Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена - задания с параметром

Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена.

.

Теорема 1: чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше действительного числа α (т.е. лежали на числовой прямой левее числа α), необходимо и достаточно выполнение условий

                               

 

                                                              x_в                                                                                   α

                                                     x₁                 х₂  α      х                         x₁       х_в        х₂          х

                                                    A(p)>0, f(α)>0                                  A(p)<0, f(α)<0

Теорема 2: чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше действительного числа α (т.е. лежали на числовой прямой правее числа α), необходимо и достаточно выполнение условий

 

                                                              x_в                                                   α

                                                α   x₁                 х₂         х                          x₁       х_в        х₂          х

                                                    A(p)>0, f(α)>0                                  A(p)<0, f(α)<0

Теорема 3: чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше действительного числа α, а другой больше α (т.е. число α на числовой прямой расположено между корнями), необходимо и достаточно выполнение условия  A(p) f(α) < 0.

 

                                                            α                                                       

                                                      x₁                 х₂         х                         x₁        α        х₂          х

                                                    A(p)>0, f(α)<0                                  A(p)<0, f(α)>0

Теорема 4: чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше действительного числа α, но меньше числа β (т.е. лежали на числовой прямой в интервале (α;β)), необходимо и достаточно выполнение условий

 

                                                              x_в                                                      α                           β

                                                α   x₁                 х₂   β     х                          x₁       х_в        х₂          х

                                                    A(p)>0, f(α)>0                                  A(p)<0, f(α)<0

Теорема 5: чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше действительного числа α, а другой - больше β (отрезок  лежал внутри интервала между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий

           или         

 

                                                           α    β

                                                     x₁                 х₂          х                         x₁    α  β     х₂          х

Теорема 6: чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале (α;β), необходимо и достаточно выполнение условий

           или        

 

                                                                                                                           α

                                                α   x₁                   х₂         х                          x₁                 х₂          х

Теорема 7: чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале (α;β), необходимо и достаточно выполнение условий

           или        

 

                                                             α                                                                                                                                  

                                                   x₁                      х₂         х                        x₁       α       х₂          х

Краткое описание документа:

Данный материал предназначен для работы по теме "Решение заданий с параметрами". Основой послужили материалы из сборника Крамора "Задания с параметром". Рассматриваются условия различного расположения корней квадратного трехчлена на координатной прямой - меньше или больше заданного числа, на интервале, вне заданного интервала и др. Все теоремы сопровождаются рисунками.