Инфоурок / Математика / Конспекты / Тема урока: «Первообразная и интеграл» 11 класс (повторение)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 20 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 203 курсов со скидкой 40%

Тема урока: «Первообразная и интеграл» 11 класс (повторение)

библиотека
материалов

Тема урока: «Первообразная и интеграл» 11 класс (повторение)

Тип урока: урок оценки и коррекции знаний; повторения, обобщения, формирования знаний, умений, навыков.

Девиз урока: Не стыдно не знать, стыдно не учиться.

Цели урока:

  • Обучающие: повторить теоретический материал; отработать навыки нахождения первообразных, вычисления интегралов и площадей криволинейных трапеций.

  • Развивающие: развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимание, память.

  • Воспитательные: воспитание математической культуры учащихся, повышение интереса к изучаемому материалу, осуществление подготовки к ЕНТ.

План конспект урока.

  1. Организационный момент

  2. Актуализация опорных знаний учащихся.

1.Устная работа с классом на повторение определений и свойств:

1. Что называется криволинейной трапецией?

2. Чему равна первообразная для функции f(х)=х
2.

3. В чем заключается признак постоянства функции?

4. Что называется первообразной F(х) для функции f(х) на х
http://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/360/359457/359457_html_m289d78ff.gifI?

5. Чему равна первообразная для функции f(х)=sinx.

6. Верно ли высказывание: «Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных»?

7. В чем заключается основное свойство первообразной?

8. Чему равна первообразная для функции f(х)=
http://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/360/359457/359457_html_7842ff85.gif.

9. Верно ли высказывание: «Первообразная произведения функций равна произведению их

первообразных»?

10. Что называется неопределенным интегралом?

11.Что называется определенным интегралом?


12.Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и физике.


Ответы

1. Фигуру, ограниченную графиками функций y=f(x), у=0, х=а, х=b, называют криволинейной трапецией.

2. F(x)=x
3/3+С.

3. Если F`(x
0)=0 на некотором промежутке, то функция F(x) – постоянная на этом промежутке.

4. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F`(x)=f(x).

5. F(x)= - cosx+C.

6. Да, верно. Это одно из свойств первообразных.

7. Любая первообразная для функции f на заданном промежутке может быть записана в виде

F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на заданном промежутке, а С –

произвольная постоянная.

8. F(x)=2
http://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/360/359457/359457_html_45443a93.gif+C.

9. Нет, не верно. Нет такого свойства первообразных.

10. Если функция у=f(x) имеет на заданном промежутке первообразную у= F(x), то множество всех первообразных у= F(x)+С называют неопределенным интегралом от функции у=f(x).

11. Разность значений первообразной функции в точках b и a для функции у = f (x) на промежутке [a; b] называется определенным интегралом функции f(x) на промежутке [a; b] .

12..Вычисление площади криволинейной трапеции, объемов тел и вычисление скорости тела в определенный промежуток времени.

Применение интеграла. (дополнительно записать в тетрадях)


Величины


Вычисление производной


Вычисление интеграла


s – перемещение,

http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m7ee8a29e.gif,

А – ускорение


http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_77b6e3bb.gif

a(t) =
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m6c996b17.gif


http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_4c1ef6e0.gif

http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m178aaa0a.gif


A - работа,

F – сила,

N - мощность


F(x) = A'(x)

N(t) = A'(t)


http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m4c0adf73.gif

http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m5381a188.gif


m – масса тонкого стержня,

http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_77af3cb4.gif - линейная плотность


http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_77af3cb4.gif(x) = m'(x)


http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m5047db36.gif


q – электрический заряд,


I –сила тока


I(t) = q
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_6cec08cc.gif(t)


http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m4e912c32.gif


Q – количество теплоты

с - теплоемкость


c(t) = Q'(t)


http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_3b5b8ed2.gif


Правила вычисления первообразных


- Если F – первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.

-Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.

-Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m1e8767f.gif0, то есть http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_d1560a3.gifесть первообразная для f(kx+b).

^ 4)http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m25f86fad.gif - формула Ньютона-Лейбница.

5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на промежутке [a;b] функций http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m5014fcb.gifи http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_50159360.gifтаких, что http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_50159360.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_65568132.gif http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m5014fcb.gifдля всех x http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_5b360e33.gif [a;b] вычисляется по формулеhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m288431e3.gif

6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются соответственно по формулам:

http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m50dff53d.gifили http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_6c9d561d.gif


Найдите неопределенный интеграл: (устно)


1.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m56f8823.gif


2.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m44df573a.gif


3.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m7e4166ca.gif


4.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m4d7fcd60.gif


5.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_16b83ba5.gif


6.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_5a0ee489.gif


7.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m5e46bb8e.gif


Ответы:


1.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m6f92ccf8.gif


2.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_3929be8a.gif


3.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m2a8a758b.gif


4.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_5bff829b.gif


5.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m2b909bbb.gif


6.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m7edcabf5.gif


7.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12445/12445_html_m3b74e386.gif



III Решение заданий с классом



1. Вычислите определенный интеграл: ( в тетрадях, один учащийся на доске)


1)
http://podelise.ru/tw_files2/urls_409/7/d-6194/7z-docs/10_html_m35145678.gif;

2)
http://podelise.ru/tw_files2/urls_409/7/d-6194/7z-docs/10_html_7cec6a6f.gif; 3) http://podelise.ru/tw_files2/urls_409/7/d-6194/7z-docs/10_html_m4eacc4d9.gif.

Задачи по рисункам с решениями:

1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y= x3,  y=0, x=-3, x=1.

Решение.

   0              1                                  0                   1

-∫ х3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) |  + (x4 /4) |  = (-3)4 /4 + 1/4 = 82/4 = 20,5   

 -3                0                               -3                    0

http://www.postupivuz.ru/img/liliana/1348261614_big.jpg


3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=x3+1,  у=0,  x=0

Решение.

(3/4)

http://www.postupivuz.ru/img/SOVA/1348291915_big.jpg

 

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х2,  у=0,  

Решение. Сначала построим график, чтобы определить пределы интегрирования. Фигура состоит из двух одинаковых кусочков. Вычисляем площадь той части, что справа от оси у, и удваиваем.

http://www.postupivuz.ru/img/SOVA/1348294710_big.jpg

(10  2/3)

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1+2sin x,  у=0,  x=0,  x=п/2

Решение.

F(x) = x - 2cosx; S = F(п/2) - F(0) = п/2 -2cosп/2 - (0 - 2cos0) = п/2 + 2

http://www.postupivuz.ru/img/SOVA/1348293991_big.jpg

Вычислите площадь криволинейных трапеций, ограниченных графиками известных вам линий.

http://festival.1september.ru/articles/415059/Image49.gif


д)

http://festival.1september.ru/articles/415059/Image53.gif

3. Вычислите по рисункам площади заштрихованных фигур ( самостоятельная работа в парах ) Задание: вычислите площадь заштрихованной фигуры

http://festival.1september.ru/articles/415059/Image76.gif

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

http://festival.1september.ru/articles/415059/Image77.gif

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

http://festival.1september.ru/articles/415059/Image79.gif

III Итоги урока.


а) рефлексия: -Какие выводы от урока вы сделали для себя?

- Есть ли каждому над чем поработать самостоятельно?

- Полезен ли был для вас урок?

б) анализ работы учащихся

в) Дома: повторить, свойства все формулы первообразных, формулы нахождения площади криволинейной трапеции, объемов тел вращения. № 136 (Шыныбеков)

Краткое описание документа:

Тема урока: «Первообразная и интеграл»   11 класс (повторение)

Тип урока: урок оценки и коррекции знаний; повторения, обобщения, формирования знаний, умений, навыков.

Девиз урока: Не стыдно не знать, стыдно не учиться.

Цели урока:

  • Обучающие: повторить теоретический материал; отработать навыки нахождения первообразных, вычисления интегралов и площадей криволинейных трапеций.
  • Развивающие: развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимание, память.
  • Воспитательные: воспитание математической культуры учащихся, повышение интереса к изучаемому материалу, осуществление подготовки к ЕНТ.

План конспект урока.

I.                   Организационный момент

II.                Актуализация опорных знаний учащихся.

1.Устная работа с классом на повторение определений и свойств:

1. Что называется криволинейной трапецией?

2. Чему равна первообразная для функции f(х)=х2.

3. В чем заключается признак постоянства функции?

4. Что называется первообразной F(х) для функции f(х) на хI?

5. Чему равна первообразная для функции f(х)=sinx.

6. Верно ли высказывание: «Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных»?

7. В чем заключается основное свойство первообразной?

8. Чему равна первообразная для функции f(х)=.

9. Верно ли высказывание: «Первообразная произведения функций равна произведению их

первообразных»?

10. Что называется неопределенным интегралом?

11.Что называется определенным интегралом?


12.Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и физике.

 

Ответы

1. Фигуру, ограниченную графиками функций y=f(x), у=0, х=а, х=b, называют криволинейной трапецией.

2. F(x)=x3/3+С.

3. Если F`(x0)=0 на некотором промежутке, то функция F(x) – постоянная на этом промежутке.

4. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F`(x)=f(x).

5. F(x)= - cosx+C.

6. Да, верно. Это одно из свойств первообразных.

7. Любая первообразная для функции f на заданном промежутке может быть записана в виде

F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на заданном промежутке, а С –

произвольная постоянная.

8. F(x)=2+C.

9. Нет, не верно. Нет такого свойства первообразных.

10. Если функция у=f(x) имеет на заданном промежутке первообразную у= F(x), то множество всех первообразных у= F(x)+С называют неопределенным интегралом от функции у=f(x).

11. Разность значений первообразной функции в точках  b  и a для функции у = f (x) на промежутке  [a; b]  называется определенным интегралом функции f(x) на промежутке [a; b]  .

12..Вычисление площади криволинейной трапеции, объемов тел и вычисление скорости тела в определенный промежуток времени.

Применение интеграла. (дополнительно записать в тетрадях)


Величины


Вычисление производной


Вычисление интеграла


s – перемещение,

,

А – ускорение




a(t) =





A - работа,

F – сила,

N - мощность


F(x) = A'(x)

N(t) = A'(t)





m – масса тонкого стержня,

 - линейная плотность


(x) = m'(x)



q – электрический заряд,


I –сила тока


I(t) = q(t)



Q – количество теплоты

с - теплоемкость


c(t) = Q'(t)



Правила вычисления первообразных


- Если F – первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.

-Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.

-Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k0, то есть есть первообразная для f(kx+b).

^ 4) - формула Ньютона-Лейбница.

5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на промежутке [a;b] функций и таких, что  для всех x  [a;b] вычисляется по формуле

6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются соответственно по формулам:

или


Найдите неопределенный интеграл: (устно)


1.


2.


3.  


4.  


5.


6.


7.

 

Ответы:


1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.

 

III Решение заданий с классом

 


1. Вычислите определенный интеграл: ( в тетрадях, один учащийся на доске)


1) ;

2);                                        3) .

 

Задачи по рисункам с решениями:

№ 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y= x3,  y=0, x=-3, x=1.

Решение.

   0              1                                  0                   1

-∫ х3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) |  + (x4 /4) |  = (-3)4 /4 + 1/4 = 82/4 = 20,5   

 -3                0                               -3                    0

 

№3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=x3+1,  у=0,  x=0

Решение.

(3/4)

 

№ 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х2,  у=0,  

Решение. Сначала построим график, чтобы определить пределы интегрирования. Фигура состоит из двух одинаковых кусочков. Вычисляем площадь той части, что справа от оси у, и удваиваем.

(10  2/3)

№ 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1+2sin x,  у=0,  x=0,  x=п/2

Решение.

F(x) = x - 2cosx; S = F(п/2) - F(0) = п/2 -2cosп/2 - (0 - 2cos0) =п/2 + 2

Вычислите площадь криволинейных трапеций, ограниченных графиками известных вам линий.

 

д)

3. Вычислите по рисункам площади заштрихованных фигур ( самостоятельная работа в парах ) Задание: вычислите площадь заштрихованной фигуры

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

III Итоги урока.

 

а) рефлексия: -Какие выводы от урока вы сделали для себя?

- Есть ли каждому над чем поработать  самостоятельно?

- Полезен ли был для вас урок?

б) анализ работы учащихся

 

в) Дома:  повторить, свойства все формулы первообразных, формулы нахождения площади криволинейной трапеции, объемов тел вращения. № 136 (Шыныбеков)

Общая информация

Номер материала: 298105

Похожие материалы