139080
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаКонспектыТеорема косинусов. Решение задач.

Теорема косинусов. Решение задач.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifТеорема косинусов. Решение задач.

Цели: научить учащихся применять теорему косинусов и следствия из неё
при решении задач.

Ход урока

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация опорных знаний
    1. Сформулировать теорему о площади треугольника (вычисление площади по двум сторонам и углу между ними).
    2. Сформулировать теорему синусов.
    3. Сформулировать теорему косинусов.
    4. При решении, каких задач, мы уже использовали теорему косинусов? (Нахождение стороны по двум другим заданным сторонам и углу между ними; нахождение угла треугольника по трём известным сторонам.)

  3. Решение задач и создание проблемных ситуаций при их решении.
    № 1. Найдите неизвестную сторону и площадь треугольника
    АВС,
    hello_html_m2fe7fad8.png

2. Найдите угол А треугольника АВС, если АВ =АС =1 м, ВС = hello_html_5909bbae.gif м. Решение.
Пользуясь теоремой косинусов, получаем:
hello_html_660c45ed.gif так как AC = b = 1 м, AB = c = 1м , BC = а = hello_html_5909bbae.gif м, то

hello_html_mab32ca5.png

3. Решить задачу № 1031 (в). Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны:
9, 5, 6. (
По ходу решения учитель задаёт наводящие вопросы.)hello_html_67d2fa84.png

Решение. Пусть hello_html_m1b8a130c.gif

Все ли углы нужно находить?
( Достаточно найти наибольший угол - он лежит против большей из сторон, то есть в данной задаче это угол А.)

hello_html_6b044b0d.png

Можно ли определить вид треугольника, не вычисляя углы треугольника?
(Вариантов ответа только два: «нет» и «да». Но объяснить почему можно иначе - не могут.)
Рассмотрим теорему косинусов и проведём её исследование при различных значениях угла между сторонами a и b:
hello_html_m3fd6ea83.gifhello_html_m3eb77655.png



  1. Если угол С острый, то hello_html_265f0c0.gif следовательно, hello_html_m5879959.gif.

  2. Если угол С прямой, то hello_html_m53c3dc45.gif следовательно, hello_html_m6ff15cc4.gif.

  3. Если угол С тупой, то hello_html_m6fd6348a.gif следовательно, hello_html_6fdbc647.gif.

Воспользуемся полученными следствиями из теоремы косинусов при решении следующих задач.


4. Решить задачу № 1031(б). Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: 17, 8, 15.
Решение.

Пусть hello_html_46313d0b.gif hello_html_m3eb77655.png

Наибольшая сторона треугольника с, поэтому сравним её квадрат с суммой квадратов двух других сторон.

hello_html_45769cd9.gifhello_html_m488ac44c.gifто есть hello_html_m6ff15cc4.gif , следовательно, угол С прямой.

hello_html_m3422fd5c.gifтреугольник прямоугольный.


№ 5. В треугольнике АВС угол С равен 45о, АС = 5 см, ВС = 9 см. Найдите угол А.

Решение.
Найдём сторону
АВ по теореме косинусов:

hello_html_21f2e8c0.gifhello_html_m4413d54a.gif;
hello_html_17cbebcb.gif.
Как будем искать угол А? (Мнения разделились: одни предлагают по теореме синусов, другие – по теореме косинусов. Предлагаю решить 1 варианту по теореме косинусов, а варианту 2 – по теореме синусов.) Двое учащихся у доски воспроизводят свои варианты решений.hello_html_m39415351.png

Решение 1 варианта.
hello_html_m134c52c5.gif, тогда
hello_html_7e13cb1e.gif
угол А – тупой, Аhello_html_m4554de93.gif.

Решение 2 варианта.

hello_html_m68afe0ae.gif; тогда hello_html_m7971ce91.gif
А
hello_html_m6f47c86c.gif

Почему получились разные значения одного и того же угла? Задача имеет несколько решений? (Некоторые из учащихся заметили, что сумма получившихся значений угла А равна 180о и сообщили, что во 2-ом варианте надо было брать угол не 78о , а 102о , так как их синусы равны.)

При решении по теореме синусов необходимо было вначале выяснить вид угла А, воспользовавшись следствиями из теоремы косинусов. В нашем случае: hello_html_m48266f59.gif, т.к. hello_html_m2d8de325.gif ; hello_html_m62655743.gif,
следовательно угол А – тупой.

hello_html_m7971ce91.gifтогда Аhello_html_m4554de93.gif.

  1. Подведение итогов урока.


  2. Домашнее задание: выучить материал пунктов 100-102 (стр. 252-254), решить задачи № 1031(а), 1025(е).

Краткое описание документа:

Урок по геометрии в 9 классе (автор учебника Атанасян Л.С.) «Теорема косинусов. Решение задач». На уроке рассматриваются задачи, решаемые с помощью теоремы косинусов, теоремы синусов, задачи на нахождение площади треугольника. По ходу решения создаются проблемные ситуации, при решении которых удобно использовать следствия из теоремы косинусов.

Общая информация

Номер материала: ДВ-313315

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Комментарии:

6 месяцев назад

Спасибо!

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.