Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Тематические материалы для подготовки к уроку математики на тему "Место точек на координатной плоскоксти"

Тематические материалы для подготовки к уроку математики на тему "Место точек на координатной плоскоксти"



Внимание! Сегодня последний день приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Название документа Математика 12 класс МТ на комплексной плоскости Дидактика Токсанова А.Ж..docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Изображение на комплексной плоскости множества точек, заданных несложными уравнениями и неравенствами


1. (a) На диаграмме Аргана отметьте точки A и B, соответствующие комплексным числам 1 – 3i и 5 – i соответственно.

(b) (i) Отрезок AB является диаметром окружности C. Найдите радиус и координаты центра окружности.

(ii) Запишите уравнение окружности C в форме |z z0| = k.


2. Даны комплексные числа: z1 = 1 + hello_html_m2db264.gifi и z2 = iz1.

(a) (i) Запишите z2 в форме a + ib.

(ii) Найдите модуль и аргумент z2.

(b) На диаграмме Аргана отметьте точки, соответствующие комплексным числам z1 и z2.

(c) На этой же диаграмме изобразите место точек z, удовлетворяющих уравнениям:

(i) |zz1| = |zz2|

(ii) arg (zz1) = arg z2


3. Tочка P комплексной плоскости соответствует комплексному числу z = x + i y.

В каждом случае изобразите место точек P, удовлетворяющих уравнениям:

(a) | z – 4 + 3i | = 3

(b) | z – 4 + 3i | = | zi |

4. Даны комплексные числа: u = 21 + 12i, v = 12 + 0i и w = 0 + 21i, представляющие на комплексной плоскости точки U, V и W соответственно.
Tочка P комплексной плоскости соответствует комплексному числу z = x + i y.

(a) В каждом случае на отдельных диаграммах изобразите место точек P, удовлетворяющих равенствам:

(i) |zu| = 12

(ii) arg (zv) = hello_html_2c9131ad.gif


(iii) |zv| = |z + w|


(b) При |zu| = 2|z - v|, место точек P представляет окружность. Найдите радиус окружности и комплексное число, соответствующее ее центру.


5. (a) На диаграмме Аргана изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству: |z – 2i| 1

(b) Найдите наименьшее и наибольше значения аргумента комплексного числа z, удовлетворяющего неравенству |z – 2i| 1. Ответ выразите через .



Ответы


1. (a)

hello_html_m69d4007a.png

(b) (i) центр - (3 – 2i) , радиус -

(ii) hello_html_61c435c1.gif


2. (a) (i) hello_html_708a2bc.gif + i

(ii) |z2| = 2, arg z2 = hello_html_44737e21.gif

(b)

hello_html_e274e5e.png


(c) (i) серединный перпендикуляр, проходящий через точку (0, 0)

Или прямая

hello_html_m1bc944e7.png

(ii) полупрямая, проходящая через z1 параллельно Oz2

Или полупрямая, исходящая из точки (1, ) и образующая угол 5/6 с положительным направлением действительной оси

hello_html_m4364a5be.png

3. (a) Окружность с центром в точке 4 – 3i радиуса 3

hello_html_m6c96c44e.png

(b) серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки 4 – 3i и i

Или прямая y = x – 3

hello_html_m743bf4ae.png


4. (a)(i) окружность с центром в точке (21,12) радиуса 12


(ii) полупрямая, исходящая из точки (12, 0) и образующая угол /4 с положительным направлением действительной оси


(iii) серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки V и W

(b) окружность с центром в точке 9 – 4 i радиуса 10



5. (а) круг с центром в точке 2і радиуса 1

(b) наименьший аргумент hello_html_24d7b7c4.gif наибольший аргумент hello_html_3bce755c.gif







Название документа Математика 12 класс МТ на комплексной плоскости Теория + примеры Токсанова А.Ж..docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Изображение на комплексной плоскости множества точек, заданных несложными уравнениями и неравенствами


Ссылка на УП

Цель обучения

АУ 12.5

умеет изображать на комплексной плоскости множества точек, заданных несложными уравнениями и неравенствами

Навыки

Критерии оценивания

Учащийся достиг цели обучения, если

Критическое мышление

умеет изображать множества точек, заданных уравнениями

умеет изображать множества точек, заданных неравенствами


При решении уравнения f (x) = 0 на множестве действительных чисел мы изображаем множество решений x на одномерной действительной прямой. Возможны различные случаи:

  • Нет решений (например, x2 + 1 = 0);

  • Единственное решение (например, x – 2 = 0);

  • Два решения (например, x2 – 4 = 0);

  • Три решения (например, x3x2 – 4x + 4 = 0);

  • Четыре решения и т.д.

  • Или бесконечно много решений (например, cos x – 0,5 = 0).


При решении уравнения f (z) = 0 мы получаем решения, которые изображаются точками на двухмерной комплексной плоскости. Аналогично, мы можем получить либо пустое множество, либо единственное решение, либо бесконечное множество решений. В общем, уравнения, решаемые на множестве комплексных чисел, дают много интересных решений, так как множество действительных чисел расширяется до множества комплексных чисел, следовательно, одно действительное решение иногда становится кривой комплексных решений, а действительная прямая решений на комплексной плоскости становится областью комплексных решений. Рассмотренные ниже примеры прояснят ситуацию. Например, решая |x| – 1,5 на множестве действительных чисел, получаем 2 действительных решения x = ±1,5. Тогда как на множестве комплексных чисел мы имеем бесконечное множество решений |z| = 1,5. Почему? Потому что на диаграмме Аргана мы имеем окружность с центром в начале координат радиуса 1,5. (Заметим, что в данном случае два действительных решения являются пересечением окружности с действительной осью на комплексной плоскости.)


Неравенства, решением которых являются интервалы на множестве действительных чисел, на множестве комплексных чисел могут давать различные области. Рассмотрим пример, |x| 1,5. На множестве действительных чисел решением является промежуток числовой оси [–1,5; 1,5], а на множестве комплексных чисел решением является круг с центром в начале координат радиуса 1,5.

Множество решений

hello_html_m20763d74.gif


Рис. 1. Множество точек для и


Как найти множество точек, заданных уравнениями и неравенствами


Множество точек на комплексной плоскости имеет различные определения и толкования. Здесь мы приведем несколько примеров. В некоторых случаях геометрическая интерпретация очевидна (как в случаях с окружностью и кругом, приведенных выше). В противном случае определить множество точек можно заменяя комплексное число z его алгебраическим стандартным видом х + уі.


I. Прямые

Приведем 2 способа получения прямой на комплексной плоскости.


1. Предположим, что на комплексной плоскости вам дана точка a, лежащая на прямой, образующей угол с положительным направлением действительной оси, таким образом градиент этой прямой равен tan . Таким образом, система

определяет множество точек z на прямой.


2. Предположим, что искомая прямая является серединным перпендикуляром к прямой, соединяющей две точки a и b. Таким образом, множество точек z определяется уравнением


II. Окружности

Существует несколько способов определения окружности на комплексной плоскости. Например:

1. Множество точек окружности с центром в точке a радиуса R

2. Метод, в котором используется теорема Аполлония, утверждающая что точка P движется так, что отношение расстояний между двумя фиксированными точками A и B является постоянным. Точка P движется по окружности.



Примеры


1. Определите место точек z, заданных уравнением |z – 2i| = 2.


Решение: очевидно что это окружность с центром в точке 2i радиуса 2.

Проверим данное утверждение, заменив z = (x + iy), тогда |x + i(y2)| = 2 или x2 + (y2)2 = 4, что действительно является уравнением окружности с центром в точке (0,2) радиуса 2. Смотри рисунок 2 (a).


2. Определите место точек z, заданных уравнением

Решение: перепишем , получим


Возведя в квадрат обе части, получим



Следовательно, , что определяет окружность с центром в точке (2; 1) радиуса 2.



3. Определите место точек z, заданных уравнением Im(z) = [Re(z)]2.

Решение: заменив z = (x + iy), имеем y = x2, графиком которого является парабола, показанная на рисунке 2 (b).


4. Определите место точек z, заданных уравнением arg (z + 3) = tan -12.

Решение: заменив z = (x + iy), имеем

Итак, уравнение y = 2x + 6 определяет место точек, показанных на рисунке 2.


hello_html_224d17f6.gif

Пример 1 Пример 3 Пример 4

Рис. 2. Места точек для примеров 1, 3 и 4.


Название документа Математика 12 класс МТ на комплексной плоскости Тест Токсанова А.Ж..docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Изображение на комплексной плоскости множества точек, заданных несложными уравнениями и неравенствами


В вопросах 1-3 используются места точек, определяемые следующими уравнениями:

P: |z – 3 – 4i| = 2

Q: |z – 3 – 4i| = |z|

R: arg (z – 3 – 4i) =

S: |z – 3 – 4i| = 2|z|


1. Какое из выше перечисленных мест точек представляет окружность?

  1. P и Q

  2. Q

  3. только P

  4. P и S


2. Какое из выше перечисленных мест точек представляет прямую (или часть прямой)?

  1. Q, R и S

  2. Q и R

  3. только R

  4. только Q


3. Какое из выше перечисленных мест точек содержит точку 3 + 4i?

  1. никакое из из выше перечисленных

  2. все выше перечисленные

  3. R

  4. P, Q и S


4. Множество точек, удовлетворяющих уравнению |z – 2 + 3i| = 4 это

A. окружность, центр –2 + 3i, радиус 4

B. окружность, центр 2 – 3i, радиус 2

C. окружность, центр 2 – 3i, радиус 4

D. окружность, центр –2 + 3i, радиус 2


5. Выберите неравенство, определяющее множество точек z, изображенных на диаграмме Аргана

hello_html_m17f94c4b.gif

A. |z + 2 – i| ≤ 2

B. |z – 2 + i| ≤ 2

C. |z + 2 – i| < 2

D. |z – 2 + i| < 2


6. Выберите неравенство, определяющее множество точек z, изображенных на диаграмме Аргана

hello_html_m5ab4afb1.gif

A. 2 ≤ |z + 1 – i| ≤ 6

B. 1 ≤ |z + 1 – i| ≤ 3

C. 2 ≤ |z – 1 + i| ≤ 6

D. 1 ≤ |z – 1 + i| ≤ 3


7. Выберите уравнение, определяющее множество точек z, изображенных на диаграмме Аргана

hello_html_m6f5d1bde.gif

A. arg (z – 1 – 2i) = –

B. arg (z – 1 – 2i) =

C. arg (z + 1 + 2i) = –

D. arg (z + 1 + 2i) =


8. Выберите неравенство, определяющее множество точек z, изображенных на диаграмме Аргана

hello_html_m6ef57890.gif

A.

B.

C.

D.


9. Множество точек, удовлетворяющих уравнению |z – 3| = |z – 1 + 4i| это

A. прямая, соединяющая точки (3, 0) и (–1, 4)


B. прямая, соединяющая точки (3, 0) и (1, –4)

C. прямая, соединяющая точки (–1, 0) и (1, 2)

D. прямая, соединяющая точки (–2, 0) и (2, –2)

10. Выберите график, удовлетворяющий уравнению

A.

hello_html_m5184732c.jpg


B.

hello_html_57cd796f.jpg


C.

hello_html_m44ccf49f.jpg


D.

hello_html_m6e3e000b.jpg





Ответы:


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

B

C

C

D

B

A

D

D

A




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 10.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров18
Номер материала ДБ-183398
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх