Тематические материалы для подготовки к уроку математики на тему "Задачи на нахождение максимума и минимума"

Задачи на нахождение максимума и минимума

№1.

Сторона основания правильной треугольной призмы х см, а ее высота l см. Известно, что объем равен 250 см².

a)      Выразите l через х.

b)   Покажите, что площадь полной поверхности вычисляется по формуле:  

c)   Найдите минимальное значение площади и запишите его в форме k .

d)      Удостоверьтесь, что найденное значение на самом деле является минимальным.

№2.

На рисунке изображен закрытый сосуд цилиндрической формы. Его радиус и высота соответственно r  и  h. Известно, что полная поверхность цилиндра 30000 см².

a)      Покажите, что объем цилиндра вычисляется по формуле:   V = 15000r – πr².

b)      Найдите максимальное значение объема цилиндра и покажите, что оно является максимальным.

№3.

Дан круг радиуса R. Какой сектор необходимо вырезать, для того чтобы из оставшейся части изготовить конус наибольшего объема?

№4.

Разложите число 12 на слагаемые так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

№5.

В сферу радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите радиус цилиндра.

Ответы:

№1.

a)                            c)                    

№2.

b)   399 000 см²

№3.

№4.

12 = 6 + 6                                                                                                                                                                                        

№5.

 R

Задачи на нахождение максимума и минимума

Ссылка на учебную программу	Цель обучения
МР 12.1	Умеет решать задачи геометрического и физического содержания с помощью производной
Навыки	Критерии успеха
	Учащийся достиг цели обучения, если
Анализ и синтез	правильно моделирует задачу, используя данные
Применение знаний	правильно решить две задачи разного вида в контексте цели обучения
	приводит полное обоснованное решение, демонстрируя четкий метод

1-шаг:   ввести необходимые переменные.

2-шаг:   составить функцию, используя введенные переменные.

3-шаг:   найти производную данной функции.

 4-шаг:   найти критические (стационарные) точки функции и определить вид экстремума (максимум или минимум).

5-шаг:   ответить на вопрос задачи.

Пример 1.   Для того чтобы огородить участок прямоугольной формы необходимо 120 метров ограждения. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

Решение  

1-шаг

Пусть х – длина прямоугольника, тогда выразим ширину через х, здесь выполняются двойные неравенства:   0 < x <60 и 0 < у <60

Из формулы  P = 2(a + b) получаем  2(x + y) = 120,   x + y = 60,   y = 60 – x.

2-шаг

Из формулы S = ab  получаем  S(x) = x(60 – x) = 60x – x².

3-шаг

S^/(x) = 60 – 2x.

 4-шаг

60 – 2x = 0,   x = 30,   y = 60 – 30 = 30.

S^//(x) = – 2 < 0, следовательно данная тчка является максимумом данной функции.

5-шаг  

Для того чтобы площадь была наибольшей, размеры прямоугольника должны быть 30 м и 30 м.

Пример 2.   Из листа жести с размерами  24 x 9 изготаливают коробку наибольшей вместимости (наибольшего объема). Найдите размеры коробки.

Решение:  

1-шаг

На рисунке показано каким образом изготавливают коробку. Те части, которые необходимо отрезать, имеют квадратную форму. Обозначим сторону квадрата через х. Тогда прямоугольник, лежащий в основании коробки имеет размеры 24 – 2x и 9 – 2x соответственно.

2-шаг

Из формулы  V = abc   получаем  V = x(24 – 2x) (9 – 2x) = 4x³ – 66x² + 216x.

 3-шаг

4-шаг

 отсюда    x2 – 11x + 18 = 0

                                      x = 2,   x = 9

х = 2  (или < 0)                                                                                                        

                         точка максимума

5-шаг

Для того чтобы объем был максимальным необходимо, чтобы размеры коробки были 2 м, 20 м и 5 м.

Тест по теме: «Нахождение максимума  и минимума функции»

1.       Найдите точку максимума функции .

А)     

В)

С)   

D)

Е) точек максимума нет

2.       Найдите точку максимума функции.

А)     

В)

С)   

D)

Е) точек максимума нет

3.       Найдите точку максимума функции .

А)     

В)

С)   

D)

Е) точек максимума нет

4.         Найдите точку минимума функции .

А)     

В)

С)   

D)

Е) точек минимума  нет

5.         Найдите  минимум и максимум  функции .

А) минимум при , максимум  при

В) минимум при , максимум  при

С)  минимум при , максимум  при и

D) минимум при , максимум  при и

Е)  нет точек минимума  и максимума

6.         Найдите  минимум и максимум  функции .

А) минимума нет, максимум  при

В) минимум при , максимума  нет

С)  минимума нет , максимум  при

D) минимум при , максимума нет

Е)  нет точек минимума  и максимума

7.         Найдите  точку минимума   функции .

А) -11

В)  -10,75

С)   0

D) 10,75

Е)  11

8.       Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p ≈ 50 м³. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

А)  R = 4 м, Н = 2 м

В)  R = 2 м, Н = 4 м

С)   R = 4 м, Н = 4 м

D) R = 2 м, Н = 2 м

Е)  R = 4 м, Н = 8 м

9.        Найдите минимум функции .

А)  

В) 

С)  

D)

Е)  нет минимума функции

10.     Найдите  минимум и максимум  функции .

А) минимум при , максимум  при

В) минимум при , максимум  при

С)  минимум при , максимум  при

D) минимум при , максимум  при

Е)  минимум при , максимум  при

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
D	В	А	В	В	А	В	В	С	В