Теорема синусов, теорема косинусов

• 1 слайд

  Урок по теме:
  «Теорема синусов,
  Теорема косинусов»
  Подготовила
  Ищук Ольга Эдуардовна
  Геометрия 9 класс
  

• 2 слайд

  Цели урока:
  
  1) выработать умения и навыки решения задач, применяя теоремы;
  2) показать связь теории с практикой;
  3) продолжать развивать внимание, активность, аккуратность, самостоятельность.
  

• 3 слайд

  План урока:
  
  Повторение
  Устные упражнения
  Теорема синусов
  Теорема косинусов
  Практические упражнения
  Подберите чертеж
  Подберите условие
  Решите задачи
  
  
  Вопросы
  Домашнее задание
  Рефлексия
  
  
  1
  2
  

• 4 слайд

  С
  А
  В
  АВ2 = АС2 + ВС2
  Теорема Пифагора:
  

• 5 слайд

  Сформулируйте теорему о площади треугольника?
  Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
  

• 6 слайд

  Запишите, чему равна площадь треугольника АВС?
  
  А
  В
  С
  

• 7 слайд

  Устные упражнения:
  1 вариант:
  2 вариант:
  8
  ?
  ?
  6
  1.
  1.
  

• 8 слайд

  Проверь ответы:
  1 вариант:
  2 вариант:
  8
  10
  6
  Ответ: 10 см
  Ответ: см
  1.
  1.
  2 вариант:
  

• 9 слайд

  Рассмотрим подробнее формулу площади треугольника АВС?
  
  А
  В
  С
  

• 10 слайд

  ТЕОРЕМА СИНУСОВ
  Длины сторон треугольника пропорциональны синусам противоположных углов
  А
  В
  С
  

• 11 слайд

  Дано: АВС
  Доказать:
  
  А
  В
  С
  

• 12 слайд

  Доказательство:
  S ABC = (1)
  
  S ABC = (2)
  
  S ABC = (3)
  
  А
  В
  С
  

• 13 слайд

  Приравняем равенства (1) и (2), получим
  
  =
  
  Сократим на , получим
  
  =
  
  
  

• 14 слайд

  Приравняем равенства (2) и (3), получим
  
  =
  
  Сократим на , получим
  
  =
  
  
  

• 15 слайд

  Объединив равенства
  
  И
  получим
  ЧТД
  

• 16 слайд

  Запишите теорему синусов для треугольника:
  M
  F
  N
  

• 17 слайд

  Теорема косинусов
  Квадрат длины любой стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других его сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними.
  A
  B
  C
  а
  с
  b
  

• 18 слайд

  А
  С
  Дано: АВС
  
  Доказать:
  В
  

• 19 слайд

  Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, АС = b. Введем систему координат с началом в точке А. Тогда В (с; 0), С (bcosA; bsinA).
  Найдем расстояние ВС:
  ВС = а = (bcosA – c) + b sin A = b cos A + b sin A - 2bc cosA + c = b + c - 2bc cosA
  А
  С
  В
  (bcosA; bsinA)
  у
  х
  (с; 0)
  Доказательство:
  2
  2
  2
  2
  2
  2
  2
  2
  2
  2
  2
  2
  ЧТД
  

• 20 слайд

  M
  N
  K
  Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК:
  

• 21 слайд

  Подберите чертеж к условию задачи
  В треугольнике АВС, АВ=4, АС=6, ВС=2√7, А=60°. Найдите ВH-высоту, проведенную из вершины В к стороне ВС.
  А
  В
  С
  Н
  А
  С
  В
  Н
  1)
  2)
  А
  С
  Н
  3)
  В
  

• 22 слайд

  Решение:
  
  
  Дано:
  ∆ АВС, А=60°,
  АВ=4, АС=6, ВС=2 .
  Найти: BH.
  
  2)
   
  

• 23 слайд

  В
  А
  С
  8
  6
  30
  о
  1) В треугольнике АВС А=30°,АВ=8, АС=6. Найдите длину стороны ВС.
  
  2) В треугольнике АВС А=30°,АВ=8, АС=6. Найдите SАВС.
  3) В треугольнике АВС А=30°,АВ=8, АС=6. Найдите длину медианы, проведенной к стороне ВС.
  Подберите условие задачи к данному чертежу
  

• 24 слайд

  Дано:
  ∆ АВС, А=30°,
  АВ=8, АС=6.
  Найти: ВС.
  1)
  Решение:
   
  

• 25 слайд

  А
  С
  В
  4
   
  1)
  

• 26 слайд

  Решение
  А
  С
  В
  4
  Ответ:
  

• 27 слайд

  А
  С
  В
  Дано:
  ∆ АВС, С=60°,
  АС=4, АС=
  CB=
  Найти: ВС
  Решение:
  2)
  

• 28 слайд

  Решение:
  А
  С
  В
  3
  Ответ:
  2)
  

• 29 слайд

  Верно ли?
  А
  С
  В
  b
  
  с
  а
  а2 = b2 + с2 - 2aс cosC
  
  в2 = с2 + a2 - 2сa cosB
  
  с2 = a2 + c2 - 2ab cosA
  
  
  
  неверно
  верно
  неверно
  

• 30 слайд

  Верно ли записаны формулировки?
  1. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов всех
  сторон минус удвоенное произведение любых двух сторон
  на косинус угла между ними.
  
  НЕВЕРНО
  

• 31 слайд

  2. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
  других сторон на синус угла между ними.
  
  НЕВЕРНО
  

• 32 слайд

  3. Квадрат стороны трапеции равен сумме квадратов двух
  других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на
  косинус угла между ними.
  
  НЕВЕРНО
  

• 33 слайд

  4. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
  других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на
  косинус угла между ними.
  ВЕРНО
  

• 34 слайд

  Домашнее задание
  
  Знать теорему синусов, теорему косинусов.
  
  1. Найдите неизвестную сторону треугольника MNP , если MN см, NP = 6 см, а угол N равен 150°.
  2. Найдите косинус угла, лежащего против диагонали 14 мм, если стороны параллелограмма равны 8 мм и 10 мм.
  

• 35 слайд

• 36 слайд

  Спасибо за внимание!
  Среди равных умов при
  одинаковости прочих условий превосходит тот,
  кто знает геометрию.
  Блез Паскаль