Тема: «Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями»

DOCX

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА-ДЕТСКИЙ САД № 36»

МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДСКОЙ ОКРУГ СИФЕРОПОЛЬ РЕСПУБЛИКА КРЫМ

«Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями»

РАБОТА

Галан Татьяны Николаевны,

учителя математики

г. Симферополь 2015г

Вспомним важнейшие свойства обратных тригонометрических функций.

Функция определена и монотонно возрастает на отрезке [- 1; 1];

Функция определена и монотонно убывает на отрезке [- 1; 1];

Функция определена и монотонно возрастает на R;

Функция определена и монотонно убывает на R;

Решение уравнений, левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями различных аргументов, основывается на свойстве монотонности этих функций. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.

1).

2).

3).

4).

При решении уравнений , левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями различных аргументов, пользуются известными тригонометрическими тождествами.

Переходы	Использована формула
1.
2.

Корнем каждого из уравнений (1) – (4) может быть только такое число х, для которого В противном случае множество значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение

; ОДЗ:

arccos x= + 2n, nZ ; arccos x= + 14, nZ. Поскольку

0 arccos x, то последнее уравнение не выполняется ни при каких значения nZ. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Пример 2. Решите уравнение 2arcsin x=9.

Решение

2arcsin x=9; arcsin x= = 4,5.

Следовательно, уравнение решений не имеет, так как

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решите уравнение arcsin x + arctg.

Решение

arcsin x + arctg; ОДЗ: |x|

arcsin x= - arctg . Найдем синусы обоих частей уравнения:

sin = sin. Следует обратить внимание, что полученное уравнение может быть не равносильным исходному, поэтому его решение обязательно нужно подставить в исходное уравнение. Из последнего уравнения имеем:

x = sin= sin cos- cos sin= .

Рассчитаем cos. Пусть = , , тогда tg=. Но поскольку tg то , то есть угол находиться в певой четверти единичного круга.

Найдем теперь cos.

1+= ; = 1+ = ; = ;

cos = (cos).

Найдем sin= 1 – = 1 – = ;

sin (sin).

X= = = .

Ответ: .

Примечание. Если sin = sin, причем , то .

Сделаем проверку arcsin; arctg=.

Поскольку 0 arcsinи 0 – arctg, то и ,

причем X= найдено при условии, что sin , значит .

Пример 4.

Решить уравнение 2.

Решение

2. Если известно, – тогда

2( -)+=

Ответ:-1

Пример 5.

Решить уравнение

ОДЗ:

- 10)=0; x=0 или 13-5=0;

=; 1-=; =;

Проверка

1) X=0; 2arcsin0=0; arcsin0=0; 0=0-правильно.

2) X=; 2arcsinarcsin (так как arcsin

2arcsin (так как , поэтому, arcsin ,

то есть 2arcsin). Тогда x= –не является корнем.

3)x=-2arcsin(- arcsin(). Значит x=- -не является корнем.

Ответ:0.

Пример 6.

Решить уравнение

Решение

ОДЗ:|sinx|.

Имеем

Так как . Значит, x=0.

Ответ:0

Пример 7.

Решить уравнение

Решение

Пусть arcsinx=t,

ОДЗ:|x|.

|t|

Ответ:-sin1,5.

Пример 8.

Решить уравнение =-.

Решение

=- ;

ОДЗ:

–

6x=; 36=1-108; 144=1; = ; x=

Проверка:

Значит, x=- -корень уравнения; x= – не является корнем.

Ответ:-.

Пример 9. Решите уравнение

Решение.

Корень является посторонним.

Ответ:1

Пример 10. Решите уравнение

Решение. Пусть Тогда

Пусть Тогда

Тогда исходное уравнение примет вид

Тогда

Поэтому

Ответ:0,1.

Краткое описание материала

Тема:

«Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями»

Цель: практическая работа по решению уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

Тема: «Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями»

Математика

Другие методич. материалы

03.01.2015

454

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Автор материала

Галан Татьяна Николаевна

учитель математики

На сайте: 10 лет и 6 месяцев
Всего просмотров: 11694
Подписчики: 0
Всего материалов: 6

11694
просмотров
6
материалов
0
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Галан Татьяна Николаевна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.