Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Тематические материалы для подготовки к уроку математики на тему "Место точек на координатной плоскоксти"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Тематические материалы для подготовки к уроку математики на тему "Место точек на координатной плоскоксти"

Выбранный для просмотра документ Математика 12 класс МТ на комплексной плоскости Дидактика Токсанова А.Ж..docx

библиотека
материалов

Изображение на комплексной плоскости множества точек, заданных несложными уравнениями и неравенствами


1. (a) На диаграмме Аргана отметьте точки A и B, соответствующие комплексным числам 1 – 3i и 5 – i соответственно.

(b) (i) Отрезок AB является диаметром окружности C. Найдите радиус и координаты центра окружности.

(ii) Запишите уравнение окружности C в форме |z z0| = k.


2. Даны комплексные числа: z1 = 1 + hello_html_m2db264.gifi и z2 = iz1.

(a) (i) Запишите z2 в форме a + ib.

(ii) Найдите модуль и аргумент z2.

(b) На диаграмме Аргана отметьте точки, соответствующие комплексным числам z1 и z2.

(c) На этой же диаграмме изобразите место точек z, удовлетворяющих уравнениям:

(i) |zz1| = |zz2|

(ii) arg (zz1) = arg z2


3. Tочка P комплексной плоскости соответствует комплексному числу z = x + i y.

В каждом случае изобразите место точек P, удовлетворяющих уравнениям:

(a) | z – 4 + 3i | = 3

(b) | z – 4 + 3i | = | zi |

4. Даны комплексные числа: u = 21 + 12i, v = 12 + 0i и w = 0 + 21i, представляющие на комплексной плоскости точки U, V и W соответственно.
Tочка P комплексной плоскости соответствует комплексному числу z = x + i y.

(a) В каждом случае на отдельных диаграммах изобразите место точек P, удовлетворяющих равенствам:

(i) |zu| = 12

(ii) arg (zv) = hello_html_2c9131ad.gif


(iii) |zv| = |z + w|


(b) При |zu| = 2|z - v|, место точек P представляет окружность. Найдите радиус окружности и комплексное число, соответствующее ее центру.


5. (a) На диаграмме Аргана изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству: |z – 2i| 1

(b) Найдите наименьшее и наибольше значения аргумента комплексного числа z, удовлетворяющего неравенству |z – 2i| 1. Ответ выразите через .



Ответы


1. (a)

hello_html_m69d4007a.png

(b) (i) центр - (3 – 2i) , радиус -

(ii) hello_html_61c435c1.gif


2. (a) (i) hello_html_708a2bc.gif + i

(ii) |z2| = 2, arg z2 = hello_html_44737e21.gif

(b)

hello_html_e274e5e.png


(c) (i) серединный перпендикуляр, проходящий через точку (0, 0)

Или прямая

hello_html_m1bc944e7.png

(ii) полупрямая, проходящая через z1 параллельно Oz2

Или полупрямая, исходящая из точки (1, ) и образующая угол 5/6 с положительным направлением действительной оси

hello_html_m4364a5be.png

3. (a) Окружность с центром в точке 4 – 3i радиуса 3

hello_html_m6c96c44e.png

(b) серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки 4 – 3i и i

Или прямая y = x – 3

hello_html_m743bf4ae.png


4. (a)(i) окружность с центром в точке (21,12) радиуса 12


(ii) полупрямая, исходящая из точки (12, 0) и образующая угол /4 с положительным направлением действительной оси


(iii) серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки V и W

(b) окружность с центром в точке 9 – 4 i радиуса 10



5. (а) круг с центром в точке 2і радиуса 1

(b) наименьший аргумент hello_html_24d7b7c4.gif наибольший аргумент hello_html_3bce755c.gif







Выбранный для просмотра документ Математика 12 класс МТ на комплексной плоскости Теория + примеры Токсанова А.Ж..docx

библиотека
материалов

Изображение на комплексной плоскости множества точек, заданных несложными уравнениями и неравенствами


Ссылка на УП

Цель обучения

АУ 12.5

умеет изображать на комплексной плоскости множества точек, заданных несложными уравнениями и неравенствами

Навыки

Критерии оценивания

Учащийся достиг цели обучения, если

Критическое мышление

умеет изображать множества точек, заданных уравнениями

умеет изображать множества точек, заданных неравенствами


При решении уравнения f (x) = 0 на множестве действительных чисел мы изображаем множество решений x на одномерной действительной прямой. Возможны различные случаи:

  • Нет решений (например, x2 + 1 = 0);

  • Единственное решение (например, x – 2 = 0);

  • Два решения (например, x2 – 4 = 0);

  • Три решения (например, x3x2 – 4x + 4 = 0);

  • Четыре решения и т.д.

  • Или бесконечно много решений (например, cos x – 0,5 = 0).


При решении уравнения f (z) = 0 мы получаем решения, которые изображаются точками на двухмерной комплексной плоскости. Аналогично, мы можем получить либо пустое множество, либо единственное решение, либо бесконечное множество решений. В общем, уравнения, решаемые на множестве комплексных чисел, дают много интересных решений, так как множество действительных чисел расширяется до множества комплексных чисел, следовательно, одно действительное решение иногда становится кривой комплексных решений, а действительная прямая решений на комплексной плоскости становится областью комплексных решений. Рассмотренные ниже примеры прояснят ситуацию. Например, решая |x| – 1,5 на множестве действительных чисел, получаем 2 действительных решения x = ±1,5. Тогда как на множестве комплексных чисел мы имеем бесконечное множество решений |z| = 1,5. Почему? Потому что на диаграмме Аргана мы имеем окружность с центром в начале координат радиуса 1,5. (Заметим, что в данном случае два действительных решения являются пересечением окружности с действительной осью на комплексной плоскости.)


Неравенства, решением которых являются интервалы на множестве действительных чисел, на множестве комплексных чисел могут давать различные области. Рассмотрим пример, |x| 1,5. На множестве действительных чисел решением является промежуток числовой оси [–1,5; 1,5], а на множестве комплексных чисел решением является круг с центром в начале координат радиуса 1,5.

Множество решений

hello_html_m20763d74.gif


Рис. 1. Множество точек для и


Как найти множество точек, заданных уравнениями и неравенствами


Множество точек на комплексной плоскости имеет различные определения и толкования. Здесь мы приведем несколько примеров. В некоторых случаях геометрическая интерпретация очевидна (как в случаях с окружностью и кругом, приведенных выше). В противном случае определить множество точек можно заменяя комплексное число z его алгебраическим стандартным видом х + уі.


I. Прямые

Приведем 2 способа получения прямой на комплексной плоскости.


1. Предположим, что на комплексной плоскости вам дана точка a, лежащая на прямой, образующей угол с положительным направлением действительной оси, таким образом градиент этой прямой равен tan . Таким образом, система

определяет множество точек z на прямой.


2. Предположим, что искомая прямая является серединным перпендикуляром к прямой, соединяющей две точки a и b. Таким образом, множество точек z определяется уравнением


II. Окружности

Существует несколько способов определения окружности на комплексной плоскости. Например:

1. Множество точек окружности с центром в точке a радиуса R

2. Метод, в котором используется теорема Аполлония, утверждающая что точка P движется так, что отношение расстояний между двумя фиксированными точками A и B является постоянным. Точка P движется по окружности.



Примеры


1. Определите место точек z, заданных уравнением |z – 2i| = 2.


Решение: очевидно что это окружность с центром в точке 2i радиуса 2.

Проверим данное утверждение, заменив z = (x + iy), тогда |x + i(y2)| = 2 или x2 + (y2)2 = 4, что действительно является уравнением окружности с центром в точке (0,2) радиуса 2. Смотри рисунок 2 (a).


2. Определите место точек z, заданных уравнением

Решение: перепишем , получим


Возведя в квадрат обе части, получим



Следовательно, , что определяет окружность с центром в точке (2; 1) радиуса 2.



3. Определите место точек z, заданных уравнением Im(z) = [Re(z)]2.

Решение: заменив z = (x + iy), имеем y = x2, графиком которого является парабола, показанная на рисунке 2 (b).


4. Определите место точек z, заданных уравнением arg (z + 3) = tan -12.

Решение: заменив z = (x + iy), имеем

Итак, уравнение y = 2x + 6 определяет место точек, показанных на рисунке 2.


hello_html_224d17f6.gif

Пример 1 Пример 3 Пример 4

Рис. 2. Места точек для примеров 1, 3 и 4.


Выбранный для просмотра документ Математика 12 класс МТ на комплексной плоскости Тест Токсанова А.Ж..docx

библиотека
материалов

Изображение на комплексной плоскости множества точек, заданных несложными уравнениями и неравенствами


В вопросах 1-3 используются места точек, определяемые следующими уравнениями:

P: |z – 3 – 4i| = 2

Q: |z – 3 – 4i| = |z|

R: arg (z – 3 – 4i) =

S: |z – 3 – 4i| = 2|z|


1. Какое из выше перечисленных мест точек представляет окружность?

  1. P и Q

  2. Q

  3. только P

  4. P и S


2. Какое из выше перечисленных мест точек представляет прямую (или часть прямой)?

  1. Q, R и S

  2. Q и R

  3. только R

  4. только Q


3. Какое из выше перечисленных мест точек содержит точку 3 + 4i?

  1. никакое из из выше перечисленных

  2. все выше перечисленные

  3. R

  4. P, Q и S


4. Множество точек, удовлетворяющих уравнению |z – 2 + 3i| = 4 это

A. окружность, центр –2 + 3i, радиус 4

B. окружность, центр 2 – 3i, радиус 2

C. окружность, центр 2 – 3i, радиус 4

D. окружность, центр –2 + 3i, радиус 2


5. Выберите неравенство, определяющее множество точек z, изображенных на диаграмме Аргана

hello_html_m17f94c4b.gif

A. |z + 2 – i| ≤ 2

B. |z – 2 + i| ≤ 2

C. |z + 2 – i| < 2

D. |z – 2 + i| < 2


6. Выберите неравенство, определяющее множество точек z, изображенных на диаграмме Аргана

hello_html_m5ab4afb1.gif

A. 2 ≤ |z + 1 – i| ≤ 6

B. 1 ≤ |z + 1 – i| ≤ 3

C. 2 ≤ |z – 1 + i| ≤ 6

D. 1 ≤ |z – 1 + i| ≤ 3


7. Выберите уравнение, определяющее множество точек z, изображенных на диаграмме Аргана

hello_html_m6f5d1bde.gif

A. arg (z – 1 – 2i) = –

B. arg (z – 1 – 2i) =

C. arg (z + 1 + 2i) = –

D. arg (z + 1 + 2i) =


8. Выберите неравенство, определяющее множество точек z, изображенных на диаграмме Аргана

hello_html_m6ef57890.gif

A.

B.

C.

D.


9. Множество точек, удовлетворяющих уравнению |z – 3| = |z – 1 + 4i| это

A. прямая, соединяющая точки (3, 0) и (–1, 4)


B. прямая, соединяющая точки (3, 0) и (1, –4)

C. прямая, соединяющая точки (–1, 0) и (1, 2)

D. прямая, соединяющая точки (–2, 0) и (2, –2)

10. Выберите график, удовлетворяющий уравнению

A.

hello_html_m5184732c.jpg


B.

hello_html_57cd796f.jpg


C.

hello_html_m44ccf49f.jpg


D.

hello_html_m6e3e000b.jpg





Ответы:


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

B

C

C

D

B

A

D

D

A



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 10.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров93
Номер материала ДБ-183398
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх