Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Теорема косинусов. Решение задач.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Теорема косинусов. Решение задач.

библиотека
материалов

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifТеорема косинусов. Решение задач.

Цели: научить учащихся применять теорему косинусов и следствия из неё
при решении задач.

Ход урока

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация опорных знаний
    1. Сформулировать теорему о площади треугольника (вычисление площади по двум сторонам и углу между ними).
    2. Сформулировать теорему синусов.
    3. Сформулировать теорему косинусов.
    4. При решении, каких задач, мы уже использовали теорему косинусов? (Нахождение стороны по двум другим заданным сторонам и углу между ними; нахождение угла треугольника по трём известным сторонам.)

  3. Решение задач и создание проблемных ситуаций при их решении.
    № 1. Найдите неизвестную сторону и площадь треугольника
    АВС,
    hello_html_m2fe7fad8.png

2. Найдите угол А треугольника АВС, если АВ =АС =1 м, ВС = hello_html_5909bbae.gif м. Решение.
Пользуясь теоремой косинусов, получаем:
hello_html_660c45ed.gif так как AC = b = 1 м, AB = c = 1м , BC = а = hello_html_5909bbae.gif м, то

hello_html_mab32ca5.png

3. Решить задачу № 1031 (в). Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны:
9, 5, 6. (
По ходу решения учитель задаёт наводящие вопросы.)hello_html_67d2fa84.png

Решение. Пусть hello_html_m1b8a130c.gif

Все ли углы нужно находить?
( Достаточно найти наибольший угол - он лежит против большей из сторон, то есть в данной задаче это угол А.)

hello_html_6b044b0d.png

Можно ли определить вид треугольника, не вычисляя углы треугольника?
(Вариантов ответа только два: «нет» и «да». Но объяснить почему можно иначе - не могут.)
Рассмотрим теорему косинусов и проведём её исследование при различных значениях угла между сторонами a и b:
hello_html_m3fd6ea83.gifhello_html_m3eb77655.png



  1. Если угол С острый, то hello_html_265f0c0.gif следовательно, hello_html_m5879959.gif.

  2. Если угол С прямой, то hello_html_m53c3dc45.gif следовательно, hello_html_m6ff15cc4.gif.

  3. Если угол С тупой, то hello_html_m6fd6348a.gif следовательно, hello_html_6fdbc647.gif.

Воспользуемся полученными следствиями из теоремы косинусов при решении следующих задач.


4. Решить задачу № 1031(б). Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: 17, 8, 15.
Решение.

Пусть hello_html_46313d0b.gif hello_html_m3eb77655.png

Наибольшая сторона треугольника с, поэтому сравним её квадрат с суммой квадратов двух других сторон.

hello_html_45769cd9.gifhello_html_m488ac44c.gifто есть hello_html_m6ff15cc4.gif , следовательно, угол С прямой.

hello_html_m3422fd5c.gifтреугольник прямоугольный.


№ 5. В треугольнике АВС угол С равен 45о, АС = 5 см, ВС = 9 см. Найдите угол А.

Решение.
Найдём сторону
АВ по теореме косинусов:

hello_html_21f2e8c0.gifhello_html_m4413d54a.gif;
hello_html_17cbebcb.gif.
Как будем искать угол А? (Мнения разделились: одни предлагают по теореме синусов, другие – по теореме косинусов. Предлагаю решить 1 варианту по теореме косинусов, а варианту 2 – по теореме синусов.) Двое учащихся у доски воспроизводят свои варианты решений.hello_html_m39415351.png

Решение 1 варианта.
hello_html_m134c52c5.gif, тогда
hello_html_7e13cb1e.gif
угол А – тупой, Аhello_html_m4554de93.gif.

Решение 2 варианта.

hello_html_m68afe0ae.gif; тогда hello_html_m7971ce91.gif
А
hello_html_m6f47c86c.gif

Почему получились разные значения одного и того же угла? Задача имеет несколько решений? (Некоторые из учащихся заметили, что сумма получившихся значений угла А равна 180о и сообщили, что во 2-ом варианте надо было брать угол не 78о , а 102о , так как их синусы равны.)

При решении по теореме синусов необходимо было вначале выяснить вид угла А, воспользовавшись следствиями из теоремы косинусов. В нашем случае: hello_html_m48266f59.gif, т.к. hello_html_m2d8de325.gif ; hello_html_m62655743.gif,
следовательно угол А – тупой.

hello_html_m7971ce91.gifтогда Аhello_html_m4554de93.gif.

  1. Подведение итогов урока.


  2. Домашнее задание: выучить материал пунктов 100-102 (стр. 252-254), решить задачи № 1031(а), 1025(е).

Краткое описание документа:

Урок по геометрии в 9 классе (автор учебника Атанасян Л.С.) «Теорема косинусов. Решение задач». На уроке рассматриваются задачи, решаемые с помощью теоремы косинусов, теоремы синусов, задачи на нахождение площади треугольника. По ходу решения создаются проблемные ситуации, при решении которых удобно использовать следствия из теоремы косинусов.

Автор
Дата добавления 07.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров3025
Номер материала ДВ-313315
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх