Урок по
математике для
первого курса учреждений среднего профессионального образования
Тема: “Вычисление
площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”.
Преподаватель
математики С.Б. Баранова
Образовательные
задачи:
- обеспечить повторение,
обобщение и систематизацию материала по данной теме;
- создать условия контроля
(самоконтроля) знаний и умений.
Развивающие
задачи:
- способствовать формированию
умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;
- продолжить развитие
математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательные
задачи:
- содействовать воспитанию
интереса к математике;
- воспитание активности,
мобильности, умения общаться.
Тип урока –
комбинированный урок с элементами проблемного обучения.
Методы и приёмы
обучения –
проблемный, наглядный, самостоятельная работа студентов, самопроверка.
Оборудование –
приложение к уроку, таблицы.
План урока
- Организационный момент.
Подготовка студентов к работе на занятии.
- Подготовка студентов к
активной деятельности (проверка вычислительных навыков и таблиц интегралов
по группам).
- Подготовка к изучению нового
материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
- Работа с новым материалом.
- Первичное осмысление и
применение изученного материала, его закрепление.
- Домашнее задание.
- Применение знаний.
- Подведение итогов.
- Рефлексия.
Ход урока
1. Организационный
момент.
Понятие определенного интеграла
является одним из основных понятий математики. К концу 17 в. Ньютоном и
Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления,
который составляет основу математического анализа.
На предыдущих занятиях мы научились
“брать” неопределенные интегралы, вычислять определенные интегралы. Но куда
важнее применение определенного интеграла. Мы знаем, что с его помощью можно
вычислять площади криволинейных трапеций. Сегодня мы ответим на вопрос: “Как
это сделать?”
2. Подготовка
студентов к активной деятельности.
Но сначала нам необходимо проверить
вычислительные навыки и знание таблицы интегралов. Перед вами задание,
результатом выполнения которого будет высказывание французского математика С.Д.
Пуассона (Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее
преподаванием).
Задание выполняется парами (Приложение
№1).
3. Подготовка к
изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
Переходим к теме нашего занятия
“Вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”. Кроме
умения вычислять определенный интеграл, нам нужно вспомнить свойства площадей.
В чем они заключаются?
- Равные фигуры имеют равные
площади.
- Если фигура разбита на две
части, то её площадь находится как сумма площадей отдельных частей.
Также нам нужно повторить правило
интеграла суммы и формулу Ньютона-Лейбница.
4. Работа с новым
интегралом
1. Определенный интеграл служит для
вычисления площадей криволинейных трапеций. Но на практике чаще встречаются
фигуры, которые таковыми не являются и нам необходимо научиться находить
площади именно таких фигур.
Работа по таблице “Основные случаи
расположения плоской фигуры и соответствующие формулы площадей” (Приложение
№2).
2. Давай проверим себя.
Работа с заданием (Приложение
№3) с последующей проверкой (таблица №3).
3. Но умения правильно выбирать
формулы для площади недостаточно. На следующей таблице (Приложение
№4) в каждом из заданий есть “внешняя” причина, не
позволяющая вычислить площадь фигуры. Найдём их.
а) не указаны формулы для графиков
функций.
б) нет пределов интегрирования.
в) не указаны названия графиков и
нет одного предела.
г) не указана формула одного из
графиков.
4. С учетом проделанной работы,
сформулируем и запишем алгоритм решения задач на тему урока.
- Построить графики данных
линий. Определить искомую фигуру.
- Найти пределы интегрирования.
- Записать площадь искомой
фигуры с помощью определенного интеграла.
- Вычислить полученный интеграл.
5. Первичное
осмысление и применение изученного материала, его закрепление.
1. С учетом алгоритма выполним
задание №2 из последней таблицы.
Рисунок 1
Решение:
Найдём пределы интегрирования.
Для точки А:
– не
удовлетворяет условию задания
Для точки В:
– не
удовлетворяет условию задачи.
Ответ: (кв. ед).
2. Но при выполнении этого задания
алгоритм применялся не полностью. Для его отработки выполним следующее задание
Задание. Найти площадь фигуры,
ограниченной линиями , .
Рисунок 2
Решение:
–
парабола, вершина (m,n).
(0;2) – вершина
Найдём пределы интегрирования.
Ответ: (кв.ед).
6. Домашнее
задание.
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями (задание
разобрать).
7. Применение знаний.
Самостоятельная работа
(Приложение №5))
8. Подведение
итогов.
- научились составлять формулы
для нахождения площадей плоских фигур;
- находить пределы
интегрирования;
- вычислять площади фигур.
9. Рефлексия.
Студентам раздаются листочки. Они
должны оценить свою работу, выбрав один из предложенных вариантов ответа.
Оценить степень
сложности урока.
Вам было на уроке:
Оцените степень
вашего усвоения материала:
- усвоил полностью, могу
применить;
- усвоил полностью, но
затрудняюсь в применении;
- усвоил частично;
- не усвоил.
Просмотрев ответы, сделать вывод о
подготовленности студентов к практической работе.
Используемая
литература:
- Валуцэ И.И., Дилигулин Г.Д.
Математика для техникумов.
- Крамер Н.Ш., Путко Б.А.,
Тришин И.М. Высшая математика для экономистов.
- Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая
математика, ч.1.
- Званич Л.И., Рязановский А.Р.
М., Новая школа.
- Газета “Математика”.
Издательский дом “Первое сентября”.
Приложение
№ 1
Вычислите
определённые интегралы и вы узнаете одно из высказываний французского
математика С.Д.Пуассона.
Жизнь
|
-1
|
Тремя
|
-16
|
Двумя
|
1
|
Вещами
|
7
|
Занятием
|
|
И
|
0
|
Математикой
|
6
|
Арифметикой
|
|
Преподаванием
|
0
|
Её
|
3
|
Украшается
|
|
Забыванием
|
0
|
Приложение
№ 2
ОСНОВНЫЕ
СЛУЧАИ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ
1.
Фигура
ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции , осью абсцисс и прямыми .
______________________________________
2.
Фигура
ограниченная графиком непрерывной и неположительной функции , осью абсцисс и прямыми .
____________________________________________
3.
Фигура
ограниченная осью абсцисс, прямыми и графиком функции , которая непрерывна на и меняет свой знак конечное число
раз на этом отрезке.
____________________________________________
4.
Фигура
ограниченная графиками двух непрерывных функций и на и прямыми , где .
________________________________________
5.
Фигура
ограниченная графиками трёх и более непрерывных функций на .
______________________________________
6.
Фигура
ограниченная графиком непрерывной функции , осью ординат и прямыми .
___________________________________
7.
Фигура
симметричная относительно оси ординат или начала координат.
_____________________________
Приложение
№ 3
Используя
определенный интеграл, запишите формулы для вычисления площадей фигур,
заштрихованных на рисунке.
_________________________________________
__________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
____________________________________________
Приложение № 4
Найти «внешнюю» причину, не позволяющую вычислить площадь
фигуры.
Рисунок 1
Рисунок 2
Рисунок 3
Рисунок 4
_____________________________
Приложение
№ 5
Самостоятельная
работа
Вариант 1
1.
Установите,
верны ли следующие утверждения:
a.
Площадь
фигуры Ф вычисляется с помощью интеграла
b.
2.
Запишите
с помощью интегралов площади фигур и вычислите их
a.
b.
3.
Нарисуйте
фигуры, площади которых равны следующим интегралам:
a.
b.
Самостоятельная
работа
Вариант 2
1. Установите,
верны ли следующие утверждения:
a.
Площадь
фигуры Ф вычисляется с помощью интеграла
b.
2. Запишите с
помощью интегралов площади фигур и вычислите их
a.
b.
3. Нарисуйте
фигуры, площади которых равны следующим интегралам:
a.
b.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.