Тема урока« Системы линейных уравнений в решении алгебраических задач».

Открытый урок в 7 классе

по теме:

« Системы линейных уравнений

в решении алгебраических

задач».

2012 / 2013 уч. год

МОУ-СОШ пос. Лопуховка

                                               Учитель:Рыжова Л.А.

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие  темы: «Уравнение и его корни», «Линейное уравнение с  одной   переменной»,   «Решение  задач  с  помощью  систем  уравнений»,  владеть  навыками решения уравнения.

Цели урока:

образовательная: отработка навыков решения систем линейных уравнений;

воспитательная : воспитание чувства ответственности, формирование творческих способностей, математической культуры, навыков самоконтроля;

развивающая :   развитие   внимания,  логического   мышления,   познавательного интереса к предмету.

Оборудование: написанные на доске примеры для устной  работы,   дифференциро- ванная самостоятельная работа   на   4  варианта,  копирка,  плёнка,   граф-проектор ; индивидуальные доски для маркеров; карточки с заданиями, учебники.

Тип урока: сдвоенный урок применения и совершенствования знаний.

Ход урока.

I. Повторение алгоритма решения задач с помощью систем уравнений.

На экран через граф-проектор проецируется информация:

« Петя Веников составил алгоритм решения задач  с  помощью  систем  уравнений, но допусти ряд ошибок .Найдите их ,если видите.»

Алгоритм Пети Венникова:

                                                          1)Обозначают некоторые неизвестные буквы

                                                            числами.                                                       

                                                         2)Решают            получившуюся  систему.              

                                                        3)Истолковывают результат в соответствии

                                                          с условиями системы.

( Учащиеся находят ошибки и исправляют их:

в 1): неизвестные числа буквами; в 2): пропущен шаг, в  котором,  используя  условие задачи, составляют систему уравнений; в 3): в соответствии с условиями задачи.)

II. Проверка домашней задачи.

Текст: «В клетке находятся фазаны и кролики. У всех животных 35 голов  и  94 ноги. Сколько в клетке кроликов и сколько фазанов?»

Перед учащимися ставилась проблема решить эту  задачу  2   способами:  арифме-тическим и с помощью системы. Пока один ученик записывает на  доске  решение  задачи  с помощью системы, с остальными проверяется арифметическое  решение задачи.

Арифметическое решение:

1. ( 94- 35∙2 ) : 2 = 12 -  кроликов;
2. 35- 12 = 23 - фазанов.

Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.

С помощью системы:

Пусть x- количество фазанов, а y- кроликов. Известно ,что  всего  голов- 35.  Значит,  x + y =35. Тогда 2x- ноги всех фазанов, а 4y- ноги всех кроликов. По условию задачи 2x + 4y = 94. Составим и решим систему уравнений:

         ;      ;     ;     ;   ;

  ;    23-фазана и 12 кроликов.

Ответ:  12кроликов и 23 фазана.

 Ш . Устная  работа. (Задания заранее написаны на доске.)

       При решении задачи были допущены ошибки. Найдите их и составь- те систему уравнений по условию задачи правильно.

Задача № 1.

   Туристы  отправились в путешествие. Сначала они  решили  плыть  по реке и сели на пароход, который проплыл 240 км. На это он  потратил  2 часа, плывя против течения , и  3  часа – по   течению. Туристы   решили определить, какова скорость парохода  по  течению  и   против, если  из- вестно, что за 2 часа по течению он проходит на 35 км меньше, чем за 3 часа против течения.

Через граф-проектор на доску проецируется решение задачи с ошибками:

    Пусть x км/ч – скорость парохода против течения, а y км/ч – скорость по течению. По условию задачи пароход проплыл 240 км за 2 часа против течения и за 3 часа - по течению. Отсюда :  2х + 3y = 240.

    Известно, что за 2 часа по течению он проходит  на  35 км   меньше, чем  за 3  часа против течения. Отсюда :  2y – 3х = 35.

    Составим и решим систему уравнений:

  ;    ;    ;    ;      ; 

Учащиеся должны найти ошибки:

1) Ошибка в  составлении  системы:  x км/ч – скорость   парохода   против   течения;         у км/ч – по течению. Второе уравнение системы должно иметь вид:  3х – 2у = 35.

2) Ошибка при решении системы: при делении 375 на 13 получается дробное число, но в системе его округлять нельзя. Так же как нельзя округлять и значение парамет- ра  у.

Правильно составленная система  : 

( Класс получает задание решить её дома к следующему занятию.)

Решение:

  ;    ;    ;    ;    ;    ;  45 км / ч – скорость парохода против течения, 50 км / ч – по течению.

Ответ :  45 км / ч  ;  50 км / ч 

Задача № 2.

(Устный разбор с последующим решением.)

  Можно ли разменять сторублёвую купюру пятирублёвыми и десятируб- лёвыми монетами так, чтобы всех монет было десять ?

  Учащиеся объясняют ход решения : обозначим  за  х – пятирублёвые  монеты, а  за  у- десятирублёвые. Получим :   х + у = 10 .

  Составим второе уравнение : так как с помощью таких  монет  надо  разменять  сто рублей, то должно выполняться равенство :  5х + 10у = 100.

  Составим и решим систему уравнений :

  ;    ;    ;    ;    ;    ;    . Вывод : так как   х   и   у   являются количеством монет, то   х  

не должно равняться  нулю, так как  0N . Значит указанным способом невозможно разложить 100 - рублёвую купюру.

Ответ :  нет .

IV . Задачный марафон.

Задача № 1.

Решите систему уравнений и ответьте на вопрос: может ли  она  удов- летворять  условию  задачи? Не   забудьте, что  такому  условию  чаще всего удовлетворяют натуральные или конечные десятичные числа.

Предлагаемая система: 

Решение:   ; 

При  решении системы получили дробные числа, которые  не  могут  удовлетворять условию «хорошей» задачи.

Ответ: нет.

Задача № 2 .

Найдите точку пересечения графиков функций у= 2х - 6 и у= х – 3.

( Класс решает задачу самостоятельно, 4 уч-ся на индивидуальных  досках для  мар- керов, 2 уч-ся на плёнке с последующей проверкой на граф - проекторе.)

Решение:

Чтобы найти точку пересечения графиков функций, необходимо составить и решить систему уравнений с двумя неизвестными:

Ответ:  ( 0; 3 ).

Задача № 3 .

Основание равнобедренного треугольника  на  5  см  больше  его  боковой  стороны. Найдите стороны треугольника, если известно, что его периметр равен 50 см.

Решение:

Пусть х см – длина боковой стороны треугольника, а у см- основания. Известно,  что основание больше боковой стороны на 5 см, т.е.  у =  х + 5.

Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны у него равны. Составим и решим систему:

;    

15см – боковая сторона треугольника, 20 см – его основание.

Ответ:  15см, 15см и 20 см.

Творческая задача.

Сформулируйте задачу про движение, условию  которой  будет  удовлетворят  сле- дующая система: .

У одних уч-ся действующим  лицом  задачи  была  машина, у  других – поезд,  мото-цикл, скутер и т.д. Но все единодушно решили, что расстояние в 600 км было  прой- денно в два этапа: 4х км и  6у км. Сначала ( н-р, машина )  ехала  4ч., потом  6ч.  Из-вестно, что   у – х = 5. Отсюда уч-ся сделали вывод, что скорость машины на втором участке была больше на 5 км, чем на первом. В итоге получилась следующая задача, которая удовлетворяет приведённой системе:

« Машина прошла расстояние в 600 км в два этапа. Сначала она ехала 4часа с неко- торой скоростью, а затем ещё 6 часов, увеличив  скорость  на  5 км/ч.  Определите скорость машины на каждом этапе движения.»

Задание, подготовленное на карточках ( одна на парту).

Найдите в квадрате ответы к задаче:

-2	1	-3
7	Х	4
0	-1	3

           Решение:   обозначим одно число за Х; а второе - за У.

                        Составим и решим систему по условию задачи:

3	5	-5
2	У	6
-3	-1	-2

                                             

 В первом квадрате это число 7, во втором – 5.

Ответ:  7 и 5.

( Выставление оценок за задачный марафон, выяснение и обобщение  того, что  уда-лось уч-ся, а над чем ещё надо поработать).

V. Домашнее задание. Коментарии и объяснения к нему. ( Выдаются каж-дому на индивидуальных листах только тексты задач).

Задача № 1 .

Сколько лет яблоне и вишне, если 6 лет назад  возраст  яблони  был  в 5  раз  больше возраста вишни, а 2 года назад – в 2 раза?

           Решение:  

Пусть х- возраст яблони, а  у- возраст вишни. Составим и решим систему:

 ;        ;

  18 лет яблоне и 10 лет вишне.

Ответ:   18 лет и  10 лет.

Задача № 2 .

При каком значении k прямая  y=kx-3  пересекается с прямыми  y=2x-5   и y=x+2 ?

           Решение:   чтобы найти  k  составим и решим систему из трёх урав-нений:

Т.о., k =  и уравнение прямой имеет вид   .

Ответ:  k =  .

Задача № 3 .

Решить правильный вариант классной задачи № 1.

           Решение:  

Значит, скорость парохода против течения- 45 км / ч, а по течению- 50 км / ч.

Ответ: 45 км / ч; 50 км / ч.

VI. Дифференцированная самостоятельная работа на 4 варианта.

( Выполняется под копирку с последующей проверкой через  граф - проектор с  по-мощью заранее написанных на плёнке правильных решений).

1 вариант.

   В гостинице 25 номеров. Есть 4-х местные и 2-х местные номера. Сколько каких номеров, если известно, что всего в  гостинице  могут  разместиться  70  человек?

           Решение:   пусть х номеров 4-х местных, а у – 2-х местных. Составим и решим систему:

  Значит, в гостинице  10 номеров 4-х местных и 15 – 2-х местных.

Ответ:  10 и 15.

2 вариант.

  Для класса купили 30 билетов в театр стоимостью по 10 рублей и по 15 рублей. За все билеты заплатили 390 рублей. Сколько билетов купили по 10 руб. и по 15 руб.?

           Решение:   пусть купили  х  билетов по 10 руб. и у билетов по 15 руб.

Составим и решим систему:

Т.о., купили 18 билетов по 10 рублей и 12 билетов по 15 рублей.

Ответ:   18 и 12.

3 вариант.

   Даны два числа. Если к первому прибавить половину второго, то получится 65, а если из второго вычесть третью часть первого, то получится первое  число. Най-дите эти числа.

           Решение:   обозначим за  х – первое число, а за  у – второе число.

Составим и решим систему:

48,75 – первое число, 32,5 – второе число.

Ответ:   48,75  и  32,5 .

4 вариант.

( для наиболее подготовленных уч-ся )

   Если из первого числа вычесть четверть второго числа, получится 129, а если увеличить второе число в 5 раз и отнять от него половину первого числа, то по-лучится первое число. Найдите эти числа.

           Решение:   обозначим за  х – первое число, за  у – второе число.

Составим и решим систему:

Ответ: 

VII. Подведение итогов урока.

Рефлексия занятия, выставление оценок.

Комментарий  учителя.

   В целом уч-ся достаточно хорошо усвоили  алгоритм  решения   задач  на  состав-ление систем линейных уравнений. В решении  систем отдают предпочтение  мето- ду подстановки, хотя многие хорошо владеют и способом сложения.

   Устная работа показала, что уч-ся ориентируются в условии задач, без труда  вво-дят переменные и многие верно  составляют  уравнения  к  системе.  Справились   с творческой, геометрической  задачами, с интересом разменивали 100-рублёвую  ку- пюру.

   В задачном марафоне оспаривался результат задачи  № 1. Почему  дробные  числа не могут быть решениями задачи? В принципе, дети правы – это показали  ответы  к самостоятельной работе В-3; 4. Поэтому пришлось наложить дополнительное  усло-  вие «хорошей» задачи.