Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Тематическое планирование элективного курса по геометрии: «Методы построения сечений»

Тематическое планирование элективного курса по геометрии: «Методы построения сечений»


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Лицей№1» г. Перми













Тематическое планирование

элективного курса по геометрии:

«Методы построения сечений»

















Составлено Степаньковой Т.Н.,

учителем математики высшей категории











г. Пермь 2014г.



Оглавление





ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Учителю, ведущему математику в старших классах, известны определенные трудности, которые возникают в процессе преподавания стереометрии буквально с первых ее уроков. При знакомстве с аксиомами стереометрии пространственные представления у учащихся развиты еще очень слабо. Начальные сведения по стереометрии имеют абстрактный характер, усвоение материала строится на заучивании, и, таким образом, намечается формализм в знаниях учащихся. Они теряют интерес к предмету, и считают стереометрию трудным школьным предметом.

И вот тут обнаруживается, что многие не могут показать достаточные умения в решении задач. Довольно часто встречаются случаи, когда ученик показывает, казалось бы, хорошие знания в области теории, знает все требуемые определения и теоремы, но запутывается при решение весьма несложной задачи.

За время обучения в школе каждый ученик решает огромное число задач. В итоге некоторые ученики овладевают общим умением решения задач, а многие, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться.

Анализ результатов ЕГЭ в целом по стране показывает, что уровень решаемости геометрических задач, это задания hello_html_m313a2019.gif (№14) или hello_html_5f8adba0.gif (№16) низкий.

В чем причина такого положения? Причин, конечно, много. И одной из них является то, что одни ученики вникают в процесс решения задач, стараются понять, в чем состоят приемы и методы решения задач, изучают задачи. Другие же, к сожалению, не задумываются над этим, стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решения общие приемы и способы. Задачи зачастую решают лишь ради получения ответа.

У большинства учащихся весьма смутные, а порой и неверные представления о сущности решения задач, о самих задачах. Как могут учащиеся решить сложную задачу, если они не представляют, из чего складывается анализ задачи, как могут они решить задачу на доказательство? Многие учащиеся не знают, в чем смысл решения задач на построение, зачем и когда нужно производить исследование решения и т.д.

Очевидно, что на таких представлениях не могут возникнуть сознательные и прочные умения в решении задач.

Задачи на построение сечений, многогранников, изучаемые в начале курса стереометрии средней школы, являются важным дополнением к теоретическому материалу. Решение этих задач формирует пространственные представления учащихся и развивает конструктивное и логическое мышление. Многократное применение в процессе построения аксиом и теорем способствует их неформальному усвоению.

Трудно переоценить роль задач на построение в математическом развитии школьников. Они по своей постановке и методам решения не только наилучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчетливо представлять себе ту или иную геометрическую фигуру и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этой фигуры. Задачи на построение могут способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования – все это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. Они сильно развивают логическое мышление, геометрическую интуицию.

Для того, чтобы научиться решать задачи надо много поработать. Но эта работа не сводится лишь к решению большого числа задач. Если кратко обозначить то, что нужно сделать для этого, то можно так сказать: надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение – как объект конструирования и изобретения. И при этом необходимо владеть способами, методами построения сечений.

Поэтому для учащихся 10-11 классов буден полезен элективный курс: «Методы построения сечений».

Предлагаемый элективный курс предназначен для расширения теоретических и практических знаний учащихся.

Цель данного курса:

  • Овладение способами и методами, позволяющими решать геометрические задачи, связанные с построением сечений.

  • Подготовка выпускников школы к сдаче ЕГЭ и продолжению образования в Вузах.

Задачи курса:

  • Повторить, систематизировать и углубить знания о способах построения сечений.

  • Познакомиться с неизвестными методами решения задач.

  • Применить полученные знания к решению задач типа hello_html_m313a2019.gif из вариантов ЕГЭ.

  • Формировать логическое мышление учащихся.

  • Вооружить учащихся специальными умениями, позволяющими им самостоятельно добывать задания по данному разделу.

  • Формировать устойчивый интерес к предмету, выявлять и развивать математические способности, ориентировать на профессии, существенным образом связанные с математикой.

  • Подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ И поступлению в ВУЗы.

Данный курс рассчитан на 24 часа (в 10 и 11 классах) и содержит следующие основные разделы:

  1. Методы построения сечений

    1. Метод следов

    2. Метод внутреннего проецирования

    3. Метод параллельного переноса прямых и плоскостей

    4. Комбинированный метод

    5. Метод достроения n-угольной призмы до треугольной призмы

    6. Метод разбиения n-угольной призмы на треугольные призмы

  2. Применение теоремы о площади ортогональной проекции фигуры

  3. Решение задач из вариантов ЕГЭ

Формы контроля

Смысл элективного курса заключается в предоставлении каждому ученику «индивидуальной зоны потенциального развития», поэтому – нельзя требовать от каждого ученика твердого усвоения каждого «нестандартного приема». Специальный зачет или экзамен по курсу не предусмотрен, но предлагаются некоторые варианты выполнения учениками зачетных заданий:

  1. Решение учеником в качестве индивидуального домашнего задания предложенных учителем задач из того списка, что завершает каждый модуль и называется «Упражнения для самостоятельной работы», т.к. осознание и присвоение учащимися достигаемых результатов происходит с помощью рефлексивных заданий. Подбор индивидуальных заданий осуществляется с учетом уровневой дифференциации, причем выбор делают сами ученики, оценивая свои возможности и планируя перспективу развития.

  2. Решение группой учащихся в качестве домашнего задания предложенных учителем задач из того же раздела. Работа в группе способствует проявлению интереса к учению как деятельности.

Учащимся, ориентированным на выполнение заданий более высокого уровня сложности, предлагается:

  • Самостоятельное изучение некоторых вопросов курса с последующей презентацией (программные продукты Microsoft Power Point).

  • Самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решений.

  • Самостоятельное построение метода, позволяющего решить предложенную задачу.

  • Самостоятельный подбор задач на изучаемую тему курса из дополнительной математической литературы.

В ходе решения этих заданий учащиеся должны показать понимание теоретических основ способов решения уравнений и уметь решать задания из «Упражнений для самостоятельной работы» (подбор индивидуальных заданий осуществляется с учетом уровневой дифференциации).

Итоговое занятие предлагается провести в форме конференции с защитой проектов по выбранным темам изучаемого курса.

Планируемые результаты

В результате изучения данных тем учащиеся должны знать:

  • способы построения сечений;

  • прочно усвоить теоретический материал, изученный в 10 классе;

  • методы вычисления построенных сечений.

Уметь:

  • строить сечения многогранников и круглых тел;

  • исследовать взаимное расположение прямых и плоскостей;

  • вычислять искомые величины элементов фигуры, построенных сечений.

Учащийся должен владеть:

  • анализом и самоконтролем;

  • исследованием ситуаций, в которых результат принимает те или иные количественные или качественные формы.

  • Изучение данного курса дает учащимся возможность:

  • повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;

  • освоить основные приемы решения задач;

  • овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;

  • познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;

  • повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;

  • познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов;

  • овладеть исследовательской деятельностью.

Формы работы: групповая, парная и индивидуальная.

Методы работы: исследовательский и частично-поисковый.

Виды деятельности на занятиях: лекция, беседа, практикум, консультация, самостоятельная работа, работа с компьютером и др.

При решении задач данного курса одновременно активно реализуются основные методические принципы:

  • принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь;

  • принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы;

  • принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач;

  • принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках.

  • принцип последовательного нарастания сложности.



УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

урока

Тема урока

Кол-во часов

Форма

проведения занятий

Формы контроля (измерители)

Дата

(неделя)


111 кл.


111кл.


111 кл.

Тема 1. Методы построения сечения.

(10 часов)


11

Метод следов


2

Лекция

Практикум

Работа в группах

Фронтальный опрос Творческие задания

Самостоятельная работа

ИДЗ

Тест

Работа на ПК с ЦОР




22

Метод параллельного переноса прямых и плоскостей


2




33

Комбинированный метод


2




44

Метод достроения n-угольной призмы до треугольной призмы


2




55

Метод разбиения n-угольной призмы на треугольные призмы


2



Тема 2. Применение теоремы о площади ортогональной проекции плоской фигуры

( 8часов)


66

Применение теоремы о площади ортогональной проекции при нахождение площадей сечений


2

Лекция

Практикум

Работа в парах Практическая работа

Самостоятельное изучение

Фронтальный опрос

Самостоятельная работа

Работа по индивидуальным карточкам

Работа на ПК с ЦОР




77

Применение теоремы о площади ортогональной проекции при вычисление угла между плоскостями


2




88

Применение теоремы о площади ортогональной проекции при вычислении площади боковой поверхности пирамиды


2




99

Применение теоремы о площади ортогональной проекции в разных задачах


2



Тема 3. Решение задач из вариантов ЕГЭ

( 6часа)


110

Решение задач из вариантов ЕГЭ типа С2(17)


6


Практикум

Работа с ПК

Урок-семинар

Урок – игра «Матбой»

Фронтальный опрос

Самостоятельная работа

Самоконтроль

Тест

Работа на ПК с ЦОР





Итого


224












ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Тема 1. Методы построения сечений пространственных фигур (10) часов.

Определение сечения многогранника. Рассмотрение различных способов построения сечения: метод следов, метод внутреннего проецирования, метод параллельного переноса прямых и плоскостей, комбинированный метод, метод достроения n-угольной призмы до треугольной, метод разбиения n-угольной призмы до треугольной призмы.

Основная цель:

  • Систематизация и обобщение знаний обучающихся, полученных ими в 10 классе на уроках геометрии.

  • Рассмотрение дополнительных методов построения сечений.

Тема 2. Применение теоремы о площади ортогональной проекции фигуры (8) часов.

Доказательство теоремы о площади ортогональной проекции фигуры. Рассмотрение различных типов задач на возможность применение теоремы:

  • при нахождение площадей сечений;

  • при вычислении угла между плоскостями;

  • при вычислении площади боковой поверхности пирамиды;

  • при решение различных типов задач.

Основная цель: расширение и систематизация знаний учащихся полученных на уроках геометрии, создание условий для более осмысленного понимания теоретических сведений и применение их на практике.

Тема 3.

Решение задач из вариантов ЕГЭ (6)часов.

Рассмотрение различных задач из вариантов ЕГЭ, связанных с построением сечений и вычислением их площадей.

Решение задач повышенного уровня сложности, создание условий для более глубокого понимания их.





МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Описание приемов и средств организации занятий, формы проведения

Хотелось бы обратить внимание на огромные возможности использования электронных средств обучения, в том числе интернет - ресурсов. Эффективную помощь можно получить на образовательном портале «Решу ЕГЭ». Ресурсы, представленные на портале, позволяют разнообразить формы проведения занятий, дают возможность применять индивидуальный, дифференцированный подход при осуществлении обратной связи между учеником и учителем. Работа с порталом оказывает существенную помощь учителю при подготовке к занятиям, экономит время при проверке выполненных работ.

Дидактические материалы

Чтобы сократить время на поиск необходимых материалов для проведения занятия, предлагаю для подготовки использовать следующие дидактические материалы.

Тема 1. Методы построения сечений пространственных фигур

Построить сечение многогранника плоскостью это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Точки пересечения плоскости сечения с ребрами многогранника будут вершинами, а отрезки, принадлежащие граням, сторонами многоугольника получающегося в сечении многогранника плоскостью.

Рассмотрим следующие методы построения сечений многогранников:

1. Метод следов

2. Метод внутреннего проецирования

3. Метод параллельного переноса прямых и плоскостей

4. Комбинированный метод

5. Метод достроения n-угольной призмы до треугольной призмы

6. Метод разбиения n-угольной призмы на треугольные призмы



1. Метод следов

В общем случае секущая плоскость пересекает плоскость каждой грани многогранника и каждую из прямых, на которых лежат ребра многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости этой грани, а точку, в которой секущая плоскость пересекает прямую, содержащую какое-нибудь ребро, называют следом секущей плоскости на этой прямой. Если секущая плоскость пересекает непосредственно грань многогранника, то можно также говорить о следе секущей плоскости на грани и аналогично о следе на ребре.

Алгоритм построения:

  1. выяснить имеются ли в одной грани 2 точки сечения если да, то через них провести сторону сечения

  2. построить след сечения на плоскости основания

  3. найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника т.е продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом

  4. через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения с ее ребрами

  5. выполнить пункт 1



Пhello_html_5d300426.png

Рисунок 1

ример № 1.1 (рис. 1)

Дано DABC - тетраэдр, K принадлежит DC, M принадлежит плоскости(ABC), N принадлежит плоскости(ACD). Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки M ,N и K.



Пhello_html_1f772e6b.png

Рисунок 2

ример № 1.2 (рис. 2)

На ребре SC пирамиды SABCD задана точка P, в грани SAB - точка Q, а внутри пирамиды, в плоскости SBD, задана точка R. Построить сечение пирамиды плоскостью PQR.

Решение:

1) Построим след секущей плоскости PQR. Для этого с проектируем точки P, Q и R на плоскость ABCD из точки S.

Получим точку P' (совпадает с точкой C) и точки Q' и R'. Затем найдем две точки следа — плоскости PQR, например точку S1 - точку пересечения прямых PQ и CQ' и точку S2 - точку пересечения прямых RQ и R'Q'. Прямая S1S2 - след секущей плоскости.

2) Построим далее след секущей плоскости на прямой SD. Для этого найдем точку S3, в которой прямая CD пересекает след S1S2, и проведем прямую S3P. Точка V, в которой прямая S3P пересекает прямую SD, и является следом секущей плоскости на прямой SD.

3) Дальнейшие построения можно выполнить уже не пользуясь следом S1 S2 . Так как точки V и Q обе лежат и в секущей плоскости, и в плоскости SAD, то прямая VQ является линией пересечения этих плоскостей. На прямой SA строим теперь точку W, в которой пересекаются прямые VQ и SA.

4) Рассуждая аналогично, получаем далее WT - след секущей плоскости на грани SAB и TP - след секущей плоскости на грани SBC.

5) Многоугольник PVWT - искомое сечение (доказательство того, что построенные точки V, W и T лежат в секущей плоскости, вполне понятно).


Пример № 1.3 (рис. 3)

Вhello_html_m3788fff9.png

Рисунок 3

прямой треугольной призме где AB=3,BC=4 а боковое ребро 1.8 найти площадь сечения плоскостью KLM где K A1B1, L BB1 M BC.

Решение:

1)соединяем точки K и L, точки L и M, т.к. они лежат в в одних гранях.

2) Из того, что KL hello_html_68edea6b.png (AA1B), AB hello_html_68edea6b.png (AA1B), KL hello_html_3575e60.png AB, TM hello_html_68edea6b.pngAC=N следует, что KLhello_html_68edea6b.pngAB=T1

3)Из того, что ML hello_html_68edea6b.png (BB1C), C1B1 hello_html_68edea6b.png (BB1C), ML hello_html_3575e60.png C1B1, TK hello_html_m32786f77.png A1C1=E следует, что MLhello_html_m32786f77.png C1B1=T2. Соединяем точки K и E, E и N, N и M KLMNE-искомое сечение

4) достраиваем треугольную призму до прямоугольного параллелепипеда, отображаем симметрично это сечение в другую часть параллелепипеда

5) проектируем полученное сечение на плоскость основания(ABCD) (рис. 4 и 5)

Рисунок 4 Рисунок 5

hello_html_m70b723ac.pnghello_html_2ec3935.png

6) SBKZDM=SABCD-SAKZ-SMYC SBKZDM=12/2*1,5=9

7) SBKZDM=SKEZXYNML*cos β

8) sin2 α =2*sin α *cos α =2*0,6*0,8=0,96

9) tg β=0,75 =>cos β =0,8

10) S=Sсеч*0,6=11,25

Ответ: 11,25.

Рисунок 6


Пhello_html_m774e44e7.pngример № 1.4 (рис. 6)

Дана треугольная призма ABCA1B1C1. В основании лежит прямоугольный треугольник катеты которого равны по 1 K-середина AB, E-середина BC найти площадь сечения плоскостью KEB1

Решение:


1) соединяем точки K и E так как они лежат в одной грани.

2) из того, что DEhello_html_39f67db0.gif(BB1C), CC1hello_html_m494999eb.gif (BB1C), PEhello_html_m1646b980.gifCC1 следует,

что PEhello_html_e0b7033.gif CC1=M

3) из того, что PKhello_html_39f67db0.gif(AA1B), AA1hello_html_39f67db0.gif(AA1B), PK hello_html_5a82868c.gifAA1следует, что PKhello_html_m2e3973f2.gifAA1=F, SСЕЧ=SKFME

4) KE-средняя линия hello_html_21068e2a.gifABC=>KE=hello_html_7f9566b6.gifAC=hello_html_m668a33e4.gif

5) hello_html_21068e2a.gifKBP=hello_html_21068e2a.gifBPE так как BP-общая BP=KE =>PE=EK

6) hello_html_21068e2a.gifKBP=hello_html_21068e2a.gifFAK так как hello_html_m6ad8d55b.gifFKA=hello_html_m6ad8d55b.gifBKP-вертикальные

BK=AK значит FK=KP аналогично и hello_html_21068e2a.gifPBE и hello_html_21068e2a.gifMCE

FK=KP=PE=EM значит FKEM-равнобедренная трапеция

FM=hello_html_3b01290.gif=AC

PE=hello_html_macc9d0c.gif=FK

FH=hello_html_20e55e64.gif*hello_html_7f9566b6.gif=hello_html_1aec39ad.gif HK=hello_html_m5ed579e7.gif=hello_html_m75ffcad6.gif

S=hello_html_m365784cf.gif*hello_html_m75ffcad6.gif=hello_html_4309bee2.gif

2. Метод внутреннего проецирования

Метод вспомогательных сечений (метод внутреннего проектирования). Этот метод в достаточной мере является универсальным и имеет определенные преимущества по сравнению с методом следов в тех случаях, когда нужный след секущей плоскости оказывается за пределами чертежа. Вместе с тем построения при использовании этого метода получаются "скученными", т.к. все они выполняются внутри многогранника (это обстоятельство послужило причиной называть рассматриваемый метод также методом внутреннего проектирования).

Алгоритм построения сечения:

1) Построить вспомогательные сечения и найти их линию пересечения

2) Построить след сечения на ребре многогранника

3) Если точке сечения не хватает для построения сечения повторить 1-2 пункты


П

Рисунок 7

ример № 2.1 (рис. 7)

Вhello_html_m23e27955.png основании пирамиды SABCD лежит ромб ABCD, сторона которого равна 12, диагональ BD=6, S0-высота пирамиды. О-точка пересечения диагоналей SO= , E AD, F AB, AE=4, FB=8. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью параллельной ребру SC и проходящей через точки E и F

Решение

1) соединяем точки E и F так как они лежат в одной плоскости

2) прямая EF пересекает плоскость SAC в точке H, через точку H в плоскости SAC проводим прямую HQ, HQhello_html_106cbac4.gif SC

3) соединяем точки FQE и получаем hello_html_689a7ff2.gifFQE-искомое сечение

4) AE=4, AF=AB-BF=12-8=4, значит hello_html_689a7ff2.gifAEF-равнобедренный

5)hello_html_c93422b.gifAEFhello_html_57587270.gifABD так как hello_html_3afd1d41.gif=hello_html_m3b65717b.gif hello_html_557b8051.gif-общий K=hello_html_m397e14cb.gif

6) EF=BD*K=6*hello_html_m397e14cb.gif=2

7) Shello_html_689a7ff2.gifADB=hello_html_4fbf62f9.gif=hello_html_m198eecef.gif=9hello_html_509b1c64.gif

8) SC по теореме Пифагора из hello_html_689a7ff2.gifASO: hello_html_m534b674a.gif=hello_html_m27c8dbc4.gif=hello_html_506783cc.gif

9)hello_html_c93422b.gifAQHhello_html_57587270.gifASC по 3ем углам K=hello_html_6bf8d755.gif ,значит QH=hello_html_44e929e6.gif

10) Shello_html_689a7ff2.gifQEF=hello_html_7f9566b6.gif*EF*QH=hello_html_7f9566b6.gif*2*hello_html_44e929e6.gif=hello_html_44e929e6.gif

Ответ: hello_html_44e929e6.gif

Пример № 2.2 (рис. 8)

Нhello_html_m3ee80004.png

Рисунок 8

а ребрах AA1, CC1, EE1 призмы ABCDEA1B1C1D1E1 заданы соответственно точки P, Q, R. Построить сечение призмы плоскостью PQR

Решение

1) Построим первое вспомогательное сечение призмы - ее сечение плоскостью, которая проходит через какие-нибудь две из трех заданных прямых PP', QQ' и RR' , например через прямые PP' и QQ'. Этим сечением является четырехугольник AA1C1C.

2) Будем искать теперь след секущей плоскости PQR на прямой BB1. Для этого построим второе вспомогательное сечение призмы плоскостью. Это сечение проведем через третью заданную прямую RR' и боковое ребро BB1, на котором мы хотим найти след плоскости PQR. Этим сечением является фигура BB1E1E.

3) Находим прямую OO1, по которой пересекаются плоскости вспомогательных сечений AA1C1C и BB1E1E, а затем точку O2, в которой пересекаются прямые PQ и OO1.

4) Так как точка O2 лежит на прямой PQ, то она лежит и в плоскости PQR. Тогда и прямая RO2 лежит в плоскости PQR. Это значит, что точка T, в которой пересекаются прямые RQ2 и BB1, также лежит в секущей плоскости. Точка T и является следом плоскости PQR на прямой BB1.

5) Аналогично найдем след плоскости PQR на прямой DD1. Для этого построим прямую FF1, по которой пересекаются плоскости BB1E1E и AA1D1D, а затем точку F2 — точку пересечения прямых RT и FF1. Проводя далее прямую PF2 , PF2 , получим на прямой DD1 след V плоскости PQR.

6) Соединяя, наконец, заданные и построенные точки в соответствии с порядком следования ребер призмы, получим многоугольник PRVQT-искомое сечение


3. Метод параллельного переноса прямых и плоскостей

При использовании этого метода вместо секущей плоскости строится параллельная ей вспомогательная плоскость, которая пересекает все грани некоторого трехгранного (или многогранного в общем случае) угла данного многогранника. Далее путем параллельного переноса строятся некоторые линейные элементы искомого сечения, соответствующие легко строящимся элементам вспомогательной плоскости

Пример № 3.1 (рис. 9)

Дhello_html_470e40e7.png

Рисунок 9

ано SABCD-пирамида построить сечение плоскостью проходящей через точки M, P и N

Решение:

1) соединяем точки M и N,M и P так как они лежат в одних плоскостях.

2) через точку D в плоскости ASD проводим прямую DK1 параллельную прямой MN

3) через точку K1 в плоскости ASB проводим прямую K1K2 параллельную прямой MP

4) проводим в основании диагональ AC и через точки D и K2 проводим прямую в итоге DK2 и AC пересекутся в точке K3

5) в плоскости ASC проводим прямую К1К3 и через точку M проводим прямую MQ, так что MQ K2K3

6) соединяем точки MNQP и получаем искомое сечение



4. Комбинированный метод

Суть этого метода состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в сочетании с методом следов, или с методом вспомогательных сечений, или с обоими этими методами. При построении сечения используются следующие теоремы:

  • Если две плоскости параллельны и пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны между собой.

  • Если две пересекающиеся плоскости параллельны одной и той же прямой, то линия их пересечения параллельна этой прямой.

  • Если плоскость и прямая параллельны и через эту прямую проведена некоторая плоскость, пересекающая данную плоскость, то линия пересечения этих двух плоскостей параллельна данной прямой.

Пример № 4.1 (рис. 10)

Нhello_html_m2d2f5b05.png

Рисунок 10

а ребрах SB и SC пирамиды SABCD заданы соответственно точки K и P. Построить прямую, проходящую через точку K, параллельно прямой AP.

Решение:

Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и прямую AP, т.е. плоскостью, задано тремя точками K, A и P. Для этого, как обычно, строим след секущей плоскости. В рассматриваемом примере это прямая S1A. Строим далее сечение AKPS2 и в плоскости этого сечения через точку K проводим прямую KF, параллельную прямой AP. Прямая KF – искомая прямая.



Пример № 4.2 (рис. 11)

На ребрах AB, SC и SA пирамиды SABC заданы соответственно точки P, Q и R. Построить сечения пирамиды следующими плоскостями:

аhello_html_edd50ee.png

Рисунок 11

) плоскостью, проходящей через прямую PQ параллельно прямой CR;

б) плоскостью, проходящей через прямую CR , параллельно прямой PQ.

Решение:

a) В плоскости SAC, проходящей через прямую CR и точку Q,

Q hello_html_m6544cc71.gif SC проведем прямую QVhello_html_61393836.gifCR, а затем построим сечение пирамиды

R hello_html_m6544cc71.gif SA плоскостью PQV (следом этой плоскости является прямая S1P) Плоскость PQV проходит через прямую PQ и параллельна прямой CR, поэтому многоугольник PVQS2 - искомое сечение.

б) Построим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, проходя­щей через прямую PQ и точку R (прямая S1P - след этой плоскости, многоугольник RQS2P - сечение), а затем в плоскости этого сечения через точку R проведем прямую RS3hello_html_61393836.gifPQ. Прямыми CR и RS3 определится тогда искомая секущая плоскость. Следом искомой секущей плоскости является прямая S3C, а треугольник CRS4 - искомое сечение.



5. Метод достроения n-угольной призмы до треугольной призмы

Суть этого метода состоит в следующем: данную призму (пирамиду) достраиваем до треугольной призмы (пирамиды), строится сечение полученной треугольной призмы (пирамиды), искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы (пирамиды).

Алгоритм построения:

1

Рисунок 12

) Данная призма(пирамида) достраивается до треугольной призмы(пирамиды) из тех граней на боковых ребрах или гранях которой лежат точки, определяющие искомое сечение.

2hello_html_m2d2fe135.png) Строится сечение полученной треугольной призмы(пирамиды).

3) Искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы(пирамиды).

Пример № 5.1 (рис. 12)

Дано изображение пятиугольной пирамиды MABCDE; точки F и Т лежат соответственно на ребрах AM и МС пирамиды. Построить сечение пирамиды плоскостью FBT

Решение:

1) Достраиваем данную пятиугольную пирамиду до треугольной; для этого строим точку К как точку пересечения прямых АВ и DE, точку Р как точку пересечения прямых ВС и DE, потом проводим МК и МР и получаем треугольную пирамиду МКВР, частью которой является данная пятиугольная пирамида.

2) Строим сечение пирамиды МКВР плоскостью FBT. Точка X получается в

результате пересечения прямых FB и КМ, а точка Y - в результате пересечения

прямых ВТ и МР, следовательно, треугольник XBY - сечение пирамиды МКВР.

3) Точки Q и Н получаются в результате пересечения прямой XY с ребрами ME и MD. QFBTH - искомое сечение данной пирамиды.


П

Рисунок 13

ример № 5.2 (рис. 13)

Дhello_html_5636c550.pngано изображение пятиугольной призмы, на котором даны три точки, две из которых лежат на боковых ребрах призмы, а одна принадлежит вершине основания. Построить сечение, проходящее через эти три точки.

Решение

1) Достраиваем данную пятиугольную призму до треугольной; для этого строим точку Р как точку пересечения прямых АЕ и ВС, точку Q как точку пересечения прямых CD и АЕ, и точки Р и Q как точки пересечения прямых А1Е1 и C1B1, А1Е1 и C1D1. Проводим прямые PP1 и QQ1. Мы получили треугольную призму PCQP1C1Q1 частью которой является данная пятиугольная призма.

2) Строим сечение призмы PCQP1C2)1Q1 плоскостью MC1N: точка X получается в результате пересечения прямых С1М и PP1 а точка Y получается в результате пересечения прямых C1N и QQ1, следовательно, треугольник XC1Y – сечение призмы PCQPlC1Q1

3) Прямые АА1 и EE1, пересекаются с прямой XY соответственно в точках F и R, FMC1NR — искомое сечение данной пирамиды.



1.6 Метод разбиения n-угольной призмы на треугольные призмы

Алгоритм построения:

  1. Строим проекции точек на плоскость основания.

  2. Из данной призмы(пирамиды) выделяется та треугольная призма(пирамида) на боковых ребрах или гранях которой лежат точки, определяющие искомое сечение.

  3. В выделенной призме(пирамиде) точки, определяющие искомое сечение должны лежать на ребрах.

  4. Строится сечение этой треугольной призмы(пирамиды).

Пример № 6.1 (рис. 14)

Пhello_html_1360f873.png

Рисунок 14



остроить сечение пятиугольной пирамиды плоскостью, заданной тремя точками М, N и К на боковых гранях.

Решение

1) Треугольник MNK является сечением треугольной пирамиды SABE, с этой пирамидой имеют общие части пирамиды SABC и SADE.

2) Точка R получается в результате пересечения прямых АС и BE, точка Р в результате пересечения прямых AD и BE, точка F в результате пересечения прямых МK и SR, точка Q - в результате пересечения прямых МК и SP.

3) Плоскость SDA пересекает плоскость MNK по прямой NQ, а прямые NQ и SD пересекаются в точке X, причем точка X принадлежит секущей плоскости MNK.

4) Плоскость SCA пересекается с плоскостью MNK по прямой NF. Прямая NF пересекает прямую SC в точке Y, причем точка Y принадлежит секущей плоскости MNKYX - искомое сечение.



Тема 2. Применение теоремы о площади ортогональной проекции плоской фигуры

Существует несколько методов решения стереометрических задач на вычисление площадей сечений, поверхностей многогранников и углов (между плоскостями, между прямой и плоскостью и т.д.). Эти методы достаточно подробно рассмотрены в школьных учебниках, изложены в различных пособиях по стереометрии. Так, например, при вычислении площадей широко применяется подход, основанный на разбиении многоугольника на части (на треугольники и четырёхугольники). Если в каждой из частей удаётся вычислить длины сторон (или диагоналей четырёхугольника) и какие-нибудь углы, то можно по известным формулам найти их площади, а значит, решить задачу. Довольно большое значение придаётся векторно-координатному методу решения подобных задач. Однако, на наш взгляд, многие из авторов-составителей не уделяют должного внимания методу вычисления площадей и углов, связанному с ортогональным проектированием многоугольника на некоторую плоскость. Накопленный нами опыт преподавания стереометрии, частично отражённый в настоящей статье, показывает, что изучение такой темы как «Площадь ортогональной проекции многоугольника» повышает у школьников интерес к предмету, стимулирует освоение ими других серьёзных тем по геометрии, что в итоге ведёт к интенсификации всего процесса обучения.

1. Теорема о площади ортогональной проекции плоской фигуры

Параллельное проектирование, при котором проектирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций, называется ортогональным.

Ортогональной проекцией фигуры на данную плоскость называют множество точек пересечений с этой плоскостью перпендикулярных к ней прямых, проходящих через все точки этой фигуры. В общем случае справедлива следующая теорема.

Если фигура Ф с площадью SФ лежит в плоскости α , а фигура Ф' с площадью SФ' является ортогональной проекцией фигуры Ф на плоскость, то имеет место равенство SФ'=SФ'*cosα, где φ – угол между плоскостями.

В школьном курсе стереометрии приведённая теорема формулируется и доказывается лишь для случая, когда проектируемая фигура – плоский многоугольник. В этом случае формулировка имеет вид:

Площадь Sпр ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади Sмн , умноженной на косинус угла φ между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: Sпр =Sмн *cosφ.

2. Применение теоремы о площади ортогональной проекции

многоугольника при нахождении площадей сечений

Эту теорему с успехом применяют, прежде всего, при вычислении площадей сечений многогранников. Данный подход используется в ситуациях, когда нахождение площади Sпр ортогональной проекции многоугольника, полученного в сечении, и угла φ между секущей плоскостью и плоскостью проектирования сопряжено с меньшими трудностями, чем непосредственное вычисление площади сечения. В этом случае Sпроекц /Sсечения = cosφ (1)

Пhello_html_m7579bd50.png

Рисунок 15

ример 1. (рис. 15) В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна 4 см. Через диагональ основания под углом 45 ̊ к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найти площадь сечения.

Рhello_html_m5d50a1f.png

Рисунок 16

ешение. Согласно условию задачи, площадь ортогональной проекции сечения на плоскость основания призмы равна половине его площади (см. рис. 15), т.е. Sпр=42/2=8. Тогда, используя формулу (1), получаем: Sсечения=Sпр/cos 45 ̊ =8√2 см2 .

Пример 2. (рис. 16) Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 и 5, угол между ними равен 30°. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью, пересекающей все его боковые рёбра и образующей с плоскостью основания угол в 45°.

Решение. Для нахождения площади сечения воспользуемся формулой (1).

Поскольку секущая плоскость пересекает все боковые рёбра прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, то ортогональной проекцией сечения MQNP является параллелограмм ABCD. Отметим, что MQNP также является параллелограммом, так как MQ || PN и

MP || QN по свойству параллельных плоскостей (если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны). Найдем площадь параллелограмма ABCD. Пусть, для определённости, AB=4 , AD=5 , BAD=30 ̊ , тогда S ABCD= AB *AD*sin BAD = 10;

hello_html_m6689c0db.png

где φ 45 – угол между плоскостью сечения и основанием параллелепипеда, то SMQNP 10√2 .

3. Применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника при вычислении угла между плоскостями

Кроме рассмотренного основного применения теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника её можно также использовать при вычислении угла между плоскостью сечения и плоскостью какой-либо грани многогранника (обычно в качестве такой грани выступает основание пирамиды или призмы). Так поступают в случаях, когда нахождение Sпр и Sсечения является более простой задачей, чем непосредственное вычисление двугранного угла φ , сопряжённое с построением на чертеже его линейного угла.

Пример 3.1 (рис. 17) В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостью грани AB1B и плоскостью BC1D .

Р

Решение. Пусть ребро куба равно a. Ортогональной проекцией треугольника BC1D является треугольник AB1B

(см. рис. 17), площадь которого равна a2/2. Поскольку BD BC1 C1 A a√2 (как диагонали граней куба), то

hello_html_525ad1ca.png

Отсюда φ arccos(√3/3).



исунок 17

hello_html_m6e1e304d.png

Из формулы о площади ортогональной проекции многоугольника получим:

hello_html_403fe9d.png


4. Применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника при вычислении площади боковой поверхности пирамиды

Ещё одной известной задачей, при решении которой применяется теорема о площади ортогональной проекции многоугольника, является задача вычисления площади Sбок боковой поверхности пирамиды, у которой все боковые грани одинаково наклонены к плоскости её основания (под углом φ), или вершина пирамиды лежит на перпендикуляре, восставленном из центра вписанной в её основание окружности. Тогда

hello_html_m72f8b593.png

П

Рисунок 18

ример 4.1. (рис. 18) Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены к плоскости основания под углом 30°. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Рhello_html_281e1af9.pngешение. Для нахождения площади сечения воспользуемся формулой (2). Поскольку боковые грани пирамиды SABCD наклонены к основанию ABCD под одинаковым углом, то её вершина S проектируется в центр вписанной в ромб окружности, т. е. в точку O пересечения его диагоналей (см. рис. 9). Тогда

hello_html_30cf9a5e.png

5. Применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника в разных задачах

Рhello_html_m3ef72190.png

Рисунок 19

ассмотрим теперь несколько более сложных примеров, показывающих, как помогает их успешному решению использование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника. При разборе этих задач авторами осознанно будут опускаться некоторые очевидные детали и факты при построении сечений и углов в многогранниках.

Пример 5.1. (рис. 19) Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным 1. Точка M – середина ребра B1C1 , точка N лежит на диагонали B D1 , причём B1N 2ND. Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки M, N и параллельной прямой A1C1.

Решение. Опишем схематически построение сечения куба плоскостью, проходящей через точки M, N и параллельной прямой A 1C1 . Для этого проведём через точку M прямую ME,

ME || A1C1 (см. рис. 19).

Рассмотрим диагональную плоскость B1BD , в которой на диагонали BD1 лежит точка N. Тогда принадлежащая сечению точка T – результат пересечения прямых ME и B1D1 . В плоскости B1BD проведём прямую TN. Точка O, принадлежащая и сечению, и плоскости нижнего основания куба, является результатом пересечения прямых TN и BD.Проведём через точку O прямую GF, параллельную A1C1. Далее, используя метод следов, по-строим точки H и K,

принадлежащие сечению куба (шестиугольник HEMKGF). При этом шестиугольник AE1M1CGF является проекцией многоугольника HEMKGF на плоскость ABC.

Поскольку FG || A1C1 и A1C1 BD , то FG OB . Тогда OT – наклонная к плоскости ABC, OB – проекция наклонной OT и OB FG . Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах, OT FG . Значит, TOB φ – линейный угол двугранного угла TFGB.

hello_html_m4028b9e6.png

Пример 5.1. (рис. 20)

В правильной шестиугольной призме, ABCD-E1F1 все ребра равны 3. Постройте сечение призмы плоскостью проходящей через точки D,A1,B1, Найдите расстояние от точки D до прямой A1B1 и площадь сечения.

hello_html_364d315e.png

Рисунок 20



Решение. Построим сечение. Для этого соединяем точки B1 и A1, точку D соединяем с точкой E, т.к. A1B1//DE. Продлим прямую A1B1 так чтобы она пресекала плоскость СС1В1В, К -точка пересечения, соединяем D и K(т.к. они лежат в одной плоскости). Точка KDCC1=M, Соединяем с В1 и с D. (с другой стороны аналогично).

1) Рассмотрим полученное сечение: MDEGA1B1 - шестиугольник, B1DDE(по св-ву диагоналей 6-тиугольника).

Рассмотрим ΔB1BD: BB1BD(т.к. призма правильная) =>

ΔB1BD- прямоугольный. B1D=√(BD2+BB12)

Рассмотрим ΔDHC: CDH=30°=>HD=CD*cosCDH.

HD=3*0.5=1.5,BD=1.5*2=3.

B1D=3√2

2) Cечение MDEGA1B1 проецируется на плоскость нижнего основания призмы.

SMDEGA1B1=SABCDEF/cosBDB1;

cosBDB1=BD/B1D=√2/2.

SABCDEF=(3√3*a2)/2=(27√3)/2

Sиск.сеч=(27√3)/2/√2/2=27(√(3/2)).


Тема 3. Решение задач из вариантов ЕГЭ


Задача № 1

Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна q. Найти площадь сечения, плоскость которого параллельна боковой грани пирамиды и проходит через середину ее высоты.

Задача № 2

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC, у которого основание BC равно 3 . Боковая поверхность призмы равна 32. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через CB1 параллельно высоте основания AD, если известно, что расстояние от точки A до плоскости сечения равно hello_html_21bfcd0.gif.

Задача № 3

Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через три заданные на его ребрах точки M, N, P, две из которых лежат на смежных ребрах.

Задача № 4

Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через три заданные точки M, N, P, лежащие на ее ребрах.

Задача № 5

Даны точки M, N и P, лежащие соответственно на боковых ребрах SA, SD и SB четырехугольной пирамиды SABCD. Построить сечение пирамиды плоскостью MNP.

Задача № 6

Построить сечение пирамиды DAEGHF плоскостью AMN, где точки M и N лежат на ребрах DE и DF соответственно.

Задача № 7

Построить сечение четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1

плоскостью PQR, где точки P и Q лежат на ребрах AA1 и DD1 соответственно, точка R принадлежит плоскости AA1BB1.

Задача № 8

Даны точки M и N, лежащие на боковых гранях четырехугольной пирамиды, и точка P – на ее боковом ребре. Построить сечение пирамиды плоскостью MNP.


Р

Рисунок 21

ешение Задачи №1 (рис. 21)

Group 2Обозначим плоскость сечения через α, середину высоты ОР пирамиды ABCDEFP через Т, середины отрезков ВС, OK и ЕF через K, K1 и L соответственно. Пусть плоскость α параллельна грани РВС, OPK hello_html_53557771.gifα =P K , ABC hello_html_53557771.gifα =QR .Тогда P K ||PK11, QR ||BC, при этом T hello_html_39f67db0.gifP1 K1, K hello_html_39f67db0.gifQR1, P hello_html_39f67db0.gifPL1. Так как QR || AD ||EF , то пересечениями плоскости α с треугольниками ADP и PEF служат соответственно отрезки AD || A1D1 и MN ||EF (T hello_html_b28ca31.gifA1D1, M hello_html_39f67db0.gifPF, Nhello_html_b28ca31.gif PE, P1 hello_html_39f67db0.gifMN ).

Имеем A1D1=0,5 AD=BC QR=1,5BC, значит, сечением данной пирамиды плоскостью α является шестиугольник QA1MND1R , составленный из двух трапеций A1D1RQ и MND1A1 с общим основанием A1D1 .

Пусть BC=a, PK =h, тогда SPBC= hello_html_7f9566b6.gifa= q

Найдем площадь сечения QA1MND1R. Так как K1K=hello_html_7f9566b6.gifOK=hello_html_53e14842.gifKL и P1K1hello_html_m6397f877.gifPK, то MN=hello_html_53e14842.gifEF=hello_html_m3dd0e84e.gif; P1K1=hello_html_4813070e.gif=PK=hello_html_4813070e.gifh, TK1=hello_html_7f9566b6.gifPK=hello_html_7f9566b6.gifh, P1T=hello_html_53e14842.gifh, QR=hello_html_646729fa.gifa, A1D1=hello_html_7f9566b6.gif=AD=a.

Теперь Sсеч=hello_html_m697f779b.gif*P1T+hello_html_m81c3f65.gif*K1T=hello_html_m6280ab2c.gifah=hello_html_64097d32.gifq

Ответ: hello_html_64097d32.gifq


Решение Задачи №2 (рис. 22)

Пhello_html_7232612.png

Рисунок 22

остроим сечение призмы заданной в условии плоскостью. Для это­го через вершину C в плоскости ABC основания призмы проведем прямую, па­раллельную AD до пересечения в точке M с продолжением ребра AB за точку A. Точки M и B1 лежат в плоскости грани AA1B1, поэтому, проведя через них прямую, получим след E се­кущей плоскости на ребре AA1. Тогда треугольник CEB1 - искомое сечение.

В треугольнике MBC отрезок AD –средняя линия, поскольку высота AD в равнобедренном треугольнике ABC является и медианой. Следовательно, MB=2AB . Аналогично в треугольнике MB1B отрезок AE – средняя линия и MB1=2ME.Пусть сторона основания AB=x , а высота призмы равна h . Тогда периметр основания P =2x+3, боковое ребро призмы равно h и площадь боковой поверхности Sбок=h*P=h*(2x+3)

Отсюда h=hello_html_m35e55db0.gif

Выразим объем пирамиды BMB1C двумя способами:

  1. По формуле V=hello_html_m397e14cb.gif*BB1*SMBC=hello_html_m397e14cb.gif*h*(hello_html_7f9566b6.gif*MC*BC)

Тут учтено, что треугольник MCB прямоугольный (MC || AD).

  1. По формуле

V=hello_html_m397e14cb.gif*BH1*SMB1C=hello_html_m397e14cb.gif*BH1*(hello_html_7f9566b6.gif*MC*B1C), где BH1 – перпендикуляр, опущенный из точки B на плоскость MBC 1 . Так как расстояние от точки A до этой плоскости по условию равно hello_html_21bfcd0.gif, а MB=2*AB, то BH1=hello_html_m39b677cc.gif.

В этом случае также учтено, что MChello_html_m511bf27f.gif CC1B1(MChello_html_m511bf27f.gif CB и MChello_html_m511bf27f.gif CB1)

И треугольник MCB1- прямоугольный. Приравнивая полученные выражения для объема и учитывая, что CB1=hello_html_m12157039.gif=hello_html_411d2089.gif, имеем

hello_html_m397e14cb.gif*h*(hello_html_7f9566b6.gif*MC*BC)=hello_html_m63d7f638.gif*BH1*(hello_html_7f9566b6.gif*MC*B1C) или h=hello_html_m39850e45.gif.

Отсюда hello_html_m7a6d4f4e.gif=hello_html_36b0a05b.gif и h=4, а CB1=5

Тогда из равенства h=hello_html_m35e55db0.gif находим x=hello_html_77fe93f0.gif, а из треугольника ABD

AD=hello_html_5e8e423.gif

Так как точка Е делит МВ1 пополам, то для искомой площади сечения получаем SCEB1=hello_html_m3a9de046.gif=hello_html_53e14842.gif*4*5=5.

Ответ: 5


Решение Задачи №3 (рис. 23)

Тhello_html_14112678.png

Рисунок 23

очки M и N лежат в плоскости сечения и в плоскости AA1B1 , поэтому отрезок MN - след секущей плоскости на грани AA 1B1B . Для построения следов на других гранях поступаем следующим образом. Проводим прямую MN до пересечения с прямыми AB и 1 BB , лежащими с ней в одной плоскости и не параллельными ей. Точки K1 и K2 - следы секущей плоскости на указанных прямых.

Точки K1 и P лежат в плоскости ABC, следовательно, прямая K 1P и точки N1 и K3 – следы секущей плоскости на плоскости ABC , на ребре AD и прямой BC соответственно.

Точки K2 и K3 лежат в плоскости B1BC1, следовательно, прямая K2K3 - след секущей плоскости на плоскости BB1C1 , точки P1 и M1 ее следы на ребрах CC1 и B1C1 соответственно. Соединяя в указанном порядке точки M, N, N1 , P, P1, M1 , получаем искомое сечение – шестиугольник MNN1PP1M 1.


Решение Задачи №4 (рис. 24)

Пhello_html_m6a860bf4.png

Рисунок 24

рямые MN и AD лежат в плоскости SAD и не параллельны, Следовательно, они пересекаются в некоторой точке K 1. Точки 1 K и P принадлежат плоскости основания пирамиды и плоскости сечения, следовательно, прямая KP1 – след секущей плоскости на плоскости основания. Аналогично, прямые K1P и AB пересекаются в некоторой точке 2 K. Точки N1 и P1 – следы секущей плоскости на ребрах DC и SB соответственно. Соединяя последовательно точки M, N, N1 PP1,M 1 , получаем сечение пятиугольник MNN1P1P.

Р

Рисунок 25

ешение Задачи №5 (рис. 25)

Пhello_html_35ebb1a4.pngроводим через вершину D прямую, параллельную MN , до пересечения с ребром SA .Через полученную точку K1 параллельно MP проводим прямую до пересечения с ребром AB в точке K2 . Плоскость треугольника DK1K2 параллельна плоскости MNP . Плоскость ASC пересекает их по параллельным прямым. Прямая пересечения плоскостей ASC и DK1K2 – K1K3, где K3 – точка пересечения диагонали AC четырех- угольника ABCD и отрезка DK2. Через точку M проводим прямую, параллельную K1K3 , до пересечения с ребром SC .

Получаем точку Q. Сечение MPQN является искомым.


Р

Рисунок 26

ешение Задачи №6 (рис. 26)

Дhello_html_m4dbc2386.pngостраиваем данную пятиугольную пирамиду до треугольной Для этого получим точки AE hello_html_581d3ba1.gif HG =C и

AF hello_html_53557771.gifGH =B, и затем проведем отрезки DC и DB.

Строим сечение полученной треугольной пирамиды ABCD плоскостью AMN. Для этого последовательно получаем точки AM hello_html_581d3ba1.gif DC =P и AN hello_html_581d3ba1.gif DB=Q, и соединяем точки P и Q. Треугольник APQ – есть сечение пирамиды ABCD плоскостью AMN . Осталось получить точки PQ hello_html_581d3ba1.gif DG =R и PQhello_html_m1f72443c.gif DH = S. Тогда пятиугольник AMRSN – искомое сечение данной пятиугольной пирамиды.


Решение Задачи №7 (рис. 27)

Тhello_html_m734ff788.png

Рисунок 27

очка R лежит на отрезке EE1 , где E hello_html_m732c2309.gif AB,E1 hello_html_m732c2309.gif A1B1 , EE1 hello_html_39f67db0.gifAA1. Треугольник PQR является сечением треугольной призмы ADEA1D1E1. Призмы ADCA1D1C1 и ABCA1B1C1 имеют общую часть с призмой ADEA1D1E1.

Получим точки hello_html_53557771.gifDE=M, A1С1 hello_html_53557771.gifD1E1=M2. Плоскости ACС1 и EDD1 пересекаются по прямой ММ2. Прямые ММ2 и QR пересекаются в точке М1.

Точки Р и М1 принадлежат плоскости ACС1 , поэтому прямые PМ1 и CC1 пересекаются в точке T, принадлежащей секущей плоскости PQR.

Имеем точку PR hello_html_53557771.gifBB1=K. Прямые PR и PQ лежат в одной плоскости PQR, поэтому точка K принадлежит плоскости PQR.

Точки Q и T лежат в плоскости сечения, значит, прямая QT принадлежит секущей плоскости. Четырехугольник PKTQ– искомое сечение.


Р

Рисунок 28

ешение Задачи №8

Нhello_html_m3549cb13.pngаходим на плоскости основания пирамиды следы прямых MN и MP – точки K1 и K2 , как точки пересечения указанных прямых и их центральных проекций M0N0 и M0B из центра S на плоскость основания. Прямая K1K2 , являющаяся следом секущей плоскости на плоскости основания, пересекает ребра DC и BC в точках N1 и N2 соответственно. Точки P и N2 лежат в плоскости грани SBC, N1 и N – в плоскости грани SDC и M1= SDhello_html_e0b7033.gif N1N, M1 и M – в плоскости грани SAD и P1= SA hello_html_581d3ba1.gifM1M. Соединяя последовательно полученные точки, получаем искомое сечение M1N1N2PP1.



ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ:


1. Геометрия. 10-11 классы: учеб. Для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. Геометрия. 10-11 классы: учеб. Для общеобразоват. заведений. / И.Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.

3. Геометрия. Расстояния и углы в пространстве / И.М. Смирнов, В.А.

Смирнов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2011. – 158 с. (Серия «ЕГЭ. 100 баллов»).

4. Гусев В.А., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А. Геометрия. Полный справочник. – М.: Махаон, 2006. – 320 с. – (Для школьников и абитуриентов).

5. Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А., Рязановский А.Р., Семенов П.В. Единый государственный экзамен 2008. Математика. Учебно тренировочные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект – Центр, 2007. – 240 с.

6. Единый государственный экзамен: математика: методика подгот.: кн. для учителя / [Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская и др.]. – М.: Просвещение, 2005. – 256 с.

7. Единый государственный экзамен 2011. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2011. – 144 с.

8. ЕГЭ – 2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов /авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2013. – 111 с. – (Федеральный институт педагогических измерений).

9. ЕГЭ 2010. Математика: Сборник тренировочных работ / Высоцкий И.Р., Захаров П.И., Панфёров В.С., Семёнов А.В., Сергеев И.Н., Смирнов В.А., Шестаков С.А., Ященко И.В. – М.: МЦНМО, 2009. – 72 с

10.ВН.Литвиненко,Задачи на развитие пространсвенных представлений: кн.для учителя.-М:Росвещение,1991.-127с.


10. ЕГЭ 2013. Математика. Типовые тестовые задания /под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2013. – 55 с.

11. ЕГЭ 2013. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2(с) /под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2013. – 215 с.

12. ЕГЭ-2013. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2012. – 192 с. – (ЕГЭ-2013. ФИПИ– школе).

13. Статья «Применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника при решении стереометрических задач» Бардушкин В.В., Белов А.И., Ланцева И.А., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П.

14. www.alexlarin.net – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.

15. http://eek.diary.ru/ – сайт по оказанию помощи абитуриентам, студентам, учителям по математике



Автор
Дата добавления 24.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров178
Номер материала ДВ-373689
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх