Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Теоремы о границах корней квадратного уравнения и их применение в заданиях с параметрами
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Теоремы о границах корней квадратного уравнения и их применение в заданиях с параметрами

библиотека
материалов

hello_html_648175e3.gifhello_html_648175e3.gifhello_html_648175e3.gifhello_html_6f57b8d4.gifhello_html_379061fd.gifhello_html_m63bb11ca.gifhello_html_m4b97f3a1.gifhello_html_798de545.gifТеоремы о границах корней квадратного уравнения и их применение в заданиях с параметрами

В специальных сборниках задач, а также в вариантах выпускных и вступительных экзаменов все чаще стали встречаться задачи с параметрами, связанные с границами корней квадратного уравнения.

По данному вопросу имеется различная информация в источниках, предназначенных, в основном, для подготовки к вступительным экзаменам. Но в новейших источниках, как правило, преобладает слишком громоздкая геометрическая интерпретация рассуждений. Конечно, в этих источниках с большой наглядностью перебираются все варианты ситуаций ,по которым составляются нужные системы неравенств. Но во многих случаях сложно продумать необходимое и достаточное количество этих неравенств.

Порой бывает трудно быть уверенным в рациональности подобных условий. А решающий к тому же бывает ограниченным во времени.

Конечно, наиболее эффективным условием является знание трех теорем, которые можно найти в более ранних источниках, например, у П.С. Моденова в книге "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики", в книге С.И Новосепова "Специальный курс элементарной математики"(Изд-во "Советская наука", 1956г)

Замечание. При формулировке теорем будем считать, что квадратное уравнение имеет корни, то есть D>0

Теорема 1. http://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11b7a/EZHJdnXlD5E.jpg

Для того, чтобы корни X₁ и X₂ квадратного уравнения hello_html_m213c9378.gif удовлетворяет условию λ< X< X₂ , необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенств





Теорема 2.

Для того, чтобы корни X₁ и X₂ квадратного уравнения hello_html_m213c9378.gif удовлетворяли условию X₁< λ < X₂, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

hello_html_6d15a01e.gif





Теорема 3

Для того, чтобы корни X₁ и X₂ квадратного уравнения hello_html_m213c9378.gif удовлетворяли условию X₁< X₂ < λ, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенствhttp://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11b84/SVgJa7n6XXI.jpg





Рассмотрим доказательство необходимости признака для первой теоремы

Дано:http://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11b7a/EZHJdnXlD5E.jpg

D>0

λ< X< X

Доказать:





Доказательство:

Так как λ< X< X₂, то имеем:

0<hello_html_m4961f38.gif





2)С другой стороны, так как (λ< X< X₂)hello_html_3e2cd463.gif+hello_html_2b92f0a8.gif>2hello_html_m7d71a204.gif)hello_html_2a1d7697.gif hello_html_m425ed56e.gif

hello_html_7505fccb.gif

Ч.Т.Д

Доказательство необходимости признаков в остальных теоремах аналогично проведенному, а достаточность признаков доказывается методом от противного.

Доказательство достаточности признаков можно предложить самим учащимся

Рассмотрим примерное доказательство достаточных признаков теоремы 3.http://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11b8d/4qc30bwbfmM.jpg

Дано:







Доказать: X₁< X₂ < λ

Доказательство: Пусть дано, что условия: http://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11b8d/4qc30bwbfmM.jpg





Выполняются для квадратного уравнения hello_html_m213c9378.gif для hello_html_m7d71a204.gif

Допустим, что при этом корни удовлетворяют либо условию λ< X< X₂,, либо условию X₁< λ < X₂,. Но тогда в первом случае необходимо получить условия .

Но тогда в первом случае необходимо получить условия:

А во втором-
hello_html_m68d842c8.gifhttp://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11b96/8PubegqI0ww.jpg



В обоих случаях получим противоречия данным условиям, а это говорит о неверности и первого и второго допущений. Остается, что единственно верно условие: X₁< X₂ < λ

Для случая, когда hello_html_m7d71a204.gif=0, формулировки этих теорем вкратце выглядят так:













Если обозначить левую часть уравнения hello_html_m213c9378.gif через f(hello_html_m7d71a204.gif) , то есть рассмотреть как функцию , то очевидно, что выполняются равенства:

hello_html_m13942f6f.gif= f (hello_html_m7d71a204.gif)hello_html_mbdc91d2.gif

Этот результат позволяет к концу десятого класса рассмотреть доказательство данных теории по другому.

А именно становится явным геометрическое обоснование доказательство теории 1 - 3.

Пусть hello_html_71925420.gif, а квадратное уравнение hello_html_m213c9378.gif имеет два корня hello_html_570f113e.gif и hello_html_2b92f0a8.gif.

Тогда парабола f(x)=hello_html_mef734c5.gif пересекает ось hello_html_2756cb68.gif в точках с абсциссами hello_html_570f113e.gif и hello_html_2b92f0a8.gif. Ясно, что в таком случае в точке hello_html_m3af13329.gif, гдhello_html_cb696fc.gifе hello_html_cb696fc.gif, выполняются условия f (hello_html_m7d71a204.gif) и hello_html_36c67de2.gif, то есть имеем http://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11bb1/q4wfoHf-jAg.jpghttp://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11bbf/4ln06jAA8mc.jpg





Это наглядно видно из рисунка.





А так как hello_html_m25646f4b.gif, то эти два неравенства дают следующие необходимые условия теоремы 1:

C:\Users\User\Pictures\Новая папка\1hcKIfvVww8.jpg







Достаточность признака (1) также становится понятной из рисунка. Так как hello_html_m60514522.gif . Но так как при этомhello_html_3f960b06.gif, то hello_html_238cd47d.gif, и мы получаем, что

hello_html_cb696fc.gif. Что и требовалось доказать.

Доказательство теории 2 и 3 можно интерпритировать на подобных рисунках.

Для случая hello_html_m266c99ef.gif можно рассмотреть геометрическую интерпретацию доказательства, например, теоремы 3.



http://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11dfd/W20LR8S9Upg.jpg









Из рисунка видно hello_html_m7fd6f29.gif. К тому же видно, что hello_html_3f960b06.gif, это есть f (hello_html_m7d71a204.gif)= hello_html_m13942f6f.gif= 0, и hello_html_61e23fe6.gif. http://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11c3d/JbKIaWCEwPU.jpg

А так как hello_html_729aa284.gif, то получается необходимый признак hello_html_m7fd6f29.gif в виде системы









Признак (2) также достаточен для условия hello_html_m7fd6f29.gif.

Действительно, так как hello_html_729aa284.gif, то из второго неравенства системы (2) имеем, что hello_html_36c67de2.gif, значит, hello_html_m2ee7a8ae.gif.

А так как hello_html_3f960b06.gif, то hello_html_m34f8f0bc.gif, то есть верно неравенство hello_html_m7fd6f29.gif. Что и доказывает достаточность признака выражаемого системой неравенств (2).

Рассмотрим по степени усложнения группы упражнений, решаемых с помощью доказанных теорем.

А. найти все значения параметра а, при которых корни следующих уравнений действительны, и определить знаки корней.

1. hello_html_m4dce2200.gif

2. hello_html_168040a8.gif

3. hello_html_m278ce519.gif

4. hello_html_m8bfec69.gif

Б. 1. Найти все значения а, при которых корни уравнения hello_html_6ff08017.gif действительны и каждый из корней больше 1.

2. Найти все значения а, при которых корни уравнения hello_html_m769ca83d.gif были бы меньше 2.

В. 1. Найти все действительные значения а, при которых оба корня уравнения hello_html_2dc29107.gif заключены между 0 и -2.

2. Для каких действительных значений а уравнение hello_html_m769ca83d.gif имеет корень, больший 3, а другой меньше 2?

Вариант В усложнен тем, что сразу нужно применять две из рассмотренных теорем или одну и ту же теорему два раза.

Г. При каких значениях а не имеют корней уравнения:

а) hello_html_md0c027b.gif

б) hello_html_304b69d3.gif ?

Группа г усложнена введение функции вместо переменной x и неявностью условия применяемости приведенных теорем.

Рассмотрим решение некоторых заданий из приведенных групп.

1. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения

hello_html_2ff83bf8.gif действительны и определите знаки корней.

Решение. Найдем дискриминант.

hello_html_m5cfc88f7.gif+ 12a - 8

По условию должно выполняться неравенство hello_html_5036ea91.gif. Тогда имеем:

hello_html_21210823.gif

hello_html_469adb87.gif

hello_html_m2ef49a09.gif

hello_html_m46a278d2.gif

а) При Д = 0, то есть при а=-2 или при а=hello_html_6eec8aff.gif имеем:

hello_html_6aa57afc.gif

hello_html_m7c3331dd.gif

hello_html_m6a1b3614.gif



б) При hello_html_15a50784.gif

hello_html_40f35867.gif

hello_html_m1d053169.gif

hello_html_m6ea33852.gif

Выходит, что один из коней равен нулю, а другой положительный.

В) выясним, при каких значениях параметра а выполняется неравенство hello_html_m2a55d41d.gif

По теореме 1 решаем систему неравенств

http://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11ca9/1Fq2KyXen2Q.jpg

http://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11ca0/rQ3JBwBw9Y0.jpg























Видно, что hello_html_584cdac6.gif

Г) найдем при каких значениях а выполняется неравенство hello_html_m29923927.gif

Для этого применим теорему 2:

hello_html_m1af27cd6.gif

hello_html_m61df0b4a.gif





http://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11d8c/8TCzz5ia1Nc.jpg











http://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11d94/B8j42oIlpio.jpg

д) Выясним при каких значениях а выполняется неравенство hello_html_dead8af.gif. Используем теорему 3.

















Из схемы видно, что ни при каких значениях параметра а корни заданного квадратного уравнения не являются одновременно отрицательными.

е)hello_html_m13fe7107.gif

Ответ: уравнение имеет действительные корни при

hello_html_m7507a07.gifhello_html_m17946362.gif

hello_html_1190a026.gif

Ни при каких значениях а корни не являются одновременно отрицательными;

При а = hello_html_m3abe6c86.gif один из корней уравнения равен нулю, а другой положительный.

№2. Для каких действительных значений а уравнение

hello_html_3962c913.gif

Решение. Так как рассматривается лишь условие существования двух корней, то hello_html_m45dbee1d.gif Найдем соответствующие значения а.

hello_html_22c7f558.gif

hello_html_4ada2ec8.gif

hello_html_1c7b5184.gif

hello_html_m2c4c664c.gif

hello_html_m44ff5f27.gif

По условию должно выполняться неравенство hello_html_m54115d35.gif, то есть система неравенств.C:\Users\User\Pictures\Новая папка\8n3ldv-p27w.jpg















http://cs14113.vk.me/c623425/v623425925/11e07/fhUN7ObQ-Xc.jpg















При а(2;5) один из корней заданного уравнения больше 3, а другой меньше 2.

Ответ: а(2;5).

№3. Решим задание №6 из работы выпускного экзамена 1997-1998 учебного года.

При каких значениях а уравнение sin2x+(a+2)sinx +3a+1=0 не имеет корней?

Решение.

Квадратное уравнение не имеет корней при D<0, значит, для заданного квадратного уравнения имеем: hello_html_1a125567.gif

Откуда

hello_html_73b8ff5b.gif

hello_html_522c9d0f.gif

hello_html_m37e69801.gif

Итак, при а ⍷ (a;8) уравнение не имеет корней.

Для значения а \notin (a;8) введено обозначение: hello_html_m2ec70055.gif, где hello_html_m7e6312b0.gif

При этом получим уравнение в виде hello_html_m77a310de.gif (2)

Значение а, при которых оба корня уравнения (2) меньше -1 или оба больше 1, или первый меньше -1, а второй больше 1, задания уравнение не имеет корней

Для случая расположения" hello_html_m2d3be81c.gif" применяем теорему 3

C:\Users\User\Pictures\Новая папка\kxyyegIahIQ.jpg

Так как рассматривается случай, когда а∈ (-∞;0)⋃(8;∞), то из системы

a>0

a>8 имеем: a>8



Значит, при а ∈(8;∞) данное уравнение не имеет корней.



Для случая “1<y₁<y₂” применим теорему 1:



1∙(12+(а+2)1+3а+1)>0 4а+4>0 a>-1hello_html_m2ba4ad8e.png

1∙(2∙1+(а+2))<0; a+4<0 a<-4



Эта система противоречива, а это означает, что ни при каких значениях а оба корня уравнения (2) не будут одновременно больше 1. Поэтому в этом случае мы не нашли таких значений а, при которых исходное уравнение не имеет корней.

В третьем случае, т.е. при расположении “y₁<-1<1

C:\Users\User\Pictures\Новая папка\6efDQZtTaLo.jpg

Получим, что при hello_html_317a648f.gif один из корней уравнения (2) меньше -1, а другой больше . В таком случае исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: при hello_html_2681a0f2.gif уравнение

hello_html_4b5891a6.gif

Не имеет корней

Краткое описание документа:

Теоремы о границах корней квадратного уравнения и их применение в заданиях с параметрами

В специальных сборниках задач, а также в вариантах выпускных и вступительных экзаменов все чаще стали встречаться задачи с параметрами, связанные с границами корней квадратного уравнения.

По данному вопросу имеется различная информация в источниках, предназначенных, в основном, для подготовки к вступительным экзаменам. Но в новейших источниках, как правило, преобладает слишком громоздкая геометрическая интерпретация рассуждений. Конечно, в этих источниках с большой наглядностью перебираются все варианты ситуаций ,по которым составляются нужные системы неравенств. Но во многих случаях сложно продумать необходимое и достаточное количество этих неравенств.

Порой бывает трудно быть уверенным в рациональности подобных условий. А решающий к тому же бывает ограниченным во времени.

Конечно, наиболее эффективным условием является знание трех теорем, которые можно найти в более ранних источниках, например, у П.С. Моденова в книге "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики", в книге С.И Новосепова "Специальный курс элементарной математики"(Изд-во "Советская наука", 1956г)

Замечание. При формулировке теорем будем считать, что квадратное уравнение имеет корни, то есть D>0

Автор
Дата добавления 17.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров318
Номер материала 312684
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх