Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Теорема Пифагора (8 класс)

Теорема Пифагора (8 класс)

  • Математика

Название документа ЗАДАЧИ.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_1a6b7dbc.png













ЗАДАЧИ





Зhello_html_3075070b.pngадача 1. Решите уравнение √16 + х2 = 5.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза
с равна 5, катет а равен 4, а другой катет х - неизвестен. Тогда алгебраическая задача "Решите уравнение √16 + х2 = 5." получает геометрическую интерпретацию: "Найдите катет х прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 5, а другой катет равен 4".
Задача 2. Решите уравнение √х2 - 9 = 4.
Эта задача получает почти такую же геометрическую интерпретацию, как и первая. Заметим, что при геометрической интерпретации в качестве числовых величин рассматриваются длины отрезков, т.е. модули чисел. Поэтому необходимо на последнем этапе решения задачи провести анализ полученного ответа. В результате.ю в первой задаче получаем |х|=3, а значит, х=±3. Аналогично, во второй задаче х=±5.

Задача 3. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120º.
Для начала проведем высоту этого треугольника к основанию. Видно, что треугольник разделился на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузами, равными боковой стороне равнобедренного. Т.к. угол против основания равен 120º, то углы при основании равны по 30º. Следовательно высота равна половине боковой стороны. Отметим высоту за
x, а боковую сторону за 2x. Т.к. высота равнобедренного треугольника, проведенная к основани. является также медианой и биссектрисой, то второй катет прямоугольного треугольника равен 9 см.
Составим уравнение:

x2 + 81 = 4x2
3x
2 = 81
x
2 = 27
x = 3√3 см
2х = 6√3 см.

Значит, боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6√3 см. Задача решена.

Задача 4. Одна из диагоналей параллелограмма является высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.
Для того, чтобы решить эту задачу, отметим меньшую сторону параллелограмма за
a = x, а большую - за b = x + 1. Так как периметр равен сумме всех сторон, то получаем:

P = 2(2x + 1) = 50
4x + 2 = 50
4x = 48
x = 12, а x + 1 = 13.

Значит, сторона a равна 13 см, а сторона b равна 12 см.Теперь, т.к. диагональ является также и высотой, рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Требуется найти катет по гипотенузе и другому катету:

132 = 122 + h2
h
2 = 132 - 122
h = 5 см.

Итак, задача решена!

У египтян была известна задача о лотосе:
"На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну."
Попробуйте сами решить эту задачу. Естественно, при решении использовалась теорема Пифагора.








Задача 5. В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 17 см, а длина гипотенузы 13 см. Найти катеты a, b и площадь S треугольника.
Отметим один из катетов за
x, а другой - за 17 - х. По теореме Пифагора получаем:

x2 + x2 - 34x + 289 = 169
2x2 - 34x + 120 = 0
x2 - 17x + 60 = 0
x = 12 или x = 5.

Значит, один из катетов равен 12, а другой - 5. Площадь треугольника равна:

S = ab/2 = 30.

Задача решена!

Теперь перейдем к решению более сложных задач.

Задача 6. Найдите наименьшее значение выражения √(x2 + 1) + √(y2 + 4) + √(z2 + 9), если x + y + z = 8.
Эhello_html_553eac8a.pngто выражение можно интерпретировать как сумму гипотенуз прямоугольных треугольников, один из катетов которых равен 1, 2 и 3, а второй катет равен x, y и z соответственно. Известно, что сумма длин катетов x, y и z равна 8.
Как было сказано выше, при геометрической интерпретации данные в условии задачи числа рассматриваются как длины отрезков, а длина всегда положительна. Однако числа x, у и z, составляющие сумму x + у + z = 8, могут быть как положительными, так и отрицательными. Рассмотрим возможные варианты.
1. Все три числа х, у и z — одного знака: либо положительны, либо отрицательны. При геометрической интерпретации сумма x + у + z = 8 является длиной отрезка, равного сумме трех отрезков длины |x|, |y| и |z|.
2. Два числа, для определенности пусть это будут х и у, - одного знака, а третье число z -другого знака. При геометрической интерпретации сумма x + у + z = 8 является длиной отрезка, равного сумме двух отрезков длины |x| и |y| минус отрезок длины |z|. Решения для двух случаев одинаковы и отличаются только чертежом: в первом случае это рисунок а, а во втором случае это рисунок b. Расположим эти треугольники на чертеже в виде «цепочки» так, чтобы их катеты были соответственно параллельны (рис. а и b). Тогда

АF = √(x2 + 1); FD = √(y2 + 4); DB = √(z2 + 9).

Соединим точки А и В. Так как длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы, значит,

AF + FD + DB ≥ AB.

Равенство достигается при условии, что точки F и D принадлежат АВ. Проведя дополнительные построения, получим треугольник AВС с прямым углом С, в котором катет АС = 8, катет BC = 6, тогда гипотенуза АВ = 10. Отсюда следует, что наименьшее значение данного выражения равно 10.

Задача 7. Решите систему уравнений
hello_html_7d9f6e27.png
при условии, что x, y, z и t - положительны.
Рhello_html_64cf9dc3.pngассмотрим прямоугольные треугольники с гипотенузами 1, 2, 3 и 4 и катетами x, у, z и t соответственно. Расположим эти треугольники на чертеже в виде «цепочки» так, чтобы их катеты были соответственно параллельны. Проведя дополнительные построения, получим треугольник AВС с прямым углом С, у которого катет АС = 8, поскольку сумма длин соответствующих катетов √(1 - x
2), √(4 - y2), √(9 - z2), √(16 - t2) равна 8. Катет ВС = 6, так как x + у + z + t = 6. тогда гипотенуза АВ = 10. Отсюда следует, что гипотенузы рассматриваемых треугольников лежат на одной прямой, потому что в противном случае длина ломаной AFEDB была бы строго больше 10.
Точки F, E и D делят гипотенузу АВ на части, которые относятся следующим образом

BD : DE : EF : FA = 1 : 2 : 3 : 4.

Проведем через эти точки прямые, параллельные катету АС. По теореме о пропорциональных отрезках катет ВС разделился в том же отношении, т.е.

x : y : z : t = 1 : 2 : 3 : 4.

Следовательно, x = 0,6, y = 1,2, z = 1,8, t = 2,4.
Задача решена.

Зhello_html_4fc26005.pngадача 8. На сторонах прямоугольного треугольника построены полуокружности. Площади образовавшихся лунок равны 9 и 4. Найдите площадь прямоугольного треугольника.
Отметим катеты как
а и b. По теореме Пифагора гипотенуза равна √(a2 + b2). Площадь полуокружности равна Пr2/2. Значит, сумма площадей этих лунок равна:

S = Пa2/8 + Пb2/8 + ab/2 - (Пa2 + Пb2)/8 = 13
4ab/8 = 13
S = ab/2 = 13.

Задача решена.

Задача 9. Предлагаю вашему вниманию задачу для самостоятельного решения:
Найдите наименьшее значение выражения:
√(1 - x2) + √(9 - y2) + √(25 - z2) + √(49 - t2),
если x + y + z + t = 6 и все эти перемeнные положительны.

Задача 10. С помощью теоремы Пифагора можно решать задачи и в стереометрии. Вот одна из таких задач:

Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите объём пирамиды.

Оhello_html_1ba8cbe7.pnghello_html_m141134d8.pngбъем пирамиды вычисляется по формуле: V = Sh/3, где S - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды. Значит, для решения задачи необходимо найти эти величины. Надо учитывать, что АО и ВО - медианы.

Чтобы найти h рассмотрим треугольник DOE:
Треугольник DOE - прямоугольный с прямым углом DOE. По условию гипотенуза DE=4 см (апофема пирамиды), а угол DEO=60° (двугранный угол при основании). Заметим, что угол EDO=30°, а катет, лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы. Следовательно OE=2 см. Катет OD, то есть высоту пирамиды, можем найти по теореме Пифагора:

hello_html_fe8396f.png

Итак, высота Пирамиды равна 2√3 см.

(Конечно, можно было вычислять катет OD как произведение гипотенузы DE на синус противолежащего угла DEO).

Как можем вычислить S ? Основанием пирамиды является правильный треугольник. Площадь треугольника равны половине произведения основания на высоту: S = ah/2. А можно пробовать воспользоваться и формулой для вычисления равностороннего треугольника: S = a
2√3/4. (Что удобнее - станет ясно в процессе анализа).

Рассмотрим треугольник ABC.
Вhello_html_m60aeaf37.pngо-первых, он равносторонний по условию задачи. Во-вторых, из треугольника DOE мы нашли OE=2 см. Как по этим данным вычислить сторону треугольника?
Можно, например, рассмотреть треугольник OEB. Он является прямоугольным (AE - медиана равностороннего треугольника, а следовательно и высота). Угол OBE равен 30°, поскольку BO биссектриса угла равностороннего треугольника. Вновь замечаем, что катет, лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы. Следовательно, гипотенуза BO=2OE=4 см. По теореме Пифагора находим BE=2√3 см.
Поскольку BE - половина стороны треугольника, то сторона a=4√3 см. Подставляя это значение в формулу для вычисления равностороннего треугольника, получаем:

hello_html_7906772.png

Теперь можем вычислить объем пирамиды:

hello_html_m3fd1b55b.png

Задача решена!

Исторические задачи

Предлагаю несколько задач, найденных в исторических книгах. Они настолько легкие, что я не буду объяснять их решение.

Задача Бхаскари


«hello_html_m65ce39a7.jpgНа берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»









Задача из китайской «Математики в девяти книгах»


«hello_html_m640f73ee.jpgИмеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?».


Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого


«hello_html_m4a910799.pngСлучися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».



Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"



hello_html_14214064.jpg

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).
Какова высота бамбука после сгибания?


Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Из-за этого многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c2 = a2 + b2.

















Кроме этого, практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя самих отрезков. hello_html_m1b0fe524.jpgЭто как бы открывает путь от прямой к плоскости, от плоскости к объемному пространству и дальше. Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях. Например в Германии недавно открылся кинотеатр, где показывают кино в шести измерениях: первые три даже перечислять не стоит, а также время, запах и вкус. Это наглядно говорит о том, насколько быстро увеличивается количество измерений, используемых человечеством. Ведь еще три года назад никто и не заикался о более чем трех измерениях в кино. Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все очень "просто": ведь при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи направлять и т.д. Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, пhello_html_39002ca7.jpgоказывают обедающего человека, а вы чувствуете вкус еды... Захватывает? Конечно да, и это говорит о том, насколько много направлений деятельности еще будет у теоремы Пифагора и связанных с ней.

Но не надо думать, что теорема Пифагора больше не имеет других значений. Из того, что я уже сказал, надо сделать вывод, что все эти технологии используются также и в других отраслях. Например, при строительстве любого сооружения, расчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д. В целом, значение теоремы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.







Название документа Задачи теоретические.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Задачи теоретические, современные

1. Периметр ромба 68 см., а одна из его диагоналей равна 30 см. Найдите длину другой диагонали ромба.

2. Гипотенуза КР прямоугольного треугольника КМР равна см., а катет МР равен 4 см. Найдите медиану РС.

3. На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты, причем S1-S2=112 см2, а S3=400 см2. Найдите периметр треугольника.

4. Дан треугольник АВС, угол С=900, CD AB, AC=15 см., AD=9 см. Найдите АВ. [4]

Задачи практические, старинные

5. Задача индийского математика XII века Бхаскары [7]


«На берегу реки рос тополь одинокий.hello_html_m161bb8ea.jpg

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»


6. Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

hello_html_m1fa3178a.jpg




7. Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого [7]

   

hello_html_1e94e0c0.jpg


"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.

    И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."






8. Задача из китайской "Математики в девяти книгах" [7]


   hello_html_m7a5e520a.jpg

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

    Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"







Название документа Оценочный лист.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Оценочный лист (Теорема Пифагора)

Ф.И._______________________________________

1) Проверка домашнего задания

Квадрат





2

Прямоугольник





3

Параллелограмм





4

Треугольник








5

Прямоугольный

Треугольник







6

Ромб








7

Трапеция







2) Рефлексия

Ребята высказываются одним предложением, выбирая начало фразы ...

сегодня я узнал…


  • я приобрел…


  • было интересно…


  • я научился…


  • было трудно…


  • меня удивило…


  • я понял, что…


  • урок дал мне для жизни…


  • теперь я могу…







3) Проверка настроения: прием“Мордашки”

hello_html_m5d235fab.png



отличное равнодушное плохое

Название документа Пифагор и его нравственные заповеди.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Пифагор и его нравственные заповеди


По какому закону, порядку ты живешь? И тут, пожалуй, одного режима дня мало. Необходима программа самовоспитания, самоусовершенствования. Самый главный порядок — это порядок внутри себя, в тебе самом, "моральный закон во мне".

Такую программу имел Пифагор.


В 1808 г. в Санкт-Петербурге вышла карманного формата книжечка "Пифагоровы законы и нравственные правила":

Не гоняйся за счастьем, оно всегда находится в тебе самом.

Человек! Не делай другим... того, что не хочешь, чтоб они делали тебе.

Сыщи себе верного друга: имея его, ты можешь обойтись без богов.

Избери себе друга, ты не можешь быть счастлив один; счастье есть дело двоих.

Если не можешь иметь верного друга, будь сам себе другом.

Слушая и сохраняя молчание, ты сделаешься мудрым: начало премудрости есть молчание.

Что есть мудрость? Знание порядка. Если желаешь быть мудрым в течение твоей жизни, все поставь на своем месте. Преходящая временная слава не стоит тихого и безмятежного порядка, видимого в ежедневных делах мудрого.

  • Совесть твоя да будет единственным твоим божеством.

  • Спеши делать добро лучше настоящим утром, чем наступающим вечером, ибо жизнь скоротечна и время летит.

Старайся прежде всего быть мудрым, а ученым, когда будешь иметь свободное время.

  • Беседу следует вести так, чтобы собеседников из врагов делать друзьями, а не друзей — врагами.

  • Во время гнева не должно ни говорить, ни действовать.

Гостеприимство крайне безрассудно, если его оказывать дурным людям.

Делай Великое, не обещая великого.

Дурные надежды ведут к дурным поступкам.

Жизнь подобна театру: в ней часто весьма дурные люди занимают наилучшие места.

Знай, что никакое притворство долго скрываться не может.

Из двух человек одинаковой силы сильнее тот, кто прав.

Молчи или говори то, что лучше молчания,

Прежде, чем говорить, дай время созреть твоим мыслям под языком.

Чтобы о тебе не думали, делай то, что ты считаешь справедливым.


Пифагор — это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он, как дельфийский оракул, любил проповедовать истины, (Пифагор значит "убеждающий речью"). В результате первой же проповеди Пифагор приобрел 2000 учеников, которые не вернулись домой, а вместе со своими женами и детьми образовали громадную школу и создали государство, названное "Великая Греция", в основу которого были положены законы и правила Пифагора, почитаемые, как божественные заповеди.


Свой день Пифагор и его ученики заканчивали стихами:


Не допуская ленивого сна на усталые очи, Прежде чем на три вопроса о деле дневном не ответишь: Что я сделал? Чего не сделал? И что мне осталось сделать?

И начинали день со стихов;

Прежде чем встать от сладостных снов, навеянных ночью, Думой раскинь, какие дела тебе день приготовил.


Пифагор был не только выдающимся математиком всех времен и народов, но и философом, и музыкантом. Он делил математику на четыре части: арифметику, геометрию, музыку и астрономию.


Название документа Различные доказательства теоремы Пифагора.doc

Поделитесь материалом с коллегами:


  Различные доказательства теоремы Пифагора



Приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:

"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так :

"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифатор первым дал ее полноценное докзательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет Шамиссо:


 Пребудет вечной истина, как скоро
   Ее познает слабый человек!
   И ныне теорема Пифагора
   Верна, как и в его далекий век.

   Обильно было жертвопринашенье
   Богам от Пифагора. Сто быков
   Он отдал на закланье и сожженье
   За света луч, пришедший с облаков.

   Поэтому всегда с тех самых пор,
   Чуть истина рождается на свет,
   Быки ревут, ее почуя, вслед.

   Они не в силах свету помешать ,
   А могут лишь закрыв глаза дрожать,
  От страха, что вселил в них Пифагор.




Простейшее доказательство

hello_html_4819917c.png

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.

Доказательства методом разложения

Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата ,построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: "Смотри!", как это делалось в сочинениях древних индусских математиков. Следует, однако, заметить, что на самом деле доказательство нельзя считать полным, пока мы не доказали равенства всех соответствующих друг другу частей. Это почти всегда довольно не трудно сделать, однако может (особенно при большом количестве частей) потребовать довольно продолжительной работы.



Доказательство Эпштейна

hello_html_m4dc0f05c.png

Начнем с доказательства Эпштейна(рис. 1) ; его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF.

Разложение на треугольники можно сделать и более наглядным, чем на рисунке.

Доказательство Нильсена

hello_html_1330505c.png

На рисунке вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена









Доказательство Бетхера .

hello_html_5e54bdce.png

На рисунке дано весьма наглядное разложение Бетхера.

Доказательство Перигаля.

hello_html_14e987a6.png

В учебниках нередко встречается разложение указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"; это доказательство нашел Перигаль). Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.





Доказательство Гутхейля.

hello_html_m50507351.png

Изображенное на рисунке разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника.

Доказательство 9 века н.э.

hello_html_379853e4.png

Ранее были представлены только такие доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты,построенные на катетах, с другой, складывались из равных частей. Такие доказательства называются доказательствами при помощи сложения ("аддитивными доказательствами") или, чаще, доказательствами методом разложения. До сих пор мы исходили из обычного расположения квадратов, построенных на соответствующих сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов.

hello_html_m7061f41.png

На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.



hello_html_m655acc0f.png





Доказательтва методом дополнения

Доказательство первое.



Доказательство первое.

Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем.

От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. Ведь если в равенствах

В-А=С и В111

Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем.

hello_html_m2013aebe.png





От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. Ведь если в равенствах

В-А=С и В111

часть А равновелика части А1, а часть В равновелика В1, то части С и С1 также равновелики.

Поясним этот метод на примере. На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат,построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов,построенных на катетах.

Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики

Другое доказательство методом вычитания.

hello_html_1fe2bcff.png





Познакомимся с другим доказательством методом вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:

  1. треугольники 1, 2, 3, 4;

  2. прямоугольник 5;

  3. прямоугольник 6 и квадрат 8;

  4. прямоугольник 7 и квадрат 9;

Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на кататах. Этими частями будут:

  1. прямоугольники 6 и 7;

  2. прямоугольник 5;

  3. прямоугольник 1(заштрихован);

  4. прямоугольник 2(заштрихован);

Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что:

  1. прямоугольник 5 равновелик самому себе;

  2. четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;

  3. прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);

  4. прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован);

Доказательство Евклида

hello_html_266fe971.png

Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал".

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:

FB = AB, BC = BD


РFBC = d + РABC = РABD

Но

SABD = 1/2 S BJLD,

так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично

SFBC=1\2S ABFH

(BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что

SABD=SFBC,

имеем

SBJLD=SABFH.

Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что

SJCEL=SACKG.

Итак,

SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,


Упрощенное доказательство Евклида

hello_html_6e7e3ee3.png

Как в доказательствах методом разложения, так и при доказательстве евклидового типа можно исходить из любого расположения квадратов. Иногда при этом удается достигнуть упрощений.

Пусть квадрат,построенный на одном из катетов (на рисунке это квадрат,построенный на большем катете), расположен с той же стороны катета, что и сам треугольник. Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника(он заштрихован) - площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника

Доказательство Хоукинсa.

hello_html_a62b2d2.png

Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

SCAA'=b²/2


SCBB'=a²/2

SA'AB'B=(a²+b²)/2


Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :

SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.

Доказательство Вальдхейма.



hello_html_mfcaa59f.pnghello_html_5148e87a.png


Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами.

Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.

.

Sтрапеции=(a+b)²/2


Sтрапеции=a²b²+c²/2


При равнивая правые части получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.



Доказательство основанное на теории подобия



hello_html_47af4e06.png

В прямоугольном треугольника АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия(по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол a, треугольники CBD и АВС - общий угол b. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику. Впрочем, это можно установить и непосредственно.











Доказательство индийского математика Басхары

hello_html_6c1c0fd8.png

Доказательство индийского математика Басхары изображено на рисунке. В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!". Ученые считают, что он выражал площадь квадрата ,построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)². Следовательно:

c²=4ab/2+(a-b)²


c=2ab+a²-2ab+b²


c²=a²+b²


Теорема доказана.



Луночки Гиппократа

hello_html_m1daf0446.png



Для того, чтобы доказать теорему о гиппократовых луночках, докажем следующее предложение: Если на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника построены какие угодно подобные между собой фигуры Fa, Fb, Fc, так, что катеты и гипотенуза являются сходственными отрезками этих фигур, то имеет место равенство: Fa+Fb=Fc.

Для доказательства воспользуемся следующей теоремой из теории подобия: площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Если через Fa, Fb, Fc обозначить площади подобных многоугольников, построенных на катетах a, b и гипотенузе с прямоугольного треугольника, то согласно вспомогательной теореме можно написать:

Fa/Fb/Fc=a²/b²/c².

Эта пропорция означает,что можно найти число k (коэффицент пропорциональности) такое, что

Fa=ka² Fb=kb² Fc=kc².

.

Умножив обе части равенства на k и принимая во внимание предыдущие равенства, получим:

Fa+Fb=Fc.

Если равенство Fa+Fb=Fc имеет место хотя бы для одной тройки подобных между собой многоугольников, построенных на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника АВС так, что АС, ВС и АВ есть сходственные отрезки этих многоугольников, то

ka²+kb²=kc²

(где k имеет какое-то определенное значение, зависящее от выбора многоугольников, - нам совершенно не важно, какое именно). Но отсюда вытекает, что

а²+b²=с²,

а это влечет за собой тот факт,что равенство Fa+Fb=Fc выполняется для любых построенных на сторонах прямоугольного треугольника подобных многоугольников, в частности, и для квадратов.



Познакомимся с одним интересным предложением, которое встречается во многих учебниках геометрии под названием теоремы о Гиппократовых луночках.

hello_html_d3b0c6d.png



Гиппократ Хиосский (вторая половина пятого века до н. э., Афины) занимался квадратурой луночек. Он называл луночкой часть плоскости, ограниченную двумя дугами окружностей. Наше предложение в том виде, как оно будет здесь сформулировано, не встречается у самого Гипократа, который нашел квадратуру только для некоторых луночек. Во всей общности теорему доказал араб Ибн Альхаитам:

"Если на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре описать полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, то она пройдет через вершину прямого угла." Эту теорему греки приписывали Фалесу Милетскому, но в действительности ее знали еще древние вавилоняне.

Опишем две полуокружности на катетах так, как указано на рисунке, тогда получатся две луночки. Пусть Ка,Кв,Кс- площади полукругов, построенных на катетах и гипотенузе. Согласно теореме, рассмотренной ранее, имеем:

Ка+Кb=Кс.

Этот же результат можно получить, умножив обе части равенства

А²+В²=С² на π/8.

В самом деле, равенство

(π/8)А+(π/8)В=(π/8)С

означает,что площадь полукруга С диаметром с равна сумме площадей двух других полукругов, с диаметрами a и b. Если мы отнимем те же части(на рисунке они не заштрихованы )как от полукруга,построенного на гипотенузе, так и от полукругов, построенных на катетах, то, вследствие только что доказанной теоремы, получим, что сумма площадей луночек равна площади треугольника.

Векторное доказательство

hello_html_m2dcb9754.png

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство:b+c=a

откуда имеем

c = a - b

возводя обе части в квадрат, получим

c²=a²+b²-2ab

Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда

c²=a²+b² или c²=a²+b²

Нами снова доказана теорема Пифагора.

Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.









Название документа Теорема Пифагора и её применение.ppt

«Да, путь познания не гладок. Но знаем мы со школьных лет, Загадок больше, ч...
Проблема исследования: Показать исторические истоки теоремы, умение применят...
Цель исследования: Обобщить и систематизировать знания по теме, учиться восп...
Задачи исследования: Расширение познавательного интереса к изучению геометрии...
Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадрат...
Интересные факты Память . Афоризмы. Высказывания. Разное.
Память. Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает вс...
Афоризмы. 	 «С равным достоинством относись к малым и великим мира сего.» 	«...
Изречения Пифагора Статуя формой своей хороша, А человека украсят дела. Шутк...
Разное. Пифагор первым определил и изучил взаимосвязь музыки и математики. П...
Не алгебраические доказательства теоремы: Простейшее доказательство. Древнеки...
. "Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик...
Древнекитайское доказательство. Математические трактаты Древнего Китая дошли...
. Древнеиндийское доказательство. Математики Древней Индии заметили, что для...
. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги «Начал». На...
Лирики о теореме Пифагора . теореме Пифагора посвятил свои стихи немецкий пис...
Задачи по планиметрии с практическим применением 12 апреля 1961 года Ю.А. Гаг...
. От пристани одновременно отплыли два корабля:один на юг, со скоростью 16 мо...
. «ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ» Задача индийского математика XII века Бхаскары . «На...
Задача из китайской «Математики в девяти книгах» . «Имеется водоем со стороно...
Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого . «Случися некому человеку...
. . Суть истины вся в том, что нам она – навечно, Когда хоть раз в прозрении...
Заключение В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение...
1 из 23

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 «Да, путь познания не гладок. Но знаем мы со школьных лет, Загадок больше, ч
Описание слайда:

«Да, путь познания не гладок. Но знаем мы со школьных лет, Загадок больше, чем разгадок, И поискам предела нет!»

№ слайда 2 Проблема исследования: Показать исторические истоки теоремы, умение применят
Описание слайда:

Проблема исследования: Показать исторические истоки теоремы, умение применять полученные знания к решению прикладных задач.

№ слайда 3 Цель исследования: Обобщить и систематизировать знания по теме, учиться восп
Описание слайда:

Цель исследования: Обобщить и систематизировать знания по теме, учиться воспринимать материал в целостной системе различных предметов.

№ слайда 4 Задачи исследования: Расширение познавательного интереса к изучению геометрии
Описание слайда:

Задачи исследования: Расширение познавательного интереса к изучению геометрии. Разносторонний подход к изучению данной темы: как историки, лирики, теоретики и как практики.

№ слайда 5 Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадрат
Описание слайда:

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

№ слайда 6 Интересные факты Память . Афоризмы. Высказывания. Разное.
Описание слайда:

Интересные факты Память . Афоризмы. Высказывания. Разное.

№ слайда 7 Память. Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает вс
Описание слайда:

Память. Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный , гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные.

№ слайда 8 Афоризмы. 	 «С равным достоинством относись к малым и великим мира сего.» 	«
Описание слайда:

Афоризмы. «С равным достоинством относись к малым и великим мира сего.» «Не нарушай равновесия в природе.» «Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто  ношу  сваливает». «Дружбу держи с кем мудрость постигаешь, чурайся глупцов, кто праздно время проводит.» «Соразмерно чти и храни вожака и правителя, но не поступай вероломно, не предавай.» «Меру во всем соблюдай и дела свои  во время делай»

№ слайда 9 Изречения Пифагора Статуя формой своей хороша, А человека украсят дела. Шутк
Описание слайда:

Изречения Пифагора Статуя формой своей хороша, А человека украсят дела. Шуткой беседу укрась, освети. Шутка, что соль. Лишь не пересоли… Лучше молчи, ну, а коль говоришь, Пусть будет лучше, чем то, что молчишь. Если ты в гневе, не смей говорить! Действовать резко и злобу сорить. Пред тем, как станешь говорить, пусть мысль созреет Под языком твоим. Созревшая - все смеет.

№ слайда 10 Разное. Пифагор первым определил и изучил взаимосвязь музыки и математики. П
Описание слайда:

Разное. Пифагор первым определил и изучил взаимосвязь музыки и математики. Пифагор рассматривал геометрию не как практическую и прикладную дисциплину, а как логическую науку. Система морально-этических правил, завещанная Пифагором, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев «Золотые стихи». Во Франции и некоторых областях Германии в Средневековье теорему Пифагора называли «Мостом слов», а у математиков арабского Востока – «Теоремой невесты».

№ слайда 11 Не алгебраические доказательства теоремы: Простейшее доказательство. Древнеки
Описание слайда:

Не алгебраические доказательства теоремы: Простейшее доказательство. Древнекитайское доказательство. Древнеиндийское доказательство. Доказательство Евклида.

№ слайда 12 . "Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик
Описание слайда:

. "Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах." Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треуголь­ников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,— по два. Теорема доказана.

№ слайда 13 Древнекитайское доказательство. Математические трактаты Древнего Китая дошли
Описание слайда:

Древнекитайское доказательство. Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла тематика в девяти книгах» — главное из сохранившихся математико - астрономических сочинений в книге «Математики» помещен чертеж , доказывающий теорему Пифагора. .

№ слайда 14 . Древнеиндийское доказательство. Математики Древней Индии заметили, что для
Описание слайда:

. Древнеиндийское доказательство. Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом «смотри!».

№ слайда 15 . Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги «Начал». На
Описание слайда:

. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги «Начал». На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL — квадрату АС КС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.

№ слайда 16 Лирики о теореме Пифагора . теореме Пифагора посвятил свои стихи немецкий пис
Описание слайда:

Лирики о теореме Пифагора . теореме Пифагора посвятил свои стихи немецкий писатель А.Шамиссо Прибудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век. Обильно было жертвоприношенье, Богам от Пифагора сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков Поэтому всегда с тех самых пор Чуть истина рождается на свет Быки ревут, её почуя след Они не в силах свету помешать А могут лишь, закрыв глаза дрожать.

№ слайда 17 Задачи по планиметрии с практическим применением 12 апреля 1961 года Ю.А. Гаг
Описание слайда:

Задачи по планиметрии с практическим применением 12 апреля 1961 года Ю.А. Гагарин на космическом корабле “Восток” был поднят над землёй на максимальную высоту 327 километров. На каком расстоянии от корабля находились в это время наиболее удалённые от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли? (Радиус Земли ≈6400 км).

№ слайда 18 . От пристани одновременно отплыли два корабля:один на юг, со скоростью 16 мо
Описание слайда:

. От пристани одновременно отплыли два корабля:один на юг, со скоростью 16 морских миль в час, а другой на запад, со скоростью 12морских миль в час. Какое расстояние будет между кораблями через 2,5 часа(1 морская миля равна 1,85 км)

№ слайда 19 . «ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ» Задача индийского математика XII века Бхаскары . «На
Описание слайда:

. «ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ» Задача индийского математика XII века Бхаскары . «На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

№ слайда 20 Задача из китайской «Математики в девяти книгах» . «Имеется водоем со стороно
Описание слайда:

Задача из китайской «Математики в девяти книгах» . «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к бере- гу, то он как раз коснётся его. Спраши- вается: какова глубина воды и какова длина камыша?».

№ слайда 21 Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого . «Случися некому человеку
Описание слайда:

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого . «Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.»

№ слайда 22 . . Суть истины вся в том, что нам она – навечно, Когда хоть раз в прозрении
Описание слайда:

. . Суть истины вся в том, что нам она – навечно, Когда хоть раз в прозрении её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна… (Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)

№ слайда 23 Заключение В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение
Описание слайда:

Заключение В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.

Название документа Урок Теорема Пифагора.pptx

Теорема Пифагора ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до н.э.) «… Геометрия обла...
Цели урока изучить теорему Пифагора, научиться решать задачи с применением те...
 c a b O P K Прямоугольный треугольник
 A B C 1) Если 2) Если 3) Прямоугольный треугольник
 A B C M N T Прямоугольный треугольник
 A B C M N T Прямоугольный треугольник Найдите площадь треугольников
Древний Египет
a b c 3 4 25 5 25
Теорема Пифагора Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного...
Теорема Пифагора Докажем, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы...
Теорема Пифагора 1 2 3 4 5 6 7 8 ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до н.э.)
Теорема Пифагора 1 2 3 4 5 6 7 8 1) Площадь квадрата со стороной 2) Площадь к...
Теорема Пифагора 1 2 3 4 5 6 7 8 = В прямоугольном треугольнике квадрат гипот...
A B C Прямоугольный треугольник Найдите площадь треугольника Треугольник АВС...
Различные способы доказательства теоремы Пифагора. Доказательство, предложенн...
Доказательство Бхаскара Ученые считают, что он выражал площадь квадрата ,пос...
a a a a a a a a b b b b b b b b Смотри! Среди пифагорейцев был распространён...
Задачи А С В 8 6 ? D E C ? 3 5
Алгоритм для решения задач на нахождение длин сторон прямоугольного треугольн...
Задача 3 Высота , опущенная из вершины В треугольника АВС, делит сторону АС н...
Если дан нам треугольник, И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы...
«Пифагоровы штаны во все стороны равны» ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до...
О теореме Пифагора. Суть истины вся в том, что нам она – навечно, Когда хоть...
Почтовая марка В Греции была выпущена почтовая марка по случаю переименования...
Изречения Пифагора Статуя формой своей хороша, А человека украсят дела. Шутк...
Память Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает все...
Домашнее задание Прочитать по учебнику пункт 54 «Теорема Пифагора» и выучить...
1 из 27

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Теорема Пифагора ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до н.э.) «… Геометрия обла
Описание слайда:

Теорема Пифагора ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до н.э.) «… Геометрия обладает двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора….» Иоганн Кеплер

№ слайда 2 Цели урока изучить теорему Пифагора, научиться решать задачи с применением те
Описание слайда:

Цели урока изучить теорему Пифагора, научиться решать задачи с применением теоремы Пифагора познакомиться с основными этапами жизни и деятельности Пифагора ПИФАГОР САМОССКИЙ ( ок.580 – 500 г до н.э.)

№ слайда 3  c a b O P K Прямоугольный треугольник
Описание слайда:

c a b O P K Прямоугольный треугольник

№ слайда 4  A B C 1) Если 2) Если 3) Прямоугольный треугольник
Описание слайда:

A B C 1) Если 2) Если 3) Прямоугольный треугольник

№ слайда 5  A B C M N T Прямоугольный треугольник
Описание слайда:

A B C M N T Прямоугольный треугольник

№ слайда 6  A B C M N T Прямоугольный треугольник Найдите площадь треугольников
Описание слайда:

A B C M N T Прямоугольный треугольник Найдите площадь треугольников

№ слайда 7 Древний Египет
Описание слайда:

Древний Египет

№ слайда 8 a b c 3 4 25 5 25
Описание слайда:

a b c 3 4 25 5 25

№ слайда 9 Теорема Пифагора Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного
Описание слайда:

Теорема Пифагора Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до н.э.)

№ слайда 10 Теорема Пифагора Докажем, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
Описание слайда:

Теорема Пифагора Докажем, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до н.э.)

№ слайда 11 Теорема Пифагора 1 2 3 4 5 6 7 8 ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до н.э.)
Описание слайда:

Теорема Пифагора 1 2 3 4 5 6 7 8 ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до н.э.)

№ слайда 12 Теорема Пифагора 1 2 3 4 5 6 7 8 1) Площадь квадрата со стороной 2) Площадь к
Описание слайда:

Теорема Пифагора 1 2 3 4 5 6 7 8 1) Площадь квадрата со стороной 2) Площадь квадрата, составленного из четырех равных прямоугольных треугольников и квадрата со стороной с, равна: ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до н.э.)

№ слайда 13 Теорема Пифагора 1 2 3 4 5 6 7 8 = В прямоугольном треугольнике квадрат гипот
Описание слайда:

Теорема Пифагора 1 2 3 4 5 6 7 8 = В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до н.э.)

№ слайда 14 A B C Прямоугольный треугольник Найдите площадь треугольника Треугольник АВС
Описание слайда:

A B C Прямоугольный треугольник Найдите площадь треугольника Треугольник АВС – прямоугольный. По теореме Пифагора: 2) Выразим неизвестную сторону через две другие: 3) Площадь треугольника равна:

№ слайда 15 Различные способы доказательства теоремы Пифагора. Доказательство, предложенн
Описание слайда:

Различные способы доказательства теоремы Пифагора. Доказательство, предложенное индусским математиком Бхаскара (12 в.) и китайцами (1000 лет до нашей эры). Дано: АВС – прямоугольный треугольник, АВ = c, АС = a, ВС = b. Достроить треугольник до квадрата со стороной, равной c. Доказать, что с 2 = а 2 + b 2. Доказательство Мёльманна. Дано: АВС – прямоугольный треугольник, описанный около окружности с центром О. АВ = с, АС = b, ВС = а. Доказать, что с 2 = а 2 + b 2 . ( r = ( a + b +c ) / 2 Доказательство Гарфилла. Дано: АВС – прямоугольный треугольник, АВ = с, АС = b, BC = c. Доказать, что c 2 = a 2 + b 2.

№ слайда 16 Доказательство Бхаскара Ученые считают, что он выражал площадь квадрата ,пос
Описание слайда:

Доказательство Бхаскара Ученые считают, что он выражал площадь квадрата ,построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)2. Следовательно: c2=4ab/2+(a-b)2 c2=2ab+a2-2ab+b2 c2=a2+b2 Теорема доказана

№ слайда 17 a a a a a a a a b b b b b b b b Смотри! Среди пифагорейцев был распространён
Описание слайда:

a a a a a a a a b b b b b b b b Смотри! Среди пифагорейцев был распространён способ доказательства теоремы “без слов”. Слушателям представляли чертёж , на котором изображены два равных квадрата со стороной a+b, после чего писали одно слово “Смотри”.

№ слайда 18 Задачи А С В 8 6 ? D E C ? 3 5
Описание слайда:

Задачи А С В 8 6 ? D E C ? 3 5

№ слайда 19 Алгоритм для решения задач на нахождение длин сторон прямоугольного треугольн
Описание слайда:

Алгоритм для решения задач на нахождение длин сторон прямоугольного треугольника указать прямоугольный треугольник; записать для него теорему Пифагора; выразить неизвестную сторону через две другие; подставить известные значения и вычислить неизвестную сторону ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до н.э.)

№ слайда 20 Задача 3 Высота , опущенная из вершины В треугольника АВС, делит сторону АС н
Описание слайда:

Задача 3 Высота , опущенная из вершины В треугольника АВС, делит сторону АС на отрезки, равные 16 см и 9 см. Найдите сторону ВС, если сторона АВ равна 20 см. С А В D ? 16 20 9

№ слайда 21 Если дан нам треугольник, И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы
Описание слайда:

Если дан нам треугольник, И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим – И таким простым путём К результату мы придём.

№ слайда 22 «Пифагоровы штаны во все стороны равны» ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до
Описание слайда:

«Пифагоровы штаны во все стороны равны» ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до н.э.)

№ слайда 23 О теореме Пифагора. Суть истины вся в том, что нам она – навечно, Когда хоть
Описание слайда:

О теореме Пифагора. Суть истины вся в том, что нам она – навечно, Когда хоть раз в прозрении её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас, как для него, бесспорна, безупречна… (Отрывок из стихотворения А.Шамиссо) ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок.580 – 500 г до н.э.)

№ слайда 24 Почтовая марка В Греции была выпущена почтовая марка по случаю переименования
Описание слайда:

Почтовая марка В Греции была выпущена почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон . На марке надпись : «Теорема Пифагора. Эллас. 350 драхм». Эта красивая марка – почти единственная среди многих тысяч существующих , на которой изображен математический факт.

№ слайда 25 Изречения Пифагора Статуя формой своей хороша, А человека украсят дела. Шутк
Описание слайда:

Изречения Пифагора Статуя формой своей хороша, А человека украсят дела. Шуткой беседу укрась, освети. Шутка, что соль. Лишь не пересоли… Лучше молчи, ну, а коль говоришь, Пусть будет лучше, чем то, что молчишь. Если ты в гневе, не смей говорить! Действовать резко и злобу сорить. Пред тем, как станешь говорить, пусть мысль созреет Под языком твоим. Созревшая - все смеет.

№ слайда 26 Память Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает все
Описание слайда:

Память Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный , гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные.

№ слайда 27 Домашнее задание Прочитать по учебнику пункт 54 «Теорема Пифагора» и выучить
Описание слайда:

Домашнее задание Прочитать по учебнику пункт 54 «Теорема Пифагора» и выучить теорему Пифагора Решить № 483 (б), № 484 (а) учебника геометрии. Если интересно: решите одну из старинных занимательных задач. Найти из разных источников другое доказательство теорем Пифагора

Название документа ученик.ppt

Пифагор – древнегреческий математик, мыслитель и политический деятель. Пифаг...
1. Подготовительный этап (задачи на повторение) 2. Историческая справка 3. Те...
«…Геометрия владеет двумя сокровищами: Одно из них- это теорема Пифагора, и д...
1.Найдите площадь квадрата со стороной 3 см; 1,2 мм; 5\7 м; см; а см . Ответы...
Докажите,что: DFCN- квадрат 4. D F C N A B M K
Знаменитый древнегреческий философ и математик Пифагор Самосский родился на о...
Здесь в Кретоне, рождается школа Пифагора. В пифагорейской школе занимались и...
делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться ; не д...
Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек ! И ныне теорема...
Теорема Пифагора в Египте За 2000 лет до н.э. древние египтяне знали о том, ч...
Теорема Пифагора в Китае В Древнем Китае за 1100 лет до н.э. было установлено...
Различные способы доказательства теоремы Пифагора. Доказательство, предложенн...
a a a a a a a a b b b b b b b b Смотри! Среди пифагорейцев был распространён...
Пифагоровы штаны во все стороны равны.
Главным пифагорейским опознавательным знаком был символ здоровья – пентаграмм...
Х2+У2=Z2 3, 4, 5 6, 8, 10 7, 24, 25 8, 15, 17 а с в а2+в2=с2 3, 4, 5
a b c a b c a b c a b c В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен...
Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы вс...
 Делай лишь то.что в последствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться
Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать, и...
Не закрывай глаз, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в п...
Не пренебрегай здоровьем своего тела. Доставляй ему вовремя пищу и питьё, и у...
«…что Иисус и Пифагор были уроженцами почти одной и той же местности в Сицили...
ИТАК… Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, те...
Домашнее задание: П.54, вопрос 8. Решить задачи №483 (в, г), №484 (в, г)
1 из 29

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Пифагор – древнегреческий математик, мыслитель и политический деятель. Пифаг
Описание слайда:

Пифагор – древнегреческий математик, мыслитель и политический деятель. Пифагор – это не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность. Человек – символ, философ, пророк.

№ слайда 3 1. Подготовительный этап (задачи на повторение) 2. Историческая справка 3. Те
Описание слайда:

1. Подготовительный этап (задачи на повторение) 2. Историческая справка 3. Теорема Пифагора Пифагоровы тройки 4. Применение теоремы 5. Задачи 6. «Золотые стихи» Пифагора

№ слайда 4 «…Геометрия владеет двумя сокровищами: Одно из них- это теорема Пифагора, и д
Описание слайда:

«…Геометрия владеет двумя сокровищами: Одно из них- это теорема Пифагора, и другое- деление отрезков в среднем и Крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота, второе больше напоминает драгоценный камень.» Иоганн Кеплер.

№ слайда 5 1.Найдите площадь квадрата со стороной 3 см; 1,2 мм; 5\7 м; см; а см . Ответы
Описание слайда:

1.Найдите площадь квадрата со стороной 3 см; 1,2 мм; 5\7 м; см; а см . Ответы: 9 см2; 1,44 см2; 25\49 см2; а2 см2. 2. Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см; 2,2 м и 5 см; а см и в см. Ответы: 6 см2; 550 см2; 1\2 ав см2. 3. Чему равна площадь домика? S = 5 см2; S =20 см2. Ответ: 30 см2

№ слайда 6 Докажите,что: DFCN- квадрат 4. D F C N A B M K
Описание слайда:

Докажите,что: DFCN- квадрат 4. D F C N A B M K

№ слайда 7 Знаменитый древнегреческий философ и математик Пифагор Самосский родился на о
Описание слайда:

Знаменитый древнегреческий философ и математик Пифагор Самосский родился на острове Самос, далеко от Греции в 580 году до н. э. По античным свидетельствам он был красив и обладал незаурядными способностями. Совсем юношей он покинул родину, прошел по дорогам Египта и 12 лет жил в Вавилоне. После возвращения домой Пифагор переселился в Италию, затем в Сицилию. 580-500 г. до н. э.

№ слайда 8 Здесь в Кретоне, рождается школа Пифагора. В пифагорейской школе занимались и
Описание слайда:

Здесь в Кретоне, рождается школа Пифагора. В пифагорейской школе занимались изучением чисел и их свойств, много внимания уделяли музыке, живописи, физическому развитию, здоровью. Пифагор и его ученики были трудолюбивы и аскетичны.

№ слайда 9 делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться ; не д
Описание слайда:

делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться ; не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать; не пренебрегай здоровьем своего тела; приучайся жить просто и без роскоши.

№ слайда 10 Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек ! И ныне теорема
Описание слайда:

Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек ! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Они не в силах свету помешать, А могут лишь, закрыв глаза, дрожать От страха, что вселил в них Пифагор. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, её почуя , вслед.

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12 Теорема Пифагора в Египте За 2000 лет до н.э. древние египтяне знали о том, ч
Описание слайда:

Теорема Пифагора в Египте За 2000 лет до н.э. древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 есть прямоугольный и пользовались этим соотношением для построения прямых углов при сооружении зданий.

№ слайда 13 Теорема Пифагора в Китае В Древнем Китае за 1100 лет до н.э. было установлено
Описание слайда:

Теорема Пифагора в Китае В Древнем Китае за 1100 лет до н.э. было установлено наглядное доказательство данной теоремы, содержащееся в древнейшем китайском трактате «Чжоу-би».

№ слайда 14 Различные способы доказательства теоремы Пифагора. Доказательство, предложенн
Описание слайда:

Различные способы доказательства теоремы Пифагора. Доказательство, предложенное индусским математиком Бхаскара (12 в.) и китайцами (1000 лет до нашей эры). Дано: АВС – прямоугольный треугольник, АВ = c, АС = a, ВС = b. Достроить треугольник до квадрата со стороной, равной c. Доказать, что с 2 = а 2 + b 2. Доказательство Мёльманна. Дано: АВС – прямоугольный треугольник, описанный около окружности с центром О. АВ = с, АС = b, ВС = а. Доказать, что с 2 = а 2 + b 2 . ( r = ( a + b +c ) / 2 Доказательство Гарфилла. Дано: АВС – прямоугольный треугольник, АВ = с, АС = b, BC = c. Доказать, что c 2 = a 2 + b 2.

№ слайда 15 a a a a a a a a b b b b b b b b Смотри! Среди пифагорейцев был распространён
Описание слайда:

a a a a a a a a b b b b b b b b Смотри! Среди пифагорейцев был распространён способ доказательства теоремы “без слов”. Слушателям представляли чертёж , на котором изображены два равных квадрата со стороной a+b, после чего писали одно слово “Смотри”.

№ слайда 16 Пифагоровы штаны во все стороны равны.
Описание слайда:

Пифагоровы штаны во все стороны равны.

№ слайда 17 Главным пифагорейским опознавательным знаком был символ здоровья – пентаграмм
Описание слайда:

Главным пифагорейским опознавательным знаком был символ здоровья – пентаграмма или пифагорейская звезда. Она представляет собой звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. В средние века считалось, что пентаграмма “предохраняет” от “нечистой силы”.

№ слайда 18
Описание слайда:

№ слайда 19 Х2+У2=Z2 3, 4, 5 6, 8, 10 7, 24, 25 8, 15, 17 а с в а2+в2=с2 3, 4, 5
Описание слайда:

Х2+У2=Z2 3, 4, 5 6, 8, 10 7, 24, 25 8, 15, 17 а с в а2+в2=с2 3, 4, 5

№ слайда 20 a b c a b c a b c a b c В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
Описание слайда:

a b c a b c a b c a b c В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов . а2+в2=с2 Доказательство: S =(а+в)2 S =c2+4·1/2ab (а+в)2=с2+4·1/2ав а2+2ав+в2=с2+2ав а2+в2=с2

№ слайда 21
Описание слайда:

№ слайда 22 Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы вс
Описание слайда:

Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим- И таким простым путём К результату мы придём Заполните таблицу: а в с 6 8 1 1 12 15 12 13

№ слайда 23  Делай лишь то.что в последствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться
Описание слайда:

Делай лишь то.что в последствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться

№ слайда 24 Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать, и
Описание слайда:

Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь.

№ слайда 25 Не закрывай глаз, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в п
Описание слайда:

Не закрывай глаз, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.

№ слайда 26 Не пренебрегай здоровьем своего тела. Доставляй ему вовремя пищу и питьё, и у
Описание слайда:

Не пренебрегай здоровьем своего тела. Доставляй ему вовремя пищу и питьё, и упражнения, в которых он нуждается.

№ слайда 27 «…что Иисус и Пифагор были уроженцами почти одной и той же местности в Сицили
Описание слайда:

«…что Иисус и Пифагор были уроженцами почти одной и той же местности в Сицилии…» «…их отцы были пророчески извещены о том, что у них родятся сыновья, которые явятся благодетелями человечества…» «…что оба родились в то время, когда их родители были вне дома…»

№ слайда 28 ИТАК… Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, те
Описание слайда:

ИТАК… Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, математик v века Прокл и другие. Пребудет вечной истина, как скоро, Все познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. А.Шамиссо

№ слайда 29 Домашнее задание: П.54, вопрос 8. Решить задачи №483 (в, г), №484 (в, г)
Описание слайда:

Домашнее задание: П.54, вопрос 8. Решить задачи №483 (в, г), №484 (в, г)

Автор
Дата добавления 17.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров248
Номер материала ДБ-198199
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх