Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Тема урока “Параллельность плоскостей”

Тема урока “Параллельность плоскостей”



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема урока “Параллельность плоскостей”

(I курс)

Преподаватель математики ПУ№3

Туаева З.С.

2015г.

Тема урока “Параллельность плоскостей”

Тип урока: урок усвоения нового материала.


Основная цель:

  • Ввести понятие параллельных плоскостей.

  • Доказать признак параллельности двух плоскостей.

  • Рассмотреть свойства параллельных плоскостей.


Задачи:

Обучающие:

  • Сформировать навык применения признака параллельности двух плоскостей и изученных свойств параллельных плоскостей при решении задач.

Развивающие:

  • Развитие пространственного воображения обучающихся,

  • Развитие мыслительной деятельности обучающихся.

  • Развитие логичного, рационального, критичного, творческого мышления и познавательных способностей обучающихся.

Воспитательные:

  • Воспитание аккуратности, графической грамотности.


Использование новых образовательных технологий: использование технологии проблемного обучения.


План урока


II. Изучение нового материала на интерактивной доске с моделью:
  1. Определение параллельных плоскостей.

  2. Признак параллельности двух плоскостей.

  3. Свойства параллельных плоскостей.

35



5



15



15

Беседа с учащимися по вопросам, при которой преподаватель, систематически создавая проблемные ситуации и организуя деятельность учащихся по решению учебных проблем, обеспечивает оптимальное сочетание их самостоятельной, поисковой деятельности с усвоением готовых выводов науки.

III. Формирование умений и навыков

48

Решение учащимися задач на применение признака параллельности двух плоскостей и свойств параллельных плоскостей. Самостоятельная работа для контроля усвоенного и проведения первичного закрепления материала

IV. Домашнее задание

2

Комментарии учителя по домашнему заданию



Ход урока:

1. Сообщение темы и цели урока. Сообщение плана урока.

2. Этап актуализации знаний.


Вопросы к учащимся:

1. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

(Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек)

2. Сформулируйте определение параллельности прямой и плоскости?

(Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек)

3. Сформулируйте третью аксиому стереометрии?

(Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей)

4. Как могут располагаться две плоскости в пространстве?

(Две плоскости либо пересекаются по прямой (рис.1, а), либо не пересекаются (рис.1, б))

hello_html_19d1e8df.png










Рис.1, а Рис.1, б





3. Изучение нового материала.


1. Учебная проблема: дать определение параллельных плоскостей.


Учебная ситуация:


Вопросы к учащимся:

1. Сколько общих точек имеют две непересекающиеся плоскости?

(Ни одной общей точки)

2. Как называются плоскости, которые не имеют ни одной общей точки?

(Параллельные плоскости)

3. Сформулируйте определение параллельных плоскостей, учитывая количество их общих точек?

Результат умозаключения обучающихся:

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

4. Укажите модели параллельных плоскостей на предметах классной обстановки?

(Пол и потолок кабинета, две противоположные стены, поверхность стола и плоскость пола)


2. Учебная проблема: сформулировать и доказать признак параллельности двух плоскостей.


Учебная ситуация:


Учащимся предоставляется модель параллелепипеда.


hello_html_m5d085a5b.png










Вопросы к учащимся:

1. Какого взаимное расположение плоскостей hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif?

(плоскости hello_html_7a00ba7d.gifи hello_html_m4162108e.gifпараллельны)

2. Назовите любые две пересекающиеся прямые плоскости hello_html_7a00ba7d.gif

(прямая АВ, прямая ВС)

3. Назовите прямые плоскости hello_html_m4162108e.gif, параллельные прямым АВ и ВС?

(hello_html_5c9e6080.gifhello_html_md7250c3.gifhello_html_74ed46c2.gif

4. Какого взаимное расположение прямой АВ и плоскости hello_html_m4162108e.gif? Ответ обоснуйте.

(АВ║hello_html_m4162108e.gif по признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости (hello_html_m2a8796bc.gif), параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости (hello_html_m17cd1889.gifhello_html_m280c0d71.gif), то она параллельна самой плоскости)

Если учащиеся затрудняются обосновать ответ, то обратить их внимание на признак параллельности прямой и плоскости.

5. Какого взаимное расположение прямой ВС и плоскости hello_html_m4162108e.gif? Ответ обоснуйте.

(ВС║hello_html_m4162108e.gif по признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости(hello_html_m2daa969d.gif), параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости(hello_html_65b69691.gifhello_html_m1d22cf8a.gif), то она параллельна самой плоскости)

6. Предположите, что плоскости hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif не параллельны. Как тогда они будут располагаться?

(плоскости будут пересекаться по некоторой прямой с)

7. Как в этом случае будут располагаться прямые АВ и с?

║АВ, согласно свойству hello_html_me332119.gif: если плоскость проходит через данную прямую (hello_html_m5b4f6e50.gif), параллельную другой плоскости (АВ║hello_html_m4162108e.gif), и пересекает эту плоскость (hello_html_36ad0fcf.gif), то линия пресечения плоскостей параллельна данной прямой (с║АВ))

8. Как в этом случае будут располагаться прямые ВС и с?

║ВС, согласно свойству hello_html_me332119.gif: если плоскость проходит через данную прямую (hello_html_m1e4e8d0a.gif), параллельную другой плоскости (ВС║hello_html_m4162108e.gif), и пересекает эту плоскость (hello_html_36ad0fcf.gif), то линия пресечения плоскостей параллельна данной прямой (с║ВС))

9. Сколько прямых, параллельных прямой с, проходит через точку В?

(Две прямые: прямая АВ, прямая ВС)

10. Возможно ли это?

(Это не возможно, так как по теореме о параллельных прямых: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна)

11. Какой вывод можно сделать? Верно ли наше предположение?

(Наше предположение не верно, остается признать, что hello_html_7a00ba7d.gifhello_html_m4162108e.gif)

12. Сколько прямых необходимо в плоскости hello_html_7a00ba7d.gif, чтобы плоскости hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif были параллельны?

(две прямые)

13. Какие между собой должны быть эти прямые?

(пересекающиеся)

14. Скольким прямым они должны быть параллельны из плоскости hello_html_m4162108e.gif?

(Двум)

15. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей, учитывая количество прямых одной плоскости, параллельных прямым другой плоскости?

Результат умозаключения обучающихся:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

hello_html_78426cd6.png










3. Учебная проблема: сформулировать и доказать свойства параллельных плоскостей.


Учебная ситуация:


Учащимся предоставляется модель параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью.


hello_html_m8e876b1.png















Вопросы к учащимся:

1. Какого взаимное расположение плоскостей hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif?

(плоскости параллельны)

2. Как располагается плоскость hello_html_6c3b93a7.gif по отношению к плоскостям hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif?

(плоскость hello_html_6c3b93a7.gifпересекает плоскости hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif)

3. Что вы можете сказать про линии пересечения плоскостей?

(линии пересечения плоскостей параллельны между собой)

4. Ответ обоснуйте, используя определение параллельных прямых в пространстве.

(прямые а и в лежат в одной плоскости hello_html_6c3b93a7.gifи не пересекаются, так как, если бы прямые пересекались, то плоскости hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif имели бы общую точку, что невозможно, так как эти плоскости параллельны)

5. Сформулируйте первое свойство параллельных плоскостей, учитывая взаимное расположение линий пересечений а и в?

Результат умозаключения обучающихся:

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.


Учебная ситуация:


Учащимся предоставляется модель параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью.

hello_html_m29116935.png















Вопросы к учащимся:

1. Какого взаимное расположение плоскостей hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif?

(плоскости параллельны)

2. Как располагается плоскость hello_html_6c3b93a7.gif по отношению к плоскостям hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif?

(плоскость hello_html_6c3b93a7.gifпересекает плоскости hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif)

3. Что вы можете сказать про отрезки АВ и СD?

(отрезки АВ и СD параллельны между собой)

4. Что вы можете сказать про отрезки АС и ВD?

(отрезки АС и ВD параллельны между собой по свойству 1hello_html_6b0650e7.gif)

5. Как называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны?

(параллелограмм)

6. Какие свойства параллелограмма вы знаете?

  • в параллелограмме противоположные стороны и углы равны

  • Диагонали параллелограмма точкой пресечения делятся пополам

7. Что вы можете сказать про отрезки АВ и СD, используя первое свойство параллелограмма?

(отрезки АВ и СD равны между собой)

8. Сформулируйте второе свойство параллельных плоскостей, используя равенство отрезков АВ и СD?

Результат умозаключения обучающихся:


Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями равны.


4. Формирование умений и навыков.


Решение задач


Задача № 1. (№ 54) (На отработку признака параллельности двух плоскостей)

hello_html_6184780c.pngДано:

hello_html_m2dce1853.gif

Доказать:

hello_html_7b7dea9e.gifhello_html_m2b683503.gif

Найти:

hello_html_m31eb9ca0.gif






Доказательство:

1. hello_html_7e65323d.gif - средняя линия hello_html_m129cc79c.gifMNAC.

2. NP – средняя линия hello_html_m43057e4b.gifNPCD.

3.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m79c1820e.gif

MNAC hello_html_m4855e294.gif(MNP)║(ADC) по признаку параллельности 2 пл.

NPCD

hello_html_m4b452793.gif

4.hello_html_m736367d.gif подобен hello_html_6fba1060.gifпо третьему признаку подобия треугольников (если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны)hello_html_5ad08cb0.gif (так как отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия)

hello_html_m5a5523b6.gif

Ответ: hello_html_m53f3273b.gif.



Задача № 2. (№ 63(а)) (На отработку 1 свойства параллельных плоскостей)

Дано:

hello_html_m40b9f34d.pnghello_html_7a00ba7d.gifhello_html_m4162108e.gif

hello_html_m482073d.gif

Найти:

hello_html_m1d4e7d5d.gif

Решение:

1. Докажем, что hello_html_5c9e6080.gifhello_html_m363d5243.gif.

Так как

hello_html_7a00ba7d.gifhello_html_m4162108e.gif(по условию)

hello_html_m6171fadd.gifhello_html_m4855e294.gifhello_html_5c9e6080.gifhello_html_m363d5243.gif.(по 1 свойству параллельных плоскостей)

2. Докажем, что hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_38cad192.gif подобен hello_html_m2fafe486.gif.

hello_html_b4a165e.gif, как соответственные при hello_html_5c9e6080.gifhello_html_m363d5243.gif.и секущей hello_html_m17cd1889.gif

hello_html_m2a60c7e.gif, как соответственные при hello_html_5c9e6080.gifhello_html_m363d5243.gif.и секущей hello_html_4ecb3bb5.gif

Значит, hello_html_38cad192.gif подобен hello_html_m2fafe486.gif по 2 углам.

3. Найдем hello_html_68930d8b.gif.

hello_html_63a570ce.gif

По условию hello_html_m2387ad1a.gif

hello_html_m64f323a0.gif

4. Найдем hello_html_m5d93140a.gif.

Составим пропорцию:

hello_html_m4da75054.gif

Ответ: hello_html_1be9cfe1.gif


Задача № 3. (№ 65) (На отработку 2 свойства параллельных плоскостей)

hello_html_376a3ee6.pngДано:

hello_html_7a00ba7d.gifhello_html_m4162108e.gif

hello_html_mfb823c8.gifhello_html_m67f2b43.gifhello_html_mbf4a38.gif

Определить:

вид четырехугольников

hello_html_m1f2f33fe.gif

Доказать:

hello_html_5726671e.gif





Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник hello_html_214fa5fd.gif.

hello_html_mfb823c8.gifhello_html_m67f2b43.gif(по условию)

hello_html_mfb823c8.gif=hello_html_m67f2b43.gif (как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, свойство 2) hello_html_m4855e294.gif четырехугольник hello_html_214fa5fd.gif является параллелограммом (по 1 признаку параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм)

2. Рассмотрим четырехугольник hello_html_6b03f4e9.gif.

hello_html_m67f2b43.gifhello_html_mbf4a38.gif(по условию)

hello_html_m67f2b43.gif=hello_html_mbf4a38.gif (как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, свойство 2) hello_html_m4855e294.gif четырехугольник hello_html_6b03f4e9.gif является параллелограммом (по 1 признаку параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм)

3. Рассмотрим четырехугольник hello_html_7d74439a.gif.

hello_html_mfb823c8.gifhello_html_mbf4a38.gif(по условию)

hello_html_mfb823c8.gif=hello_html_mbf4a38.gif (как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, свойство 2) hello_html_m4855e294.gif четырехугольник hello_html_7d74439a.gif

является параллелограммом (по 1 признаку параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм)

4. Докажем, что hello_html_5726671e.gif

Так как четырехугольник hello_html_214fa5fd.gif является параллелограммом, то hello_html_5c9e6080.gif=hello_html_m363d5243.gif, так как противоположные стороны параллелограмма равны.

Так как четырехугольник hello_html_6b03f4e9.gif является параллелограммом, то hello_html_51d1c858.gif=hello_html_m57249df4.gif, так как противоположные стороны параллелограмма равны.

Так как четырехугольник hello_html_7d74439a.gif является параллелограммом, то hello_html_43bcd74a.gif=hello_html_f48261d.gif, так как противоположные стороны параллелограмма равны.

Значит, hello_html_5726671e.gif по 3 признаку равенства треугольников (если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)


Самостоятельная работа

Задача 1.

Дан параллелепипед hello_html_m7433c44f.gif. Используя признак параллельности двух плоскостей, докажите, что hello_html_626e7ffa.gifhello_html_m1d32ee21.gif.

hello_html_5c0c4bde.png













Задача 2.

Одна из сторон треугольника принадлежит плоскости hello_html_7a00ba7d.gif. Плоскость hello_html_m4162108e.gif параллельна плоскости hello_html_7a00ba7d.gif и пересекает две другие стороны треугольника. Доказать, что плоскость hello_html_m4162108e.gif отсекает от треугольника треугольник, подобный данному.


hello_html_5ee56503.png



Задача 3.

Плоскости hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif параллельны. hello_html_m586b3985.gifhello_html_21418e2e.gif, hello_html_36df4a5c.gif=10 см. Найти hello_html_m356983d7.gif.





hello_html_57fc9f5.png


Ответы:

Задача 1.

hello_html_7ff53d78.gif

hello_html_4e937cc8.gifhello_html_m4f5faa8a.gif, так как hello_html_m75e0a24.gif - параллелограмм

hello_html_e14d192.gifhello_html_5d703a6f.gif, так как hello_html_m20d6b42e.gif - параллелограмм

hello_html_58cc3045.gif

Значит, hello_html_626e7ffa.gifhello_html_m1d32ee21.gif (по признаку параллельности двух плоскостей).

Задача 2.

1) hello_html_7a00ba7d.gifhello_html_m4162108e.gif (по условию)

hello_html_m4eda9665.gif

Значит, hello_html_4ecb3bb5.gifhello_html_m6737f1e5.gif по свойству 1 параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

2) Рассмотрим hello_html_m42804f8f.gif и hello_html_41e9192c.gif

hello_html_5ede6b4d.gif- общий

hello_html_m20028272.gif, как соответственные при hello_html_m6737f1e5.gifhello_html_4ecb3bb5.gif и секущей hello_html_m17cd1889.gif.

Значит, hello_html_m42804f8f.gif подобен hello_html_41e9192c.gif по двум углам.

Задача 3.

hello_html_m586b3985.gifhello_html_m6a2c9540.gif(по условию)

hello_html_m586b3985.gif=hello_html_m6a2c9540.gif, как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями (свойство 2 параллельных плоскостей).

Значит, hello_html_311edcdc.gif - параллелограмм (по 1 признаку параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм) hello_html_m4855e294.gifhello_html_m5905e359.gif см, так как в параллелограмме противоположные стороны равны.


5. Домашнее задание.

§ 10 (п. 10-11) стр. (20-21)

53, № 63(б).

Учебник: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия 10, 11. Москва Просвещение, 2002.

6. Итог урока.

Сегодня на уроке мы ввели понятие параллельных плоскостей, самостоятельно доказали признак параллельности двух плоскостей, рассмотрели свойства параллельных плоскостей. Научились решать задачи на доказательство с применением признака параллельности двух плоскостей, применять изученные свойства параллельных плоскостей при решении задач.



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 21.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров6
Номер материала ДБ-377267
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх