбетов М.С.



































hello_html_101bf443.png

hello_html_m3c62ce3.png

hello_html_mda385fa.png



hello_html_m33732cdc.png



hello_html_7e3b98a2.png

hello_html_fa5e09b.png

hello_html_m49d95808.png

hello_html_709f41f6.png

1. Решите уравнение: хhello_html_m4105ba8b.gif+hello_html_72a0477f.gif+=2hello_html_m15df5b3c.gif

Решение: Воспользуемся неравенством а1 а21 в2hello_html_11a75c1e.gifhello_html_2e534060.gifhello_html_1b71f763.gif

Геометрическая интерпретация этого неравенства : скалярное произведение двух векторов не превосходит произведения их длин. Оно является частным случаем (n=2) общего неравенства Коши-Буняковского. Равенство имеет место в случае коллинеарности векторов (а11) и (а22).

Имеем хhello_html_m4105ba8b.gif+1hello_html_72a0477f.gifhello_html_11a75c1e.gifhello_html_2297bab8.gifhello_html_m26e8defe.gif=2hello_html_m2b8fd68d.gif. Значит векторы

(х,1) и (hello_html_72a0477f.gif,hello_html_m27cc66e8.gif) коллинеарны, следовательно их координаты пропорциональны. hello_html_m1474ae91.gif=hello_html_m226cc02f.gif , хhello_html_m27cc66e8.gif=hello_html_72a0477f.gif , х3-3х2+х+1=0

х3-2х2+х-х2+1=0 ; х(х-1)2-(х-1)(х+1)=0 Разложим на множители: (х-1)(х2-2х-1)=0 . Отсюда

х-1=0; х=1, х2-2х-1=0; х=1+hello_html_m743a2478.gif, , х=1-hello_html_m743a2478.gif,

Корень , х=1-hello_html_m743a2478.gif- посторониий , т.к. х-положительное число.

Ответ: х=1, х=1+hello_html_m743a2478.gif



2. Для функции f(x)=ах2+вх+с известно , что а<b и f(x)hello_html_m541cd0bc.gif для всех х. Найти наименьшее значение hello_html_30a6167f.gif

Решение: Если f(x)hello_html_m541cd0bc.gif для всех х ,то а >0 и Д=в2-4ас< 0 и с> hello_html_f4c2e41.gif

hello_html_3eabfd10.gifhello_html_m6d1256d7.gifhello_html_5cf659d7.gif=hello_html_68f0e75d.gif=hello_html_71817fab.gif,. Пусть в-а=р, тогда

hello_html_m1ca8c0c4.gif=hello_html_725c9eab.gif=hello_html_6e4b0230.gifhello_html_m68275fe4.gifhello_html_5a91fca9.gif=3. Здесь применили неравенство Коши 9а22hello_html_m68275fe4.gif6ар

3.Может ли квадратное уравнение ах2+вх+с=0 с целыми коэффицентами иметь дискриминант, равный 23?

Решение: Допустим , что дискриминант равен 23. Тогда в2-4ас=23. Т.к. 4ас четное число, то в должно быть нечетным числом, т.е. в=2к+1. Тогда (2к+1)2-4ас=23;

2+4к+1-4ас=23

4(к2+к-ас)=22 . Левая часть равенства при целых значениях к и а является числом кратным 4, а правая часть на 4 не делится нацело, Получили противоречие. Значит квадратное уравнение ах2+вх+с=0 с целыми коэффицентами не может иметь дискриминант, равный 23.





4.Доказать, что число 1998 невозможно представить в виде разности квадратов двух разных чисел.

Решение: Докажем от противного: предположим, что число 1998 можно представить в виде разности квадратов двух различных чисел. Так как число 1998 четное, то эти оба числа либо четные, либо нечетные. В противном случае разность квадратов четного и нечетного чисел была бы нечетным числом.

Предположим, что эти два числа четные. Тогда их можно записать в виде 2n и 2m. Составим разность квадратов этих чисел: (2n)2 –(2m)2 = 4n2 -4m2 =4(n2 - m2). Полученная разность квадратов двух четных чисел делится на 4, так как один из множителей произведения 4(n2 - m2) делится на 4, но число 1998 на 4 не делится, следовательно, число 1998 нельзя представить в виде разности квадратов двух четных чисел.

Предположим, что эти два числа нечетные. Тогда их можно записать в виде 2n -1 и 2m-1. Составим разность квадратов этих чисел: (2n+1)2 –(2m+1)2 = 4n2 -4n+1- 4m2+4m -1=4(n2 - m2)- 4(n - m) =4(n2 - m2 - n + m). Полученная разность квадратов двух нечетных чисел делится на 4, так как один из множителей произведения 4(n2 - m2 - n + m). делится на 4, но число 1998 на 4 не делится, следовательно число 1998 нельзя представить в виде разности квадратов двух нечетных чисел. Получили противоречие. Наше предположение неверно, значит, число 1998 невозможно представить в виде разности квадратов двух разных чисел.

5. Можно ли в равенстве 1*2*3*. . .*10=0 вместо звездочек поставить знаки плюс и минус так, чтобы получилось верное равенство.

Решение: Нельзя, так как эта алгебраическая сумма содержит нечетное число нечетных различных чисел и нечетное число четных чисел, и их алгебраическая сумма была бы нечетным числом.

6.Объясните, как покрасить часть точек плоскости так, чтобы на любой окружности радиуса 1 см было, ровно четыре покрашенные точки.

Решение: Проведем на плоскости параллельные прямые на расстоянии 1см друг от друга и будем считать эти прямые закрашенными частями плоскости. Тогда любая окружность радиусом 1 см и центром в любой точке плоскости будет содержать ровно четыре покрашенные точки.

7. Дописать справа к числу 641 три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось бы на 7, 8, и 9.

Решение: Если число делится на 7, 8 и 9, то оно делится также на их и произведение, то есть 7*8*9=504. Возьмем число 641 000, разделим на 504 с остатком , то есть 641000 = 504*1271 + 416 .К обеим частям данного равенства прибавим число 88 = 504 – 416 , то есть число дополняющее число 416 до 504, 641000 + 88 = 504*1271 + 416 +88, отсюда следует равенство

641 088= 504*1271+504=504*1272. Отсюда следует, что число 641 088

делиться на 504, а значит и делится на 7, 8 и 9. Искомые цифры: 0, 8, 8.

Сложим число 641 088 и 504: 641 088 + 504 = 641 592. Полученная сумма также делится на 504, значит и делится на 7, 8 и 9. Искомые цифры: 5, 9, 2.



8.Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом произведение не изменилось. Приведите примеры таких чисел.

Решение: 1)Например, возьмем следующие пять чисел: -0,5; 3; 4; 5; 6 и найдем их произведение: -0,5*3* 4* 5* 6=-180. Уменьшим каждое на единицу и найдем их произведение: -1,5*2*3*4*5=-180. Значит, данные числа -0,5; 3; 4; 5; 6 – искомые.

2) Например, возьмем следующие пять чисел: - 1;5; 6;7;8 и найдем их произведение: -1*5*6*7*8=-1680. Уменьшим каждое на единицу и найдем их произведение: -2*4*5*6*7=-1680. Значит, данные числа -1; 5;6; 7;8 – искомые.

9.Какое из чисел больше

hello_html_m3761108b.gifhello_html_522ece8f.gif+hello_html_48c8e505.gifили hello_html_389df61.gif

Решение: Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше числитель, и меньше та, у которой больше знаменатель. В данной сумме каждое слагаемое заменим дробью hello_html_m16b38e18.gif, и тогда исходная сумма будет меньше вновь полученной суммы, то есть

hello_html_m3761108b.gifhello_html_522ece8f.gif+hello_html_48c8e505.gifhello_html_m6faa3b2f.gif<hello_html_m16b38e18.gif+hello_html_m16b38e18.gif+ …hello_html_m16b38e18.gif=hello_html_m364897bc.gif=hello_html_m3b445692.gif<hello_html_389df61.gif.

Значит hello_html_389df61.gif больше суммы hello_html_m3761108b.gifhello_html_522ece8f.gif…+hello_html_48c8e505.gif

10.Решите уравнение х2 - у2 –х +у =6 в натуральных числах.

Решение: Разложим левую часть уравнения на множители.

х2 - у2 –х +у =6

(х-у) (х+у-1)=6. Так как 6=1*6 и 6=2*3, то данное уравнение можно заменить на равносильные ему четыре системы уравнений: 1)hello_html_7ea27a56.gif , или 2) hello_html_12080f70.gif,или 3) hello_html_m40042175.gif, или 4) hello_html_5645300d.gif

Системы 1) и 4) в натуральных числах решений не имеет. Система 2) имеет решение х=4, у=3 , система 3) имеет решение х=3, у=1 .

Ответ : 1) х=4, у=3 , 2) х=3, у=1 .

11.Страницы учебника пронумерованы 3, 4, 5 и т.д. Для этого потребовалось 1000 цифр. Сколько страниц в учебнике?

Решение: Страниц, пронумерованных однозначными числами от 3 до 9 всего 7, а значит и цифр требуется всего 7. Страниц, пронумерованных двузначными числами от 10 до 99 всего 90, а значит, цифр требуется всего -180. Значит, на страницы с трехзначными числами требуется 1000- 7-180=813 цифр. Разделив 813 на 3 получим 271 страницу, пронумерованных трехзначными числами от 100 до 270 включительно. Значит в учебнике 270 страниц.

12.Докажите , что n(n2+5) делится на 6.

Доказательство: n (n2+5)= n(n2-1+6)= n(n2-1)+6 n = n(n-1)( n+1)+ 6 n; произведение

n (n-1)( n+1) кратно 6, так как является произведением трех последовательных натуральных чисел, и произведение 6 n кратно 6, следовательно и сумма n(n-1)( n+1)+ 6n кратна 6, а значит и n(n2+5) делится на 6.

13.Докажите , что в десятичной записи числа 2300 не более 100 цифр.

Доказательство: 2300=(23 )100=8100<10100. Число 10100 содержит 101 цифру (1 и 100 нулей). Так как 2300 <10100 , то значит число 2300 содержит не более 100 цифр.

14.К числу 43 справа и слева приписать по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

Решение: Если число делится на 45, то оно делится на 5, и на 9. Значит оно должно оканчиваться на 0 или на 5, и сумма его цифр должна делиться на 9.

Значит это числа 1) 2430; 2) 6435.

15.Докажите , что произведение четырех последовательных четных(нечетных) натуральных чисел в сумме с числом 16 является полным квадратом натурального числа.

Доказательство: п(п+2)(п+4)(п+6) +16= ((п+3)-3)((п+3)-1)((п+3)+1)((п+3)+3) + 16=

=((п+3)2-9) ((п+3)2-1) +16 = (п+3)4-9(п+3)2-(п+3)2+9+16= (п+3)4-10(п+3)2+25=( (п+3)2-5)2.

16.Докажите , что произведение четырех последовательных натуральных чисел в сумме с единицей является полным квадратом натурального числа.

Доказательство: п(п+1)(п+2)(п+3) +1= п(п+3)(п+1)(п+2)+1=(п2+3п)(п2+п+2п+2) + 1=

= (п2+3п)(п2+3п+2) + 1 = (п2+3п)2 +2(п2+3п) +1 = (п2+3п+1)2.

17.Произведение произведение четырех последовательных натуральных чисел равно 1680. Найдите эти числа.

Решение: Произведение четырех последовательных натуральных чисел в сумме с единицей является полным квадратом натурального числа. Пусть п меньшее число. По условию п(п+1)(п+2)(п+3)=1680. Прибавим к обеим частям равенства 1:

п(п+1)(п+2)(п+3) +1=1681 ; (п2+3п+1)2=412 ; п2+3п+1=41 ; п2+3п-40=0 ; п=-8 – не подходит по условию; п=5 является натуральным числом. Значит искомые числа 5,6,7,8.

18.Известно, что авс+ав+ас+вс+а+в+с=1000. Найти сумму а+в+с.

Решение:

Прибавим к обеим частям равенства единицу и разложим обе части на множители.

авс+ав+ас+вс+а+в+с+1=1001:

ав(с+1)+с(а+в)+(а+в)+(с+1)=7х11х13

ав(с+1)+(а+в)(с+1)+(с+1)=7х11х13

(с+1)(ав+а+в+1)=7х11х13

(с+1)(а(в+1)+(в+1))=7х11х13

(с+1)(в+1)(а+1)=7х11х13 . Значит с+1=7; в+1=11; а+1=13, отсюда с=6, в=10, а=12, тогда а+в+с=12+10+6=28.

19.При каких значения а и b уравнение a sin x = b уравнение имеет ровно 850 корней?

Решение : a sin x = b ; sin x=hello_html_13b30391.gif , Решая это уравнение графическим способом можно заметить , что синусоида у= sin x и прямая у=hello_html_13b30391.gif проходят через начало координат, которое является для этих линий центром симметрии, и не могут имеет четное число точек пересечений, следовательно данное уравнение не может иметь ровно 850 корней.

20.Может ли вершина параболы у=4х2-4(а-1)х+а лежать во второй координатной четверти при каком – нибудь значении а?

Решение: х0=-hello_html_m96b0c9b.gif-абсцисса вершины параболы, значит х0=hello_html_m1bf63911.gif=hello_html_5455f31a.gif

У0-ордината вершины параболы, значит у0=-а2+3а-1. Если точка принадлежит 2-й координатной четверти, то ее абсцисса отрицательна, а ордината положительна. Значит

hello_html_m25b2850f.gifт.е. hello_html_6b8e235a.gif hello_html_m422df770.gif

1)а<1 2)hello_html_1ad8e25f.gif Решением данного неравенства является промежуток:

hello_html_2ec7bbeb.gif. Найдем пересечение множеств решений данных неравенств системы:

hello_html_m213ab496.gifОтвет: может, при аhello_html_27009f39.gif

21. Дан треугольник со сторонами а, в и с. Докажите что если медианы проведеные к сторонам а и в , взаимно перпендикулярны, то а22=5c2



С

К Е

О

А В



Дано : АВС, АЕ и ВК медианы; АЕ перпендикулярно ВК. ВС = а, АС = в , АВ = с. Доказать: а22=5c2

Доказательство: Пусть АЕ = ma , BC=mв Медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении2:1, считая от вершины. Треугольники АВО, АКО, ВЕО – прямоугольные: АВ2=АО2+ВО2 ; ВЕ2=ВО2+ЕО2; АК2=АО2+КО2 Значит

с2=hello_html_m1ae3d52d.gif ma2+ hello_html_m1ae3d52d.gif mв2 (1) , hello_html_685d8d49.gif а2 = hello_html_m218a2db.gif ma2+ hello_html_m1ae3d52d.gif mв2 (2) , hello_html_685d8d49.gif в2 = hello_html_m218a2db.gif mв2+ hello_html_m1ae3d52d.gif mа2 (3) Сложим почленно равенства (2) и (3) : hello_html_685d8d49.gif а2 + hello_html_685d8d49.gif в2 =hello_html_138d6a3a.gif mа2 + hello_html_138d6a3a.gif mв2 . Умножим обе части равенства на 4: : а2 + в2 = 4 (hello_html_138d6a3a.gif mа2 + hello_html_138d6a3a.gif mв2 ) = 5 (hello_html_m1ae3d52d.gif mа2 + hello_html_m1ae3d52d.gif mв2) = 5с2 , что и требовалось доказать.

22.Решите уравнение х99+2х199+3х299+...+20х1999=210

Решение: Т.к. показатели переменной х в уравнении нечетные числа, то значение корня должно быть положительным числом. Допустим, что корень уравнения больше нуля и меньше единицы.Тогда х99 меньше 1, 199 меньше 2, 3х299 меньше 3,..., 20х1999 меньше 20, следовательно сумма х99+2х199+3х299+...+20х1999 меньше 210, так как 1+2+3+...+20=210. Значит корень уравнения не может быть больше нуля и меньше единицы.

Допустим , что корень уравнения больше единицы. Тогда х99 больше 1, 199 больше 2, 3х299 больше 3,..., 20х1999 больше 20, следовательно сумма х99+2х199+3х299+...+20х1999 больше 210, так как 1+2+3+...+20=210. Значит корень уравнения не может быть больше единицы. Проверим х=1: лю,бая степень числа 1 равна 1, следовательно 199+2*1199+3*1299+...+20*11999 =210, значит корень уравнения равен 1.

Ответ: х=1

23.Одна сторона квадрата увеличена на р%, а другая уменьшена на р%. Площадь полученного прямоугольника составляет 99% от площади квадрата. Найти р.

Решение:Пусть х – сторона квадрата, тогда его площадь равна х2.После того, как одну сторону увеличили на р%, т.е. х+hello_html_73a41612.gifх=х(1+hello_html_73a41612.gif), а другую уменьшили на р%, т.е. х-hello_html_73a41612.gifх=х(1-hello_html_73a41612.gif),то площадь получившегося прямоугольника стала х(1+hello_html_73a41612.gif) х(1-hello_html_73a41612.gif)=х2(1-hello_html_m4b5d6550.gif). Так как площадь получившегося прямоульника составляет 99% от площади квадрата, то hello_html_678c247c.gifх2= х2(1-hello_html_775f4ce9.gif).Разделив обе части уравнения на х2, получим уравнение hello_html_678c247c.gif=1-hello_html_m4b5d6550.gif. Отсюда hello_html_775f4ce9.gif=hello_html_m79a86b5a.gif,т.е. р=10%

Ответ: р=10%

24.Прямоугольный участок пола покрыт квадратной плиткой одинакового размера. На границе участка использовали плитку красного цвета, а внутри участка –зеленого. Понадобилось поровну плиток красного и зеленого цвета.Сколько всего плиток могло быть использовано!

Решение: Пусть по длине участка размещается а плиток, а по ширине в плиток, тогда на границе участка разместятся а+а+в-2+в-2=2а+2в-4 красных плиток, а внутри участка- (а-2)(в-2)=ав-2а-2в+4 зеленых плиток.Так как количество красных и зеленых плиток поровну, то

2а+2в-4= ав-2а-2в+4.

4а+4в-ав=8,

а(4-в)=8-4в,



а=hello_html_m42eac4e0.gif=hello_html_3925e7ac.gif=hello_html_m1cf297ad.gif=hello_html_m57ab8bf0.gif+hello_html_e923f0a.gif=4+hello_html_e923f0a.gif

Числа а и в являются натуральными, следовательно число в больше 4 и не больше 12.

Пусть в=5, тогда а=4+hello_html_m2d65946b.gif=12,

в=6, тогда а=4+hello_html_m22f33762.gif=8

в=8, тогда а=4+hello_html_m247e0117.gif=6

в=12, тогда а=4+hello_html_m3459e160.gif=5

Значения в=7;9;10;11 не подходят по смыслу задачи, т.к. число а –целое Задача имеет два решения: всего могло быть использовано либо 5*12=60 плиток (30 красных и 30 зеленых ), либо 6*8=48 плиток (24 красных и 24 зеленых)

25.Вычислить 2010х2012х2014х2016+16

Решение: 2010х2012х2014х2016+16=(2013-3)(2013-1)(2013+1)(2013+3)+16=

(20132-9)(20132-1)+16=20134-9х20132-20132+10+16=20134-10х20132+25=(20132-5)2

26.Доказать, что произведение четырех последовательных четных(нечетных) натуральных чисел в сумме с числом 16 является натуральным числом.

Док-во: п(п+2)(п+4)(п+6)+16=((п+3)-3)((п+3)-1) ((п+3)+1)((п+3)+3)+16= ((п+3)2-9)((п+3)2-1)+

+16=(п+3)4-9(п+3)2-(п+3)2+9+16=(п+3)4-10(п+3)2+25=((п+3)2-5)2.

27.Решите уравнение: hello_html_52637267.gif -hello_html_419da633.gif =1

hello_html_m28228622.gif-hello_html_m73f658db.gif =1, введем новую переменную hello_html_m28228622.gif=у, где уhello_html_m75969c1c.gifтогда у - hello_html_m1e68aa91.gif=1

у2-у-2=0 , где у=-1 и у=2; у=-1 – посторонний корень. Значит hello_html_m28228622.gif=2 ; hello_html_253bfeb6.gif=4 ;

4х+4=2х ; 2х=-4; х=-2 . Найдем ОДЗ:hello_html_m3ff1db77.gif0 при хhello_html_682d4822.gif. Х= -2 принадлежит ОДЗ ,Ответ: х=-2.









28.Основание равнобедренного треугольника относится к его высоте как 3:2. Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.

Решение: Пусть АВС равнобедренный треугольник с основанием АС и высотой ВК, где

АС: ВК=3:2. Пусть к- коэффициент пропорциональности, тогда АС=3к и ВК=2к.

S=1/2 АСхВК=1/2 3к*2к= 3к2 . R- радиус описанной окружности, r- радиус вписанной

В окружности. R=hello_html_m6212304f.gif r=hello_html_5fb25cb2.gif

АК=1,5к , ВК= 2к , АВ=ВС=2,5к

R=hello_html_m1f19b2ce.gif =hello_html_m18f1b479.gif= hello_html_3bc2add3.gif=hello_html_108c721c.gifк

А С r=hello_html_6bd6b5ab.gif = hello_html_m57c90caf.gif к

К R: r=( hello_html_108c721c.gifк ):(hello_html_m57c90caf.gif к) = hello_html_m72f9aa58.gif Ответ: hello_html_m72f9aa58.gif

29.Обозначим через S=1!(12+1+1) + 2!(22+2+1) +…+2011!(20112+2011+1) .

Вычислите значение hello_html_11a002be.gif

Решение: Исследуем произведение: n!(n2+n+1)=n!(n2+2n+1-n)=n!((n+1)2-n)=n!(n+1)2-n!n=

= n!(n+1)(n+1)-n!n=(n+1)!(n+1)- n!n . Значит n!(n2+n+1)= (n+1)!(n+1) - n!n. Следовательно

S=1!(12+1+1) + 2!(22+2+1) +…+2011!(20112+2011+1)= 2!2 - 1!1 + 3!3 - 2!2 + 4!4 – 3!3 + … +

+ 2011!2011 – 2010!2010 + 2012!2012 – 2011!2011 = 2012!2012 – 1.

hello_html_11a002be.gif= hello_html_782871e1.gif =hello_html_6cf81941.gif =2012



30.Доказать, что для любых положительных а и в верно неравенство

hello_html_1a3045dc.gif+hello_html_6f4d9400.gif Доказательство: Преобразуем левую часть неравенства :

hello_html_1a3045dc.gif+hello_html_m43f6d35b.gif = hello_html_2abdfd8a.gif + hello_html_1bfced73.gif =hello_html_2cbaf4b4.gif + hello_html_6d9bcc8a.gif +hello_html_m72057ba2.gif + hello_html_7fbcacf7.gif +hello_html_m46dad5fd.gif + hello_html_m72273547.gif =

hello_html_m7c48e444.gif(hello_html_3d5b738c.gif ) + (hello_html_7fbcacf7.gif +hello_html_m72273547.gif ) +(hello_html_m3ed7aa6b.gif)

hello_html_m5d04bf03.gifнеравенствами а +в hello_html_m6d1256d7.gif hello_html_m75a460c9.gif и hello_html_5060511d.gif верных для любых положительных чисел а и в

hello_html_3d5b738c.gifhello_html_m6d1256d7.gif2hello_html_md2979cd.gif = hello_html_6d9bcc8a.gif (1); hello_html_7fbcacf7.gif +hello_html_m72273547.gif hello_html_m6d1256d7.gif2hello_html_m512328e4.gif =hello_html_m46dad5fd.gif (2); hello_html_5c329292.gifх2=4 (3) Сложим почленно неравенства (1), (2) ,(3):

(hello_html_3d5b738c.gif ) + (hello_html_7fbcacf7.gif +hello_html_m72273547.gif ) +(hello_html_m3ed7aa6b.gif)hello_html_m1b84e204.gif + hello_html_m46dad5fd.gif + 4 hello_html_m6d1256d7.gif 4+4=8 .

Значит hello_html_1a3045dc.gif +hello_html_6f4d9400.gif

31. Синус и косинус некоторого угла а оказались различными корнями квадратного трехчлена ах2+вх+с. Доказать, что в22+2ас.

Доказательство: По теореме Виета hello_html_4a21e3d6.gif + hello_html_m591a12f7.gif =hello_html_m5e0196eb.gif ; (1) hello_html_4a21e3d6.gif hello_html_m183686c3.gif (2) . Возведем обе части равенства (1) в квадрат:hello_html_621976c7.gif =hello_html_m29379f37.gif + 2hello_html_4a21e3d6.gif hello_html_m4c3f29f.gif.

Т.к. hello_html_m29379f37.gif+hello_html_4b121942.gif =1 и hello_html_4a21e3d6.gif hello_html_m183686c3.gif , то hello_html_621976c7.gif = 1+hello_html_m4c84f0a1.gif ; умножим обе части равенства на а2 : в22+2ас , что и требовалось доказать.

32.Решите уравнение: 3-2)(hello_html_54f49320.gif-1) + (hello_html_m66e947ac.gif-4)hello_html_57f65499.gif =0

Решение: 3-2)(hello_html_54f49320.gif-1) = (4-hello_html_m66e947ac.gif)hello_html_57f65499.gif . Т.к. |hello_html_57f65499.gif|hello_html_m54ea4251.gif1, то рассмотрим два случая:

1 случай: 0hello_html_m7f3a035d.gif1 hello_html_18248180.gif-1hello_html_m6d1256d7.gif0 hello_html_m664cd468.gif hello_html_54f49320.gif hello_html_m30a71664.gif

2hello_html_m6cbb183e.gif; hello_html_34d3dd5c.gif hello_html_54f49320.gif-1=0 и hello_html_m215e2d73.gif при х=hello_html_m2588b6b9.gif , hello_html_216bef53.gif hello_html_34d3dd5c.gif первое решение х=hello_html_m2588b6b9.gif , hello_html_216bef53.gif . Т.к. hello_html_54f49320.gif-1hello_html_m6d1256d7.gif0 и hello_html_m1b29f6e4.gif, то

либо а) hello_html_m19e17191.gif , либо б) hello_html_a73f92e.gif , т.е. выражения hello_html_6ec4d26f.gif и hello_html_76228f49.gif

числа одинаковых знаков. а)hello_html_m2eb5469c.gif hello_html_34d3dd5c.gifх=hello_html_m62b8904a.gif , либо б) hello_html_m3a957329.gif hello_html_34d3dd5c.gifх=hello_html_m62b8904a.gif

значит второе решение х=hello_html_m62b8904a.gif .

2 случай: -1hello_html_m7f3a035d.gif0 hello_html_18248180.gif-1hello_html_m54ea4251.gif0 hello_html_m664cd468.gif hello_html_54f49320.gif hello_html_6625d7d7.gif

-hello_html_m79c644a0.gif; hello_html_34d3dd5c.gif hello_html_54f49320.gif-1=0 и hello_html_m215e2d73.gif при х=hello_html_m2588b6b9.gif , hello_html_216bef53.gif

Аналогичное решение х=hello_html_m2588b6b9.gif , hello_html_216bef53.gif

Т.к. hello_html_54f49320.gif-1hello_html_m54ea4251.gif0 и hello_html_m37bd54a3.gif, то

либо а) hello_html_m19e17191.gif , либо б) hello_html_a73f92e.gif , т.е. выражения hello_html_6ec4d26f.gif и hello_html_76228f49.gif

числа одинаковых знаков. а)hello_html_m2eb5469c.gif hello_html_34d3dd5c.gifх=hello_html_m62b8904a.gif , либо б) hello_html_m3a957329.gif hello_html_34d3dd5c.gifх=hello_html_m62b8904a.gif

значит получаем аналогичное решение х=hello_html_m62b8904a.gif .

Ответ: х=hello_html_m2588b6b9.gif , hello_html_216bef53.gif, х=hello_html_m62b8904a.gif .

33.Переднее колесо велосипеда изнашивается через 2000 км, а заднее через 3000 км. Какое максимальное расстояние можно проехать на одной паре колес, поменяв вовремя колеса местами? Через сколько км пробега следует поменять колеса?

Решение: hello_html_m40ad3d7b.gif износ переднего колеса на 1 км, hello_html_m5a5b5003.gif износ заднего колеса на 1 км. Тогда

hello_html_6eec8aff.gif(hello_html_19b1b3a8.gif+hello_html_bf856dd.gif = hello_html_5e1d6ac.gif=hello_html_m30afbc5b.gif - средний износ переднего и заднего колес на 1 км. Значит на одной паре колес можно проехать максимально 2400 км, поменяв их друг с другом через 1200 км.

34.Решить уравнение в действительных числах

Х4-2х32-2х+1=0

Решение: Разложим левую часть уравнения на множители :.

Х4-2х32-2х+1=0 ; ( х42+1) – (2х3+2х)=0 ; (х4+2х2+1) – 3х2 – 2х(х2+1)=0 ;

2+1)2 -2х(х2+1) + х2 – 4х2 =0 ; (х2+1 –х)2 – 4х2=0 ; ( х2 +1-х-2х) ( х2 +1-х+2х)=0 ;

2 – 3х +1)(х2 –х + 1) = 0 . Приравняем каждый множитель к нулю и решим

получившиеся квадратные уравнения : 1) х2 – 3х +1=0 или 2) х2 –х + 1 =0

1) х2 – 3х +1=0 ; D=9-4=5 ; х=hello_html_m4d0d423a.gif

2) х2 –х + 1 =0 ; D=1-4=-3 ; корней нет. ОТВЕТ: х=hello_html_m4d0d423a.gif











35. Найти площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 1 см и 4 см.

Решение: Пусть а, в – катеты, с – гипотенуза , r - радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности: r=1см, R=4см. В прямоугольном треугольнике радиус описанной около него окружности равен половине гипотенузы, то есть R=с/2, где с= 2R = 8 см, радиус вписанной окружности вычисляется по формуле r = hello_html_12a0d354.gif, значит hello_html_2c44f394.gif=1 , следовательно а + в=10 см. Возведем обе части равенства в квадрат : (а + в)2 = 100 ; а2+2ав+в2=100 ; согласно теореме Пифагора а2 + в2 = с2 , то есть а2 + в2 = 64 . Значит 64+2ав=100. Отсюда 2ав=36 . Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов S=hello_html_m446be7b5.gif , то разделив обе части последнего равенства на 4 получим

S=hello_html_m446be7b5.gif = 9 см2 ОТВЕТ: 9 см2

36. На доске написано 30 последовательных натуральных чисел. Известно, что сумма десяти из них – число простое. Может ли сумма оставшихся 20 чисел быть простым числом.

Ответ: Не может, так как среди 30 последовательных натуральных чисел 15 нечетных чисел, а среди десяти чисел, сумма которых является простым числом , количество нечетных чисел нечетно, а среди оставшихся 20 чисел количество нечетных чисел четно, а значит их сумма четное число и не может быть простым числом.

37.Если идти вниз по движущемуся эскалатору, то на спуск потратишь 1 минуту. Если увеличить собственную скорость в два раза, то спустишься за 45 секунд. За какое время можно спуститься, стоя на эскалаторе неподвижно?

Решение: Пусть С – длина эскалатора, х – скорость движения эскалатора, у –скорость движения человека. Тогда hello_html_m126bc302.gif = 1 мин.=60 сек. и hello_html_6e5ac2f7.gif= 45 сек. Отсюда

С=60(х+у) и С=45(х+2у). Значит 60(х + у) = 45(х+2у) , то есть 15х=30у или х=2у.

Время спуска ,стоя неподвижно на эскалаторе, определяется отношением hello_html_94b224e.gif .

С=60(2у+у)=180у. Значит 180у/(2у)=90 сек.=1,5 мин.=1 мин.30 сек.

38. Доказать, для любых а и в верно неравенство а2+ав+в2 hello_html_m52d847ec.gif3(а+в-1)

Доказательство: Сделаем замену а=1+х, в=1+у

(1+х)2+(1+х)(1+у)+(1+у)2hello_html_m52d847ec.gif 3(х+1+у+1-1) . После раскрытия скобок получили х2+ху+у2 hello_html_m52d847ec.gif 0. Это неравенство верно при всех х и у, так как х2+ху+у2=(х+у/2)2+3у2/4
































































Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 01.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров396
Номер материала ДВ-218463
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх