Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Тема урока УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ

Тема урока УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ



  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



Тема: УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ



СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ



Уравнение, корень уравнения, посторонний корень, равносильные уравнения, неравенство, решение неравенства, равносильные, неравенства, область допустимых значений переменной.

Если в уравнении (неравенств) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то эти коэффициенты называются параметрами, а уравнение (неравенство) – уравнением с параметрами (неравенством с параметрами).

При решении уравнения или неравенства с параметрами необходимо:

  1. определить, при каких значениях параметров существуют решения;

  2. найти множество решений, соответствующее каждой допустимой системе значений параметров.

Основной принцип решения уравнений с параметрами можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на такие промежутки, что при изменении параметра на каждом из них получающиеся уравнения решались одним и тем же методом. Отдельно для каждого промежутка находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра. Используемые при этом приёмы такие же, как и при решении уравнений с числовыми коэффициентами.



УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Решим уравнение hello_html_m376ebdf9.gifдля каждого значения параметра а.

Решение. Рассмотрим два случая.

  1. Пусть hello_html_mb1c7325.gif, тогда данное уравнение имеет вид:hello_html_727014f4.gif. Этому уравнению удовлетворяет любое действительное значение х.

  2. Пусть hello_html_62e50fc6.gif, тогда данное уравнение является линейным уравнением и его единственным решение: hello_html_m1ecd50db.gif.

Ответ:х – любое число при hello_html_77c06f5a.gifприhello_html_m1e8b62dd.gif



Пример 2. При каких значениях, а уравнение hello_html_m7e7c8faa.gifимеет один корень?

Решение. Рассматривая данное уравнение как квадратное уравнение относительно hello_html_m28fa9110.gif, устанавливаем, что оно равносильно совокупности уравнений hello_html_3e62e7ec.gif и hello_html_m240e865a.gif. Уравнение hello_html_3e62e7ec.gifприhello_html_m564bd7af.gif имеет одно решение, а при hello_html_67491745.gif не имеет решения.

Уравнение hello_html_m240e865a.gif при любом значении, а имеет единственное решение.



Пример 3. Решим уравнение: hello_html_m2d6ee263.gif

Решение. Замечаем, что значения 0 и hello_html_m1f99df40.gifне являются допустимыми значениями для х. Параметры а и bтоже неравны нулю. Освобождаем уравнение от знаменателей. Получаем:

hello_html_m4f4b331b.gif

hello_html_33c05291.gif

Если hello_html_33181dc9.gif, то уравнению (1) удовлетворяют все значения х, кроме х = 0. Исходное уравнение в этом случае принимает вид: hello_html_m3d50808f.gif.

Если hello_html_32239f4a.gifто, разделив уравнение (1) на hello_html_47d79ec3.gif, получим квадратное уравнение: hello_html_58c9484d.gif. Корни его: hello_html_7ea69fae.gif,

Ответ: любое действительное число, кроме х = 0 приhello_html_33181dc9.gif; hello_html_m5db75690.gifи hello_html_ma755d3d.gif при hello_html_600bee76.gif



Пример 4. Решим уравнение hello_html_m343adcf8.gif

Решение.Допустимые значения переменной х и параметра, а в данном уравнении определяются системой неравенств:

hello_html_4e461319.gifили hello_html_ad97fb3.gif.

Кроме того, если а и х имеют одинаковые знаки hello_html_m5b83116.gif, то hello_html_m20c1237c.gifи решением уравнения может быть только положительное значение переменной, а это значит, что иhello_html_54956c17.gif Если а и х имеют разные знаки hello_html_65813132.gifто hello_html_m125dd5a4.gifи решением уравнения может быть только отрицательное значение переменной, но при этом также и hello_html_m19ee7f0a.gif. Таким образом, уравнение имеет отличные от нуля решения, если hello_html_3767e8b6.gifпри а = 0.

Перепишем уравнение в виде hello_html_m70d02d59.gifи возведём обе его части в квадрат. После преобразований получим: hello_html_m3607b554.gif, откуда:

1) hello_html_6790bba6.gifпри произвольных значениях а;

2) hello_html_738dd66c.gif, или hello_html_3d818773.gif.

Последнее уравнение имеет решения, еслиhello_html_m14f24c1c.gifВозведём обе части этого уравнения в квадрат и после упрощения получим: hello_html_4d90060f.gif, откуда при hello_html_755a0d6b.gifнаходим:

hello_html_3d38b3b7.gifhello_html_3c00f0a7.gifНайденные значения будут корнями данного уравнения, если:

hello_html_3778d070.gifили hello_html_2aa13c7e.gif

Отсюда получим:

hello_html_42901d67.gifили hello_html_64dcff4c.gif

Третье неравенство последней системы неравенств выполняется при любом значении а. Поэтому решением последней системы неравенств является общее решение неравенств hello_html_m6c6fbfd3.gif и hello_html_m140b9a4.gifт.е. hello_html_27b1d6f.gif

Ответ:hello_html_27b1d6f.gif



Пример 5. Решим неравенство hello_html_108da287.gif

Решение.Дискриминант уравнения hello_html_2e749cba.gif будет hello_html_m4ea1c500.gif.

Рассмотрим три случая: hello_html_7046ba49.gif

  1. При hello_html_5807be47.gif или hello_html_m688befe1.gifполучаем: hello_html_45f7c572.gif. Следовательно, для каждого hello_html_m399eb923.gifданное неравенство имеет решение и его решением является любое действительное число.

  2. При D = 0 или hello_html_1d635a9.gifполучается: hello_html_25345bb3.gifи hello_html_m66f61daf.gif. Следовательно, здесь также для каждого hello_html_25345bb3.gifи hello_html_m66f61daf.gifданное неравенство имеет решение и его решением является любое действительное число.

  3. Приhello_html_m7025bc2.gifили hello_html_6bee9987.gifполучится: hello_html_m6db12f75.gifи hello_html_m3412f0ef.gif. Следовательно, на каждом из промежутков hello_html_48df00e7.gifи hello_html_61aa79.gifданное неравенство имеет решение и его решение имеет вид: hello_html_562e6d0b.gif и hello_html_m1421b7db.gifгде: hello_html_m6aa7d498.gifhello_html_2fd304ee.gif

Ответ: х – любое действительное число приhello_html_6bce5822.gif



hello_html_15103c3b.gifпри hello_html_mb1ac149.gif



Пример 6. Решим неравенство: hello_html_m2eda1943.gif.

Решение. 1) При hello_html_27ca5b09.gifправая часть неравенства отрицательна, тогда при любом значении х левая часть неравенства больше правой.

  1. Приа = 0 исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме

х = - 3.









ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ



  1. Решите уравнение

hello_html_m6b2ac11.gifОтвет: приhello_html_516b0bce.gifнет решений, при hello_html_27ca5b09.gif, hello_html_m25b31187.gif

  1. Решите уравнение

hello_html_m6181589.gifОтвет: приhello_html_27ca5b09.gif, hello_html_m1bfe0ee1.gif, при, hello_html_516b0bce.gif, нет решений

  1. Решите уравнение

hello_html_357fc79b.gifОтвет: приhello_html_27ca5b09.gif,hello_html_6afd3993.gif, при hello_html_516b0bce.gif, нет решений

  1. Решите уравнение

hello_html_m5381b529.gifОтвет: приhello_html_27ca5b09.gif,hello_html_m644772aa.gif, при hello_html_516b0bce.gif, нет решений

  1. Найдите все значения а, при которых число х = 2 является корнем уравнения

hello_html_77dcd255.gif.

Ответ: значений, а нет

  1. Найдите все значения а, при которых число х = - 3 является решением неравенства

hello_html_m22fa95af.gif

Ответ: hello_html_4c5ef228.gif

  1. Найдите все значения а, при которых число х = - 2 является корнем уравнения

hello_html_5f53843e.gif

Ответ: hello_html_m7a389026.gif

  1. Может ли при каком-нибудь значении, а уравнение hello_html_m5ccb3441.gif имеет три корня?

Ответ: нет



  1. Найдите все значения а, при которых число х = 2является корнем уравнения hello_html_641b8e7f.gif

Ответ: hello_html_m3cfdea06.gif

  1. Найдите все значения параметра а, такие, чтобы уравнение hello_html_75ca687f.gifимело 2 различных корня.

Ответ: hello_html_4b6b2e46.gif








Автор
Дата добавления 07.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров264
Номер материала ДВ-237304
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх