Инфоурок / Математика / Конспекты / Тематические материалы для подготовки к уроку математики на тему "Задачи на нахождение максимума и минимума"

Тематические материалы для подготовки к уроку математики на тему "Задачи на нахождение максимума и минимума"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ Математика 12 класс Задачи на нахождение максимума и минимума Дидактика Токсанова А.Ж..docx

библиотека
материалов

Задачи на нахождение максимума и минимума


1.

Сторона основания правильной треугольной призмы х см, а ее высота l см. Известно, что объем равен 250 см2.

  1. Выразите l через х.

  2. Покажите, что площадь полной поверхности вычисляется по формуле:

  3. Найдите минимальное значение площади и запишите его в форме k .

  4. Удостоверьтесь, что найденное значение на самом деле является минимальным.


2.

На рисунке изображен закрытый сосуд цилиндрической формы. Его радиус и высота соответственно r и h. Известно, что полная поверхность цилиндра 30000 см2.

  1. Покажите, что объем цилиндра вычисляется по формуле: V = 15000r – πr2.

  2. Найдите максимальное значение объема цилиндра и покажите, что оно является максимальным.


3.

Дан круг радиуса R. Какой сектор необходимо вырезать, для того чтобы из оставшейся части изготовить конус наибольшего объема?


4.

Разложите число 12 на слагаемые так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.


5.

В сферу радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите радиус цилиндра.




Ответы:

1.

a) c)


2.

b) 399 000 см2


3.



4.

12 = 6 + 6

5.

R

Выбранный для просмотра документ Математика 12 класс Задачи на нахождение максимума и минимума Теория + примеры Токсанова А.Ж..docx

библиотека
материалов

Задачи на нахождение максимума и минимума


производной

Навыки

Критерии успеха

Учащийся достиг цели обучения, если

Анализ и синтез

правильно моделирует задачу, используя данные

Применение знаний

правильно решить две задачи разного вида в контексте цели обучения

приводит полное обоснованное решение, демонстрируя четкий метод


1-шаг: ввести необходимые переменные.

2-шаг: составить функцию, используя введенные переменные.

3-шаг: найти производную данной функции.

4-шаг: найти критические (стационарные) точки функции и определить вид экстремума (максимум или минимум).

5-шаг: ответить на вопрос задачи.


Пример 1. Для того чтобы огородить участок прямоугольной формы необходимо 120 метров ограждения. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

Решение

1-шаг

Пусть х – длина прямоугольника, тогда выразим ширину через х, здесь выполняются двойные неравенства: 0 < x <60 и 0 < у <60

Из формулы P = 2(a + b) получаем 2(x + y) = 120, x + y = 60, y = 60 – x.

2-шаг

Из формулы S = ab получаем S(x) = x(60 – x) = 60xx2.

3-шаг

S/(x) = 602x.

4-шаг

602x = 0, x = 30, y = 60 – 30 = 30.

S//(x) = 2 < 0, следовательно данная тчка является максимумом данной функции.

5-шаг

Для того чтобы площадь была наибольшей, размеры прямоугольника должны быть 30 м и 30 м.


Пример 2. Из листа жести с размерами 24 x 9 изготаливают коробку наибольшей вместимости (наибольшего объема). Найдите размеры коробки.

hello_html_m72dadb29.gif


Решение:

1-шаг

На рисунке показано каким образом изготавливают коробку. Те части, которые необходимо отрезать, имеют квадратную форму. Обозначим сторону квадрата через х. Тогда прямоугольник, лежащий в основании коробки имеет размеры 24 – 2x и 9 – 2x соответственно.

2-шаг

Из формулы V = abc получаем V = x(242x) (92x) = 4x3 – 66x2 + 216x.

3-шаг

hello_html_m471ed41e.gif

4-шаг

hello_html_2b286e0b.gifотсюда x2 11x + 18 = 0

x = 2, x = 9

hello_html_m7e68fae4.gif

х = 2 hello_html_329e353f.gif (или < 0)

точка максимума

5-шаг

Для того чтобы объем был максимальным необходимо, чтобы размеры коробки были 2 м, 20 м и 5 м.






Выбранный для просмотра документ Математика 12 класс Задачи на нахождение максимума и минимума Тест Токсанова А.Ж..docx

библиотека
материалов

Тест по теме: «Нахождение максимума и минимума функции»

  1. Найдите точку максимума функции .

А)

В)

С)

D)

Е) точек максимума нет



  1. Найдите точку максимума функции.

А)

В)

С)

D)

Е) точек максимума нет

  1. Найдите точку максимума функции .

А)

В)

С)

D)

Е) точек максимума нет



  1.   Найдите точку минимума функции .

А)

В)

С)

D)

Е) точек минимума нет



  1.   Найдите минимум и максимум функции .

А) минимум при , максимум при

В) минимум при , максимум при

С) минимум при , максимум при и

D) минимум при , максимум при и

Е) нет точек минимума и максимума



  1.   Найдите минимум и максимум функции .

А) минимума нет, максимум при

В) минимум при , максимума нет

С) минимума нет , максимум при

D) минимум при , максимума нет

Е) нет точек минимума и максимума

  1.   Найдите точку минимума функции .

А) -11

В) -10,75

С) 0

D) 10,75

Е) 11



  1. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p  50 м3. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

А) R = 4 м, Н = 2 м

В) R = 2 м, Н = 4 м

С) R = 4 м, Н = 4 м

D) R = 2 м, Н = 2 м

Е) R = 4 м, Н = 8 м



  1. Найдите минимум функции .

А)

В)

С)

D)

Е) нет минимума функции



  1.   Найдите минимум и максимум функции .

А) минимум при , максимум при

В) минимум при , максимум при

С) минимум при , максимум при

D) минимум при , максимум при

Е) минимум при , максимум при



Общая информация

Номер материала: ДБ-183372

Похожие материалы