Тема
урока: Формулы сложения
Тип
урока: урок изучения
нового материала.
Цели
урока: на основе
полученных ранее знаний, вывести формулы для вычисления косинуса суммы и
разности двух аргументов; выработать умения и навыки применения данных формул к
упрощению выражений, решению уравнений.
Ход урока:
1.Организационный этап. Учитель приветствует учащихся, объясняет тему
урока, цели и задачи урока.
2. Повторение (подготовка учащихся к активному
усвоению нового материала). Необходимо повторить с учащимися следующие
понятия и формулы: вектор, скалярное произведение векторов, определение
координат данного вектора, формула скалярного произведения в координатах,
определения косинуса и синуса.
3. Изучение нового материала.
Вывод формулы
косинуса суммы и разности двух аргументов:
Рис.1
Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол α и на угол β (рис.1).
Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов
и . же
координаты имеют Пусть координаты точки В равны х1 и y1,
координаты точки С равны х2 и y2. Эти соответственно
и векторы и . По определению скалярного произведения
векторов:
= х1х2 + y1y2.
(1)
Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов α и β. Из определения
косинуса и синуса следует, что
х1 = R cos α, y1 = R sin α, х2 = R cos β, y2
= R sin β.
Подставив значения х1, х2, y1, y2 в
правую часть равенства (1), получим:
= R2cos α cosβ + R2sin α sinβ =
R2(cos α cosβ + sin α sinβ).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов имеем:
= cos BOC = R2cos BOC.
Угол ВОС между векторами и может быть равен α - β (рис.1), - (α - β) (рис.2) либо
может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих
случаев cos BOC
= cos (α - β). Поэтому
= R2 cos (α - β).
Т.к. равно также R2(cos α cosβ + sin α sinβ), то
cos(α
- β) = cos α cosβ + sin α sinβ.
cos(α + β) = cos(α - (-β)) = cos α cos(-β)
+ sin
α sin(-β) = cos α cosβ - sin α sinβ.
Значит, cos(α + β) = cos α cosβ - sin α sinβ.
4. Закрепление изученного материала.
1. Вычислить: 1)
cos750, 2) cos150.
Решение: 1)
Воспользуемся тем, что 750 = 450 + 300;
cos750 = cos( 450
+ 300) = cos450·cos300 – sin450·sin300=
;
2) Воспользуемся тем, что 150 = 450 - 300;
cos150
= cos(450 - 300) = cos450·cos300 +
sin 450·sin300 = .
2. Вычислить: , если известно, что .
Решение:
. По условию аргумент y
принадлежит второй четверти, а в ней синус положителен. Поэтому из равенства находим, что .
.
3.
Вычислить:
1) cos370cos80
– sin370sin80; 2) cos1070cos170
+ sin1070sin170.
Решение: 1) cos370cos80
– sin370sin80 = cos(370 + 80) =
cos450 =
2)
cos1070cos170 +
sin1070sin170 = cos(1070
- 170) = cos900 = 0.
4. Подведение
итогов урока (выставление
отметок, ответы на вопросы учащихся).
5. Домашнее задание.
§22, № 344-345
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.