Теорема Чевы на уроке геометрии в 10 классе.

• 1 слайд

  Теорема Чевы
  Учитель математики МБОУ СОШ №4 г.Белгород
  Чанышева С.Р.
  

• 2 слайд

  Содержание :
  Историческая справка
  
  Формулировка теоремы
  
  Доказательство теоремы
  

• 3 слайд

  Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.
  

• 4 слайд

  День рождения: 07.12.1647 года
  Дата смерти: 15.06.1734 года
  Гражданство: Италия
  Джованни Чева родился в 1647 году в Италии. Он окончил иезуитский колледж в Милане, после чего стал студентом Университета в Пизе, где позже и стал работать профессором математики.
  С 1686 года Чева работал в Университете в Мантуе, оставаясь на этом посту до самого конца своей жизни.
  Университет Пизы .Университетом учебное заведение было признано в 1343 году декретом Папы Климента VI.
  

• 5 слайд

  В 1678-м Чева опубликовал свою, ставшую знаменитой, теорему 'О взаимнопересекающихся прямых' (De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio) о синтетической геометрии треугольника; теорема эта впоследствии получила его имя - теорема Чевы.
  Теорема эта сегодня является классической теоремой геометрии треугольника.
  Говоря простым языком, Чева изобрел некий общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.
  

• 6 слайд

  Теорема является аффинной, то есть теорема эта может быть сформулирована используя только характеристики сохраняющиеся при аффинных преобразованиях.
  
  Кстати, отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой - также по имени Джованни Чевы.
  
  Можно сказать, что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника.
  

• 7 слайд

  Известно, что опубликовал ученый не только свои теоремы, но и доработал и популяризировал теоремы Менелая. В работе 'Геометрия движения' ('Geometria Motus', 1692) он рассмотрел природу движения.
  

• 8 слайд

  Известно, что Джованни был и инженером-гидравликом, а также экономистом, и несколько раз ему довелось поработать на правительство Мантуи, был он правительственным комиссаром Мантуанского герцогства.
  
  
  В 1728 году он опубликовал 'Opus hydrostaticum', в котором обсуждал проблемы в гидравлике.
  

• 9 слайд

  Австрийской армии (20 000 человек) удалось нанести поражение франко-сардинской армии (40 000 человек) у деревень Куистелло и Сан-Бенедетто (к югу от Мантуи на север Италии).
  Джованни Чева умер 15 июня 1734 года, в возрасте 85 лет; смерть его последовала во время осады Мантуи франко-сардинской армией.
  

• 10 слайд

  
  Чева и сегодня считается не только выдающимся математиком, но и талантливым автором в области экономики - именно он применил математику к экономике и стал первым математическим писателем по этому предмету.
  

• 11 слайд

  Формулировка теоремы
  
  Если на сторонах АВ, ВС и АС
  треугольника АВС взяты
  соответственно точки С1, А1 и В1, то
  отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются
  в одной точке тогда и только тогда, когда
  
  
  
  В
  С
  А
  С1
  А1
  В1
  

• 12 слайд

  Доказательство теоремы
  
  
  Предположим, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О.
  Через вершину С треугольника ABC
  проведем прямую, параллельную АВ, и ее точки пересечения с прямыми AA1, BB1
  обозначим соответственно А2, В2. Из подобия
  треугольников СВ2В1 и АВВ1 имеем равенство
  
  (1)
  
  Аналогично, из подобия треугольников ВАА1 и СА2А1
  
  имеем равенство (2)
  
  
  А
  С1
  В
  А1
  А2
  С
  В2
  В1
  О
  

• 13 слайд

  
  Доказательство теоремы
  
  
  
  Далее, из подобия треугольников BC1Oи В2СО,
  
  AC 1O и А2СО имеем
  
  
  Следовательно, имеет место равенство
  
  (3)
  
  Перемножая равенства (1), (2) и (3), получим
  
  требуемое равенство
  
  
  
  
  
  А
  С1
  В
  А1
  А2
  С
  В2
  В1
  О
  

• 14 слайд

  УТВЕРЖДЕНИЕ ОБРАТНОЕ ТЕОРЕМЕ
  Пусть для точек А , В , С , взятых на
  соответствующих сторонах треугольника ABC,
  выполняется равенство (*). Обозначим точку
  пересечения прямых АА1 и ВВ1 через О и точку
  пересечения прямых СО и АВ через С". Тогда, на
  основании доказанного, имеет место равенство
  
  
  
  Учитывая равенство (*), получим равенство
  
  
  , из которого следует совпадение точек С"
  и С , значит, прямые АА1, BB1, СС1 пересекаются
  в одной точке.
  В
  С
  А
  С1
  А1
  В1