Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / ТЕМА: ВЫДЕРЖКИ ИЗ МЕТОДИЧЕСКИХ РАЗРАБОТОК ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

ТЕМА: ВЫДЕРЖКИ ИЗ МЕТОДИЧЕСКИХ РАЗРАБОТОК ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ

библиотека
материалов










ТЕМА: ВЫДЕРЖКИ ИЗ МЕТОДИЧЕСКИХ РАЗРАБОТОК ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ














В данной работе приводятся примерные решения некоторых типов заданий, на мой взгляд наиболее характерных и интересных.

Это отдельные выдержки из разработок, которые я провожу как работу над собой и предназначаю частью для внеклассной работы, а частью – для подготовки к ЕГЭ.

Материал подбираю из различных дидактических источников, из журнала курсов и экзаменационных материалов в центральные ВУЗы, а за последнее время, конечно же, из КИМ ЕГЭ.

А. К решению тригонометрических уравнений.

а) Здесь рассматриваются уравнения, в которых аргумент требует предварительного исследования.

Решить уравнения

1. hello_html_m4843f007.gif

2. hello_html_5148dda0.gif

3. hello_html_9eae6de.gif

Рассмотрим примерное решение первого из этих уравнений.

При х > 0 имеем:

hello_html_m7c5104fe.gif

hello_html_m1d99d146.gif

Введем обозначение hello_html_m4145faa6.gif где hello_html_mf0ddb8d.gif

С другой стороны

hello_html_34862ee6.gif, то есть

hello_html_m75c10930.gif, значит hello_html_m78aee55f.gif

При этом из данного уравнения получим следующее:

hello_html_m6ce03bb2.gif

hello_html_m6b70cf26.gif

hello_html_m7c66cdec.gif

hello_html_m735250a5.gif

hello_html_640057d5.gif

hello_html_7fb47bee.gif

hello_html_dfe7fd.gif

Это неравенство верно при hello_html_m56856274.gifили hello_html_1f8c9ee0.gif.

При hello_html_m56856274.gif:

hello_html_m7ba3c2cb.gif

hello_html_mb997fa0.gif

hello_html_5cdac06e.gif

hello_html_35d86db5.gif

hello_html_m4b3dacc9.gif

Так как х > 0, то hello_html_m7ecec4be.gif

При К=1:

hello_html_m4cfccf69.gif

hello_html_49e2061b.gif

hello_html_m789dc31a.gif

hello_html_m4f85df3c.gif

hello_html_m4bba653c.gif

Из этих значений также выбирается положительное hello_html_4a3b9a58.gif

Ответ: hello_html_m56d1523b.gif

Остальные уравнения решаются аналогично.

Ответы:

2. hello_html_c671fb3.gif

3. hello_html_65ca1345.gif

4. hello_html_m2a9bbece.gif

5) Другая группа тригонометрических уравнений содержит иррациональный множитель.

1. hello_html_3013237b.gif

2. hello_html_m52e879a9.gif

Решим первое уравнение.

hello_html_m5a4e148c.gif

Очевидно условие hello_html_m768b1884.gif

С учетом ограничения исходное уравнение примет вид:

hello_html_m20377bc.gif

С обозначением tgx=t получаем:

hello_html_61cd3c44.gif

hello_html_7e623d6e.gif

(положим, что hello_html_537a52c5.gif)

hello_html_16f233d5.gif

Но так как в начале получим, что hello_html_511955b2.gif то A=4.

При A=4:

hello_html_m7946ffde.gif

hello_html_23255b07.gif

hello_html_m77ff6660.gif

hello_html_m13bde78c.gif

Ответ: hello_html_m7441c084.gif

hello_html_1dc2990c.gif

Второе уравнение имеет сходное решение с ответом

hello_html_5fbdb9fc.gif

в) третий вид тригонометрических уравнений имеет знак модуля

1. hello_html_50b776e0.gif

2. hello_html_m77d4bc9.gif

Решим второе уравнение, преобразуя части уравнения с указанием их границ.

hello_html_62b75e15.gif

Для правой части имеем:

hello_html_891c188.gif

Очевидно, что наименьшее значение 4 получается при cos 8x=1.

Сравнивая границы частей уравнения, приходим к решению системы

hello_html_m6194077.gif

hello_html_6b292597.gif

hello_html_m57626c7d.gif

hello_html_meeae93c.gifhello_html_m7da4348e.gifhello_html_m72c6b0f3.gif

hello_html_21f58b93.gif

hello_html_f554879.gif, прибавим к обеим частям по 3,

4+4n=3K+3;

4(n+1)=3(K+1)

Видно, что n+1=3m, то есть

n=3m-1, и решение примет вид:

hello_html_m160223ce.gif

где hello_html_564796ef.gif

Ответ: hello_html_m51d164cf.gif

Первое уравнение этой группы решается аналогично.

г) Решим уравнение, содержащее суперпозицию тригонометрической и логарифмической функций.

hello_html_m6cf46f8b.gif

Решение. Преобразуем выражения 5+3cos4x и hello_html_1c21a253.gif так, чтобы тригонометрические функции в них зависели от .

hello_html_6f4b778a.gif

hello_html_mec380d6.gif

hello_html_81888d7.gif

Введем обозначение sin2x=t, где hello_html_13dcdf34.gif

hello_html_65c5836b.gif(1)

Очевидно, что t=1 есть корень уравнения.

Рассмотрим графически, где возможны другие корни.

hello_html_28cb045c.png


Как видно из чертежа, графики функций y=8-6t2 и имеют вторую точку пересечения, меньшую, чем – 1 , но это значение не подходит по ограничению . Итак, имеем единственный корень t=1.





Вернемся к нашему обозначению:

hello_html_7a8bb5ed.gif

Ответ:hello_html_1cec8b81.gif

Б. Некоторые задания под номером С5 из различных вариантов КИМ и других источников.

а)Интересны уравнения, в которых параметр и переменную на время выгодно менять ролями.

Задача (Из материалов Московской Высшей школы экономики)

Если р – наибольшее значение параметра, при котором уравнение

hello_html_m26c3ee53.gif

имеет хотя бы один корень, то значение выражения hello_html_m2fc42cf4.gifравно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен...

Решение. Из левой части уравнения составим квадратичное выражение относительно р.

hello_html_31bd6c5b.gif

Решим это уравнение относительно р, то есть выразим р через х.

hello_html_24de22aa.gif

hello_html_890b52a.gif

hello_html_m635b8896.gif

hello_html_m771f3510.gif

Необходимо, чтобы hello_html_1b7a22d5.gifhello_html_m5aab2557.gif

hello_html_1b5fb567.gifhello_html_maaf6ad.gif.

При hello_html_m5a7a1fa2.gifимеем:

hello_html_mb53a866.gif

При х=-2 hello_html_25342e4a.gif

Наибольшее значение р равно hello_html_m3881c833.gif

Тогда hello_html_2f886cc3.gif

22:5=(20+2):5,... остаток 2.

Ответ:2.

б) Задача С5 из КИМ ЕГЭ.

Найдите все значения параметра а, при которых площадь фигуры, состоящей из всех точек, координаты которых являются решениями системы

hello_html_m679d4c54.gif

равна 4,5.

Решение. Найдем ОДЗ

hello_html_m35ed0aac.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_5fc4aadd.gif

По правой части равенства видно, ВТО в левой части нужно «потерять» у. Это произойдет, если выражения у и у+3х-6 будут разных знаков. Но так как в правой части этого уравнения имеется слагаемой – 2х, то видно, что hello_html_6306fa9b.gif, а hello_html_m2b58cfe.gifи тогда, то есть в области значений х и у имеем:

hello_html_m7128f227.gif

При этом имеем, на самом деле, верное равенство 6-2х=6-2х.

Покажем область, задаваемую системой неравенств

hello_html_m6ff249d5.gifв координатной системе.

Тhello_html_m430a1696.pngак как hello_html_4712483c.gif и hello_html_2a4ea1c.gif, то из неравенства системы видно, что hello_html_5929077a.gif. Тогда имеем: hello_html_m36d1e172.gif

hello_html_6f9b30a7.gif

hello_html_m14e03107.gif

hello_html_7f80c812.gif

Граница у=х+1+а есть прямая, параллельная биссектрисе первого координатного угла, то есть у=х.

Найдем абсциссу точки с, пересечения прямых у=-3х+6 и у=х+1+а.

hello_html_m517d52d2.gif

hello_html_m79d39a00.gif

Это значение абсциссы численно равно высоте треугольника АВС (опущенной из вершины С). Основание же АВ=6-(1-а)=5-а.

Тогда по условию задачи получаем

hello_html_4cc68f70.gif

И прямая у=х+1+а имеет вид: у=х

Ответ: -1.

в) Интересна группа задач С5 КИМ следующего вида.

1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых равенство

hello_html_5b3e6cea.gifверно при всех значениях х, принадлежащих отрезку [-1;7].

2. Найдите все значения параметра а, при каждом их которых неравенство hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m819f2c9.gifверно при всех значениях переменной х, принадлежащих отрезку [-6;2].

. Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором неравенство hello_html_dcb2765.gifверно при всех значениях переменной х, принадлежащих отрезку [0;1].

Решим №2 и №3, так как они имеют некоторые различия.

2. В этом уравнении hello_html_m4683903e.gifоценим основание логарифма.

hello_html_797581eb.gif

Тогда имеем:

hello_html_m619e3ce8.gif

Чтобы, линейная относительно а функция hello_html_m60ed4121.gif, была положительной на отрезке [-6;2], необходимо и достаточно, чтобы она была неположительна на концах этого отрезка.

А чтобы линейная функция g(a)=ax+(x+4) была неотрицательной на этом же отрезке [-6;2] необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательна на его концах. Итак, решаем систему линейных неравенств с переменной а.

hello_html_m39d50363.gif

Решаем систему из двух первых неравенств.

hello_html_695701f6.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m1a96d39c.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_31f0b5c5.gif

Проверим, будет ли а=4 решением двух последних неравенств системы.

hello_html_102131ed.gif

Получили, что а=4 – единственное значение параметра а, при котором неравенство верно для всех

Ответ: 4.

Решение №3.

hello_html_dcb2765.gif

(нужно найти наиболее целое значение а, при котором неравенство верно для всех hello_html_4704ac5f.gif).

Проверим условие hello_html_254adc6d.gif

hello_html_m4f62dcae.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m2e14d901.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_6502c00.gif, а это неравенство верно, так как функция hello_html_6591b25f.gifимеет максимум в точке х=0.

Итак неравенство верно, поэтому получим:

hello_html_m7d8405e6.gif

Рассмотрим левую часть этого неравенства как линейную функцию от а: hello_html_b7b22bc.gif.

Чтобы эта функция была положительной на отрезке [0;1] необходимо и достаточно, чтобы она была положительна на концах этого отрезка.

hello_html_m1886cb07.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m66b333d1.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_31a99449.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m14e5cb1c.gif.

Наименее целое значение, при котором выполняется исходное неравенство есть а = -6.

Ответ: -6.

г) Несколько задач С5 из КИМ, решение которых сопровождается геометрической интерпретацией.

1 Найдите все натуральные значения К, для каждого из которых найдется хотя бы одна пара чисел (а;в) таких, что система уравнений

hello_html_m5d1846b0.gifне имеет решений.

Ответ: 1.

2. Найдите все положительные значения к, для каждого из которых найдется хотя бы одна пара числе (а;в) таких, что система уравнений

hello_html_7c707686.gifимеет ровно одно решение.

Ответ: Khello_html_m289d78ff.gif (0;2-hello_html_m18af4590.gif).

3. Сколько корней имеет уравнение

hello_html_m217277ec.gif

Ответ: четыре.

4. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений

hello_html_m732fe10a.gifимеет ровно четыре решения.

Ответ: а=hello_html_m4dea1fa.gif

5. Найдите наибольшие значения параметра b, при которых система уравнений

hello_html_m1bc8bfde.gifимеет ровно 8 решений.

Ответ: hello_html_73c1cdae.gif

6. Найдите наибольшее значение параметра b, при котором система уравнений

hello_html_m724fcf9c.gifимеет ровно четыре решения.

Ответ: 4+2hello_html_m18af4590.gif

7. Сумма всех различных целочисленных значений параметра R, при котором система уравнений

hello_html_m722b1f28.gifимеет ровно четыре решения равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.

Ответ: 3.

Приведу решение некоторых из них.

Решение №1.

hello_html_6c69e50.gif

Из первого уравнения системы имеем:

hello_html_58383d8b.gif

Уравнение hello_html_32d16679.gifгеометрически есть окружность с центром в точке (а;в) и с радиусом K.

Построим эти линии

hello_html_1fd458a0.gifв одной и той же системе координат.

hello_html_337d9a40.png

Берем один из полученных треугольников и выясним, при каких значениях радиуса, окружность с центром в этом треугольнике, не будет пересекаться со сторонами треугольника хотя бы при одном центре (а;b), если радиус K – натуральное число.

В выбранном треугольнике АОВ имеем:

hello_html_73bf1915.gif

Видно, что при r=k=1 окружность с центром в точке с координатами hello_html_m4ee6d104.gif и hello_html_375dc365.gif не будет пересекать стороны треугольника.

В каждом из построенных треугольников можно указать соответствующий центр окружности радиуса 1.

Ответ: 1.



Решение №7.

hello_html_6e2ce679.gif

Нужно выяснить, при каком значении параметра R система имеет ровно четыре решения.

1) Преобразуем первое уравнение

hello_html_m4e9f2c6f.gifуравнение совокупности четырех равных дуг окружностей, симметричных осям Ох и Оу, с радиусом hello_html_1ebf3d4d.gifи с центром в точках hello_html_7203f144.gif.

2) Уравнение же hello_html_m5288becc.gifгеометрически есть квадрат, у которого диагонали длиной 48 пересекаются в начале координат.

Выполним эти графики в одной и той же системе. Видно, что hello_html_m1b5e1709.gifи hello_html_6870c68.gif. Тогда и остаток от деления этого числа на 5 равен 3.

Нетрудно заметить, что построение графиков удобно начат в первой координатной четверти и полученные дуги отобразить осевой симметрией в три остальные координатные четверти.

hello_html_6ba87aa1.png

В. Несколько видов задач по геометрии.

I. Задачи под №С4 КИМ.

1. В правильной треугольной пирамиде SABC точки K, N принадлежат ребру SA, точка М - ребру АВ, а L – ребру SC, причем AK=KN=NS, SM:MB=1:3; SL:LC=2:1. Найдите отношение объема пирамиды KLMN к объему пирамиды SABC.

Ответ: hello_html_m5da0d170.gif

2. В правильной треугольной пирамиде SABC точки KN принадлежат ребру SA, точка М – ребру, а L – ребру SC. Причем AK=KN=2NS, SM:MB=1:4; SL:LC=2:1.

Найдите отношение объемов пирамид KLMN и SABC.

Ответ: hello_html_m504fbcbe.gif

3. В плоскости грани ABC правильной треугольной пирамиды SABC проведен отрезок MN, параллельный ребру SB, концы которого принадлежат соответственно ребрам SA и AB. В грани ASC проведен отрезок KL, параллельный ребру АС, концы которого принадлежат соответственно ребрам SA и SC.

Найдите отношение объема пирамиды KLMN к объему пирамиды SABC, если hello_html_70f853e3.gif и hello_html_61a3d498.gif.

Ответ: hello_html_m6a60fe80.gif

Рассмотрим решение №1 и №3.

1 Решение. Может составитель КИМ имел ввиду другой ход решения, где была необходимость в правильности пирамид, но при следующем решении такой необходимости нет.

Примем за плоскость основания двух пирамид LKMN и SABC плоскость грани ABS.

Пhello_html_33ba4668.pngусть BD=h - высота треугольника ASB. Тогда высота hello_html_713e055e.gif треугольника KMN из соображения подобия треугольников BDA и MD1A выразится так: hello_html_m68950c3e.gif



При этом получим:

hello_html_b6575d8.gifи hello_html_59ebdb5c.gif

Пусть СО=Н есть высота пирамиды САВS на основании SАВ.

Тогда hello_html_m20fccb0c.gif– высота пирамиды LKMN на плоскость грани ABS из соображения подобия треугольников SCO и SLO выразится так:

hello_html_91fa831.gif

При этом

hello_html_4f801c80.gif

hello_html_6d7852a2.gif

Ответ: hello_html_m5da0d170.gif

Решение №3.

hello_html_2e2a99af.png

Дано: пирамида SABC,

hello_html_2eea39a2.gif


Найти: hello_html_a852a70.gif

hello_html_10101af2.gifhello_html_758714fc.gifhello_html_m31b289db.gif

Пусть SA=а и h – высота , опущенная на прямую AS.

Тогда hello_html_m295e9916.gif

Выразим площадь треугольника KMN через h и a.

Если hello_html_m79a1fece.gifесть высота треугольника KMN, опущенная на сторону КМ (то есть на прямую КМ), то из соображения подобия

hello_html_33da4384.gif

Выразим КМ через AS, то есть через а.

hello_html_6a299750.gifи hello_html_2ed1107.gif

Тогда КМ=hello_html_795c5bc9.gif

И hello_html_77d520b4.gif hello_html_m3da8bcc9.gif

Из соображения подобия высоты пирамид CABS и LKMN hello_html_m4c0d8883.gif и H относятся как 4:5, то есть hello_html_74e4ca71.gif

Значит hello_html_m4619d38b.gif

Ответ: hello_html_m6a60fe80.gif.

Примечание. При решении данной группы задач указанным способом не необходимости в правильности пирамид.

II. Несколько задач с шарами и пирамидами.

1. Центры двенадцати шаров равных радиусов совпадают с серединами 12 ребер правильной пирамиды. Найдите величину двугранного угла при ребре основания пирамиды, если известно, что шар, вписанный в пирамиду, касается всех двенадцати данных шаров.

Решение. Для решения задачи проведем два осевых сечения пирамиды: 1) через середины двух параллельных сторон основания (под это сечение попадают два серединных шара при основании и шар, вписанный в пирамиду);

2) через диагональ основания (под это сечение попадают два шара с центрами в серединах боковых ребер, и шар, вписанный в пирамиду).

Пусть сторона основания пирамиды есть а.

Из первого сечения имеем:

hello_html_m762d96f.gif

hello_html_m1616c5ce.gif.

hello_html_2ed68d4a.png

Возведем обе части в квадрат

hello_html_m436cb6f.gif

1.hello_html_m2fc4eb6e.gif – первое уравнение системы.

Из hello_html_5d41cfe9.gifпо теореме Пифагора

hello_html_4c965883.gifhello_html_2b1cbdfc.gif+hello_html_m7d8458ac.gif;

hello_html_22b593c8.gif

2.hello_html_5f7cf973.gif – второе уравнение системы.

Из диагонали сечения

hello_html_m4637ea89.gif

По теореме косинусов для этого угла получим:

hello_html_m60fb60a.gif

3. hello_html_m4ed8a2c9.gif – третье уравнение системы.

Из равенств (2) и (3), то есть равенств

hello_html_6b048e34.gifимеем:

hello_html_2d56365a.gif(4)

Из системы

hello_html_m5fc74e10.gif

исключаем ahello_html_m65cbe2ea.gif.

hello_html_m75a06594.gif

hello_html_759afea6.gif

Введем обозначение hello_html_m5a8158dd.gif

hello_html_m66363c56.gif

Но из равенства (4) видно, что

hello_html_m223ea504.gif

Решаем систему

hello_html_m6961ee10.gif

При этом из hello_html_m144a5a6.gif

hello_html_1badec79.gif

Ответ: hello_html_m503541ca.gif

А вот две аналогичные задачи.

2. Центры восьми шаров равных радиусов совпадают с серединами ребер правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания а=2 и боковым ребром hello_html_m3cbfc7bc.gif. Девятый шар того же радиуса с центром внутри пирамиды касается восьми данных шаров.

Найдите радиусы шаров.

Ответ: hello_html_a630882.gif

3. Центры двенадцати шаров равных радиусов совпадают с серединами 12 ребер правильной шестиугольной пирамиды, а тринадцатый шар того же радиуса, с центром внутри пирамиды, касается всех двенадцати данных шаров.

Найдите радиусы шаров, если сторона основания равна 1, а боковое ребро равно hello_html_39ab35a7.gif.

Ответ:. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_a79459d.gif

III. А это задача из научно-практического журнала «Математика для школьников».

Дана правильная треугольная пирамида. Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого, радиусом 2, вписана в боковую грань пирамиды.

Найдите сторону основания пирамиды.

Решение. Очевидно, что высота ОD треугольника АОВ является образующей конуса. Для удобства обзора рисунка изобразим только третью часть пирамиды, куда вписан конус указанным образом.

Цhello_html_2a135f4e.pngентр основания конуса принадлежит высоте SD боковой грани ASB пирамиды. Пусть а=АD есть та сторона основания.

Из треугольника APD:

hello_html_m2f48eef7.gif

Из треугольника ACD:

OA=hello_html_m48c96a51.gif.


Из

hello_html_5c734593.gif

Введем обозначения hello_html_229a1592.gif

Так как hello_html_80793bf.gif, то hello_html_m26808e95.gif то есть hello_html_m309d8206.gif

hello_html_6763876b.gif

Теперь по теореме о квадрате касательной получим:

hello_html_m52b3fdad.gif

Но так как hello_html_m65447387.gif то hello_html_m4cad5e51.gif

Тогда hello_html_77495aa1.gif

Применим к прямоугольному треугольнику OSD теорему о метрических соотношениях.

OPhello_html_m65cbe2ea.gif=SP*DP. То есть

hello_html_169b620a.gif

Тогда hello_html_m4b8b3452.gif

Ответ: hello_html_m62452319.gif

По аналогии решается следующая задача 2.

В правильной треугольной пирамиде со стороной основания hello_html_3c908875.gifцентр основания является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды.

Найдите радиус основания конуса.

Ответ: 1.


Задача №8

Эта задача взята из материалов ЕГЭ-2008г. Автор А.Г.Клово.

В этой задаче кроме аналогии с предыдущими задачами имеются некоторые особенности.

Основанием пирамиды FABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором hello_html_42016945.gif Ребро AF перпендикулярно ABC и равно hello_html_m4629053f.gif . Точки L, M и T расположены соответственно на ребрах FC, AC и AF, а точка P лежит на ребре FB. При этом hello_html_m5dc3329e.gif

Найдем объем пирамиды LMNP.

Решение

Замечание 1. Для решения задачи прежде нужно найти, чему равно упомянутое отношение отрезков ребер, которое известно как коэффициент золотого сечения.

Пусть точка C разбивает отрезок AB=a в этом искомом отношении. Обозначим AC через x

a

Прямая соединительная линия 1Правая фигурная скобка 2Овал 3Овал 4Овал 6A B x C a-x

Тогда получим следующее:

hello_html_2d3e9a67.gif,

hello_html_54d7f4e4.gif,

hello_html_70ab4410.gif.

Из двух полученных корней для внутреннего деления отрезка подходит только корень

hello_html_594b343e.gif

Откуда hello_html_57988437.gif

hello_html_m7ad4e08d.gif - отношение золотого сечения

Замечание 2 Нетрудно установить, что, если на сторонах треугольника Взять по одной точке, циклически делящих стороны треугольника в одном и том же отношении, то три отрезка, соединяющие данные точки, отсекают от заданного треугольника три равновеликих треугольника.

Поэтому для данного треугольника получим:

hello_html_m7de56989.gif

hello_html_m32a621a.jpg

hello_html_7b81da86.gif

hello_html_65368810.gif

hello_html_2bc0c61a.gif

hello_html_mee53841.gif

hello_html_64d32e19.gif

hello_html_m6e04457f.gif

hello_html_m31379f4a.gif

Откуда hello_html_1d82d9bb.gif

Найдем высоту пирамиды BFAC, опущенную на плоскость FAC. Для этого вычисляем объём пирамиды.

hello_html_61cdd383.gif

Тогда hello_html_4759acf.gif где точка O есть воображаемое основание высоты BO пирамиды BACF, опущенной на грань FAC.

Е

hello_html_7a7bc4a0.jpg

сли из вершины P опустить высоту hello_html_527c438.gif на плоскость грани LMN, т.е. грани FAC, то из соображения подобия треугольников hello_html_m6d472bbb.gif и hello_html_24b9364f.gif имеем:

hello_html_m4fe68e88.gif


Тогда hello_html_6bb11ff0.gif

Ответ: 3





Краткое описание документа:

ТЕМА: ВЫДЕРЖКИ ИЗ  МЕТОДИЧЕСКИХ РАЗРАБОТОК ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ

 

В данной работе приводятся примерные решения некоторых типов заданий, на мой взгляд наиболее характерных и интересных.

Это отдельные выдержки из разработок, которые я провожу как работу над собой и предназначаю частью для внеклассной работы, а частью – для подготовки к ЕГЭ.

Материал подбираю из различных дидактических источников, из журнала курсов и экзаменационных материалов в центральные ВУЗы, а за последнее время, конечно же, из КИМ ЕГЭ.


 

Автор
Дата добавления 17.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров359
Номер материала 312650
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх