922889
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5 480 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1 400 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 60%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до 28 февраля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Тематические материалы для подготовки к уроку математики на тему "Место точек на координатной плоскоксти"

Тематические материалы для подготовки к уроку математики на тему "Место точек на координатной плоскоксти"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ Математика 12 класс МТ на комплексной плоскости Дидактика Токсанова А.Ж..docx

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Изображение на комплексной плоскости множества точек, заданных несложными уравнениями и неравенствами


1. (a) На диаграмме Аргана отметьте точки A и B, соответствующие комплексным числам 1 – 3i и 5 – i соответственно.

(b) (i) Отрезок AB является диаметром окружности C. Найдите радиус и координаты центра окружности.

(ii) Запишите уравнение окружности C в форме |z z0| = k.


2. Даны комплексные числа: z1 = 1 + hello_html_m2db264.gifi и z2 = iz1.

(a) (i) Запишите z2 в форме a + ib.

(ii) Найдите модуль и аргумент z2.

(b) На диаграмме Аргана отметьте точки, соответствующие комплексным числам z1 и z2.

(c) На этой же диаграмме изобразите место точек z, удовлетворяющих уравнениям:

(i) |zz1| = |zz2|

(ii) arg (zz1) = arg z2


3. Tочка P комплексной плоскости соответствует комплексному числу z = x + i y.

В каждом случае изобразите место точек P, удовлетворяющих уравнениям:

(a) | z – 4 + 3i | = 3

(b) | z – 4 + 3i | = | zi |

4. Даны комплексные числа: u = 21 + 12i, v = 12 + 0i и w = 0 + 21i, представляющие на комплексной плоскости точки U, V и W соответственно.
Tочка P комплексной плоскости соответствует комплексному числу z = x + i y.

(a) В каждом случае на отдельных диаграммах изобразите место точек P, удовлетворяющих равенствам:

(i) |zu| = 12

(ii) arg (zv) = hello_html_2c9131ad.gif


(iii) |zv| = |z + w|


(b) При |zu| = 2|z - v|, место точек P представляет окружность. Найдите радиус окружности и комплексное число, соответствующее ее центру.


5. (a) На диаграмме Аргана изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству: |z – 2i| 1

(b) Найдите наименьшее и наибольше значения аргумента комплексного числа z, удовлетворяющего неравенству |z – 2i| 1. Ответ выразите через .



Ответы


1. (a)

hello_html_m69d4007a.png

(b) (i) центр - (3 – 2i) , радиус -

(ii) hello_html_61c435c1.gif


2. (a) (i) hello_html_708a2bc.gif + i

(ii) |z2| = 2, arg z2 = hello_html_44737e21.gif

(b)

hello_html_e274e5e.png


(c) (i) серединный перпендикуляр, проходящий через точку (0, 0)

Или прямая

hello_html_m1bc944e7.png

(ii) полупрямая, проходящая через z1 параллельно Oz2

Или полупрямая, исходящая из точки (1, ) и образующая угол 5/6 с положительным направлением действительной оси

hello_html_m4364a5be.png

3. (a) Окружность с центром в точке 4 – 3i радиуса 3

hello_html_m6c96c44e.png

(b) серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки 4 – 3i и i

Или прямая y = x – 3

hello_html_m743bf4ae.png


4. (a)(i) окружность с центром в точке (21,12) радиуса 12


(ii) полупрямая, исходящая из точки (12, 0) и образующая угол /4 с положительным направлением действительной оси


(iii) серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки V и W

(b) окружность с центром в точке 9 – 4 i радиуса 10



5. (а) круг с центром в точке 2і радиуса 1

(b) наименьший аргумент hello_html_24d7b7c4.gif наибольший аргумент hello_html_3bce755c.gif







Выбранный для просмотра документ Математика 12 класс МТ на комплексной плоскости Теория + примеры Токсанова А.Ж..docx

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Изображение на комплексной плоскости множества точек, заданных несложными уравнениями и неравенствами


Ссылка на УП

Цель обучения

АУ 12.5

умеет изображать на комплексной плоскости множества точек, заданных несложными уравнениями и неравенствами

Навыки

Критерии оценивания

Учащийся достиг цели обучения, если

Критическое мышление

умеет изображать множества точек, заданных уравнениями

умеет изображать множества точек, заданных неравенствами


При решении уравнения f (x) = 0 на множестве действительных чисел мы изображаем множество решений x на одномерной действительной прямой. Возможны различные случаи:

  • Нет решений (например, x2 + 1 = 0);

  • Единственное решение (например, x – 2 = 0);

  • Два решения (например, x2 – 4 = 0);

  • Три решения (например, x3x2 – 4x + 4 = 0);

  • Четыре решения и т.д.

  • Или бесконечно много решений (например, cos x – 0,5 = 0).


При решении уравнения f (z) = 0 мы получаем решения, которые изображаются точками на двухмерной комплексной плоскости. Аналогично, мы можем получить либо пустое множество, либо единственное решение, либо бесконечное множество решений. В общем, уравнения, решаемые на множестве комплексных чисел, дают много интересных решений, так как множество действительных чисел расширяется до множества комплексных чисел, следовательно, одно действительное решение иногда становится кривой комплексных решений, а действительная прямая решений на комплексной плоскости становится областью комплексных решений. Рассмотренные ниже примеры прояснят ситуацию. Например, решая |x| – 1,5 на множестве действительных чисел, получаем 2 действительных решения x = ±1,5. Тогда как на множестве комплексных чисел мы имеем бесконечное множество решений |z| = 1,5. Почему? Потому что на диаграмме Аргана мы имеем окружность с центром в начале координат радиуса 1,5. (Заметим, что в данном случае два действительных решения являются пересечением окружности с действительной осью на комплексной плоскости.)


Неравенства, решением которых являются интервалы на множестве действительных чисел, на множестве комплексных чисел могут давать различные области. Рассмотрим пример, |x| 1,5. На множестве действительных чисел решением является промежуток числовой оси [–1,5; 1,5], а на множестве комплексных чисел решением является круг с центром в начале координат радиуса 1,5.

Множество решений

hello_html_m20763d74.gif


Рис. 1. Множество точек для и


Как найти множество точек, заданных уравнениями и неравенствами


Множество точек на комплексной плоскости имеет различные определения и толкования. Здесь мы приведем несколько примеров. В некоторых случаях геометрическая интерпретация очевидна (как в случаях с окружностью и кругом, приведенных выше). В противном случае определить множество точек можно заменяя комплексное число z его алгебраическим стандартным видом х + уі.


I. Прямые

Приведем 2 способа получения прямой на комплексной плоскости.


1. Предположим, что на комплексной плоскости вам дана точка a, лежащая на прямой, образующей угол с положительным направлением действительной оси, таким образом градиент этой прямой равен tan . Таким образом, система

определяет множество точек z на прямой.


2. Предположим, что искомая прямая является серединным перпендикуляром к прямой, соединяющей две точки a и b. Таким образом, множество точек z определяется уравнением


II. Окружности

Существует несколько способов определения окружности на комплексной плоскости. Например:

1. Множество точек окружности с центром в точке a радиуса R

2. Метод, в котором используется теорема Аполлония, утверждающая что точка P движется так, что отношение расстояний между двумя фиксированными точками A и B является постоянным. Точка P движется по окружности.



Примеры


1. Определите место точек z, заданных уравнением |z – 2i| = 2.


Решение: очевидно что это окружность с центром в точке 2i радиуса 2.

Проверим данное утверждение, заменив z = (x + iy), тогда |x + i(y2)| = 2 или x2 + (y2)2 = 4, что действительно является уравнением окружности с центром в точке (0,2) радиуса 2. Смотри рисунок 2 (a).


2. Определите место точек z, заданных уравнением

Решение: перепишем , получим


Возведя в квадрат обе части, получим



Следовательно, , что определяет окружность с центром в точке (2; 1) радиуса 2.



3. Определите место точек z, заданных уравнением Im(z) = [Re(z)]2.

Решение: заменив z = (x + iy), имеем y = x2, графиком которого является парабола, показанная на рисунке 2 (b).


4. Определите место точек z, заданных уравнением arg (z + 3) = tan -12.

Решение: заменив z = (x + iy), имеем

Итак, уравнение y = 2x + 6 определяет место точек, показанных на рисунке 2.


hello_html_224d17f6.gif

Пример 1 Пример 3 Пример 4

Рис. 2. Места точек для примеров 1, 3 и 4.


Выбранный для просмотра документ Математика 12 класс МТ на комплексной плоскости Тест Токсанова А.Ж..docx

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Изображение на комплексной плоскости множества точек, заданных несложными уравнениями и неравенствами


В вопросах 1-3 используются места точек, определяемые следующими уравнениями:

P: |z – 3 – 4i| = 2

Q: |z – 3 – 4i| = |z|

R: arg (z – 3 – 4i) =

S: |z – 3 – 4i| = 2|z|


1. Какое из выше перечисленных мест точек представляет окружность?

  1. P и Q

  2. Q

  3. только P

  4. P и S


2. Какое из выше перечисленных мест точек представляет прямую (или часть прямой)?

  1. Q, R и S

  2. Q и R

  3. только R

  4. только Q


3. Какое из выше перечисленных мест точек содержит точку 3 + 4i?

  1. никакое из из выше перечисленных

  2. все выше перечисленные

  3. R

  4. P, Q и S


4. Множество точек, удовлетворяющих уравнению |z – 2 + 3i| = 4 это

A. окружность, центр –2 + 3i, радиус 4

B. окружность, центр 2 – 3i, радиус 2

C. окружность, центр 2 – 3i, радиус 4

D. окружность, центр –2 + 3i, радиус 2


5. Выберите неравенство, определяющее множество точек z, изображенных на диаграмме Аргана

hello_html_m17f94c4b.gif

A. |z + 2 – i| ≤ 2

B. |z – 2 + i| ≤ 2

C. |z + 2 – i| < 2

D. |z – 2 + i| < 2


6. Выберите неравенство, определяющее множество точек z, изображенных на диаграмме Аргана

hello_html_m5ab4afb1.gif

A. 2 ≤ |z + 1 – i| ≤ 6

B. 1 ≤ |z + 1 – i| ≤ 3

C. 2 ≤ |z – 1 + i| ≤ 6

D. 1 ≤ |z – 1 + i| ≤ 3


7. Выберите уравнение, определяющее множество точек z, изображенных на диаграмме Аргана

hello_html_m6f5d1bde.gif

A. arg (z – 1 – 2i) = –

B. arg (z – 1 – 2i) =

C. arg (z + 1 + 2i) = –

D. arg (z + 1 + 2i) =


8. Выберите неравенство, определяющее множество точек z, изображенных на диаграмме Аргана

hello_html_m6ef57890.gif

A.

B.

C.

D.


9. Множество точек, удовлетворяющих уравнению |z – 3| = |z – 1 + 4i| это

A. прямая, соединяющая точки (3, 0) и (–1, 4)


B. прямая, соединяющая точки (3, 0) и (1, –4)

C. прямая, соединяющая точки (–1, 0) и (1, 2)

D. прямая, соединяющая точки (–2, 0) и (2, –2)

10. Выберите график, удовлетворяющий уравнению

A.

hello_html_m5184732c.jpg


B.

hello_html_57cd796f.jpg


C.

hello_html_m44ccf49f.jpg


D.

hello_html_m6e3e000b.jpg





Ответы:


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

B

C

C

D

B

A

D

D

A


Общая информация

Номер материала: ДБ-183398

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.