Теоремы сложения и следствия из них

Конспект урока

Тема: Теоремы сложения и следствия из них

1) Синус суммы двух углов

равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго угла и косинуса первого угла на синус второго угла:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2) Синус разности двух углов:

sin (α β) = sin α cos β cos α sin β

3) Косинус суммы двух углов

равен разности произведений косинусов этих углов и синусов этих углов:

cos (α + β) = cos α cos β sin α sin β

4) Косинус разности двух углов:

cos (α β) = cos α cos β + sin α sin β

5) Тангенс суммы двух углов:

tg( α + β )=

6) Тангенс разности двух углов:

tg( α β)=

Типовые задания на применение Теорем сложения:

№ 1 Вычислить:

1) sin 17 ˚ cos 13 ˚ + cos 17 ˚ sin 13 ˚ = sin 17 ˚

2) cos 73 ˚ cos 17 ˚ - sin 78 ˚ sin 17 ˚ = cos (73 ˚ 17 ˚) cos 90 ˚

3) = 1

4) cos 109 ˚ cos 49 ˚ + sin 109 ˚ sin 49 ˚ = cos (109 ˚ 49 ˚) cos 60 ˚

5) sin 104 ˚ cos 14 ˚ – cos 104 ˚ sin 14 ˚ = sin (104 ˚ 14 ˚) sin 90 ˚

6) sin 49 ˚ cos 11 ˚ + cos 49 ˚ sin 11 ˚ = sin (49 ˚ 11 ˚) sin 60 ˚

Следствия из теорем сложения.

Формулы двойных углов (двойного аргумента)

1) sin 2 α = 2 sin α cos α

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса угла на его косинус

Доказательство:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Пусть α = β, тогда получим sin (α + ) = sin α cos + cos α sin ,

sin 2α = sin α cos + sin

sin 2 α = 2 sin α cos α, что и требовалось доказать

2 ) cos 2α = α –

Косинус двойного угла равен разности квадратов косинуса и синуса этого угла

Доказательство:

cos (α + β) = cos α cos β sin α sin β

Пусть α = β, тогда получим cos (α + α) = cos α cos α sin α sin α, отсюда

cos 2α = α – , ч. и т.д.

Примечание. Для косинуса двойного угла можно вывести ещё две полезные при решении задач формулы:

cos 2α = α –

↙ ↘

Так как α = 1 α, то α =1 , то

cos 2α = (1 α) α, cos 2α = α – (1 α),

cos 2α = 1 α α, отсюда cos 2 α = α 1 + α, отсюда

cos 2 α = 1 2 α cos 2α = 2 α 1

3) Тангенс двойного угла: tg 2 α =

Доказательство:

tg ( α + β )=

Пусть α = β , тогда tg ( α + α )= , отсюда tg 2 α =, ч. и т.д.

Типовые задания на применение Теорем сложения и

Формул двойных углов:

№ 1 Упростить выражение:

1)os α sin α = sin (2α α ) = sin α;

2) sin (α+ β) sin β + cos (+ β) cos β = cos (α+ β) cos β + sin (α+ β) sin β =

= cos ((α+ β β) = cos (α+ β – β) = cos α;

№2 Доказать тождество:

= tg α

Определение: Тождеством называется равенство, которое верно всегда при всех допустимых значениях аргумента.

Доказательство:

Левая часть

= == tg α,

что и требовалось доказать.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Домашнее задание

Решить задачи на применение Правила приведения:

I. Сохранить название функции и привести к острому углу:

1) cos 154˚=

2) ctg 195˚=

3) sin 301˚=

4) tg 278˚ =

II. Изменить название функции и привести к острому углу:

5) sin 272˚=

6) cos 184˚ =

III. Вычислить, приведя к табличному углу:

7)

8)