Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Тема: “Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Тема: “Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”.

библиотека
материалов

Урок по математике для первого курса учреждений среднего профессионального образования

Тема: “Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”.

Преподаватель математики С.Б. Баранова

Образовательные задачи:

  • обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала по данной теме;

  • создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.

Развивающие задачи:

  • способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;

  • продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные задачи:

  • содействовать воспитанию интереса к математике;

  • воспитание активности, мобильности, умения общаться.

Тип урока – комбинированный урок с элементами проблемного обучения.

Методы и приёмы обучения – проблемный, наглядный, самостоятельная работа студентов, самопроверка.

Оборудование – приложение к уроку, таблицы.

План урока

  1. Организационный момент. Подготовка студентов к работе на занятии.

  2. Подготовка студентов к активной деятельности (проверка вычислительных навыков и таблиц интегралов по группам).

  3. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

  4. Работа с новым материалом.

  5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

  6. Домашнее задание.

  7. Применение знаний.

  8. Подведение итогов.

  9. Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент.

Понятие определенного интеграла является одним из основных понятий математики. К концу 17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа.

На предыдущих занятиях мы научились “брать” неопределенные интегралы, вычислять определенные интегралы. Но куда важнее применение определенного интеграла. Мы знаем, что с его помощью можно вычислять площади криволинейных трапеций. Сегодня мы ответим на вопрос: “Как это сделать?”

2. Подготовка студентов к активной деятельности.

Но сначала нам необходимо проверить вычислительные навыки и знание таблицы интегралов. Перед вами задание, результатом выполнения которого будет высказывание французского математика С.Д. Пуассона (Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием).

Задание выполняется парами (Приложение №1).

3. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Переходим к теме нашего занятия “Вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”. Кроме умения вычислять определенный интеграл, нам нужно вспомнить свойства площадей. В чем они заключаются?

  • Равные фигуры имеют равные площади.

  • Если фигура разбита на две части, то её площадь находится как сумма площадей отдельных частей.

Также нам нужно повторить правило интеграла суммы и формулу Ньютона-Лейбница.

4. Работа с новым интегралом

1. Определенный интеграл служит для вычисления площадей криволинейных трапеций. Но на практике чаще встречаются фигуры, которые таковыми не являются и нам необходимо научиться находить площади именно таких фигур.

Работа по таблице “Основные случаи расположения плоской фигуры и соответствующие формулы площадей” (Приложение №2).

2. Давай проверим себя.

Работа с заданием (Приложение №3) с последующей проверкой (таблица №3).

3. Но умения правильно выбирать формулы для площади недостаточно. На следующей таблице (Приложение №4) в каждом из заданий есть “внешняя” причина, не позволяющая вычислить площадь фигуры. Найдём их.

а) не указаны формулы для графиков функций.

б) нет пределов интегрирования.

в) не указаны названия графиков и нет одного предела.

г) не указана формула одного из графиков.

4. С учетом проделанной работы, сформулируем и запишем алгоритм решения задач на тему урока.

  1. Построить графики данных линий. Определить искомую фигуру.

  2. Найти пределы интегрирования.

  3. Записать площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла.

  4. Вычислить полученный интеграл.

5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

1. С учетом алгоритма выполним задание №2 из последней таблицы.

hello_html_m112253af.jpg

Рисунок 1

Решение:

Найдём пределы интегрирования.

Для точки А:

hello_html_115caac4.png

hello_html_m29c77f79.png

hello_html_m73fdabf5.png

hello_html_m5c1fbe99.png – не удовлетворяет условию задания

Для точки В:

hello_html_1fa45aab.png

hello_html_199685e8.png

hello_html_7df1f26e.png

hello_html_54dcd5b2.png – не удовлетворяет условию задачи.

hello_html_92efd27.png

hello_html_m1ae60307.png

hello_html_3f950714.png

Ответ: hello_html_250c16f.png (кв. ед).

2. Но при выполнении этого задания алгоритм применялся не полностью. Для его отработки выполним следующее задание

Задание. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_1ebc756a.png, hello_html_52f32d53.png.

hello_html_m45544650.jpg

Рисунок 2

Решение:

hello_html_m72c51678.png – парабола, вершина (m,n).

hello_html_m26d51708.png

(0;2) – вершина

-2

0

2

4

2

4

Найдём пределы интегрирования.

hello_html_6295a747.png

hello_html_mc64d3c.png

hello_html_564634a1.png

hello_html_61ab4c66.png

Ответ: hello_html_3f06e5bd.png(кв.ед).

6. Домашнее задание.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m7e1606c7.png(задание разобрать).

7. Применение знаний.

Самостоятельная работа (Приложение №5))

8. Подведение итогов.

  • научились составлять формулы для нахождения площадей плоских фигур;

  • находить пределы интегрирования;

  • вычислять площади фигур.

9. Рефлексия.

Студентам раздаются листочки. Они должны оценить свою работу, выбрав один из предложенных вариантов ответа.

Оценить степень сложности урока.

Вам было на уроке:

  • легко;

  • обычно;

  • трудно.

Оцените степень вашего усвоения материала:

  • усвоил полностью, могу применить;

  • усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;

  • усвоил частично;

  • не усвоил.

Просмотрев ответы, сделать вывод о подготовленности студентов к практической работе.

Используемая литература:

  1. Валуцэ И.И., Дилигулин Г.Д. Математика для техникумов.

  2. Крамер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Высшая математика для экономистов.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика, ч.1.

  4. Званич Л.И., Рязановский А.Р. М., Новая школа.

  5. Газета “Математика”. Издательский дом “Первое сентября”.

Приложение № 1

Вычислите определённые интегралы и вы узнаете одно из высказываний французского математика С.Д.Пуассона.

hello_html_371446fb.png1


hello_html_m1cf6da2d.png2


hello_html_70045a79.png3


hello_html_76cb252e.png4


hello_html_1621afa0.png5


hello_html_m1bc51a3c.png6


hello_html_m7fcf0a28.png7


hello_html_m54a5bb60.png8


hello_html_23c3141a.png9



Жизнь

-1

Тремя

-16

Двумя

1

Вещами

7

hello_html_320ee8ee.pngЗанятием


И

0

hello_html_37798485.pngМатематикой

6

Арифметикой


Преподаванием

0

Её

3

hello_html_m83f05b.pngУкрашается


Забыванием

0











Приложение № 2


ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ


  1. Фигура ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции hello_html_m16dbf6ce.pnghello_html_m16dbf6ce.png, осью абсцисс и прямыми hello_html_17ed51e0.pnghello_html_17ed51e0.png.

hello_html_m2cde9b17.png______________________________________

  1. Фигура ограниченная графиком непрерывной и неположительной функции hello_html_m16dbf6ce.pnghello_html_m16dbf6ce.png, осью абсцисс и прямыми hello_html_17ed51e0.pnghello_html_17ed51e0.png.

hello_html_m527722e5.png____________________________________________

  1. Фигура ограниченная осью абсцисс, прямыми hello_html_17ed51e0.pnghello_html_17ed51e0.png и графиком функции hello_html_m16dbf6ce.pnghello_html_m16dbf6ce.png, которая непрерывна на hello_html_m12e50be.pnghello_html_m12e50be.png и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке.

hello_html_m45ef65e2.png____________________________________________

  1. Фигура ограниченная графиками двух непрерывных функций hello_html_m16dbf6ce.pnghello_html_m16dbf6ce.png и hello_html_3cb11f75.pnghello_html_3cb11f75.png на hello_html_m12e50be.pnghello_html_m12e50be.png и прямыми hello_html_17ed51e0.pnghello_html_17ed51e0.png, где hello_html_658dc46f.pnghello_html_658dc46f.png.

hello_html_2d91be92.png________________________________________

  1. Фигура ограниченная графиками трёх и более непрерывных функций на hello_html_m12e50be.pnghello_html_m12e50be.png.

hello_html_m3d8ea701.png______________________________________

  1. Фигура ограниченная графиком непрерывной функции hello_html_ee4eafc.pnghello_html_ee4eafc.png, осью ординат и прямыми hello_html_m76c4dc83.pnghello_html_m76c4dc83.png.

hello_html_m56c87216.png___________________________________

  1. Фигура симметричная относительно оси ординат или начала координат.

hello_html_m7792d319.pnghello_html_306dd29a.png_____________________________

Приложение № 3

Используя определенный интеграл, запишите формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунке.

hello_html_602a6c93.png_________________________________________

hello_html_mb11fe15.png__________________________________________

hello_html_m635427a6.png___________________________________________

hello_html_6a68eccb.png___________________________________________

hello_html_f3c71c6.png____________________________________________

Приложение № 4

Найти «внешнюю» причину, не позволяющую вычислить площадь фигуры.


hello_html_2d02f02.png

Рисунок 1

hello_html_55249d03.png

Рисунок 2

hello_html_m46f588ba.png

Рисунок 3

hello_html_m42750b3b.png

Рисунок 4

_____________________________



Приложение № 5


Самостоятельная работа

Вариант 1

  1. Установите, верны ли следующие утверждения:

  1. Площадь фигуры Ф вычисляется с помощью интеграла hello_html_7552cf2a.pnghello_html_7552cf2a.png

hello_html_574bf708.png

  1. hello_html_m7270b556.pnghello_html_m7270b556.png

  1. Запишите с помощью интегралов площади фигур и вычислите их

hello_html_m395e0257.png

hello_html_4e3fd21b.png

  1. Нарисуйте фигуры, площади которых равны следующим интегралам:


  1. hello_html_6f8aeb85.pnghello_html_6f8aeb85.png

  2. hello_html_m67edf151.pnghello_html_m67edf151.png




Самостоятельная работа

Вариант 2

    1. Установите, верны ли следующие утверждения:

  1. Площадь фигуры Ф вычисляется с помощью интеграла hello_html_2f8568c6.pnghello_html_2f8568c6.png

hello_html_487158d1.png

  1. hello_html_618176ad.pnghello_html_618176ad.png

    1. Запишите с помощью интегралов площади фигур и вычислите их

hello_html_m30ee8c99.png

hello_html_770b3822.png

    1. Нарисуйте фигуры, площади которых равны следующим интегралам:

  1. hello_html_3e97ec9b.pnghello_html_3e97ec9b.png

  2. hello_html_m5a022638.pnghello_html_m5a022638.png

13




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 23.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Номер материала ДВ-004326
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх